北京市通州区2017届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M={x|x＜﹣1或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则M∩N等于（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}2．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．0 B．1 C．3 D．43．若变量x，y满足条件则z=x+y的最大值为（）A．0 B．C．2 D．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）内单调递减的是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=cosx D．y=lnx5．如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积是（）A．B．C．4 D．6．“数列{a n}为等比数列”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．过点（2，2）的直线l与圆x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交于A，B两点，且，则直线l的方程为（）A．3x﹣4y+2=0 B．3x﹣4y+2=0，或x=2C．3x﹣4y+2=0，或y=2 D．y=2，或x=28．已知函数若函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．复数z=，则复数z的模是．10．在△ABC中，已知b=3，A=45°，B=60°，则a=．11．已知双曲线的一条渐近线过点（2，2），则双曲线的离心率等于．12．已知，那么y的最小值是．13．将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（0）=．14．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量，则λ+μ的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}的通项公式为，数列{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．17．（13分）2016年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20家商业连锁店进行了年度考核评估，并依据考核评估得分（最低分60分，最高分100分）将这些连锁店分别评定为A，B，C，D四个类型，其考核评估标准如表：考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得其频率分布直方图如下：（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店有多少家；（Ⅱ）现从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析，求这两家来自同一评分类型的概率．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E，F分别为PC，PB中点，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：EF⊥AE；（Ⅲ）若PA=AC=CB，AB=4，求几何体EFABC的体积．19．（14分）已知椭圆C1，C2均为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率均为，其中C1的焦点坐标分别为（﹣1，0），（1，0），C2的左右顶点坐标为（﹣2，0），（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2相交于A，B，C，D四点，如图所示，试判断|AC|和|BD|的大小，并说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x3﹣3x2，g（x）=ax2﹣4．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围；（Ⅲ）函数f（x）的图象是否为中心对称图形，如果是，请写出对称中心；如果不是，请说明理由．2016-2017学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M={x|x＜﹣1或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则M∩N等于（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}【考点】交集及其运算．【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x|x＜﹣1或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，∴M∩N={x|2＜x＜3}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．0 B．1 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的s，i的值，可得当i=4时满足条件i＞3，退出循环，输出s的值为1．【解答】解：模拟程序的运行，可得s=1，i=1s=3，i=2不满足条件i＞3，执行循环体，s=4，i=3不满足条件i＞3，执行循环体，s=1，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出s的值为1．故选：B．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3．若变量x，y满足条件则z=x+y的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由可知，A（，）．化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）内单调递减的是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=cosx D．y=lnx【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A．y=x2是偶函数，在区间（0，1）内单调递增，不满足条件．B．y=2x是非奇非偶函数，在区间（0，1）内单调递增，不满足条件．C．y=cosx是偶函数，在区间（0，1）内单调递减，满足条件．D．y=lnx是非奇非偶函数，在区间（0，1）内单调递增，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积是（）A．B．C．4 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积和表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面的面积S=2×2=4，高h=2，故三棱锥的体积V==，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．6．“数列{a n}为等比数列”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}为等比数列，则成立，即充分性成立，反之不一定成立，比如数列0，0，0，…，满足成立，但数列{a n}不是等比数列，即必要性不成立，故“数列{a n}为等比数列”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．7．过点（2，2）的直线l与圆x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交于A，B两点，且，则直线l的方程为（）A．3x﹣4y+2=0 B．3x﹣4y+2=0，或x=2C．3x﹣4y+2=0，或y=2 D．y=2，或x=2【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由已知中圆的标准方程可以求出圆心坐标及半径，结合直线l被圆所截弦长，根据半弦长，弦心距，半径构造直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距，分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，即（x+1）2+（y﹣1）2=4，圆心（﹣1，1），半径为2，若，则圆心（﹣1，1）到直线l距离d=1，若直线l的斜率不存在，即x=2，此时圆心（﹣1，1）到直线l距离为3不满足条件，若直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2=0，则d==1，解得k=0或，此时直线l的方程为3x﹣4y+2=0，或y=2，故选C．【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，其中根据半弦长，弦心距，半径构造直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距，是解答的关键．8．已知函数若函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】原问题等价于函数y=f（x），与y=k（x﹣1）的图象的图象只有一个的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只有一个零点，∴f（x）﹣k（x﹣1）=0，即：f（x）=k（x﹣1），分别画出y=f（x），与y=k（x﹣1）的图象，如图所示：而y=k（x﹣1）的图象恒过点（1，0），当过点B时此时k=﹣1，有两个交点，结合图象可得当k＜﹣1或x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只有一个零点，故选：D【点评】本题考查函数的零点，转化为两函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．复数z=，则复数z的模是．【考点】复数求模．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的模可求．【解答】解：由z==，得|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．在△ABC中，已知b=3，A=45°，B=60°，则a=．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵b=3，A=45°，B=60°，∴由正弦定理可得：a===．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11．已知双曲线的一条渐近线过点（2，2），则双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用渐近线方程经过的点，列出方程，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线过点（2，2），可得一条渐近线方程为：；则，即a=b，c=，双曲线的离心率为：=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12．已知，那么y的最小值是3．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，则y=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（0）=2．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，则g（0）=2cos0=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量，则λ+μ的取值范围是[1，3] ．【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，把向量用坐标表示出来，根据P的坐标表示出λ+μ的表达式，求其最值即可得到范围．【解答】解：以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]∴=（2，2），=（2，﹣2），=（x，2），∵，∴，∴，∴λ+μ=，令f（x）=，（0≤x≤2）∵f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）max=f（0）=3．f（x）min=f（2）=1．故λ+μ的取值范围是[1，3]，故答案为：[1，3]．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，向量的运算，建立坐标系，将问题转化为坐标运算，是解答的关键．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）（2016秋•通州区期末）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x），即可求出（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期，（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=；…（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为：；…（Ⅱ）∵，∴；…（7分）∴；…（9分）∴当，即时，f（x）取得最小值﹣1；…（11分）∴当，即时，f（x）取得最大值．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．16．（13分）（2016秋•通州区期末）已知数列{a n}的通项公式为，数列{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【考点】等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的前n项和公式计算即可，（Ⅱ）根据递推公式即可求出通项公式【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴数列{a n}是等公差为6的等差数列．又∵a1=11∴数列{a n}的前n项和：；（Ⅱ）∵a n=b n+b n+1∴a1=b1+b2，a2=b2+b3∴设数列{b n}的公差为d，则∴．∴数列{b n}的通项公式：b n=3n+1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（13分）（2016秋•通州区期末）2016年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20家商业连锁店进行了年度考核评估，并依据考核评估得分（最低分60分，最高分100分）将这些连锁店分别评定为A，B，C，D四个类型，其考核评估标准如表：考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得其频率分布直方图如下：（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店有多少家；（Ⅱ）现从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析，求这两家来自同一评分类型的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）先求出评分类型为A的商业连锁店所占的频率，由此能求出评分类型为A的商业连锁店共有多少家．（Ⅱ）依题意评分类型为D的商业连锁店有3家，设评分类型为A的4商业连锁店为a1，a2，a3，a4，评分类型为D的3商业连锁店为b1，b2，b3，由此利用列举法能求出这两家来自同一评分类型的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店所占的频率为0.020×10=0.2，所以评分类型为A的商业连锁店共有0.2×20=4家；…．（Ⅱ）依题意评分类型为D的商业连锁店有3家，设评分类型为A的4商业连锁店为a1，a2，a3，a4，评分类型为D的3商业连锁店为b1，b2，b3，…．从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家的所有可能情况有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共21种，…．（10分）其中满足条件的共有9种，…．（12分）所以这两家来自同一评分类型的概率为．…．（13分）【点评】本题考查频率分布列的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．（14分）（2016秋•通州区期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E，F分别为PC，PB中点，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：EF⊥AE；（Ⅲ）若PA=AC=CB，AB=4，求几何体EFABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF∥BC，推出EF∥平面ABC．（Ⅱ）PA⊥BC，结合AC⊥BC，推出BC⊥平面PAC，利用EF∥BC，推出EF⊥AE．（Ⅲ）求出三角形PAC的面积，利用BC⊥平面PAC，三棱锥P﹣ABC的体积：，通过EF⊥平面PAE，求出三角形PAE面积，然后求解三棱锥P﹣AEF的体积，然后求解几何体EFABC的体积．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵E，F分别为PC，PB的中点，∴EF∥BC，…．（2分）又∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC…．（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，…又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，…（7分）∴BC⊥AE，∵EF∥BC，∴EF⊥AE．…．（10分）（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴，∵BC⊥平面PAC，∴三棱锥P﹣ABC的体积：，∵EF⊥平面PAE，，，∴三棱锥P﹣AEF的体积：，∴几何体EFABC的体积：．…（14分）【点评】本题考查直线与平面平行直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（14分）（2016秋•通州区期末）已知椭圆C1，C2均为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率均为，其中C1的焦点坐标分别为（﹣1，0），（1，0），C2的左右顶点坐标为（﹣2，0），（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2相交于A，B，C，D四点，如图所示，试判断|AC|和|BD|的大小，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c1，长轴为2a1，短轴为2b1，设椭圆C2的焦距为2c2，长轴为2a2，短轴为2b2，利用已知条件，求出两个椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（Ⅱ）|AC|=|BD|，①当直线l的斜率不存在时，显然有|AC|=|BD|．②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），点C坐标为（x3，y3），点D坐标为（x4，y4），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理线段的中点是否相同．证明即可．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c1，长轴为2a1，短轴为2b1，设椭圆C2的焦距为2c2，长轴为2a2，短轴为2b2，依题意得，，解得：，，所以椭圆C1的标准方程为，所以椭圆C2的标准方程为．…．（Ⅱ）|AC|=|BD|．…．①当直线l的斜率不存在时，显然有|AC|=|BD|．…．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），点C坐标为（x3，y3），点D坐标为（x4，y4），将直线l的方程与椭圆C1方程联立可得，．…．（8分）消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，所以有，．…．（9分）将直线l的方程与椭圆C2方程联立可得，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以有，．…．（11分）所以有弦AD的中点与弦BC的中点重合，．…．（13分）所以有|AC|=|BD|．…．（14分）【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（13分）（2016秋•通州区期末）已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2，g （x ）=ax 2﹣4．（Ⅰ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若对任意的x ∈[0，+∞），都有f （x ）≥g （x ），求实数a 的取值范围； （Ⅲ）函数f （x ）的图象是否为中心对称图形，如果是，请写出对称中心；如果不是，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I ）由题意，利用函数极值的概及求解过程即可；（II ）由题意若对任意的x ∈[0，+∞）都有f （x ）≥g （x ），可以转化为构造新函数，求新函数在定义域下的最值．（Ⅲ）函数f （x ）的图象是中心对称图形，其对称中心是（1，﹣2）【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=3x 2﹣6x ，由f′（x ）=0，可得x=0或x=2f′（x ），f （x ）随x 变化情况如下表：所以，当x=0时，f （x ）有极大值0，当x=2时，f （x ）有极小值﹣4，（Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），则F （x ）=x 3﹣（3+a ）x 2+4，法一：F′（x ）=3x 2﹣2（3+a ）x ，由F′（x ）=0，可得①当，即a ≤﹣3时，F′（x ）≥0在[0，+∞）上恒成立， 所以，此时F （0）=4为最小值，所以F （x ）≥0恒成立，即f （x ）≥g （x ） ②当，即a ＞﹣3时，所以，当时，F（x）取得最小值，若要满足f（x）≥g（x），则由，得a≤0，所以﹣3＜a≤0，由①②可得a的取值范围是a≤0．法二：由f（x）≥g（x），得，令，由G′（x）=0，得x=2，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，当x＞2时，G′（x）＜0，所以，当x=2时，G（x）在[0，+∞）上取得最小值，即G（2）=0因为a≤G（x），以a≤0（Ⅲ）函数f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心是（1，﹣2）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键，属于中档题。