高中数学复习单元圆锥曲线
(完整版)高三圆锥曲线知识点总结
第八章 《圆锥曲线》专题复习一、椭圆方程.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的参数方程：2222+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则：证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则：⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 222b d a=；坐标：22(,),(,)b b c c a a -4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .1020,PF a ex PF a ex=+=-1020,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-2．双曲线的方程：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.3．双曲线的性质：①i. 焦点在x 轴上： 顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程ca x 2±= 渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-b y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=020102014． 等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by ax .6．共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x . 7．直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑶若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m 与n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证：ePF e PF d d 2121= =nm. ⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注意：⑴x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.⑵)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.⑶通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.⑷px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pty ptx ）（t 为参数）. ⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线 y 2=2px (p>0 )焦点的弦，A(x 1 ，y 1)、B (x 2 ,y 2 ) ,直线AB 的倾斜角为θ，则：① x 1x 2=24p ， y 1y 2=－p 2; ② |AB|=22sin p θ；③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900；⑤112||||FA FB P+=. 四、圆锥曲线的统一定义.1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.3. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为22x y m n+ =1（m>0，n>0且m ≠n ），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 mx 2+ny 2=1（mn ≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m>0，n>0且m ≠n ； 若方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。
圆锥曲线全复习
圆锥曲线复习（对高中生而言，再做一次就是一切）一.弦长1.已知抛物线y 2=2px(p>0)，过焦点的弦AB 倾斜角为θ，求证：|AB|=2p sin 2θ，并求|AF|，|BF|。
2.已知圆M ：（x+1）2+y 2=1,圆N ：（x-1）2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。
（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|3. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程.4. 设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.（Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.二：中点弦1.已知椭圆x 24+y 29=1，一组平行直线的斜率是32，求这组直线与椭圆相交时，弦中点的轨迹方程。
2.已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y 2=2px(p>0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P ，Q ，求证：线段PQ 的中点为(2-p,-p)并求p 的取值范围。
三：对称1.已知椭圆: x 24＋y 23＝1,试确定m 的取值范围,使得椭圆上的两个不同的点关于直线y=4x+m 对称2.已知椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1,F 2在x 轴上，离心率e=12。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结一、椭圆1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程 b y x a=±a y x b=±3、等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .4、共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x1、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．4、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；5、焦点弦：AB =21x x ++p四、圆1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422FE D -+。
高中数学圆锥曲线
数学圆锥曲线总结1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数，且此常数一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
一、圆锥曲线的基本概念
1、圆锥曲线：平面内以圆为母线的曲线，又称为圆锥线，是数学上的一类曲线。
2、离心率：圆锥曲线的离心率是有两个参数确定的：它们是焦距a和准线焦距c。
3、双曲线：双曲线是一类特殊的圆锥曲线，a>0, c>0时，它概括了圆锥曲线的一般情况，称为双曲线。
二、圆锥曲线的性质
1、改变离心率可以改变圆锥曲线的形状，当离心率大于1时，曲线呈双曲线，当离心率小于1时，曲线呈凹凸线；
2、圆锥曲线的焦点与顶点之间的距离是两个焦距的和，a+c；
3、圆锥曲线的切线方程的斜率是1/（a+c）；
4、圆锥曲线的半矢量的方向是以焦点为圆心，从焦距a出发的方向；
5、圆锥曲线的曲率半径是2a+c；
6、圆锥曲线的弧长是一定积分的表达式，是确定的；
7、圆锥曲线的曲线方程是确定的，但极坐标表示法有两种形式，要根据离心率来确定；
三、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线的应用着重于机械设计领域，如齿轮的设计和制造；
2、圆锥曲线的半径可以用于圆弧的求解和曲线的精度检验；
3、圆锥曲线的弧长可以用于求解同轴运动的轮毂的周长；
4、圆锥曲线的曲线方程可以用于二维图形的绘制；
5、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解曲面曲线的面积和表面积；
6、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解椭圆锥曲线的主曲线参数，以求解椭球面的曲线参数；
7、圆锥曲线的曲率半径可以用于求解圆的曲率半径参数；
8、圆锥曲线的切线可以用于求解圆弧的切线参数；
9、圆锥曲线的球面可以用于求解曲面的曲率方向；
10、圆锥曲线的曲线可以用于运动学分析和机器学习算法中的运动路径规划。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
高中圆锥曲线综合部分总复习
圆锥曲线与方程综合部分一、知识点梳理椭圆、双曲线：二、章节知识点回顾：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 5．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )6.c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 8．双曲线的几何性质：（1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线过双曲线12222=-by a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b y a x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 9．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 10．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 11．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-112．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--= 过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-= 当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--= 过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=13．双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 ab d 22=14 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 15．抛物线的准线方程：(1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2px -=(2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2py -=(3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：2px =(4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：2py =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 16．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 17抛物线的焦半径公式： 抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 18．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到 关于x 的二次方程02=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离 综上，得：联立⎩⎨⎧=+=px y b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点） 0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点 （相离） （2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=， （3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-= 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2= （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ （6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 椭圆习题： 选择题1．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,04．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 5．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．246．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 填空题：7．若椭圆221x my +=_______________. 8．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
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高中數學複習 單元：圓錐曲線主題：拋物線定義類題：1.一拋物線以V ( 1 , 1 )為頂點, F ( 2 , 3 )試求( 1 )準線方程式 解答：x ＋2 y ＋2＝0( 2 ) 拋物線方程式 解答：4 x 2－4 x y ＋y 2－2 4 x －3 8 y ＋6 1＝02.設一拋物線的準線為L ：x ＋y ＋4＝0 ,焦點在F ( 2 , 2 )求此拋物線的正焦弦長 解答：283.關於方程式22)2()1(10193-++=-+y x y x 所代表的錐線圖形為Γ ,下列敘述何者為真？( A ) Γ 為拋物線 ( B ) ( 1 ,－2 )為Γ的焦點 ( C ) 3 x ＋y －1 9＝0為Γ的漸近線 ( D ) x －3 y ＋7＝0為Γ的對稱軸 ( E ) ( 3 , 1 )為Γ的頂點 解答：A D 主題：標準式類題：1.一拋物線過點(－7 ,－6 ) ,準線L 與y 軸平行又與拋物線的交點為( 3 , 2 ) ,求此拋物線方程式？ 解答：( y －2 ) 2＝－8 ( x －1 ) , ( y －2 ) 2＝－3 2 ( x ＋5 )2.對稱軸平行於y 軸,又過( 0 , 1 ) , ( 2 ,－1 ) , ( 3 , 0 )的拋物線方程式？ 解答：137322+-=x x y類題：1.有一座拱橋,輪廓式一個拋物線,當水面離最高點2公尺時,水面寬4公尺,則當水面下降1公尺後,2水面寬為？解答：62.阿山家在一條東西向馬路北方D點處,為了不同的目的,他走到馬路的路線有三條：向南走a公尺到A點,繼續向南走a公尺到達馬路；向東走c公尺到C點,繼續向南走c公尺到達馬路；根據上述資料,下列選項何者為真？( A ) c＝2 a ( B ) a＜b＜c ( C ) b＝2a ( D ) A B C D四點共圓( E ) A B C 三點剛好在以D 點為焦點的拋物線上解答：A B3.探照燈的外殼式拋物線,繞它的對稱軸旋轉一周所成的曲面,已知燈口處是的直線4 8公分,燈的深度是3 6公分,則焦距是多少公分？解答：4公分4.設A ( 1 , 0 ) B ( b , 0 )為座標平面上兩點,其中b＞1 ,若拋物線y 2＝4 x上有一點P使得△ABP 為正三角形,則b＝？解答：5主題：極值類題：1.在第一象限中,拋物線y ＝4－x 2上距離原點最近的點為？最近距離為？ 解答：122.參數方程式x ＝t ＋2 , y ＝t 2－4 t 所表的曲線為( A )一個二次曲線 ( B )具有對稱中心 ( C )曲線有界( D )具有兩個對稱軸 ( E )只有一個對稱軸 解答：A E 3.拋物線y 2＝4 x 上之動點P ,直線L ：y ＝x ＋5 上之動點Q ,若P Q 距離最小求P , Q 座標 解答：P ( 1 , 2 ) Q (－1 , 4 )4.拋物線y ＝x 2＋3 x －1圖形上有相異兩點A 、B 對稱於直線x ＋y ＝0求AB 兩點距離？ 解答：5.已知過二拋物線y ＝－x 2＋a x ＋3 與 y ＝2 x 2－3 x ＋b 之兩交點直線方程式為x ＋3 y ＋1＝0 ,則數對( a , b )＝？ 解答：1 ,－7 6.有兩拋物線關於直線x ＋y ＝0成對稱,已知其中一個方程式為y ＝x 2－4 x ＋3 ,求另一個方程式 解答：x ＝－y 2－4 y －3 主題：橢圓定義式類題：1.下列哪些選項中的資訊當作已知條件時,可以在座標平面上求出橢圓方程式？(A)橢圓的四個頂點 (B)橢圓的兩個焦點坐標及橢圓上一點的座標 (C)橢圓的長短軸長度 (D)橢圓的兩焦點座標及長軸長度 (E)橢圓中心座標及長短軸長度的比值解答：ABD2.關於橢圓6Γ=,下列何者為眞？(A) (0,0)是Γ的中心 (B)(1,2)與(-1,-2)為Γ的焦點 (C)Γ的短軸長為4 (D)Γ對稱直線x=y (E)Γ對稱於(1,2)與(-1,-2)的連線解答：ABCE3.橢圓Γ的長軸兩端點為(5,-5) , (-1,3),兩焦點間的距離為8,則(1) 焦點座標 (2) 短軸頂點(3) 正焦弦長解答：(1)2221211(,),(,)5555-- (2)224214(,),(,)5555-- (3)1854.k=的圖形是一個橢圓則k的範圍為？解答：k＞105.設kΓ試分別求出k值使Γ為(1)橢圓 (2)線段(3)沒有圖形解答：(1)k＞5 (2)k=5 (3)k＜5主題：標準式1.橢圓兩焦點(4,0),(-4,0),一頂點(5,0),則此橢圓的方程式為？解答：221 259x y+=2. 以原點為中心,焦點在y軸上,(3,0)與(0,-5)是其中兩個頂點的橢圓方程式為？解答：221 925x y+=3. 以原點為中心,且長軸長度是短軸長度的3倍,又通過點(3,0)的橢圓方程式為？解答：22221,1 x y x y+=+=類題：試求滿足下列各條件的橢圓方程式(1)中心為(3,5),長軸平行x軸且長為12,短軸長為8 解答：22 (3)(5)1 3616x y--+=(2)長軸上的頂點為(0,1),(0,21),焦點為(0,2),(0,20) 解答：22(11)1 19100x y-+=(3)一焦點為(0,4),短軸在x=2上,長軸長為10 解答：22 (2)(4)1 2521x y--+=(4)長軸上的頂點為(1,2),(9,2),而短軸長為4 解答：22 (5)(2)1 164x y--+=(5)中心為原點,軸是座標軸,且過(2,3),(-1,4) 解答：22731 5555x y+=(6)長軸在x=1上,短軸在y+2=0上,長軸是短軸的2倍又圖形過原點解答：22 (1)(2)1 28x y-++=(7)設F1(4,2),F2(-2,2)為兩個定點,則滿足1210PF PF+=之P點軌跡方程式解答：22 (1)(2)1 x y--+=類題：1.長軸的頂點為(-8,0),短軸的頂點為(-4,3)之橢圓方程式為？解答：22 (4)1 169x y++=2.橢圓的頂點為(5,-1),(-5,-1),一焦點為(3,-1),則方程式為？解答：22(1)1 x y++=類題：1.與221510x y+=共焦點且短軸長為6之橢圓方程式為？解答：22194x y+=2.與221x y+=共焦點且正焦弦長為4的橢圓方程式為？解答：221x y+=類題：1.已知一橢圓的長軸平行x軸,中心為(1,2)且過點(4,6),試問下列哪些點一定會在橢圓上？(A)(-2,-2) (B)(-2,6) (C)(4,-2) (D)(5,6) (E)(3,4) 解答：ABC2.試求橢圓22(1)(3)1x y+-+=之二正焦弦四個頂點所圍成之矩形面積？解答：144類題：1.設方程式22142x y t t +=--,表長軸在y 軸上之橢圓,則t 的範圍為？ 解答：3＜t ＜4 2.若方程式2221327x y k k k +=-++表一長軸平行x 軸之橢圓,求k 的範圍？ 解答：-7＜k ＜-1 ,k ＞5 3.222,(3)6t R t x t y t t ∈+-=--(+2)若表一橢圓,求t 的範圍？ 解答：t ＞3類題：若橢圓Γ的兩焦點分別為F 1(-2,1),F 2(6,1),弦AB 過F 1,已知△ABF 2的周長為20,則橢圓的方程式為？ 解答：22(2)(1)1259x y --+= 主題：極值類題：橢圓⎧⎨⎩x =1+2cos θ(0≤θ≤2π)y =-2+3si n θ試求(1)正焦弦為？ 解答：83(2) 內接長方形的最大面積 解答：12 (3) 內接正方形面積 解答：14413類題：1.設x,y 皆為實數,且22(x-4)(y-2)+=1,49則2x ＋y 的最大值為？ 解答：15 2.已知橢圓22Γ:4x +9y =36,則(1)設A(2,-4) ,B(4,0),若P 為橢圓上任一點,則△PAB 的面積最小值為？最大值為？解答：小：8-大: (2)設直線L:x+2y+10=0,則Γ上之點到直線L 距離最近之點為？最近距離？解答：98(-,-)55 則Γ上之點到直線L距離最遠之點為？最遠距離？ 解答：98(,)553.橢圓22x y +=1,上任一點到直線x-y-4=0的最大距離為M,最小距離為m,則M-m=？類題：1.設橢圓2222x y +=1(a >0,b >0),a b與座標軸正向交點為A,B;P 為第一象限內橢圓上的一點,O 為原點(1)試求四邊形PBOA 的最大面積？ (2)當四邊形PBOA 的面積為最大時,P 點的座標為？ 解答：P 2.設(p,0)為橢圓22x y +=141的長軸上一定點,且30<p <,2若點(a,b)為橢圓上距離(p,0)最近之點,則a=? (以p表示) 解答4p 3主題：雙曲線定義主題：標準式類題：試依下列各條件,求雙曲線方程式(1)共軛軸在y=1上,焦點為(3,6),且過(3,5). 解答：22 (x-3)(y-1)-+=1 916(2)雙曲線中心在原點,貫軸在x軸上,過此雙曲線的一頂點至兩個焦點的距離分別為9與1.解答：22x y-=1 169(3)兩頂點分別為(5,3),(13,3),一焦點(15,3) 解答：22 (x-9)(y-3)-=1 1620類題：1.過22x3yP,與橢圓+=144共頂點,且貫軸與長軸一致的雙曲線方程式為？解答：22x y-=1422.中心(2,-1),貫軸平行y軸,貫軸長為6,貫軸與漸近線夾角600的雙曲線方程式為？解答：22 (x-2)(y+1)-+=1 2793.若橢圓22222x y x y+=1與雙曲線-=1共焦點,則k的值為？解答：-9類題：1.設雙曲線的漸近線為 3y=x4,則(1)若雙曲線的焦點為(5,0),求方程式解答：22x y-=1169(2)若雙曲線過(1,1),求方程式解答：9x2-16y2=-72.兩焦點為(-5,2),(1,2),且過點(1,-6)的雙曲線方程式為？解答：22 (x+2)(y-2)-=1 183.兩漸近線x+2y-5=0,x-2y+3=0,一焦點為(1,7) 解答：22 (x-1)(y-2)-+=1類題：1.設方程式222x y +=125-k k -3則(1)若表橢圓,則k 的範圍為？ 解答：3<k <5,k (2)若表一雙曲線,則k 的範圍為？ 解答：-5<k<3或k>52.設k 為一實數,若方程式y 2-2ky-kx 2-4x+6=0的圖形為貫軸與x 軸平行的雙曲線,則k 的範圍為？解答：0<k 主題：漸近線的性質類題：已知雙曲線G 的漸近線為3x-2y+1=0及3x+2y-7=0,又知G 的共軛雙曲線通過點(3,0),則G 方程式為？ 解答：9x 2-4y 2-18x+16y+13=0類題：設有一等軸雙曲線之中心為(0,-1),又經過(2,-1),已知其一漸近線方程式為x-2y-2=0,則 (1)另一漸近線方程式 解答：2x+y+1=0(2)此雙曲線方程式 解答：(x-2y-2)(2x+y+1)=8類題：兩焦點為(2,-4),(2,6),貫軸長為6隻雙曲線上任一點到兩漸近線的距離乘積為？解答：144 25主題：共軛雙曲線類題：1.x2-4y2+12x+16y+16=0與x2-4y2+12x+16y+k=0互為共軛雙曲線求k？解答：242.一雙曲線的兩焦點分別為(3,2),(-1,4)求其共軛雙曲線的兩焦點？解答：(2,5)(0,1) 主題：軌跡主題：圓錐曲線與直線類題：1.若直線L:x-my=4與橢圓22:4816280x y x y Γ+--+=有交點,求m 的範圍？解答：m ≤≤2.若直線y=kx-1與雙曲線x 2-2y 2-2x-6=0相交於兩點,求實數k 的範圍？<k類題：若m ＜0 ,且直線y ＝m x ＋1 與拋物線y 2＝4 x 截得一弦,弦長為8 ,則m ＝？ 解答：－1類題：1.橢圓22436,x y +=的所有弦中以點(2,1)為中點的弦方程式為？又弦長為？解答：x ＋2y －4＝ 2.雙曲線3x 2-4y 2=12上一弦之中點為(-1,2),求此弦所在直線方程式？ 解答：3x+8y-13=0 主題：切線類題：1.求平行於x+2y+5=0且與x 2-y 2-4x+6y+7=0相切之切線方程式 解答：x+2y-2=0,x+2y-14=02.試求與x+2y+4=0垂直且與7x 2-4y 2-14x-21=0相切之切線方程式 解答：2x-y+1=0,2x-y-5=0類題：求拋物線y ＝4 x －x 2在點( 3 , 3 )的切線與兩座標軸所為成三角形面積？ 解答：8141. 試求過點(0,4)與橢圓22x y +=149相切的直線斜率？解答：2.試求過點(3,-2)與雙曲線3x 2-2y 2-2x+4y-5=0相切的直線方程式 解答：4x+3y-6=03.試求過點(2,1)與雙曲線x 2-y 2=4相切的直線方程式 解答：5x-4y-6=0,x=2 主題：圓錐曲線之光學性質類題：有一道光線經過一點A(-1,4)沿著水平方向前進遇到拋物線y 2=4x 上一點P,經反射後通過一點B,但已知5,=P B 則B 點的座標為？ 解答：(7,8)類題：橢圓x 2+4y 2=4兩焦點為F 1,F 2,設P(a,b),a>0,為曲線上一點,且使∠F 1OF 2之角平分線斜率為12- 求過P 的切線 解答：類題：1.如右圖,F 1,F 2為橢圓Γ的兩焦點,直線L 切Γ於P 點, 且∠F 1PF 2=600,設F 1,F 2對L 的投影點分別為A,B 且12A B=8,求PF +PF =? 解答：162.設P 為橢圓22x y +=1259上之一點,且過P 切現為L, F 1,F 2各作L 的垂線,其垂足各為A,B,若∠F 1PF 2=θ,且si n θ=3,則梯形F 1BAF 2的面積為?解答：253主題：雙曲線的光學性質。