初二数学分式复习
八年级数学分式知识点
八年级数学分式知识点八年级数学分式知识点概述一、分式的定义分式（Fraction）是指一个表达式，其中包含一个分子（Numerator）和一个分母（Denominator），形式为 a/b，其中 a 是分子，b 是分母，b 不等于零。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以一个非零的数或式子，分式的值不变。
2. 约分：通过找出分子和分母的公因数并约去，使分式化为最简分式。
3. 通分：将两个或多个分式，使其具有相同的分母，这样的操作称为通分。
三、分式的运算1. 分式的加减法：- 同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 分式的乘法：- 分子乘分子，分母乘分母。
3. 分式的除法：- 除以一个分式等于乘以它的倒数。
4. 分式的混合运算：- 先乘方，再乘除，最后加减。
- 遇到括号，先计算括号内的运算。
四、分式的条件应用1. 分式方程：- 解分式方程时，通常需要去分母转化为整式方程求解。
2. 分式不等式：- 解分式不等式时，需要注意不等号的性质，通常也需要去分母处理。
3. 分式函数：- 分式可以作为函数的表达式，如 y = f(x) = (ax + b) / (cx + d)，其中 a, b, c, d 为常数，且cx + d ≠ 0。
五、分式的化简与求值1. 化简：- 通过约分和通分，将复杂的分式化为最简形式。
2. 求值：- 在已知分式中某些字母的值的情况下，可以通过代入法求出分式的数值。
六、分式的实际应用1. 比例问题：- 分式常用于解决比例问题，如速度、时间和距离的关系。
2. 利率问题：- 分式在计算利息、本金和本息和等问题中有广泛应用。
七、分式的图形表示1. 函数图像：- 分式函数的图像可以通过描点法绘制，注意分母不能为零的点。
2. 几何应用：- 分式在计算几何图形的面积、周长等方面也有应用。
八、分式的综合练习1. 练习题：- 通过解决各种分式相关的数学问题，加深对分式知识点的理解和应用。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。
例如，式子 1/x 就是一个分式，其中 x 是分母；而 2 就不是分式，因为它没有分母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
例如，对于分式 3/（x 1)，要使其有意义，分母 x 1 不能等于 0，即 x 不能等于 1。
三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。
比如，对于分式（x ＋ 2)／（x 3)，当分子 x ＋ 2 ＝ 0 时，x ＝－2，此时分母 x 3 ＝－2 3 ＝－5 ≠ 0，所以当 x ＝－2 时，该分式的值为零。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于零的整式）例如，分式 2/3 的分子和分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母的指数取最低次幂。
例如，对于分式 6x²y/8xy²，分子和分母的公因式是 2xy，约分后得到 3x/4y。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。
例如，分式 1/2x 和 1/3y 的最简公分母是 6xy，通分后分别为 3y/6xy 和 2x/6xy 。
七、分式的乘除法分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、基本概念分式是指两个整数之间用分数线表示的表达式，其中分数线上方的整数称为分子，下方的整数称为分母。
分子和分母可以是正整数、负整数或零。
二、分数的分类1. 真分数：分子小于分母的分数，如1/2、3/4。
2. 假分数：分子大于等于分母的分数，如7/4、11/3。
3. 带分数：由整数部分和真分数部分组成的复合分数，如2 1/2、33/4。
三、分数的基本运算1. 分数的加法：分母相同时，分子相加；分母不同时，通分后分子相加。
2. 分数的减法：分母相同时，分子相减；分母不同时，通分后分子相减。
3. 分数的乘法：分子相乘，分母相乘。
4. 分数的除法：将除法转化为乘法，即将除数取倒数后与被除数相乘。
5. 分数的约分：将分子和分母的公约数除去，使分数达到最简形式。
6. 分数的比较：分数大小的比较依据是分子和分母的大小关系。
四、分式的应用1. 长度比较：如果表示相同长度的量，分母较大的分数表示的长度较小。
2. 面积比较：如果表示相同形状的图形面积，分母较大的分数表示的面积较小。
3. 比例求解：对于一个比例关系，可以使用分数来表示两个量之间的关系。
4. 混合运算：在实际的数学题中，分式常常与整数、小数一起进行混合运算。
五、常用的分数的表示法1. 百分数：百分数是分数的一种表示形式，以分母为100。
2. 小数：小数是另一种分数的表示形式，可以将分数化为小数进行计算。
六、常见的分数问题1. 分数的相加减问题：根据题意确定分数的运算方式，并进行对应的计算。
2. 分数的乘法除法问题：将乘法转化为分数的相乘运算，将除法转化为分数的相除运算。
3. 分数的约分问题：找到分子与分母的公约数，并进行约分化简。
4. 比较分数大小问题：比较分子与分母的大小关系来确定分数的大小。
七、常见的解分数问题的方法解决分数问题可以通过下面的方法来进行：1. 手算：将分数转化为小数进行计算，或者使用分数与整数的运算规则进行计算。
八年级数学分式单元复习与巩固(基础知识点以及重难点)
八年级数学分式单元复习与巩固（基础知识点以及重难点）1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．1.分式的基本性质；2.分式的四则运算；3.分式方程的解法．1. 分式的四则混合运算；2. 根据实际问题列出分式方程．1.用心爱心专心设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.3.（M为不等于零的整式）.1.分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:；2..3.4.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．5.根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；用心爱心专心(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．6.(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．7.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．8.先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3.(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．用心爱心专心(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.(1)审——仔细审题，找出等量关系;(2)设——合理设未知数;(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程;(5)验——检验增根；(6)答——答题．用心爱心专心。
初二数学八年级下分式复习
数学八年级下《分式》复习一、知识回顾1、分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
2、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于．．．．．．0．的整式．．．，分式的值不变。
用式子表示就是A B ＝A ×MB ×M ，A B ＝A ÷MB ÷M (其中M ≠0)。
3、分式的加减：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先__________，再加减。
4、分式的乘除：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
二、知识学习（一）选择题1.下列各式：x 2、22+x 、x xyx -、33y x +、23+πx 、5.0432-x 中，分式有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个2.如果分式212-+-x x x 的值为0，那么x 的值是( )A .±1B .1C .-2D .-13. 当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是 ( )A .21x x -B .112-+x xC .112+-x xD .21+-x x4.要使xy yx +有意义，则下列说法中正确的是 ( )A .x 、y 全不为零B .0=x 或0=yC .x 、y 不全为零D . x 、y 全为零5、a ，b ，c 均不为0，若则P （ab ，bc ）不可能在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6、如果把分式中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．不变B ．缩小3倍C ．扩大6倍D ．扩大3倍7、下列结论正确的是（ ）8、9、10、11、12、A ．1B ．2C ．3D ．4 （二）解答题1、已知y=x321x --，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义2xy x +y2、3、x 为何整数时，分式的值为整数4、已知962+-a a 与1-b 互为相反数，则式子()b a a b b a +÷⎪⎭⎫⎝⎛-的值为多少？5、计算（1）a a 31+ ； （2）13212+--+-a a a a ；（3）252x x -； （4）1111+---+a a a a ；（5）421422---x x （6）44212-+-a a ；3x −5 x −1（7）.112---a a a （8）ba b b a ++-22（9） b a a 2284-.6312-a ab （10）（c b a 4+）2（11）x y 62÷231x （12）2244196aa a a +++-÷12412+-a a6、先化简再求值5,3,2)(2222==-⋅+-÷-y x x y x xy y xy x x xy 其中12,22,24422222-=-=-++-÷+-y x yxy x y x y x y x 其中7、课后习题1.在x 3-、y x 、22732xy y x -、x 81-、y +53、5y x -、πy x +3中，是整式的有___________________________，是分式的有_______________________；2.当x________时，分式122+-x x 的值为负；当x= 时，分式112--x x 的值是0。
八年级分式知识点总结及复习
八年级 分式知识点总结及复习知识点一：分式的定义般地；如果 A ; B 表示两个整数；并且AB 中含有字母；那么式子 一叫做分式;B知识点二：与分式有关的条件① 分式有意义：分母不为 0 （ B = 0） ② 分式无意义：分母为 0 （ B = 0） ③分式值为0:分子为0且分母不为0贵0.5元；设乙种糖果每千克 x 元；因此；甲种糖果每千克 ______________ 元；总价9元的甲种糖果的质量为 _________ 千克. 4、 当a 是任何有理数时；下列式子中一定有意义的是（）a 1 a 1 a 1 a 1 A.B. 2~C. 2D. 2aaa+1 a -15、 当x =1时；分式① -—1 .② x 一1 .③ :一1 .④二！ 中；有意义的是（）x —1 2x —2 x -1x 3+1A 为分子；B 为分母。
④分式值为正或大于 0:分子分母同号A ：：0⑤分式值为负或小于 0:分子分母异号A ：：0⑥ 分式值为1:分子分母值相等（A=B ⑦ 分式值为-1 :分子分母值互为相反数（ 经典例题 A+B=0 )1、 代数式2、4 -丄是(x 1(x y)； 3）A.单项式 B.多项式C.分式空y 中；分式的个数为（4A.13、 D.整式总价9元的甲种糖果和总价是 9元的乙种糖果混合；混合后所得的糖果每千克比甲种B.2C.3D.4糖果便宜1元；比乙种糖果A.①③④B.③④a+16、 当a - -1时；分式-—（）A.等于0a -18x 437、 使分式 ------ 的值为0 .则x 等于（）A.-8x -38x 2 T& 若分式 二 ------ 的值为0；贝V x 的值是（）x +x -2x 亠19、当x _________ 时；分式的值为正数.x Tx 亠1C.②④D.④B.等于1C.等于—1D.无意义181B.-C. -D.—232A.1 或一1B.1C. —1D. —2x +110、当x ________ 时；分式 ----- 的值为负数X_1有意义的条件是()A. X = 0 B. X 孟-1且X = 0 C. X -2且X = 0 D. X 孟-1且X 謚-214、下列命题中；正确的有（知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 o 的整式；分式的值不变。
初中八年级的分式学习知识点总结计划及总结复习
分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式， A 为分子， B 为分母。
B知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为 0〔 B0〕②分式无意义：分母为 0〔 B0 〕③分式值为 0：分子为0 且分母不为 0〔A 0B 〕0 ④分式值为正或大于0：分子分母同号〔A 0 A 0 〕B 0 或B⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔A 0 A 0 〕B或B⑥分式值为 1：分子分母值相等〔 A=B 〕⑦分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数〔 A+B=0〕经典例题1、代数式 41 〕 A. 单项式B.多项式C.分式D.整式是〔x2、在 2， 1( x y) ，3，a 5 ， 2xy中，分式的个数为〔〕x 3x43、总价 9 元的甲种糖果和总价是 9 元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果廉价 1 元，比乙种糖果贵 0.5 元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9 元的甲种糖果的质量为千克 .4、当 a 是任何有理数时，以下式子中一定有意义的是〔〕a 1B.a 1C.a 1 D.a1 A.aa 2a21a 215、当 x1 时，分式① x 1 ，②x1，③ x 1，④1 中，有意义的是〔〕 A. ①③④ B.x 12x 2C. x 2 1x 3 1 D.③④②④ ④6、当 a1 时，分式a1 〔〕 A. 等于 0B.等于 1a 2 17、使分式8x4的值为 0，那么 x 等于〔〕 A. 3B.8x 388、假设分式x 2 1 的值为 0，那么 x 的值是〔〕或－ 1x2x 2C.等于－ 1D. 无意义18 D.1 2C.23C.－1 D.－ 29、当 x时，分式x1的值为正数 .10、当 x时，分式x1的值为负数 .x 1x 111、当 x时，分式x 1的值为 1.3x212、分式1有意义的条件是〔 〕 A. x0 B.x1 且 x0 C. x2 且 x 0D.x1 且 x 21 11 x13、如果分式x 3〕 A. xB.x3 C.x 0 且 x 3D.x3x的值为 1，那么 x 的值为〔314、以下命题中，正确的有〔 〕① A 、 B 为两个整式，那么式子A叫分式；② m 为任何实数时，分式m 1有意义；Bm 3③分式 1 有意义的条件是x 4 ；④整式和分式统称为有理数. w ww.x kb1.2 16xA.1 个B .2 个个个15、在分式 x 2ax 中 a 为常数，当 x 为何值时，该分式有意义？当 x 为何值时，该分式的值为 0？x 2x 2知识点三：分式的根本性质分式的分子和分母同乘〔或除以〕一个不等于0 的整式，分式的值不变。
八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析
八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。
例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。
2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。
例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。
3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。
注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。
例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。
4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。
例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。
没有明显问题的段落，无需删除或改写。
1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。
3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。
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1．下列各式正确的是（ ）
A ．11++=++b a x b x
a B ．22x y x y = C ．()0,≠=a ma na
m n D ．a m a
n m n --=
2.计算
（1）22224421y xy x y x y x y
x ++-÷+-- (2 )4222a a a a ⎛⎫⎛⎫
+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．
3．解下列分式方程． (1)21331
12
133119x
x x x x -++=+-- （2）1
1
322x x x -+=---
4．分式39
2--x x 当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式x x
2121-+有意义．
5．若把分式xy y
x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A ．扩大3倍
B ．不变
C ．缩小3倍
D ．缩小6倍
板块一 分式运算
板块二分式方程
1、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
3.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为
4．某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？
5．某一工程队，在工程招标时，接到甲、乙工程队的投标书；每施工一天，•需付甲工程队工程款1．5万元，付乙工程队工程款1．1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案．
（1）甲队单独完成此项工程刚好如期完工；
（2）乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工．
你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
要知道的题目类型及它们的解法
1.已知0543≠==c b a ，求分式c b a c
b a ++-+323的值。
2.已知23=-+b a b a ,求分式ab b a 2
2-
的值
3.已知221
,41
x x x x +=+求的值。
4.已知31=+x x ，求1242
++x x x 的值。
5.已知0152=+-x x ，求221
x x +的值。
6.已知25350x x --=，则221
52525x x x x ----＝__________．
板块三 条件分式
7.若7=+b a ，12=ab ，则ab b a 2
2+＝ 。
【变式：a b b a
+的值等于（ ）】
8.若b a a b -=-111，则b a
a b
+＝ 。
9.已知113x y -=，则代数式21422x xy y
x xy y ----的值为
10．若关于x 的方程22
1
933m
x x x +=-+-有增根，则增根可能是________．
11.若关于x 的方程x x x k
--=+-34
23有增根，则k 的值为 。
12．若2221
2121x x A
x x x ++=+--，则A 为（ ）
A ．x 2-2x-1
B ．3x-1
C ．3x+1
D ．x 2+2x-1
13. 已知x B
x A
x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ）
A 、－2
B 、2
C 、－4
D 、4
14.已知关于x 的方程322=-+x m
x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________．
15．若关于x 的方程22
1
933m x x x +=-+-有增根，则增根可能是________．
16.若关于x 的分式方程3
11x a
x x --=-无解，则a = ．。