函数单调性的教学设计

函数单调性的教学设计（供第三次讨论稿）一．内容和内容解析函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一不变的特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数的整体性质，即函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强数与形的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步加以解析研究，数学刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．二．目标和目标解析本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数的单调性定义证明函数在区间上具有某种单调性的方法（步骤）。

1．要求能够以具体的例子说明函数在某区间上具有某种单调性；2．能够举例说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；3．对于一个具体的函数，能够按照单调性的定义，证明它的单调性：在区间上任意取x1，x2，x1＜x2，作差f（x2）－f（x1），然后判断这个差的符号，从而证明函数在该区间上具有单调性。

三．教学问题诊断分析学生已有的知识结构是，初中已经学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应。

学生还了解函数的三种表示方法，特别是可以借助图像直观对函数性质加以考察。

此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图像及性质。

尤其值得注意的是，学生有利用函数图像进行两个数大小比较的经验。

这些都是在函数单调性教学时值得关注的，是建立函数的单调性的生长点。

学生学习的困难在于，难以把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，难以用数学的符号语言描述函数单调性的特征。

即由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言到“由（区间上）任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”（单调增）数学符号语言的转换．其中最难理解的是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1＜x2刻画。

当然，应该注意到，企图在一节课中就实现学生对函数单调性的真正理解也是不现实的。

在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念。

教学重点是通过一系列具体问题的研究，经过归纳、抽象、概括，逐步由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言转换成“由（区间上）任意的x1＜x2到f（x1）＜f （x2）”（单调增）数学符号语言．单调减的数学刻画将会迎刃而解。

教学中，教师要找出建立概念的关键之处，明确学生建立这个概念到底难在哪里．其次是采取适当的方法，注意启发引导，不以自己的想法代替学生的想法，把单调性的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动。

不要使学生仅记住意义，模仿练习．不要简化概念发生过程的教学，把重心放在具体函数单调性证明的训练上，放在作差后如何证明f（x2）－f（x1）＞0的技巧训练上．概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流。

四．学习行为分析要使得学生理解函数单调性的概念，具体可以进行如下的操作。

1．可以先让学生观察图像，由图像的升降，所对应的函数值的变化，得到图像上升相应的是“随着x的增大，对应函数值y也增大”；图像下降相应的是“随着x的增大，对应函数值y减小”。

从图像直观的形象刻画转化为数值之间的关系，加强数与形结合的意识。

2．函数图像的“升”与“降”是两种不同的性质特征，需要分类研究。

明确首先研究函数图像上升的情况，即先研究“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一特征。

渗透重要思想。

分类思想是一种重要的数学思想，分类讨论是常用的讨论问题的方法。

也体现了先解剖一个麻雀，重点研究函数单调增的情况，这样函数单调减就迎刃而解了。

3．要刻画“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一现象，能否在该区间上取两个固定的值x1，x2，如果“当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，从而得到在该区间上总有f（x1）＜f（x2）？可以让学生举反例加以说明。

培养举反例的能力。

4．要刻画“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一现象，能否在该区间上取两个值x1，x2，其中x1是区间左端点，x2可以在区间内任意取值，如果“当x1＜x2时有f（x1）＜f（x2）”，能否得到在该区间上总有f（x1）＜f（x2）？仍然让学生举反例加以说明。

5．在区间（a，b）上，存在无数个数值，x1＜x2＜x3＜x4＜……＜x n…，有f（x1）＜f （x2）＜f（x3）＜f（x4）＜……＜f（x n）＜…，能否得到在区间（a，b）上函数具有“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一特征。

这是具有一定挑战性的问题，需要学生作出认真思考。

6．在区间（a，b）上怎样取值，使得“当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”成立，就能够得到函数在区间（a，b）上，随着x的增大，对应函数值y也增大呢？引导学生得到：允许在区间（a，b）上任意取值x1，x2时，“当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”就可以得到函数单调性的特征。

从而产生函数单调性的定义。

五．教学支持条件分析为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图像，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数值的变化。

获得函数单调增、减的直观感受。

六．教学过程设计1．课题引入设计引导学生感受研究函数单调性的必要性。

前面已经学习过函数的概念、函数的表示法，紧接着对函数要研究些什么？引导学生认识到，应该认识函数的各种特征。

这样，通过研究描述客观世界变化规律的这一数学模型，可以把握现实问题的变化规律。

对于运动变化问题，最基本的就是要描述变化的快或慢、增或减……相应的，函数的重要特征就包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，等等。

从研究问题的方法上说，一般来说，建立一个数学概念之后应该揭示它的特征，研究它的性质．让学生感受到，紧接着关注函数的性质是必然的学习任务．另一方面，还可以由教师引导，借助对一些函数图象的直观观察、对所观察到的特征的归类，引入函数的某类性质的研究．比如，观察下图中各个函数的图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征吗？图1还可以引导学生观察比较多的函数的图象，并进行一些归类．说说你为什么把这些函数归为一类。

比如都单调增的归成一类；图象都关于y 轴对称（偶函数）的归为一类，等等，更好地体现“事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质”．这样就形成了课题提出的契机，使得当前来讨论函数的一些性质成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动．研究哪些性质？先研究什么性质？我们先研究函数的某一种特征，如函数增减变化的特征．总之，作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易共鸣的问题．另一种就是，由具体事例引入．创设问题情景：图2表示的是某地24小时温度变化的情况．你能说说温度变化特点吗？可能的回答是，在夜里的0点到2点，温度越来越低，夜里2点到白天的下午2点，温度不断升高，下午2点到夜里又不断下降．引出“函数值y 随着自变量x 的值增大而增大以及随着自变量x 的值增大而见效”等一话题．当然由学生自己发现并提出学习的课题更好．这可以视学生的具体情况确定． 图2数学教学中，应该注意，力求教会学生自己提出问题，并找到研究问题的方法，学会研究问题．2．问题链设计问题设计的目的大体从三个层次上展开。

首先观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y 随x 的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。

问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。

问题1 列表描点，画函数f （x ）＝x 2的图像。

意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。

这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。

问题2 利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。

从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间]0,(-∞上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间),0(+∞上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。

意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。

借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。

图3 问题3 当x从小到大变化时，y的值如何变化？意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。

而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小。

学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。

问题4 比较下列各数的大小。

22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。

就x在（0，+∞）从小到大取值时，具体讨论函数值的大小变化。

这不难得到22＜32＜42＜（4.5）2＜（5.1）2＜（6.3）2。

显然有：当0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6时，有0＜x21＜x22＜x23＜x24＜x25＜x26时，即0＜y1＜y2＜y3＜y4＜y5＜y6。

意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。

问题5 对于函数一个函数f（x），如果－1＜2时，有f（－1）＜f（2），能否说函数f （x）在区间（－1，2）上递增呢？问题6 函数f（x），对于（0，∞）上的无数个自变量的值x1，x2，x3，…，当0＜x1＜x2＜x3＜…时，有0＜y1＜y2＜y3＜…，能否说函数f（x）在（0，∞）上递增呢？请画图说明。

意图：这两个问题的目的是，逐步由“静态”、“有限”向“动态”、“无限”过渡。