2014年自主招生数学模拟试题(卓越联盟)参考答案
2014桌越联盟预测试卷3
2014年Y.P.M 自主招生预测试卷 第三卷 1(总9)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第三试卷)姓名 成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.己知M={(x,y)|x 2+2y 2=4},N={(x,y)|y=mx+b},若对于所有m ∈R,均有M ∩N ≠∅,则b 的取值范围是( ) (A)(-2,2) (B)[-2,2] (C)(-2,2) (D)[-2,2]2.设O 点在三角形ABC 内部,且有OA +2OB +3OC =0,则△ABC 的面积与△A0C 的面积的比为( ) (A)2 (B)23 (C)3 (D)353.设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+w w 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确4.已知△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,D,E 分别是BC,AB 上的点,并满足AD,CE 均平分△ABC 的周长,P,Q 分别是D,E 关于L,N 的对称点,PQ 与LM 交于点F,若AB>AC,则AF 一定过△ABC( )(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.若实数x,α,β满足x=log 3tan α=-log 3tan β,且α-β=6π则x 的值是 .6.设x ≠y,且两数列x,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x,b 2,b 3,y,b 4,均为等差数列,那么1234a a b b --=______.7.已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 .8.已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上,则点O 到平面ABC 的距离为 .2(总10) 第三卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)在△ABC 中,已知AB=2,AC=1,且cos2A+2sin 22C B +=1. (Ⅰ)求角A 的大小和边BC 的长;(Ⅱ)若点P 在△ABC 内运动(含边界),且点P 到三边距离之和为d.设点P 到边BC,CA 的距离为分别为x,y.试用x,y 表示d,并求d 的取值范围.10.(本题13分)设0<x<2π,证明: (Ⅰ)x x sin 3>4-cosx; (Ⅱ)x x cos 1cos 2+<xx sin ;11.(本题15分)设双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,若△PF 1F 2的顶点P 在第一象限的双曲线上移动,求△PF 1F 2的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边PF 2上的切点轨迹.12.(本题15分)对任意正整数n,设a n 是关于x 的方程x n +nx-1=0的实数根.(Ⅰ)求证:0<a n+1<a n <1;(Ⅱ)求证:a 12+a 22+a 32+…+a n 2<1.2014年Y.P.M 自主招生预测试卷 第三卷 3(总11)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第三试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.己知M={(x,y)|x 2+2y 2=4},N={(x,y)|y=mx+b},若对于所有m ∈R,均有M ∩N ≠∅,则b 的取值范围是( ) (A)(-2,2) (B)[-2,2] (C)(-2,2) (D)[-2,2] 解:对于所有m ∈R,直线ty=mx+b 恒过定点(0,b),所以,M ∩N ≠∅⇔点(0,b)不在椭圆x 2+2y 2=4外⇔02+2b 2≤4⇔b ∈[-2,2].选(D).2.设O 点在三角形ABC 内部,且有OA +2OB +3OC =0,则△ABC 的面积与△A0C 的面积的比为( ) (A)2 (B)23 (C)3 (D)35 解:OA +2OB +3OC =0⇔31OA +32OB =-OC ,令OD =31OA +32OB ,则点D 在AB 上,且AD =32AB ,O 是CD 的中点⇒S △A0C =21S △ACD =21×32S △ABC =31S △ABC .选(C). 3.设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+w w 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( ) (A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 解:z -λz=w ⇒z-λz =w ⇒z-λ(λz+w)=w ⇒(1-λλ)z=λw+w ⇒z=2||1λλ-+w w .故选(A). 4.已知△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,D,E 分别是BC,AB 上的点,并满足AD,CE 均平分△ABC 的周长,P,Q 分别是D,E 关于L,N 的对称点,PQ 与LM 交于点F,若AB>AC,则AF 一定过△ABC( )(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心解:设△ABC 的三边长及半周长分别为a,b,c,p,则BQ=AE=p-b,BP=CD=p-b ⇒BQ=BP,因为LM 平行于AB,所以LF=LP=BP-BL= p-b-2a =2b c -⇒FM=LM-LF=2b =AM ⇒∠MAF=∠AFM=∠FAB,所以AF 是∠A 的角平分线.选(A). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.若实数x,α,β满足x=log 3tan α=-log 3tan β,且α-β=6π则x 的值是 . 解:由log 3tan α=-log 3tan β⇒tan αtan β=1,由α-β=6π⇒tan α-tan β=332⇒tan α=3⇒x=21. 6.设x ≠y,且两数列x,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x,b 2,b 3,y,b 4,均为等差数列,那么1234a a b b --=______. 解:2312--a a =15--x y ⇒a 2-a 1=41(y-x);4634--b b =25--x y ⇒b 4-b 3=32(y-x)⇒1234a ab b --=38. 7.已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 . 解:4=(a 1+a 2+…+a n )(11a +21a +…+n a 1)≥n 2⇒n=1,2,当n=1时,a 1=1,11a =4不成立;当n=2时,a 1+a 2=1,11a +21a =4⇒a 1a 2=41 ⇒a 1+a 2=212a a ⇒a 1=a 2=21⇒a 1a 2=41; 8.已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个4(总12) 第三卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷 球面上,则点O 到平面ABC 的距离为 .解:由SA=SB=SC=2⇒点O 到平面ABC 的距离为33. 三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)在△ABC 中,已知AB=2,AC=1,且cos2A+2sin 22C B +=1. (Ⅰ)求角A 的大小和边BC 的长; (Ⅱ)若点P 在△ABC 内运动(含边界),且点P 到三边距离之和为d.设点P 到边BC,CA 的距离为分别为x,y.试用x,y 表示d,并求d 的取值范围.解析:(Ⅰ)cos2A+2sin 22C B +=1⇔cos2A+2cos 22A -1=0⇔2cos 2A+cosA-1=0⇔cosA=21⇔A=3π;a 2=b 2+c 2-bc=3⇒a=3; (Ⅱ)由S △ABC =21[2(d-x-y)+3x+y]=43×1×2⇒2(d-x-y)+3x+y=3⇒d=21[3+(2-3)x+y];d ≥23(x=y=0);d ≤最小边AC 上的高=3.10.(本题13分)设0<x<2π,证明:(Ⅰ)x x sin 3>4-cosx;(Ⅱ)x x cos 1cos 2+<x x sin ; 解:(Ⅰ)因x x sin 3>4-cosx ⇔3x>4sinx-21sin2x;令f(x)=3x-4sinx+21sin2x(0<x<2π),则f '(x)=3-4cosx+cos2x=2(1- cosx)2>0⇒f(x)在(0,2π)上单调递增⇒f(x)>f(0)=0⇒3x>4sinx-21sin2x; (Ⅱ)因x x cos 1cos 2+<x x sin ⇔tanx+sinx>2x;当0<x<2π时,0<cosx<1⇒cosx>cos 2x;令g(x)=tanx+sinx-2x(0<x<2π),则g '(x)=x 2cos 1+cosx-2>x2cos 1+cos 2x-2>2-2=0⇒g(x)在(0,2π)上单调递增⇒g(x)>g(0)=0⇒tanx+sinx>2x. 11.(本题15分)设双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,若△PF 1F 2的顶点P 在第一象限的双曲线上移动,求△PF 1F 2的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边PF 2上的切点轨迹.解:记双曲线在x 轴上的两顶点为A(1,0),B(-1,0),G 为△PF 1F 2的内切圆在边F 1F 2上的切点,H 为△PF 1F 2的内切圆在边PF 2上的切点,K 为△PF 1F 2的内切圆在边PF 1上的切点.则有|GF 1|-|GF 2|=|KF 1|-|HF 2|=(|KF 1|+|PK|)-(|HF 2|+|PH|)= |PF 1|-|PF 2|=2.由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是G 与A(1,0)重合,是定点.而|HF 2|=|GF 2|=|AF 2|=2-1,所以△PF 1F 2的内切圆在边PF 2上的切点H 的轨迹是以F 2(2,0)为圆心,2-1为半径的圆弧;因为P(x,y)是在x 2-y 2=1第一象限的曲线上移动,当PF 2沿双曲线趋于无穷时,PF 2与轴正向的交角θ的正切的极限是 +∞→x lim tan θ=+∞→x lim 212--x x =1,即θ→4π,故点H 的轨迹方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=θθsin )12(cos )12(2y x (θ为参数,θ∈(4π,π)); 由于G 与A(1,0)重合,A 是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为x=1(0<y<1).12.(本题15分)对任意正整数n,设a n 是关于x 的方程x n+nx-1=0的实数根.(Ⅰ)求证:0<a n+1<a n <1; (Ⅱ)求证:a 12+a 22+a 32+…+a n 2<1.解:(Ⅰ)设f n (x)=x n +nx-1⇒f 'n (x)=nx n-1+n>0⇒f n (x)在区间(0,1)内单调递增;又由f n (0)=-1<0,f n (1)=n>0⇒f n (x)在区间(0,1)内存在唯一的零点⇒0<a n <1⇒0<a n+1<1;又由a n+1n+1+(n+1)a n+1-1=0…①,a n n +na n -1=0…②,②-①得a n+1n+1+(n+1)a n+1- (a n n +na n )=0(a n+1n+1+(n+1)a n+1>a n+1n +na n+1⇔a n+1+1>1成立)⇒a n+1n +na n+1-(a n n +na n )=0⇒a n+1n +na n+1<a n n +na n ⇒a n+1<a n ⇒0<a n+1<a n <1; (Ⅱ)因a 1=21,当n ≥2时,由f n (n 1)=(n 1)n >0⇒a n <n 1⇒a 12+a 22+a 32+…+a n 2<221+221+231+…+21n <41+41+(21-31)+…+ (11-n -n 1)=1-n1<1.。
2014年自主招生模拟数学试卷(附答案)
2014年自主招生模拟试卷 数学试题卷（2014.5）一、选择题（共5题，每题5分，共25分） 1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。
9、已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在yxM N OCBA线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．三、解答题（共2题，第10题15分，第11题15分）10、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．11、已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．数学答案一、选择题（共5题，每题5分，共25分）QP xy DCBAO1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ D ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 1 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 262+ ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_____53,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭____。
2014桌越联盟预测试卷1
2014年Y.P.M 自主招生预测试卷 第一卷 1(总1)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第一试卷)姓名 成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设Z 为复数,M={Z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}2.已知函数f(x)=x x 24cos 4sin +-x x 24sin 4cos +,则f(x)的最小正周期为( ) (A)4π (B)2π (C)π (D)2π3.已知I 是△ABC 的内心,AC=2,BC=3,AB=4,若AI =x AB +y AC ,则x+y 的值为( ) (A)31 (B)32 (C)94 (D)954.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( )(A)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 (B)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形(C)△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形 (D)△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.等比数列a+log 23,a+log 43,a+log 83的公比是____________.6.设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________.7.设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= .8.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答).2(总2) 第一卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)对任意的实数α、β,证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.10(本题13分)设直线l:y=kx+m(其中k,m 为整数)与椭圆162x +122y =1交于不同两点A,B,与双曲线42x -122y =1交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得向量AC +BD =0,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由.11(本题15分)已知f(x,y)=x 3+y 3+x 2y+xy 2-3(x 2+y 2+xy)+3(x+y),且x,y ≥21,求f(x,y)的最小值.12(本题15分)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2≥2,a n+3≤a n +3,a n+2≥a n +2.求a n .2014年Y.P.M 预测试卷 第一卷 3(总3)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第一试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设Z 为复数,M={Z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:由(z-1)2=|z-1|2⇒(z-1)2=(z-1)(z -1)⇒(z-1)(z-z )=0⇒z=1,或z=z ⇒z=实数.故选(B).2.已知函数f(x)=x x 24cos 4sin +-x x 24sin 4cos +,则f(x)的最小正周期为( ) (A)4π (B)2π (C)π (D)2π 解:由sin 4x+4cos 2x=sin 4x+4cos 2x(sin 2x+cos 2x)=(sin 2x+2cos 2x)2=(1+cos 2x)2,cos 4x+4sin 2x=(1+sin 2x)2⇒f(x)=(1+cos 2x)- (1+sin 2x)=cos2x.故选(C).3.已知I 是△ABC 的内心,AC=2,BC=3,AB=4,若AI =x AB +y AC ,则x+y 的值为( ) (A)32 (B)94 (C)95 (D)1112 解:设AI,BI 分别与BC 、AC 交于点D 、E,则AI =λAD =λ(AB +BD )=λ(AB +32BC )=λ(31AB +32AC );BI =μBE =μ (-AB +AE )=μ(-AB +74AC )⇒AI =AB +BI =AB +μ(-AB +74AC )=(1-μ)AB +74μAC ⇒31λ=1-μ,32λ=74μ⇒λ=32⇒x+y=31λ+32λ=λ=32.故选(A). 4.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( )(A)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 (B)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形(C)△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形 (D)△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形解:因三角形任一内角的正弦值为正,由题知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值为正,故△A 1B 1C 1是锐角三角形;假如△A 2B 2C 2也是锐角三角形,由cosA 1=sinA 2⇒A 1+A 2=2π,同理可得B 1+B 2=2π,C 1+C 2=2π⇒(A 1+B 1+C 1)+(A 2+B 2+C 2)=23π⇒2π=23π.矛盾,所以△A 2B 2C 2是钝角三角形,故选(D). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.等比数列a+log 23,a+log 43,a+log 83的公比是____________.解:由公比q=3234log log ++a a =3438log log ++a a ⇒q=)log ()log ()log ()log (34323834+-++-+a a a a =34323834log log log log --=32323232log 21log log 31log 21--=31.4(总4) 第一卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷6.设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是_________. 解:由3≤xy 2≤8,4≤yx 2≤9⇒log 23≤log 2x+2log 2y ≤3,2≤2log 2x-log 2y ≤2log 23;令m(log 2x+2log 2y)+n(2log 2x-log 2y)= 3log 2x-4log 2y ⇒m+2n=3,2m-n=-4⇒m=-1,n=2;由-3≤-log 2x-2log 2y ≤-log 23,4≤4log 2x-2log 2y ≤4log 23,两式相加得:1≤3log 2x-4log 2y ≤3log 23⇒1≤log 243y x ≤3log 23⇒2≤43y x ≤27⇒43y x 的最大值是27.7.设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . 解:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a-bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2. 8.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答).解:本题等价于把这5个球排成一列(其排法数=222255A A A =30),求相邻两个小球的颜色均不相同(其排法是从红球或白球中选其中一对,把黑球放其之间,然后把红球或白球中另一对插入其中,有C 21C 42=12)的概率=3012=52. 三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)对任意的实数α、β,证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.解:令P 1(1,0),P 2(cos α,sin α),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)),则△P 1OP 3≌△P 4OP 2⇒|P 1P 3|2= |P 2P 4|2⇒[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos α-cos(-β)]2+[sin α-sin(-β)]2⇒2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β- sin αsin β)⇒cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.10.(本题13分)设直线l:y=kx+m(其中k,m 为整数)与椭圆162x +122y =1交于不同两点A,B,与双曲线42x -122y =1交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得向量AC +BD =0,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由. 解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),由⎩⎨⎧=++=484322y x m kx y ⇒(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-48=0⇒x 1+x 2=-2438k km +;由 ⎩⎨⎧=-+=12322y x m kx y ⇒(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-12=0⇒x 3+x 4=232k km -.AC +BD =0⇔x 1+x 2=x 3+x 4⇔-2438k km +=232k km -⇔km(9+2k 2)=0. ①当k=0时,3x 2+4m 2-48=0,且3x 2-m 2-12=0⇔m ∈(-23,23),m ∈Z ⇔m=-3,-2,-1,0,1,2,3;②当m=0时,(3+4k 2)x 2-48 =0,且(3-k 2)x 2-12=0⇔k ∈(-3,3),k ∈Z ⇔k=-1,0,1.综上,这样的直线有9条.11.(本题15分)已知f(x,y)=x 3+y 3+x 2y+xy 2-3(x 2+y 2+xy)+3(x+y),且x,y ≥21,求f(x,y)的最小值. 解:(x-y)f(x,y)=(x 4-y 4)-3(x 3-y 3)+3(x 2-y 2),令g(x)=x 4-3x 3+3x 2(x ≥21),设x ≠y,则f(x,y)=y x y g x g --)()(为g(x)上两点的斜率,所以只须求g '(x)的最小值,g '(x)=4x 3-9x 2+6x ⇒g ''(x)=6(2x-1)(x-1)⇒g '(x)的最小值=g '(1)=1⇒f(x,y)的最小值=1.12.(本题15分)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2≥2,a n+3≤a n +3,a n+2≥a n +2.求a n .解:由a n+3≤a n +3⇒a 4≤a 1+3=4;又由a n+2≥a n +2⇒a 4≥a 2+2⇒a 2+2≤4⇒a 2≤2⇒a 2=2;由a n+2≥a n +2⇒a n ≤a n+2-2⇒a n+3≤a n +3≤(a n+2-2)+3=a n+2+1⇒a n ≤a n-1+1≤a n-2+2≤…≤a 1+(n-1)=n ⇒a n ≤n;①当n=2k-1时,由a n+2≥a n +2⇒a n ≥a n-2+2⇒a 2k-1≥a 2k-3+2×2≥a 2k-6+2×3≥…≥a 1+2(k-1)=2k-1⇒a 2k-1=2k-1; ②当n=2k 时,由a n+2≥a n +2⇒a 2k+2≥a 2k +2⇒a 2k ≥a 2+2(k-1)=2k;又由a n ≤n ⇒a 2k ≤2k ⇒a 2k =2k.综上,a n =n.。
2014卓越大学自主招生数学真题答案
2
（15 分）
法二：令 h( x) x ax a ，其图像的对称轴为 x
a . 2
1 当 0
a 1 ，即 0 a 2 时，存在 x1 , x2 (0,1) ，且 x1 x2 ，使 h( x1 ) h( x2 ) ， 2
三、解答题 9.【解析】 ： （1） f ( x)
2 sin(2 x ) 2 cos(2 x ) cos 2sin(2 x ) cos . 4 因为 x [0, ] ，所以 2 x [0, ] ， 2 x [ , ] . 4 2 4 4 4 又 [ , ] ，所以 [ , ] .因此 f ( x) 的最大值为 2 cos . （7 分） 4 2 2 4 4 （2）若 f ( x) 2sin(2 x ) cos 3 ，则 cos 1 且 sin(2 x ) 1 ， 4 4
余弦值为
2 7 4 7 3 7 ，在 OME 中再次运用余弦定理，求得 ME ，故而 AM . 7 7 7
4.【解析】选 D. 由已知 可得 a
2sin 2 x ， 由 于 1 sin x 1 ， 求 a 右 边 关 系 式 的 取 值 范 围 即 可 。 令 sin x 2
2014 年卓越联盟自主选拔录取
文科数学参考答案
1.【解析】选 A. 法一：直接分 x 0, x 0 两种情况讨论，分别解出答案，在合并即可得到答案 A; 法二：将 x 2 看成 x ，这样就得到一个关于 x 的不等式，解之即可得到 A 答案。
2
2.【解析】选 A. 法一：已知 f x f x 1 和 f x 是 R 上的奇函数，令 x ， 得 f f = f ，所以 f f 。 4 4 4 4 4 同理 f f 。由于函数在 0, 上为增函数， 5 5 2 所以有 f f f ，即 a b c . 3 4 5 法二，结合奇函数函数图像及周期性（此函数周期为 2） ，也可直观的得出答案。
华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题三数学含详细解答
4 1 三.求证：16< Σ <17． i=1 k 四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 7 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF， 垂足依次是 D， E， F， 已知 AD= 15， BE=2CF= 10， 求 l 与 m 的距离． 五.设 n 是自然数，fn(x)= xn+1－x－n－1 1 (x0，± 1)，令 y=x+ x． －1 x－x
n 1 n－2 n－1 i i n－i n－2i n 1 n－2 n－1 i i n－i
n
模拟三 一 1. 解 ： y=((n+1)x － 1)(nx － 1) ， ∴ 1 1 |AnBn|= n － n+1 ， 于 是
1992 |A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993，选 B． 2. 解：(x 1－y2)=0 表示 y 轴右边的半圆，(y+ 1－x2)=0 表示 x 轴下方的半圆， 故选 D． 4 4 4 3. 解： Σ Si≤4S，故 Σ Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， Σ i=1 i=1 i=1 Si 接近 2S，故选 A． 4. 解： x2=4x－4． 根为 x=2． ∴ C=2A， B=180° －3A， sinB=2sinA． sin3A=2sinA， 2 3－4sin A=2．A=30° ，C=60° ，B=90° ．选 B． 2z1 π π 1 3 5. 解： z =cos3± isin3．∴ |z2|=8，z1、z2 的夹角=60° ．S=2· 4· 8·2 =8 3．选 A． 2 6. 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
2014年自主招生考试模拟试题与答案 数学
2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； （2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-， 所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。
2014卓越联盟预测试卷8
2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)姓名 成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____.6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= .7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4;10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ解:因A ⊆A ∩B ⇔A ⊆B;①当A=∅时,2a+1>3a-5⇔a<6;②当A ≠∅时,A ⊆B ⇔2a+1≣3, 3a-5≢22,且3a-5≣2a+1⇔6≢a ≢9.故选(C).2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 解:因sin2θ+cos2θ=a ⇒1+sin θ=a 2⇒θsin 1+=|a|⇒/甲;θsin 1+=a ⇒|sin2θ+cos2θ|=a ⇒/乙.故选(D).3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个解:设AB =a ,AC =b ,AD =c ,则|a |=3,|a -b |=7,|c -b |=11,|c |=9⇒a 2=9,a 2-2ab +b 2=49,c 2-2bc +b 2=121,c 2=81⇒b 2-2ab = 40,b 2-2bc =40⇒ab =bc ,BD AC ⋅=b (c -a )=bc -ab =0,选(A).4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43解:设事件A 为“取到的数能被6整除”,事件B 为“取到的数能被4整除”.由333<62000<334,知P(A)=2000333.而6与4的最小公倍数为12,166<122000<167,所以,恰有166个数既能被6整除又能被4整除,即P(AB)=2000166.因此所求概率为P(A)-P(AB)=1000167.故选(C). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____. 解:在BC 上取点D,使得AD=BD=x ⇒CD=4-x,在△ACD 中,(4-x)2=9+x 2-6xcos(A −B)⇒x=2⇒cosC=43⇒sinC=47⇒ △ABC 的面积=273. 6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= . 解:令x 2+x=50⇒x=22011+-⇒x 2-3x+2=(x 2+x)-4x+2=50-2(-1+201)+2=54-2201,40(x 2+5x)-68=40[(x 2+x)+4x]- 68=40(48+2201)-68⇒2f(50)-f(54-2201)=40(48+2201)-68⇒f(54-2201)=2f(50)-40(48+2201)+68; 令x 2-3x+2=50⇒x=22013-⇒x 2+x=4x+48=54-2201,40(x 2+5x)-68=40(60-4201)-68⇒2f(54-2201)- 2f(50)=40(60-4201)-68⇒4f(50)-80(48+2201)+136-2f(50)=40(60-4201)-68⇒f(50)=2012. 7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.解:记球半径为R,圆锥的半径为r,圆锥的高=h ⇒r 2=h(2R-h)⇒圆锥的体积=31πr 2h=31πh 2(2R-h)⇒比为8:27.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.解:{1,3,5,9,15,25,41,67}不满足条件⇒k ≣9.如果存在{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9}(a i <a i+1)不满足条件⇒a 3≣a 1+a 2≣5⇒a 4≣a 2+a 3≣9⇒a 5≣a 3+a 4≣15⇒a 6≣a 4+a 5≣25⇒a 7≣a 5+a 6≣41⇒a 8≣a 6+a 7≣67⇒a 9≣a 3+a 8≣109,矛盾,故k=9.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4; 解:由f(x)=ax 2+(b+1)x+c ⇒c=f(x)-ax 2-(b+1)x,所以,f(f(x))=x ⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+c-x=0⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+ f(x)-ax 2-(b+1)x-x=0⇔a[f 2(x)-x 2]+(b+2)[f(x)-x]=0⇔[f(x)-x][af(x)+ax+b+2]=0⇔(ax 2+bx+c)[a 2x 2+a(b+2)x+ac+b +2]=0⇔ax 2+bx+c=0,或a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0,其判别式=a 2(b+2)2-4a 2(ac+b+2)=a 2(b 2-4ac-4);若方程ax 2+bx+c=0与a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0有公共根x 0,则ax 02+bx 0+c=0,a 2x 02+a(b+2)x 0+ac+b+2=0⇒a(ax 02+bx 0)+2ax 0 +ac+b+2=0⇒x 0=-a b 22+⇒a(-a b 22+)2+b(-ab 22+)+c=0⇒b 2-4ac=4,矛盾. 10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值. 解:设A(a,a 2),B(b,b 2),C(c,c 2),k AB =a+b=k,由AB ⊥BC ⇒k BC =c+b=-k1;由|AB|=|BC|⇒(a-b)2+(a 2-b 2)2=(c-b)2+(c 2-b 2)2⇒ (a-b)2[1+(a+b)2]=(c-b)2[1+(c+b)2]⇒(a-b)2(1+k 2)=(c-b)2(1+21k)(不妨设a>b>c ⇒k>0)⇒21k +(a-b)=211k +(b-c)(a=k-b,c=-k1-b)⇒21k +(k-2b)=211k +(2b+k 1)⇒b=)1(213+-k k k ⇒a=)1(21223+++k k k k ⇒a-b=)1(12++k k k 正方形ABCD 的面积=|AB|2=(a-b)2+(a 2-b 2)2=(a-b)2[1+(a+b)2]=(a-b)2(1+k 2)=2222)1()1(++k k k (1+k 2)≣222)1(4+k k k ×21(k+1)2=2. 当且仅当k=1时,等号成立.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立. 解:(Ⅰ)由S 1=1,且2S n =a n a n+1⇒a 1=1,a 2=2,a n ≠0,2S n+1=a n+1a n+2⇒2a n+1=2S n+1-2S n =a n+1a n+2-a n a n+1⇒a n+2-a n =2;①当n 为奇数时,设n=2k-1(k ∈N +),则a 2k+1-a 2k-1=2⇒a 2k-1=1+2(k-1)=2k-1;②当n 为偶数时,设n=2k(k ∈N +),则a 2k+2-a 2k =2⇒a 2k =2+2(k-1)= 2k.综上,a n =n;(Ⅱ)当n ≣2时,b n =∑-=---nk k k n k a C 1111)1(=∑-=---n k k n k k C 1111)1(=1111)1(--=-⋅∑-k n n k k C k n n =k nn k k C n ⋅∑-=-11)1(=-n 1∑-=n k k n k C 1)1(=-n 1(∑-=n k k n k C 0)1(-1)= -n 1[(1-1)n-1]=n 1,且b 1=1适合该式,所以b n =n 1(n ≣1);由x>ln(1+x)⇒n 1>ln(1+n1)⇒b n >ln(n+1)-lnn ⇒b 1+b 2+…+b n > ln(n+1)>M ⇒n>e M-1,令m=[e M]即有b 1+b 2+…+b m >M.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).解:因2012=4×503,所以2012|(m ×232n+26n)⇔4|(m ×232n+26n),且503|(m ×232n+26n)⇔m ×232n+26n≡0(mod4),且m ×232n+26n≡0(mod503)⇔m ×232n≡0(mod4),且m(503+26)n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且m ×26n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)≡0(mod503)⇔m=4k,且m+1=503t(k,t ∈N +)⇔4k+1=503t ⇔ k=41503-t ,验算知t 的最小值为3⇒最小的正整数m=503×3-1=1508.。
2014年卓越自主招生数学试题及解答
2014年卓越自主招生数学试题1.(选择)32||210x x -+<,求x 范围.2.(选择)已知2211(,)2()1ln(1),)2x x x f x x x +⎧∈-∞-⎪⎪=⎨⎪+∈[+∞⎪⎩,又2()44,g x x x a =--∃使得()()0f a g b +=,求b 的范围.3.三棱锥P ABC -中,底面ABC ∆是等腰三角形,90ACB ∠= ,又PA ⊥平面ABC ,60,P B C A ∠--=∠,求sin AB APC ∠-.【解】sin sin AB PAC BAC ∠-=∠=【评析】目前得到的题目可能有误,请同学们及时反馈正确题目.4.(填空)12,n n 是两个夹角为θ的单位矢量.以12,n n 为基底的坐标系中1222(,),(,)A x y B x y ,求||AB .5.(填空)已知(0,),(0,4),(0,1)x a y a a ∈∈-∈,且1x y +>的概率为316,求a .6.(填空)已知{1,2,3,4,5,6,7,8},A B A B ==Φ ,又||,||A A B B ∉∉,求总分配数.7.(解答题)已知双曲线22221x y a b-=的两条渐近线斜率之积为3-.(1)若,A B 在双曲线上,且过点(0,5),1,AB D a k AD DB λ==,求λ;(2)A 关于x 轴的对称点为,AB M l 与x 轴交于,MB P l 与x 轴交于Q ,求证:2||||OP OQ a ⋅=.8.(解答题)已知()cos sin )cos ,f x x x x x R αααα++∈ (1)已知[,],[0,]422x πππα∈∈,求()f x 最大值;(2)若()3,f x =求,x α的值.9.设()f x 在x R ∈上可导,且对任意的0x R ∈有000()()4(0)f x x f x x x <+-<>(1)证明:000()()()(0)f x x f x f x x x+-'<>;(2)若|()|1f x ≤,则|()|4f x '≤.卓越参考答案1.【解】由3232||210||2||10(||1)(|||0x x x x x x x -+<⇔-+<⇔-<所以由数轴标根法得||(x ∈-∞ ,又因为||0x >,所以(1)x ∈- . 2.【解】当1(,)2x ∈-∞-时,易得21()(1)1(1,0)f x x =+-∈-;又当1[,)2x ∈-+∞时,易知()ln 1[ln 2,)f x x =+∈-+∞;所以()(1,)f x ∈-+∞,所以只要()(,1)g b ∈-∞就存在a ;即2(2)8(,1)b --∈-∞,解得(1,5)b ∈-.4.【解】以1n 方向为x 轴建立直角坐标系,于是,A B 的直角坐标为111222(cos ,sin ),(cos ,sin )x y y x y y θθθθ++,则222121212||(cos cos )(sin sin )AB x x y y y y θθθθ=-+-+-2212121212()()2()()cos x x y y x x y y θ=-+-+--,于是||AB 5.【解】由题知所有事件的空间为{(,)|0,04,01}x y x a y a a Ω=<<<<-<<,其对应区域为矩形,面积为()(4)S a a Ω=-,而事件{(,)|1}A x y x y =∈Ω+>,其对应区域面积为1()(11)2S A a a =+-,所以由古典概型知1(11)3216(4)a a a a +-=-,即(54)0a a -=,解得45a =. 6.【解】由已知得||,||||A B B A ∈∈,分类讨论所有情况: ①若||0,||8A B ==,则8A ∈,矛盾;②若||1,||7A B ==,则7,1A B ∈∈,且{1,2,3,4,5,6,8}B =,共一种;③若|| 2.||6A B ==,则2,6B A ∈∈,则这样的构成共有(以A 为标准,B 随机确定)166C =种; ④若||3,||5A B ==,则5,3A B ∈∈,同理这样的构成有2615C =种;⑤若||||4A B ==,则4A B ∈ ,矛盾.故综上可之,共有2(1615)44N =++=种.7.【解】(1)由题知223b a-=-,即b ,所以双曲线方程为22233x y a -=,又直线:5AB y x a =+代入双曲线方程得225140x ax a --=,得17,x a =或22x a =-;又因(,5)(,5)A A B B AD DB x a y x y a λλ=⇔--=- ,所以27A A B B x x x x λλ-=⇔=-=或72.(2)若(2,3),(7,12)B a a A a a -,则(7,12)M a a -,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,又直线5:(2)33MB l y x a a =-++,得(,0)5a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=;若(7,12),(2,3)B a a A a a -,则(2,3)M a a --,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,又直线5:(2)33MB l y x a a =+-,得(,0)a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=;8.【解】(1)易知()))cos f x x x ααα+++,2sin(2)cos 4x παα=+-+,由于[0,],2[,]44444x πππππαααα-∈+-∈-+,其中3[,]424πππα+∈, 所以当242x ππα+-=,即382x πα=-时,max ()2cos f x α=+,又max ()2cos f x α=+在[,]42ππα∈上递减,所以max ()2cos 2f x α=+≤当4πα=时取到最大值.综上可知当,44x ππα==时,max ()2f x =(2)由()2sin(2)cos 4f x x παα=+-+,且2sin(2)2,cos 14x παα+-≤≤,现在已知()3f x =,则等价于sin(2)1,4cos 1x παα⎧+-=⎪⎨⎪=⎩,解得2,,(),8k k Z x m k m Z αππππ=+∈⎧⎪⎨=--∈⎪⎩. 9.【解】(1)由题知()f x '单调递增,利用拉格朗日中值定理可知:存在00(,)x x x ε∈+,使得0000()()()()f x x f x f x x x ε+-'=+-,于是00000()()()()()f x x f x f x f x x x ε+-''<=+-(2)若存在()4()f u u R '>∈,则在[,)u +∞上()4f x '>,于是有|()()||()()|4(),(,),f x f u f x u x u u x x u εε'-=->-∈∈+∞ 取1x u =+,则|(1)()|4f u f u +->.但是由于|()|1f x <,所以|(1)()|2f u f u +-<,矛盾. 同理在()4f u '<-时也可得矛盾. 结论成立.。
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2014年“卓越联盟”自主招生数学模拟试题参考答案一、选择题（本大题共小4题，每小题5分，共20分） 1.没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ） （A ）1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160解：所有三位数的个数：1299648C A ⋅=个。
被3整除余1的有：1，4，7,被3整除余2的有：2，5，8, 被3整除的有：0，3，6，9。
所有能被3整除的数共有：31311131112333333333222228N A C A C C C A C C C A =+++=个。
被3整除的概率：2281964854P ==，不能被3整除的概率为：193515454-= 答案： 选B 。
2．在四面体ABCD 中，设1,AB CD =，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于（ ） (A)32 (B) 12 (C) 13 (D) 33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积1sin233π=⨯=而四面体ABCD 的体积16=×平行六面体体积12=．答案：选B ．3.已知957437,37>>，设0.530.82,sin1,log x y z ===则,,x y z 的大小关系为（ ）.A x y z <<， .B z y x <<， .C z x y <<， .D y z x <<解：由0.50.50.820.810.9x =>=sin1sin0.93y π=<=<，所以y x < 由95337 1.8log 7>⇒>，知30.9log >z x <N MD CBA由7741.754373737,>⇒<⇔<知337,log 7,log 2<<< 故y z <. 所以 y z x << 答案：选D4.函数:,f R R →对任意的实数,x y ，只要0x y +≠，就有()()()f x f y f xy x y+=+成立，则函数()()f x x R ∈是奇偶性为（ ）A ．奇函数； B. 偶函数；C. 即是奇函数又是偶函数；D. 即不是奇函数又不是偶函数。
解：因为22()()()()(),()[()()],0f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x+-===--=≠+-，所以()(),f x f x =--其中0,x ≠ 所以(0)(1)(0)(01)1f f f f +=⨯=，所以(1)0,f =所以(1)(1)0,f f -=-=所以(0)(1)(0)(0(1))(0),1f f f f f +-=⨯-==--所以(0)0f =.又因为(1)()()()(1)(0,1),11f f x f x f x f x x x x +=⨯==≠-++ 所以()0.f x =因此，()0()f x x R =∈. 答案：C二、填空题（本大题共小4题，每小题6分，共24分）5．设,x y 为实数，且满足()()33(1)201411(1)201411x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩则x y += . 答案：2解：原方程组即()()33(1)2014110(1)2014110x x y y ⎧-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎩ 令()320141f x t t =++，()/2320140fx t =+>．故()f x 单调增，又112x y x y -=-⇒+=6．设点O 在∆ABC 的内部，且有230OA OB OC ++=，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为 . 答案：3解：延长OB 到1B ，使得1OB BB =；延长OC 到1C ，使得12OC CC =；如图，设AOC S ∆=，则13OC D S ∆=，11133,2OB D OB C S AOB OBD S ∆=∆=∆=∆=． 12OBC S ∆=，所以3ABC S ∆=．7．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 .答案：a ≥解：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，所以22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，故有)2()f x f=，故()2()())f x a f x f x a f +≥⇔+≥ 因为)(x f 是R上的增函数，所以x a +≥()1)1)2a x a a ≥≥+⇒≥8．已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P在直线:80l x ++上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 ．解：由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,,FF P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ． 直线l 交x轴于()8A --，则12APF AF P ∠=∠，即12APF AF P ∆∆∽，即122PF AP PF AF =⑴1又由圆幂定理，212AP AF AF =⋅ ⑵而()()12,F F -，()8A --，从而有128,8AF AF ==+．代入⑴，⑵得，121PF PF ====．三、解答题：本大题共小4题。
解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.（本题13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ..。
证明：c B A cb a sin )sin(222-=- 证明：方法1：由正弦定理得左边=()()2222sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B A B C C+--= 22sin2sin 2222sin A B A B A B A BCOS COS C+-+-⋅= sin()sin A B C -==右边到第一个“=”右边的式子3分，到第二个“=”每个右边的式子5分，到第三个“=”每个右边的式子10分，到最后给13分方法2：右边=222222sin cos cos sin 22sin a c b b c a a b A B A B ac bc C c+-+-⋅-⋅-=222a b c -==左边 方法3：要证：c B A c b a sin )sin(222-=-需证：222sin sin sin A B C-=sin cos cos sin sin A B A B C - 需证：22sin sin A B -()()sin sin cos cos sin A B A B A B =+-需证：22sin sin A B -=()2222sin cos cos sin A B A B -需证：22sin sin A B -=()()2222sin 1sin 1sin sin A B A B ---而上式显然成立，故命题得证。
10.（本题13分）对于任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -+==∈（1）设α是方程1x x+=的一个根，试用列举法表示集合M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（2）设复数z w M ∈，求证w z M M ⊆ 解：（1）因为α是方程1x x+=12),),i i αα=+=- 2分当1)i α=+时，222111111(),n n n i i ααααα-===1111111,,,),),)i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪∴==+-+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭4分当2)2i α=-时，21,i α=- 21222211,,,i i M M αααααα⎧⎫--∴==⎨⎬⎩⎭因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即(1),),),)2222M i i i i α⎫⎪∴=+---+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭6分于是24213P C == 8分 （2）证明：z w M ∈，存在m N +∈，使得21m w z -= 10分于是对任意n N +∈，21(21)(21)n m n wz ---=由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z wM -∈，所以w z M M ⊆ 13分11.（本题15分）数列{}n a 满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）证明2(1)n a e n <≥其中无理数e =2.71828…. 证明：（Ⅰ）（1）当22n =时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. 4分 （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn n n 7分 两边取对数并利用已知不等式得n nn a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故n n n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 12分上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故 15分（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得：111ln ln(1)ln ln (2).(1)(1)n n n b b b n n n n n +≤++≤+≥--上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立。