【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第三章章末复习课(含答案)
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第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x －m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，①Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；(2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a .2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；(2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞b d . 3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n 或n a ＞n b .4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b. [例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小． 解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝ (a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab， 因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b . 归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．(2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式．(3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小．(4)分子分母有理化．(5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值；(2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，求函数f (x )的最小值． 解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤ 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号， 所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163. (2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0， 所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.专题二 一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集．[例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2；(2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎨⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎨⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ②由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0， 即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时， (*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0， 而2－a －2a －1＝a a －1， 若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1； 若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2. 归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值范围是(0，1)．专题三 简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.[例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：甲2114乙1318 利润/(万元/t)53____润最大？(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解：(1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z＝5x＋3y，x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≤14.x＋3y≤18，x≥0，y≥0，作出可行域如图所示：当直线5x＋3y＝z过点B⎝⎛⎭⎪⎫245，225时，z取最大值3715，即生产A产品245t，B产品225t时，可得最大利润．(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－5m，又k AB＝－2，k CB＝－13，要使最优解仍为B点，则－2≤－5m≤－13，解得52≤m≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．[变式训练] 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析：法一：依题意得，x ＋1>1，2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时，等号成立，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.法二：由题意得，x ＝8－2y 2y ＋1＝－（2y ＋1）＋92y ＋1＝－1＋92y ＋1， 所以x ＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＋1－1，≥292y ＋1·（2y ＋1）－2＝4， 当且仅当2y ＋1＝3，即y ＝1时，等号成立．答案：B专题四 成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，若对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围．解：因为mx 2－mx －6＋m <0，所以m (x 2－x ＋1)－6<0，对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立⇔⎩⎨⎧1×（x 2－x ＋1）－6<0，3×（x 2－x ＋1）－6<0，即为⎩⎪⎨⎪⎧1－212<x <1＋212，1－52<x <1＋52，计算得出：1－52<x <1＋52. 所以实数x 的取值范围：1－52<x <1＋52. 归纳升华不等式恒成立求参数范围问题常见解法(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值范围的变量看作主元．(2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ；若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max .(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立， 所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解， 即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8，0}．专题五 利用分类讨论思想解不等式[例5] 解关于x 的不等式x －a x －a 2<0(a ∈R)． 分析：首先将不等式转化为整式不等式(x －a )(x －a 2)<0，而方程(x－a)(x－a2)＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，故应就两根a和a2的大小进行分类讨论．解：原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0.(1)若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x2<0，解集为∅；(2)若a＝1，则a2＝1，不等式为(x－1)2<0，解集为∅；(3)若0<a<1，则a2<a，故解集为{x|a2<x<a}；(4)若a<0或a>1，则a2>a，故解集为{x|a<x<a2}．归纳升华分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．(2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．(3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．[变式训练]已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试判断f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解：因为f(x)为R上的减函数，且α>－β，β>－γ，γ>－α，所以f(α)<(－β)，f(β)<f(－γ)，f(γ)<f(－α)，又f(x)为奇函数，所以f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.。
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、学习任务1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．二、知识清单平面区域的表示 线性规划 非线性规划三、知识讲解1.平面区域的表示二元一次不等式表示的平面区域已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这两个区域的边界（boundary）．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域．（1） ；（2）．解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画成虚线．② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平面区域内，不等式表示的区域如图．3x +2y +6>0y ⩾3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y+6=6>03x +2y +6>0描述：2.线性规划线性规划的有关概念若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则称为线性约束条件（objective function）．一般地，满足线性约束条件的解 叫做可行解（feasible solution），由所有可行解组成的集合叫做可行域（feasible region）．要求最大（小）值所涉及的关于变量 ， 的一次解析式叫做线性目标函数（linearobjectives）．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题叫做线性规划问题（linearprogram）．（2）① 画出直线 ，画成实线．② 取点 ，代入 ，所以 不在不等式 表示的平面区域内，不等式表示的区域如图．y =3x (1,0)y −3x =−3<0(1,0)y ⩾3x 画出不等式组 表示的平面区域．解：不等式 表示直线 及右下方的平面区域； 表示直线及右上方的平面区域； 表示直线 及左方的平面区域；所以不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．⎧⎩⎨x −y +5⩾0x +y ⩾0x ⩽3x −y +5⩾0x −y +5=0x +y ⩾0x +y =0x ⩽3x =3(x ,y )xy⎩⎨4x+y+10⩾0作出可行域如图中阴影部分所示：可知，图可知，答案：解析：1. 下列各点中，不在 表示的平面区域的是 A ．B ．C ．D ．C将 代入得 ，故 不在 表示的平面区域内．x +y −1⩽0()(0,0)(−1,1)(−1,3)(2,−3)x =−1,y =3x +y −1−1+3−1=1>0(−1,3)x +y −1⩽02. 在平面直角坐标系 中，满足不等式组 ，点 的集合用阴影表示为下列图中的 A．B ．C ．xOy {|x |⩽|y ||x |<1(x ,y )()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学必修5（人教A版）第三章不等式3.4知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.4 基本不等式一、学习任务掌握基本不等式 （）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．二、知识清单均值不等式的含义均值不等式的应用 均值不等式的实际应用三、知识讲解1.均值不等式的含义均值定理如果 ，，那么 ．当且仅当 时，等号成立．对任意两个正实数，，数 叫做 ， 的算术平均值，数 叫做 ， 的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式 ．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．⩽ab −−√a +b2a >0,b >0a b ∈R +⩾a +b2ab −−√a =b a b a +b2a b ab −−√a b 设 ，，下列不等式中不成立的是（ ）A． B．C． D．解：D，故 A 中不等式成立；，所以，所以 B 中不等式成立；，， ，所以不等式两边同时平方可得 ，故 C 中不等式成立．因为 的符号不确定，当时，不等式不成立.a >0b >0+⩾2b a a b+⩾2ab a 2b2ab ⩽()a +b22a −b +⩾21a −b+⩾2=2b a ab ⋅b a ab −−−−−−√(a −b ⩾0)2+⩾2aba 2b 2a >0b >0⩽a +b 2ab −−√⩾ab ()a +b 22a −b a ⩽b 已知 ，，且 ，求 的最大值．解：由均值不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 的最大值为 ．x y ∈R +x +4y =1xy x +4y ⩾2x ⋅4y −−−−−√x =4y xy ⩽116x =12y =18xy 116描述：例题：2.均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用 ．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．求函数 (x>3)\) 的最小值．解：因为 ，所以，所以当且仅当，即 时，取 “” 号，所以 ．y =+x 1x −3x >3x −3>0y =+x =+(x −3)+3⩾5,1x −31x −3x −3=1x −3x =4==5y min （1）求函数的最小值；（2）求函数 的最大值．解：（1）当，所以，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ．（2）当，所以 ，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=+3x (x >0)12x f (x )=+3x (x <0)12x x >0>012x3x >0f (x )=+3x ⩾2=12,12x ⋅3x 12x−−−−−−√=3x 12xx =2f (x )12x <0−>012x−3x >0f (x )=+3x 12x=−[(−)+(−3x )]12x ⩽−2(−)⋅(−3x )12x −−−−−−−−−−−−−√=−12,−=−3x 12xx =−2f (x )−12求函数的最大值．解：因为 ，所以 ，所以f (x )=x (1−3x )(0<x <)130<x <130<1−3x <1描述：例题：3.均值不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=x (1−3x )=×3x (1−3x )13⩽13()3x +1−3x 22=,1123x =1−3x x =16f (x )112设 ，求证：．证明：因为 ，，，所以当且仅当 时，等号成立，所以 ．a ,b ,c ∈R ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2+⩾2ab a 2b 2+⩾2bc b 2c 2+⩾2ca c 2a 2(+)+(+)+(+)⩾2ab +2bc +2ca ,a 2b 2b 2c 2c 2a 2a =b =c ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2建造一个容积为 ，深为 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 元，池壁的造价是每平方米 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 元，池底的长为 ，则宽为．所以当且仅当 ，即 时，等号成立．所以当 时，．答：水池的最低造价为元．8m 32m 12080y x m 4xm y =4×120+2(2x +)×808x=480+320(x +)4x ⩾480+320×2x ⋅4x−−−−−√=1760,x =4xx =2x =2=1760y min 1760某种汽车，购车费用是 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 万元，年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 年时，年平均费用 最少．由于“年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元”，可知汽车每年维修费构成以 万元为首项， 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 年的总维修费用为万元，所以100.90.20.2x y 0.20.20.20.2xx (0.2+0.2x )2四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）当且仅当 ，即 时， 取得最小值．答：汽车使用 年时年平均费用最少．y =10+0.9x +x (0.2+0.2x )2x =10+x +0.1x 2x =1++10x x 10⩾1+2⋅10x x10−−−−−−−√=3=10xx 10x =10y 10答案：1. 若 ，下列不等式中总能成立的是 A ．B ．C ．D ．Ca >b >0()>>2aba +ba +b2ab −−√>>a +b 22ab a +b ab−−√>>a +b 2ab −−√2ab a +b>>2ab a +bab −−√a +b 2答案：2. 下列各式中最小值是 的是 A ．B ．C ．D ．D2()+x y y x+5x 2+4x 2−−−−−√tan x +cot x+2x 2−x答案：解析：3. 已知 ，则函数 的最大值是A ．B ．C ．D ．C ，由 可得 ，根据基本不等式可得，当且仅当 即 时取等号，则 ．x <12y =2x +12x −1()21−1−2y =−[(1−2x )+]+111−2x x <121−2x >0(1−2x )+⩾211−2x 1−2x =11−2x x =0=−1y max 答案：4. 如果正数 满足 ，那么 A ． ，且等号成立时 的取值唯一B ． ，且等号成立时 的取值唯一C ． ，且等号成立时 的取值不唯一D ． ，且等号成立时 的取值不唯一Aa ,b ,c ,d a +b =cd =4()ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教A版高中数学必修五高一同步测试(第三章).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作新 课 标 高 一 数 学 同 步 测 试（必修5第三章）姓名______________学号______________成绩______________一、选择题：1．若a <b ,d <c,并且(c -a )(c -b )<0,(d -a )(d -b )>0,则a 、b 、c 、d 的大小关系是 （ ） A ．d <a <c <b B .a <c <b <d C .a <d <b <c D .a <d <c <b2．若实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 的最小值是 （ ）A ．18B ．6C ．23D ．2433．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 （ ） A ．a ≤0 B ．a <-4 C ．-<<40a D ．-<≤40a4．在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．35．若角α，β满足－2π＜α＜β＜2π，则2α－β的取值范围是 （ ）A ．（－π，0）B ．（－π，π）C ．（－23π，2π） D ．（－π23，23π）6．设x y R 、∈+且xy x y -+=()1，则 （ ）A ．x y +≥+221()B ．xy ≤+21C ．x y +≤+()212D ．xy ≥+221()7．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值8．设M=)11)(11)(11(---c b a ,且a+b+c=1，(a 、b 、c ∈R +)，则M 的取值范围是 （ ）A ．[0,81]B ．[81,1] C ．[1,8] D ．[8,+∞）二、填空题：11．设0<|x |≤3,1<|y |≤2005,是|x -y |的最大值与最小值的和是 ．12．设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．13．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数 a 的取值范围是__________________．14．f(x)的图象是如图两条线段，它的定义域是]1,0()0,1[ -，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是 ．三、解答题：15．（1）设a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1；x yO 1－1 1 －1（2）已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3= a 2－b 2 求证：1< a +b <34．16．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．17．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类 型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板113每张钢板的面积,第一种为21m ,第二种为22m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？18．（1）求10522242+++=x x x y 的最小值；（2）若a b >>00，，且a b 2221+=，求a b 12+的最大值．19．（1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围； （2）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．。
2016-2017学年高中数学新课标必修5同步学案：第三章章末复习内容 含答案
第三章复习本章诊疗一．不等式性质的应用 1、精要总结(1）对称性：a b b a <⇔>， a b b a >⇔<（2）传递性：,a b b c >>⇒a c >(3)可加性：a b >⇔a cb c,ac b c +>+->-(4）可乘性：,0,a b a b c ac bc cc>>⇒>>，,0a b c ><⇒,a b ac bc c c<< 推论1：同向（正）可乘： 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2:可乘方（正）:0a b >>⇒n n a b >`(,2)n N n *∈≥(5） 可开方(正）:0a b >>⇒ nn a b >(,2)n N n *∈≥2、错例辨析 例1。
设4)1(2,2)1(1,)(2≤≤≤-≤+=f f bx ax x f 且，求)2(-f 的最大值和最小值.错解：由bx ax x f +=2)(得，b a f b a f +=-=-)1(,)1(，4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，42,21≤+≤≤-≤∴b a b a ，,320,623≤≤≤≤∴b a ，,023,1246≤-≤-≤≤∴b a1224)2(3≤-=-≤∴b a f ，max min (2)12,(2)3f f ∴-=-=.错例分析：对同向不等式可加性推论：a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭，前后关系不是充要条件的关系. 多次使用同向不等式可以作加法运算,会导致f （-2）的范围扩大。
另外，本题也可以使用线性规划求解，题中a 、b 不是相互独立的，而是相互制约的,不可分割来解.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等式的关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的一条途径. 正解：b a f b a f +=-=-)1(,)1( ，ba f 24)2(-=-。
2020版数学人教A版必修5学案：第三章 章末复习 Word版含解析
章末复习学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题．1．不等式的性质性质1：如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b ，即a >b ⇔b <a .性质2：如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c ⇔a >c .性质3：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ，如果a >b ，c <0，那么ac <bc .性质5：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d .性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd .性质7：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N *，n ≥1)．性质8：如果a >b >0，那么>(n ∈N *，n ≥2)．n a n b 2．三个二次之间的关系设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0或f (x )<0的步骤求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1，x 2没有实数解画函数y ＝f (x )的示意图f (x ) >0{x |x <x 1或x >x 2}Error!R 得不等式的解集f (x ) <0{x |x 1< x <x 2}∅∅3．线性规划问题求解步骤①把问题要求转化为约束条件；②根据约束条件作出可行域；③对目标函数变形并解释其几何意义；④移动目标函数寻找最优解；⑤解相关方程组求出最优解．4．基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.题型一 “三个二次”之间的关系例1 若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是，则a ＋b ＝ .(－12，13)答案 －14解析 ∵x 1＝－，x 2＝是方程ax 2＋bx ＋2＝0(a <0)的两个根，1213∴Error!解得Error!∴a＋b＝－14.反思感悟 (1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.答案 2解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，a>0，由Error!可得Error!题型二 一元二次不等式的解法例2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．解 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．反思感悟 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．跟踪训练2 (2018·江苏省如东高级中学期中)已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.解 (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}．(2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝，x 2＝，1－1－a 2a 1＋1－a 2a ∴当0<a <1时，原不等式的解集为Error!.②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅.③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅.(3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为Error!.②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式化为(x ＋1)2>0，∴当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}．③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R .综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为Error!；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为Error!；当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R .题型三 线性规划问题例3 已知变量x ，y 满足约束条件Error!求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，z max＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，z min＝2×1＋1＝3.反思感悟 (1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确．(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小．跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．解 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得Error!所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点A时，z取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)，即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．题型四 利用基本不等式求最值例4 函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则＋的最小值为 ．1m 1n答案 4解析 y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n ＝1，方法一 ＋＝＝≥＝4，1m 1n m ＋n mn 1mn 1(m ＋n 2)2当且仅当m ＝n ＝时，取等号．12方法二 ＋＝(m ＋n )1m 1n (1m ＋1n )＝2＋＋≥2＋2＝4，n m m n n m ·m n 当且仅当Error!即m ＝n ＝时取等号．12∴min ＝4.(1m ＋1n )反思感悟 条件最值的求解通常是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练4 设x ，y 都是正数，且＋＝3，求2x ＋y 的最小值．1x 2y解 ∵＋＝3，∴＝1.1x 2y 13(1x ＋2y )∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13(1x ＋2y )＝≥13(4＋y x ＋4x y )13(4＋2 y x ·4x y )＝＋＝.434383当且仅当＝，即y ＝2x 时，取等号．y x 4x y又∵＋＝3，∴x ＝，y ＝.1x 2y 2343∴2x ＋y 的最小值为.831．(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}答案 B解析 方法一 A ＝{x |(x －2)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.方法二 因为A ＝{x |x 2－x －2>0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.2．已知实数x ，y 满足条件Error!若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B. C ．－ D ．－11212答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为Error!，则a ＋b 等于( )A ．－18B ．8C ．－13D ．1答案 C解析 ∵－2和－是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．14∴Error!∴Error!∴a ＋b ＝－13.4．若不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ．答案 (－2,2]解析 不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0，当a －2＝0，即a ＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需Error!解得－2<a <2，所以a 的取值范围为(－2,2]．5．已知f (x )＝32x －k ·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正，求k 的取值范围．解 f (x )＝(3x )2－k ·3x ＋2＞0，∴k <＝3x ＋，3x ＋≥2＝2，当且仅当3x ＝时，(3x )2＋23x 23x 23x 3x ·23x 223x 等号成立．∴k <2.21．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值时把握三个条件①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．。
最新人教A版高中数学必修五第3章3.1.1同步训练习题(含解析)
人教A高中数学必修5同步训练1．实数x大于10，用不等式表示为( )A．x＜10 B．x≤10C．x＞10 D．x≥10答案：C2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则( ) A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤b解析：选C.∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.3．某品牌酸奶地质量检查规定：酸奶中脂肪地含量f 应不少于2.5%，蛋白质地含量p 应不少于2.3%，则上述关系可用不等式组表示为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%p ≥2.3%4．比较x 6＋1与x 4＋x 2地大小，其中x ∈R. 解：x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1) ＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2； 当x ≠±1时，x 6＋1＞x 4＋x 2. 综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x＝±1时取等号．一、选择题1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”地警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为( )A．h＜4.5 B．h＞4.5C．h≤4.5 D．h≥4.5答案：C2．实数x地绝对值不大于2，则可用不等式表示为( )A．|x|＞2 B．|x|≥2C．|x|＜2 D．|x|≤2答案：D3．下列不等式中不成立地是( ) A ．－1＞－2 B ．－1＜2 C ．－1≥－1 D ．－1≤－2答案：D4．某高速公路对行驶地各种车辆地速度v 地最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上地车间距d 不得小于10 m ，则可用不等式表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120(km/h )d ≥10(m )B ．v ≤120(km/h)或d ≥10(m)C ．v ≤120(km/h)D ．d ≥10(m) 答案：A5．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B地大小关系是( )A．A≤B B．A≥BC．A<B或A>B D．A>B解析：选B.∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝(a－b2)2＋34b2≥0，∴A≥B.6．已知M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，若x≠2或y≠－1，则( )A．M>N B．M<NC．M＝N D．不能确定解析：选A.∵M＝x2＋y2－4x＋2y＝(x－2)2＋(y＋1)2－5>－5＝N，∴M>N.二、填空题7．一个棱长为2地正方体地上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B两点间地距离d满足地不等式为________．解析：最短距离是棱长2，最长距离是正方体地体对角线长2 3.故2≤d≤2 3.答案：2≤d≤2 38．若a＞b＞0，则1a________1b.解析：∵1a－1b＝b－aab，b－a＜0，ab＞0，∴b－aab＜0，∴1a＜1b.答案：＜9．若实数a＞b，则a2－ab________ba－b2.(填“＞”或“＜”)解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a ＞b，所以(a－b)2＞0，即a2－ab＞ba－b2.答案：＞三、解答题10．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：现在要在一天内至少运输2000 t 粮食和1500 t 石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足地所有不等关系地不等式．解：设需要安排x 艘轮船和y 架飞机．则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2000，250x ＋100y ≥1500，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥40，5x ＋2y ≥30，x ∈N ，y ∈N.11．在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5地大小．解：设等比数列{a n}地公比为q，等差数列{b n}地公差为d，∵a1＝b1＞0，a3＝a1q2，b3＝b1＋2d，又a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，∴2d＝a1(q2－1)．∵a1≠a3，∴q2≠1.而b5－a5＝(a1＋4d)－a1q4＝a1＋2a1(q2－1)－a1q4＝－a1q4＋2a1q2－a1＝－a1(q2－1)2＜0，∴b5＜a5.12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价地8折优惠”．这两车队地原价、车型都是一样地，试根据单位去地人数，比较两车队地收费哪家更优惠．解：设该单位有职工n人(n∈N*)，全票价为x 元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋34x(n－1)＝14x＋34xn，y2＝45 nx.所以y1－y2＝14x＋34xn－45nx＝14x－120nx＝14x(1－n5)．当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当0＜n＜5时，y1＞y2.因此当单位去地人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．。
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第三章3.2第2课时含参数的一元二次不等式的解法(含答案)
第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第 2 课时含参数的一元二次不等式的解法A 级基础稳固一、选择题．不等式x2＜0 的解集为 ()1x＋1A．(－1，0)∪(0，＋∞ )B．(－∞ .－1)∪(0，1) C．(－1，0)D．(－∞，－ 1)分析：由于x 2＜0，因此 x＋1＜0，x＋1即 x＜－ 1.答案： D2．设 m＋n＞0，则对于 x 的不等式 (m－x)(n＋x)＞0 的解是 () A．x＜－ n 或 x＞m B．－ n＜x＜mC．x＜－ m 或 x＞n D．－ m＜x＜n分析：方程 (m－x)(n＋x)＝0 的两根为 m，－ n，由于 m＋n＞0，因此 m＞－ n，联合函数 y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解是－ n＜x＜m，应选 B.答案： B3．若函数 f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数 a 的取值范围为 ()A．(－2，2)B．(－∞，－ 2)∪(2，＋∞ )C．(－∞，－ 2)∪[2，＋∞ ) D．[－2，2]分析：由题意知， x2＋ax＋1≥0 的解集为 R，因此Δ≤0，即 a2－4≤0，因此－ 2≤a≤2.答案： D4.二次函数 f(x)的图象以下图，则f(x－1)＞ 0 的解集为 ()A．(－2，1)B．(0，3)C．(1， 2]D．(－∞， 0)∪(3，＋∞ )分析：由题图，知 f(x)＞0 的解集为 (－1，2)．把 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度即得f(x－1)的图象，因此 f(x－1)＞0 解集为 (0，3)．答案： B5．若对于 x 的不等式 ax－b>0 的解集为 (1，＋∞ )，则对于 x 的ax＋b不等式x－2 >0 的解集为 ()A．(－∞，－ 2)∪(1，＋∞ ) B．(1，2)C．(－∞，－ 1)∪(2，＋∞ ) D．(－1，2)分析： x＝1 为 ax－b＝0 的根，因此 a－b＝0，即 a＝b，由于 ax－b>0 的解集为 (1，＋∞)，因此 a>0，ax ＋b a （x ＋1） 故 ＝ >0，x －2 x －2转变为 (x ＋1)(x －2)>0.因此 x>2 或 x<－1.答案： C二、填空题6．不等式 (m 2－2m － 3)x 2－ (m －3)x －1<0 的解集为 R ，则 m 的取值范围为 ________．分析： ①若 m 2－2m －3＝0，即 m ＝3 或－ 1，m ＝3 时，原式化为－ 1<0，明显建立，m ＝－ 1 时，原式不恒建立，故 m ≠－1.②若 m 2－2m －3≠0，则m 2－2m －3<0，＝（m －3）2＋4（m 2－2m －3）<0，11解得－ 5<m<3，因此 m ∈ －5，3 . 答案： －1，35．若函数＝kx 2－6kx ＋（ k ＋8）(k 为常数 )的定义域为 R ，7 y则 k 的取值范围是 ________．分析：函数 y ＝ kx 2－6kx ＋（ k ＋8）的定义域为 R ，即 kx 2－6kx＋(k ＋8)≥0 对全部 x ∈R 恒建立，当 k ＝0 时，明显 8＞0 恒建立；当k＞0，k≠0 时，则 k 知足≤0，k＞0，即36k2－4k（k＋8）≤0.解之得 0＜k≤1，因此 k 的取值范围是 [0，1]．答案： [0， 1]8．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值以下表：x －3－2－1012 3 4y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式 ax2＋bx＋c ＞0 的解集是 ______________．分析：从表中取三组数据 (－1，－4)、(0，－6)、(1，－6)分别代a－b＋c＝－ 4，a＝1，入函数表达式得c＝－ 6，解得b＝－ 1，a＋b＋c＝－ 6，c＝－ 6.因此二次函数表达式为y＝x2－x－6.由 x2－x－6＞0 得(x－3)(x＋2)＞0，因此 x＜－ 2 或 x＞3.答案： {x|x＜－ 2 或 x＞3}三、解答题9．已知实数 a 知足不等式－ 3＜a＜3，解对于 x 的不等式： (x －a)(x＋1)＞0.解：方程 (x－a)(x＋1)＝0 的两根为－ 1，a.①当 a＜－ 1 即－ 3＜a＜－ 1 时，原不等式的解集为{ x|x＜a 或 x＞－ 1} ；②当 a＝－ 1 时，原不等式的解集为 {x|x∈R 且 x≠1}；③当 a＞－ 1 即－ 1＜a＜3 时，原不等式的解集为{ x|x＜－ 1 或 x＞a}．10．解对于 x 的不等式 x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，议论 a＋1 与 2(a－1)的大小：(1)当 a＋1>2(a－1)，即 a<3 时，x>a＋1 或 x<2(a－1)．(2)当 a＋1＝2(a－1)，即 a＝3 时，x≠a＋1.(3)当 a＋1<2(a－1)，即 a>3 时，x>2(a－1)或 x<a＋1，综上：当 a<3 时，解集为 {x|x>a＋1 或 x<2(a－1)} ，当 a＝3 时，解集为 {x|x≠a＋1}，当 a>3 时，解集为 {x|x>2(a－1)或 x<a＋1}．B 级能力提高1．若不等式 (a－2)x2＋2(a－2)x－4＜ 0 对随意实数 x 均建立，则实数 a 的取值范围是 ()A．(－2，2]B．[－2，2]C．(2，＋∞ )D．(－∞， 2]分析：当 a－2＝0，即 a＝2 时，切合题意；当a－2≠0 时，需知足 a－2＜0 且＝4(a－2)2＋4(a－2) 4·＜0，即－2＜a＜2，应选 A.答案： Ax－a2．若对于 x 的不等式x＋1＞0 的解集为(－∞，－ 1)∪(4，＋∞ )，则实数 a＝ ________．x－a分析：注意到等价于(x－a)(x＋1)＞0，而解集为x＜－1或x x＋1＞4，进而 a＝4.答案： 43．当 a 为什么值时，不等式 (a2－1)x2－(a－1)x－1＜ 0 的解集是全体实数？解：①当 a2－1＝0，即 a＝±1 时，若 a＝1，则原不等式为－ 1＜0，恒建立；若 a＝－ 1，则原不等式为 2x－1＜0，1即 x＜2，不切合题目要求，舍去；②当 a2－1≠0，即 a≠±1 时，原不等式的解集为R 的条件是a2－1＜0，2263解得－5＜a＜1.3综上所述，当－5＜a≤1 时，原不等式的解集为全体实数．。
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第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x －m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，①Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；(2)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －a .2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；(2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞b d . 3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n 或n a ＞n b .4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b. [例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小． 解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝ a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝ (a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab， 因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b . 归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．(2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式．(3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小．(4)分子分母有理化．(5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值；(2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，求函数f (x )的最小值． 解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤ 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号， 所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163. (2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0， 所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.专题二 一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集．[例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2；(2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎨⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎨⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ②由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0， 即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时， (*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－a a －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0， 而2－a －2a －1＝a a －1， 若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1； 若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2. 归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值范围是(0，1)．专题三 简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.[例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：甲2114乙1318 利润/(万元/t)53____润最大？(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解：(1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z＝5x＋3y，x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≤14.x＋3y≤18，x≥0，y≥0，作出可行域如图所示：当直线5x＋3y＝z过点B⎝⎛⎭⎪⎫245，225时，z取最大值3715，即生产A产品245t，B产品225t时，可得最大利润．(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－5m，又k AB＝－2，k CB＝－13，要使最优解仍为B点，则－2≤－5m≤－13，解得52≤m≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．[变式训练] 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析：法一：依题意得，x ＋1>1，2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时，等号成立，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.法二：由题意得，x ＝8－2y 2y ＋1＝－（2y ＋1）＋92y ＋1＝－1＋92y ＋1， 所以x ＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＝－1＋92y ＋1＋2y ＋1－1，≥292y ＋1·（2y ＋1）－2＝4， 当且仅当2y ＋1＝3，即y ＝1时，等号成立．答案：B专题四 成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，若对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围．解：因为mx 2－mx －6＋m <0，所以m (x 2－x ＋1)－6<0，对于m ∈[1，3]，f (x )<0恒成立⇔⎩⎨⎧1×（x 2－x ＋1）－6<0，3×（x 2－x ＋1）－6<0，即为⎩⎪⎨⎪⎧1－212<x <1＋212，1－52<x <1＋52，计算得出：1－52<x <1＋52. 所以实数x 的取值范围：1－52<x <1＋52. 归纳升华不等式恒成立求参数范围问题常见解法(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值范围的变量看作主元．(2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ；若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max .(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立， 所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解， 即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，所以Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8，0}．专题五 利用分类讨论思想解不等式[例5] 解关于x 的不等式x －a x －a 2<0(a ∈R)． 分析：首先将不等式转化为整式不等式(x －a )(x －a 2)<0，而方程(x－a)(x－a2)＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，故应就两根a和a2的大小进行分类讨论．解：原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0.(1)若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x2<0，解集为∅；(2)若a＝1，则a2＝1，不等式为(x－1)2<0，解集为∅；(3)若0<a<1，则a2<a，故解集为{x|a2<x<a}；(4)若a<0或a>1，则a2>a，故解集为{x|a<x<a2}．归纳升华分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．(2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．(3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．[变式训练]已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试判断f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解：因为f(x)为R上的减函数，且α>－β，β>－γ，γ>－α，所以f(α)<(－β)，f(β)<f(－γ)，f(γ)<f(－α)，又f(x)为奇函数，所以f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.。