构造概率模型巧解数学问题

Ｐ（Ｃ）＝１一ｃ， Ｐ（Ｄ）＝１一ｄ， 由于Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ） ＝ｌ—Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ）． 因为Ｐ（Ａ）Ｐ（曰）Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ）＝口６耐＞０， 故Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ不是互斥事件． 所以Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ） ＜Ｐ（Ａ）＋Ｐ（口）＋Ｐ（Ｃ）＋Ｐ（Ｄ），
于是１一Ｐ（Ａ）Ｐ（曰）Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ） ＜Ｐ（Ａ）＋尸（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）＋ＪＰ（Ｄ）， 即（１一口）（１—６）（１一ｃ）（１一ｄ）
Ｐ（Ａ）：生土呈薹巡， “有自球”的概率为 乙ｍ＋“ 另一方面矛无白球，，的概率为Ｐ（五）：嬖旦． 乙ｍ＋４
由尸（Ａ）＋Ｐ（Ａ）＝ｌ，即可得所要证的等式成立． （下转题研究·
点评从已知点人手研究比图像变换更容易 解决．
例８（陕西理８）若函数，（戈）的反函数为，。１ （ｘ），则函数以石一１）与厂１（茗一１）的图象可能是
＞１一口一６一ｃ一正
例２已知口≥ｌ，６≥ｌ，ｃ≥１．求证：
ｎ２６２＋６２ｃ２＋ｃ２口２＋１≤口２＋６２＋ｃ２＋口２６２ｃ２．
万方数据
分析考虑到口≥ｌ，６≥ｌ，ｃ≥ｌ，从而不能把它 们看成某些事件的概率，为此，先把原不等式恒等 变形，两边同除时以ｎ２６２ｃ２．
证明原不等式两边同除以口２６２ｃ２得
吉７＋＋矿古＋＋了吉＋＋丽志刮≤－＋＋丽寿＋＋砑寿＋＋习南’．
４求值
是，例，９＝（ｋ湖＋北 ３，１１则）已口知＝—函数 —ｙ；＝２６并＝—一—口的 ．反函数
解析函数），＝２茗一８的反函数并＝２ｙ一８，即，，
＝＝｝知＋吾＋÷口口，，比比较较系系数数得得。ｏ＝＝６６，，６６＝＝÷÷．．
点评求反函数的关键是将戈、ｙ互换，有时可 以不必用含ｙ的代数式表示省，即省略第２步．
于是，Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ＡＩ＋Ａ２＋…Ａ。） ＝Ｐ（Ａ，）＋尹（Ａ２）＋…Ｐ（Ａ。）
２——１ｒ一， ｃ：＋Ｇ：＋…＋ｃ：
又因为矛没有出现正面”的概率为ＪＰ（五）：笋，
由Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ）＝１即可得
ｃ：＋Ｇ：＋ｃ：＋…＋Ｇ：＝２“． 这样我们成功地运用概率模型，证明了两个代 万方数据
数恒等式． 构造概率模型解题，关键在于寻找恰当的概率
１证明不等式 例１若０＜８，６，ｃ，ｄ＜１，证明：（１一口）（１—６） （１一ｃ）（１一ｄ）＞ｌ一口一６一ｃ一以（本题选自罗增 儒．数学解题学引论Ｐ蚓陕西师范大学出版社） 证明设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是相互独立的四个事件，且 令Ｐ（Ａ）＝口，Ｐ（Ｂ）＝６，Ｐ（Ｃ）＝ｃ，Ｐ（Ｄ）＝ｄ， 从而ＪＰ（Ａ）＝１一口，Ｐ（曰）＝ｌ一６，
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
解析以Ⅳ一１）图像由以髫）的图像向右平移１个单
位得到，一（茹一１）图像由厂１（ｘ）的图像向右平移１
个单位得到，函数厂（茗）与厂１（戈）关于直线），＝髫对
称，则函数八戈一１）与厂１（菇一１）的图象关于，，＝算一
１对称，故选Ａ．
点评函数ｙ＝以戈一１）的反函数是），＝厂１（戈）
＋ｌ，而不是），＝厂１（茗一１）．
陈雪松 湖南省衡南县第一中学,421141
中学数学 MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 2007，""(9) 0次
参考文献(3条) 1.罗增儒 数学解题学引论 1997 2.朱水根.王延文 中学数学教学导论 2001 3.杨世海 浅析构造法及其教学价值 2004(07)
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例１０ （重庆文１０）设Ｐ（３，１）为二次函数 必茗）＝僦２—２甜＋６（菇≥１）的图象与其反函数 ），＝厂１（戈）的图象的一个交点，则
Ａ．口＝÷，６＝寻 Ｂ．口＝丢，６＝一吾 ｃ．口＝一÷，６＝丢 Ｄ．８＝一丢，６＝一÷
分析求ｏ、６的值，需建立关于口、６的两个方 程，点Ｐ（３，１）在八菇）＝锨２—２础＋６（戈≥１）的图象 上，故有ｌ＝９口一６乜＋６，点Ｐ（３，１）在／（省）＝似２— ２似＋６（ｚ≥１）反函数的图象上，（１，３）在只算）＝麟２ —２似＋６（戈≥１）的图象上，故有３＝口一２ｎ＋６，所以
十‘７擞＇７（２００７年第９期）
·解题研究·
构造概率模型，巧解数学问题
４２１１４１ 湖南省衡南县第一中学陈雪松
构造法即构造性解题方法，是通过对条件和结 论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的 数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它 可以是图形，函数，方程或其等价命题等，以此架起 一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决 的数学解题方法．构造法本质上是化归思想的运 用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点， 使数学解题突破常规，具有很强的创造性．我们在 教学中对构造图形，函数，方程等解题有一定的经 验，对构造概率模型解题还比较陌生，随着新课程 改革的逐步推进，俺率越来越成为热点，笔者试图 作这方面的尝试，以期抛砖引玉．下面来看几个构 造概率模型，解决问题的实例．
版社（西安）．Ｐ。。。１９９７ ２．朱水根，王延文．中学数学教学导论［肘］．教育
科学出版社（北京）．Ｐ３，，２００１． ３．杨世海．浅析构造法及其教学价值［．，］．中学数
学教学参考（西安）。２００４．７ （收稿日期：２００７０７０４）
构造概率模型,巧解数学问题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
模型，一旦运用成功，它所呈现的是问题的本质规律 和数学的内在美，往往给人耳目一新的感觉．灵活、 巧妙的构造常令人拍手叫绝，它无一定之规，没有通 用的构造法则．运用构造法解题对于培养学生思维 的敏捷性和创造性，具有重要的意义，因此它具有独 特的教学价值．
参考文献： １．罗增儒．数学解题学引论［Ｍ］．陕西师范大学出
从而只要证明上面不等式成立即可． 设Ａ、Ｂ、ｃ是三个相互独立的事件，
且令Ｐ（Ａ）：与，Ｐ（Ｂ）：丢，Ｐ（ｃ）：｛，
显然Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）≤ｌ，另一方面 Ｐ（Ａ＋曰＋Ｃ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）一Ｐ（Ａ） Ｐ（Ｂ）一ＪＰ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）一Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） ＪＰ（Ｃ），所以
ｔ≥专＋古＋专一寿一去一寿＋志即 砉了＋古矿＋＋砉了＋＋志丽≤引，＋＋丽去＋＋孬去＋蕴寿
所以不等式口２６２＋６２ｃ２＋ｃ２口２＋ｌ≤８２＋６２＋ｃ２ ＋ｎ２６２ｃ２成立．
评析这两个问题若用其他方法证明，则对代 数式的恒等变形能力有较高的要求，此处巧妙地构 造概率模型，运算极为简单．
２证明组合数恒等式
例３ 证明《ｃ：＋ｃ：ｃ∥＋《ｃ：。＋…＋ ｃ：１ｃ：＋ｃ二ｃ：：＝ｃ：＋。
证明 构造一个摸球概率摸型，设有ｍ个自 球，儿个黑球，随机地从中取出ｒ个球，那么事件Ａ
ｎ＝一÷，６＝辜，故选ｃ．
点评若求出的反函数求解，费时费力，不明 智．
（收稿日期：２００７０６）
（上接２０页）
例４证明：￡＋ｃ：＋《＋…＋ｃ：＝２８．证明
把质地均匀地硬币抛掷ｎ次，考虑事件Ａ“至少出现 一次正面”的概率．
设Ａ。＝“出现Ｋ次正面”，Ｋ＝１，２，…，ｎ；则Ａ。， Ａ：，…Ａ。彼此互斥，
刖小ｃ：（抄（扩‘＝笋，