随机模型-数学建模

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§1 报童的诀窍
问题：
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有
卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售 价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份 报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太
多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。 试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最 大收入。
事件X(t +t)=n的分解 X(t)=n-1, t内出生一人 X(t)=n+1, t内死亡一人 X(t)=n, t内没有出生和死亡
其它(出生或死亡二人， 出生且死亡一人，… …)
概率Pn(t+t) Pn-1(t) bn-1t Pn+1(t) dn+1t Pn(t)(1-bnt -dn t)
o(t)
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求解
dE ( )E(t)
dt E(0) n0
E(t) n0ert , r
r ~ 增长概率
比较：确定性指数增长模型 x(t) x0ert r ~ 平均增长率
X(t)的方差
D(t
)
n
2
P n
(t
)
E
2
(t
)
E
E(t)+(t)
n1
D(t)
n0
e [e ( )t ( )t
1]
n0
n
p(r)dr
P2
p
P ab 1
P bc 2
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 P2
0
n
r
(a b) n , (b c) n
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§2 随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
随机性模型
dE n dPn
dt n1 dt
n-1=k
dE dt
n(n n 1
1)
P n
1
(t
)
k (k 1)Pk (t) k 1
n(n 1)Pn1 (t)
k (k 1)Pk (t) k 1
n 1
n+1=k
( ) n2 Pn (t)
n 1
dE dt
(
) nPn n1
(t)
(
) E (t )
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报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量存在一来自合 适的购进量每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差
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模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
销售 本公司价 其他厂家 广告费用 价格差 销售量 周期 格(元) 价格(元) (百万元) （元） (百万支)
1
3.85
3.80
5.50
-0.05
7.38
2
3.75
4.00
6.75
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
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结果解释
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
ab bc
取n使
n
0
p(r)dr
P1 ,
Pn (t t) Pn1 (t)bn1t Pn1 (t)dn1t Pn (t)(1 bnt dnt) o(t) 11
建模
微分方程
dPn dt
bn1Pn1 (t) d P n1 n1 (t) (bn
dn )Pn (t)
bn=n，dn=n
dPn dt
(n 1)Pn1(t) (n 1)Pn1(t) ( )nPn (t)
等于每天收入的期望
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准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
r n 售出r 赚(a b)r
退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
随机模型
1
随机模型 确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
2
概率模型--用随机变量和概率分布描述随机因素的 影响，建立随机模型。
统计模型--由于客观事物内部规律的复杂性及人们 认识程度的限制，无法分析实际对象内 在的因果关系，建立合乎机理规律的模 型，通常要搜集大量的数据，基于对数 据的统计分析建立随机模型。
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
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建模 为得到Pn(t)=P(X(t)=n),的变化规律，
考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).
1, Pn (0) 0,
n n0 n n0
(t=0时已知人口为n0)
~一组递推微分方程——求解的困难和不必要
转而考察X(t)的期望和方差
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基本方程
dP n dt
(n 1)Pn1(t) (n 1)Pn1(t) ( )nPn (t)
求解 X(t)的期望 E(t) nPn (t) n 1
E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
- = r D(t) , D(t)
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§3 牙膏的销售量模型
1. 问题 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型;
预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n1
求 n 使 G(n) 最大 6
求解 将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度）
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)dr
n
(a
b)np(r
)dr
dG (a b)np(n)