高二新课程数学《3.1.1 变化率问题》评估训练(新人教A版)选修1-1

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人教版高中数学选修1-1《3.1.1变化率问题》

求平均变化率的步骤
平均变化率的几何意义
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。
谢谢
高中数学人教A版选修1-1
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
整体介绍
引言
“人类精神的分
莱布尼茨
微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： ①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。 ②求曲线的切线。
3
情境二高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
思考：如何描述其运动状态呢？
吴敏霞跳水视频
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态, 那么:
x1
x2
求平均变化率的主要步骤
反思与感悟
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
y f ( x2 ) f ( x1 ) (3)计算平均变化率 x2 x1 x
小试牛刀
例练求平均变化率 (1)函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率；
平均变化率
理解
用 x
x2 x1 ，则 y f ( x2 ) f ( x1 )
一变
y 可正、
可负、可0
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
x 和 y 的范围有要思考：

人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.1 3.1.2 变化率问题导数的概念(含答案)

第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx .①平均速度； ②曲线割线的斜率.瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即_______________＝0lim x →ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0limx →ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y =f (x )在x ＝x 0处的，记为或即f ′(x 0) ＝0lim x →ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0lim x →f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于 ( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．]5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx ＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.13．解运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt ＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

高中数学3.1.1变化率问题教案新人教A版选修1-1

三 . 教学重点
1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 2. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和
数学意义；
四 . 教学难点：平均变化率的概念．
五 . 教学准备
1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料； 2. 向有经验的同事请教； 3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困
h（单位： m）与起跳后的
时间 t （单位： s）存在怎样的函数关系？
o 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度 h( 单位： m)与起跳后的时
t
间 t （单位： s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤ t ≤０ .5 ，1≤ t ≤ 2， 1.8 ≤ t ≤2 ，2≤ t ≤ 2.2 ，时
高中数学 3.1.1 变化率问题教案新人教 A 版选修 1-1
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一 . 设计思想：
（ 1）用逼近的思想考虑问题的思考方法．（ 2）用已知探究未知的思考方法
二 . 教学目标
1．会求函数在某点处附近的平均变化率 2．了解平均变化率的几何意义； 3．理解平均变化率的概念； 4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
③概述本章的主要内容，以及导数工
具的作用和价值．
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高中数学新人教A版选修1-1课堂测试变化率问题导数的概念

课时跟踪检测（十三）变化率问题导数的概念层级一学业水平达标1 .已知函数f （x ）= 1 — 2x 从x = 1到x = 2的平均变化率为 k i ,从x =— 2到x =— 1的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为（）A . k 1 > k 2B . k 1= k 2C . k 1 v k 2D .不确定解析：选B 由平均变化率的几何意义知 k 1= k 2.故选B.2.一个物体做直线运动，位移s （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为 s （t ）=5t 2 + mt,且这一物体在 2< t < 3这段时间内的平均速度为26 m/s ,则实数 m 的值为（）A . 2B . 1C . — 1D . 6解析：选B由已知，得 s3 — s2 = 26,即(5X 32+ 3m)— (5X 22 + 2m) = 26,解得 m =3 — 21,选 B.3 .如果质点 A 按照规律s = 3t 2运动，则在t 0= 3时的瞬时速度为（）A . 6B . 18C . 54D . 81解析：选BT s(t) = 3t 2, t 0= 3,2 2=18At + 3( At)2.A 18+ 3At .A s•l t m ）兀=肌（佃+3 A =18,故应选B.4.设函数f （x ）在点X 0附近有定义，且有 f （x °+A x ） — f （x °）= a A x + b （ A ）2（a , b 为常数）,则（）••• A s =呱+ At)— s(t o )= 3(3 + At) — 3 3解析: B . f (x)= bD . f (x o )= b 选C f (x 。

)讪七沁(x)= a (x o ) = a=limA x^05.已知f(x) = x2—3x,则f (0) =( )A. & —3B. ( Ac)2—3A xD. 0解析：选C f(0)=l A m00+Ax2—30A(A x —02+ 3X 0(a+ b • x)= a.6.如图是函数y = f(x)的图象.⑴函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为 _________ ⑵函数f(x)在区间［2,4］上的平均变化率为 _________ 解析：(1)函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为⑵函数f(x)在区间［2,4］上的平均变化率为 f 4— y )= 5-^1 = 2. 答案： 1 (1)2 (2)27.设 f(x)= ax + 4，若 f ' (1) = 2，则 a = .解析： •/ f ' (1) = lim f1+A x — f 1x - 0A x= lim a1+ & ：4— a+ 4 = a 」a = 2.一 o答案：28.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为解析：4 -3 4.3 28 n -A y= 3 nX 2 一 3 nX 1 = 3 , 28 n• Ay 3 28 n=2—1= 3 .答案：28n2 19.求函数y = 2x 2 + 3在X o 到X o + A x 之间的平均变化率，并求当 x °= 2, A x = — ?时该函数的平均变化率.解：当自变量从X 0变化到X o + A x 时，函数的平均变化率为z y =f (xo+ &)— f(x o )[2(x o + A x 丫+ 3] — (2处+ 3) = A x4x0&「I 4x o + 2 A x.A x 01当 x 0= 2, A x =— 时，平均变化率的值为 4X 2+ 2X (— 2 ；= 7.=!X m o2(Ax )— 3 &A x(A x — 3) =— 3.故选 C.10 .求函数y = f(x)= x 3+ x + 1在x = 1处的导数. 解：根据导数的定义：A y = f(1 + A x) — f(1) =(1 + A x)2+ (1 + A x) + 1 — 3 =(Ac)2 + 3 A x ,则申=』+ 3A=A x + 3, A x A x所以 f ' (1) =A m 。

高中数学选修1-1课时作业8：3.1.1 变化率问题

3.1.1 变化率问题1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.442．一物体的运动方程是S＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为() A．0.41B．3C．4D．4.13．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)4．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈[1，2]时，平均增长率的大小．5．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不等于06.设某质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，其关系式为s(t)＝3t2＋2t＋1.求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度.——★ 参考答案 ★——：1．B[[解析]]Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.2．D[[解析]]Δy Δx ＝S （2.1）－S （2）2.1－2＝3＋2.12－（3＋22）0.1＝4.1. 3．D4．解：设f (x )＝2x 在x ∈[1，2]时的平均变化率为k 1，则k 1＝f （2）－f （1）2－1＝2，设g (x )＝3x 在x ∈[1，2]时的平均变化率为k 2，则k 2＝g （2）－g （1）2－1＝6， ∵k 1＜k 2，故当x ∈[1，2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率．5．D6.解：υ－＝Δs Δt ＝s （2＋Δt ）－s （2）Δt＝3Δt ＋14. 当Δt ＝1时，υ－＝17；当Δt ＝0.1时，υ－＝14.3；当Δt ＝0.01时，υ－＝14.03.。

人教a版高中数学选修1-1练习(无答案)：3.1.1变化率问题.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§3.1.1 变化率问题练案考试要求1.理解平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.2. 会求函数在某点处附近的平均变化率基础训练一.选择题1. 某质点沿直线运动的方程为122+-=t y ，则该质点从21==t t 到时的平均速度为（）A. -4B.-8C.6D.-62. 在曲线12+=x y 的图像上取一点（1，2），及附近一点（y x ∆+∆+2,1），则xy ∆∆为（） A.21+∆+∆x x B.21-∆-∆xx C.2+∆x D.x x ∆-∆+12 3. 一质点运动的方程为 235t s -=，则在一段时间[]x ∆+1,1内相应的平均速度为（） A.63+∆x B.63+∆-xC.63-∆xD.63-∆-x4.设函数1)(2-=x x f ，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率（）A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0二、填空题5.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+- ,则=∆∆xy ． 6．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为．7.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,在4s 附近的平均变化率_______________.8.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，当Δx =0.1时割线的斜率为___________.二、解答题9. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？10. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练后反思 T(月) W(kg)6 3 9 12 3.56.58.611。

人教A版高中数学选修1-1：3.1.1-2变化率问题导数的概念同步课时练习

3．1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念填一填1.平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (3)ΔyΔx的几何意义是函数y ＝f (x )图象上的两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))所在直线的斜率． 2．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢． 3．导数的概念函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.判一判对于函数y ＝f (x )1212Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则1．Δx 可正，可负，可为零．(×)解析：Δx 可正，可负，不为零，故错误．2．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .(√)3．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx.(√)4．当Δx 趋于0时，ΔyΔx就趋于函数在x 1处的瞬时变化率．(√)想一想1.提示：不一定．可正，可负，可为零．2．某条公路限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？提示：不是，是指瞬时速度．3．求平均变化率的三步骤是什么？提示：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.4．利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤是什么？提示：第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx . 思考感悟：练一练1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0 答案：C2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率解析：由定义得f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故选C.答案：C3．函数f (x )＝x 从1到4的平均变化率为________．解析：4－14－1＝13.答案：134．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，y 0)处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1Δx ＝4x 0＝－8，得x 0＝－2，f (－2)＝2×(－2)2＋1＝9，所以点M 坐标为(－2,9)．答案：(－2,9)知识点一平均变化率1.若函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：C2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4 D ．－2Δt －4解析：Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4.答案：D3．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t ) ＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t .又∵Δy Δx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－24.y ＝f (x )＝3A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，则Δy Δx ＝3Δx Δx＝3， ∴当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3.故选B.答案：B5．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析：∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (18＋3Δt )＝18，故选B. 答案：B6．如果某物体的运动方程是s ＝2(1－t )2(单位：m)，则在t ＝1.2 s 时的瞬时速度是( ) A ．4 m/s B ．－4 m/s C ．4.8 m/s D ．0.8 m/s解析：因为Δs Δt ＝2(1－1.2－Δt )2－2(1－1.2)2Δt ＝2Δt ＋0.8，所以Δt 趋于0时，ΔsΔt＝0.8 m/s.故选D.答案：D7.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析：由导数的概念可知，lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关，故选B.答案：B8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析：∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1.∴故选B. 答案：B基础达标一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4解析：Δy Δx ＝m 2－1－(12－1)m －1＝m 2－1m －1＝3，得m ＝2，故选B.答案：B2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B3．已知质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( )A ．t ＝1 s 时的速度B ．t ＝1 s 时的加速度C ．t ＝1 s 时的位移D ．t ＝1 s 时的平均速度解析：v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度．故选B. 答案：B 4．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．故选D.答案：D5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．12 B ．6 C ．3 D ．2解析：f ′(1)＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－3×12Δx＝lim Δx →0 3＋6Δx ＋3(Δx )2－3Δx ＝6. 答案：B6．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 解析：lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．故选C. 答案：C7．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s (t )＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.答案：B 二、填空题8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.答案：28π39．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________. 解析：∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝3－Δx . 答案：3－Δx10．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －3，则三者的大小关系为________．解析：v －1＝k OA ，v －2＝k AB ，v －3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ，所以v －1<v －2<v －3.答案：v －1<v －2<v －311．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________．解析：f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→01＋Δx－1Δx＝limΔx→0(1＋Δx－1)(1＋Δx＋1)Δx(1＋Δx＋1)＝limΔx→0ΔxΔx(1＋Δx＋1)＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.答案：1212．若f′(x0)＝2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝________.解析：根据导数的定义，知limk→0f(x0－k)－f(x0)－k＝2，所以limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0 f(x0－k)－f(x0)－k＝－1.答案：－1三、解答题13．已知函数f(x)＝1x，求f′(2)的值．解析：limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0－Δx2(2＋Δx)Δx＝limΔx→0－12(2＋Δx)＝－14.答案：－1414．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解析：位移公式为s＝12at2，∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at2＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0⎝⎛⎭⎫at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s.能力提升15.若函数f(x)＝－x2＋1，求Δx的取值范围．解析：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2)Δx＝－3－Δx，∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．16．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解析：∵当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx，＝110＋110(100＋Δx ＋10)， ∴f ′(100)＝lim Δx →0 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110(100＋Δx ＋10)＝0.105，f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．。

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双基达标（限时20分钟）
1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx 中，Δx 不
可能是( )． A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0
答案 C
2．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )．
A ．4
B ．4.1
C ．0.41
D ．3 解析＝（3＋2.12）－（3＋22）
0.1＝4.1.
答案 B
3．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )． A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2 解析
Δy Δx ＝
f （1＋Δx ）－f （1）
Δx
＝
（1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）－（12＋1）
Δx ＝Δx ＋3.
答案 C
4．已知函数y ＝2＋1
x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________．解析 Δy ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.
答案－1
2
5．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为________．
解析物体在t＝0到t＝2之间的平均速度为（3×2－22）－0
2－0
＝1.
答案 1
6．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率；
(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．
解(1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
f（－1）－f（－3）（－1）－（－3）＝
[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]
2＝2，
g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
g（－1）－g（－3）（－1）－（－3）＝
[－2×（－1）]－[－2×（－3）]
2＝－2.
(2)函数f(x)在区间[0，5]上的平均变化率为
f（5）－f（0）
5－0＝
（2×5＋1）－（2×0＋1）
5＝2，
g(x)在区间[0，5]上的平均变化率为
g（5）－g（0）
5－0＝
－2×5－（－2×0）
5＝－2.
综合提高（限时25分钟）
7．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，
则Δy
Δx
等于()．
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析Δy
Δx
＝
f（1＋Δx）－f（1）
Δx
＝
2（1＋Δx）2－2
Δx
＝4＋2Δx.
答案 C
8．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为
()．A．2Δt＋4 B．－2Δt－4
C ．4
D ．－2Δt 2－4Δt
解析＝
4－2（1＋Δt ）2－（4－2×12）
Δt
＝－4Δt －2（Δt ）2Δt
＝－2Δt －4.
答案 B
9．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．解析当r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝
π（1＋Δr ）2－π
Δr
＝
π＋2π·Δr ＋（Δr ）2π－π
Δr
＝2π＋πΔr .
答案 2π＋πΔr
10．国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果
如图所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)________．
解析 ΔW Δt ＝W （t 1）－W （t 2）Δt ，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少
的多，∴甲企业的治污效果更好．答案甲企业
11．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
解由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：
L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为：L ＝L （20）－L （10）20－10
＝870
10＝87(元)．
12．(创新拓展)婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解第一年婴儿体重平均变化率为
11.25－3.75
12－0
＝0.625(千克/月)；
第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.25
＝0.25(千克/月)．24－12。