高二数学选修2-1知识点总结(精华版),推荐文档

高二数学选修2－1 知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝p ，则⌝q ”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝q ，则⌝p ”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ．当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题（一假必假）．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题（一真必真）；当p 、q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作⌝p ．若p 是真命题，则⌝p 必是假命题；若p 是假命题，则⌝p 必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x ，有p (x)成立”，记作“ ∀x ∈M，p (x)”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表1- a 2 b 2示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个 x ，使 p (x )成立”，记作“ ∃x ∈M ， p (x )”． 10、全称命题 p ： ∀x ∈M ， p (x )，它的否定⌝p ： ∃x ∈M ， ⌝p (x )．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点 F 1， F 2的距离之和等于常数（大于 F 1F 2 ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形x 2 + y 2y 2 + x 2标准方程 a 2 b 2 = 1(a > b > 0) a 2 b 2 = 1(a > b > 0)范围-a ≤ x ≤ a 且-b ≤ y ≤ b A 1 (-a , 0)、A 2 (a , 0)顶点B 1 (0, -b )、B 2 (0, b )-b ≤ x ≤ b 且-a ≤ y ≤ a A 1 (0, -a )、A 2 (0, a ) B 1 (-b , 0)、B 2 (b , 0) 轴长 短轴的长= 2b长轴的长= 2a焦点 F 1 (-c , 0)、 F 2 (c , 0)焦距 F 1F 2 F 1 (0, -c ) 、 F 2 (0, c )= 2c (c 2 = a 2 - b 2 ) 对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称c离心率e = = ax = ±a 2(0 < e < 1)y = ±a 2准线方程c c13、设M 是椭圆上任一点，点M 到 F 1 对应准线的距离为d 1 ，点M 到 F 2 对应准线的距离为d ， 则 M F 1 = M F 2 = e ．d 1 d 214、平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离之差的绝对值等于常数（小于 F 1F 2 ）21+ a 2 b 2的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形x 2 -y 2y 2 - x 2标准方程 a 2 b 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2 b2 = 1(a > 0, b > 0)范围 x ≤ -a 或 x ≥ a ， y ∈ R 顶点 A 1 (-a , 0)、A 2 (a , 0)y ≤ -a 或 y ≥ a ， x ∈ R A 1 (0, -a )、A 2 (0, a ) 轴长 虚轴的长= 2b实轴的长= 2a焦点 F 1 (-c , 0)、 F 2 (c , 0)焦距 F 1F 2 F 1 (0, -c ) 、 F 2 (0, c )= 2c (c 2 = a 2 + b 2 ) 对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称c离心率e = = ax = ± a 2(e > 1)y = ± a 2准线方程c c渐近线方程y = ± b x a 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．y = ± a x b17、设M 是双曲线上任一点，点M 到 F 1 对应准线的距离为d 1 ，点M 到 F 2 对应准线的距离为d ， 则 M F 1 = M F 2 = e ． d 1 d 218、平面内与一个定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称22 2 2 2 为抛物线的“通径”，即 AB = 2 p ．20、焦半径公式：若点P (x , y )在抛物线 y 2 = 2 px (p > 0)上，焦点为 F ，则 P F = x + p；0 0 02 若点P (x , y )在抛物线 y 2 = -2 px (p > 0)上，焦点为 F ，则 P F = -x + p；0 0 02 若点P (x , y )在抛物线 x 2 = 2 py (p > 0)上，焦点为 F ，则 P F = y + p；0 0 02 若点P (x , y )在抛物线 x 2 = -2 py (p > 0)上，焦点为 F ，则 P F = - y + p．0 0 0221、抛物线的几何性质：y 2 = 2 pxy 2 = -2 pxx 2 = 2 pyx 2 = -2 py标准方程图形(p > 0)(p > 0) (p > 0) (p > 0)顶点(0, 0)对称轴x 轴y 轴焦点F ⎛ p , 0 ⎫ F ⎛- p , 0 ⎫ F ⎛ 0, p ⎫ F ⎛0, - p ⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭准线方程x = - p2x = p2y = - p2y = p2离心率 e = 1范围x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 022、空间向量的概念：(1)在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．(2)向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指5a 的乘积 aa a 的方向表示向量的方向．(3)向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作 AB ． (4)模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．( )与向量 长度相等且方向相反的向量称为 的相反向量，记作- ．(6)方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：(1)求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点 O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形OA C B ，则以O 起点的对角线O C 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加 法的平行四边形法则．(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作 OA = a ， OB = b ，则BA = a - b ．24、实数与空间向量 a 是一个向量，称为向量的数乘运算．当 > 0 时， < 0 时， = 0 时， 为a a a a a零向量，记为0 ． a 的长度是a 的长度的 倍．25、设， 为实数， a b ， 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：(a + b )= a + ；b 结合律：(a )= ()a ．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线 ． 27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，( ≠ 0)， 的充要 b b a // b条件是存在实数，使a =b ．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点P 位于平面AB C 内的充要条件是存在有序实数对x ， y ，使AP = x AB + y A C ；或对空间任一定点O ，有OP = OA + x AB + y A C ；与 方向相同；当 与 方向相反；当a b-ab或若四点P ， A ， B ， C 共面，则OP = x OA + y OB + z O C (x + y + z = 1)． 、已知两个非零向量a 和 ，在空间任取一点O ，作O A = a ， OB = ，则 30 bb ∠AOB 称为向量a ， 的夹角，记作〈 b a , b〉 ．两个向量夹角的取值范围是：a ,b 〉 ∈[0,]． 31、对于两个非零向量a 和 ，若〈 ，则向量a ， 互相垂直，记作b a , b 〉 = b2a ⊥b ． 32、已知两个非零向量a 和 ，则b a 〈 b cos a , b 〉 称为a ， 的数量积，记 b作a ⋅b ．即a ⋅ b = a b cos 〈a , b 〉 ．零向量与任何向量的数量积为0 ． 33、a ⋅ b 等于a 的长度 a 与b 在 的a 方向上的投影 b cos 〈a , b 〉 的乘积．34、若a ， b 为非零向量， e 为单位向量，则有(1) e ⋅ a = a ⋅ e = a cos 〈a , e 〉 ；⎧⎪ a b (a 与同向 )2 (2) a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ； (3) a ⋅ b = ⎨ ， a ⋅ a = a ， a = ；⎪ a b (a 与反b 向 )a ⋅ a (4) cos 〈a ,b 〉 = a ⋅ b ； (5)a ⋅b ≤ 35、向量数乘积的运算律： (1) a ⋅ = ⋅ a ； (2) (a )⋅ = (a ⋅ )= a ⋅( )；3 a +b bb bb( ) ( b )⋅c = a ⋅ c + b ⋅ c ．36、若i ， j ， k 是空间三个 两两 垂直的向量 ，则 对空间任一向量 p ，存 在有 序 实数组{x , y , z }，使得 = xi + yj + zk ，称 xi ， yj ， zk 为向量 在i ， j kp p， 上的分量． 37、空间向量基本定理：若三个向量 不共面，则对空间任一向量 ，a ，b ，c p存在实数组{x , y , z }，使得 p = xa + yb + zc ．38、若三个向量a ， b ， c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{p p = xa + yb + zc , x , y , z ∈ R }．这个集合可看作是由向量a b ， ， c 生成的，〈．a b x 2 + y 2 + z 2 1 1 1 x 2 + y 2 + z 2 2 2 2(x 2 1 - x + y ) ( 22 1 - y + z - z ) ( 22 1 )2 a a 表示直线{a ,b , c }称为空间的一个基底， a ， b ， c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．、设 ， ，为 有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位 39 e 1 e 2 e 3 正交基底），以e 1 ， e 2 ， e 3 的公共起点O 为原点，分别以e 1 ， e 2 ， e 3 的方向为x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz ．则对于空间任意一个向量 p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP = p ．存在有序实数 组 {x , y , z }，使得 p = xe 1 + ye 2 + ze 3 ．把 x ， y ， z 称作向量 p 在单位 正交基底e 1 ， e 2 ， e 3 下的坐标，记作 p = (x , y , z )．此时，向量 p 的坐标是点P 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标(x , y , z )．40、设 = (x , y , z )， = (x , y , z )，则(1) a + = (x + x , y + y , z + z )．(2) a1 1 1 b2 2 2b 1 2 1 2 1 2 - = (x - x , y - y , z - z )．b 1 2 1 2 1 2 (3)= (x 1,y 1,z 1 )．a (4) a⋅ = x x + y y + z z ．b 1 2 1 2 1 2( )若a 、 为非零向量，则a ⊥ ⇔ a ⋅= 0 ⇔ x x + y y + z z = 0 ．5 b6 若 ≠ bb1 21 21 2( ) b0 ，则a // b ⇔ a = b ⇔ x 1 = x 2 , y 1 = y 2 , z 1 = z 2 ． 2 2 2 (7) a =a ⋅ a = x 1 + y 1 + z 1．a ⋅ x x + y (8) cos 〈a ,b 〉 = b = 1 2 1 y 2 + z 1z 2． ⋅ (9) A (x 1, y 1, z 1 )， B = (x 2 , y 2 , z 2 )，则d． AB = AB =41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有AP = ta ，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以a ⋅ ba b l ⋅ nl n n 1 ⋅ n 2 n 1 n 2an a ，则向量a 称为平面 具体表示出直线l 上的任意一点．43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的 方 向向 量分别为a ， b ． P 为平面上任意一点，存在有序实数对(x , y )，使得OP = xa +位置．，这样点O 与向量a ，就确定了平面的yb b 44、直线l 垂直，取直线l 的方向向量 的法向量 ．45、若空间不重合两条直线a ， b 的方向向量分别为 a ， ，则a // b ⇔ ⇔b a // b a =b (∈R )， a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ． 46、若直线a 的方向向量为 ，平面 a ⊄，则a //⇔a n // ⇔ a ⊥ n ⇔ a ⋅ n = 0 ， a ⊥⇔ a ⊥⇔ a // n ⇔ a = n ． 47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为//⇔ ⇔a ，b ，则=a // bb ，⊥ ⇔ a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ．48、设异面直线a ， b 的夹角为，方向向量为a ， b ，其夹角为，则有cos = c os = ．、设直线l 的方向向量为 49，平面的法向量为n ， l 与所成的角为， 与 l l n 的夹角为，则有sin = cos = ．50、设 ，是二面角- l - ， 的法向量，则向量 ， 的夹 n 1 n 2 n 1 n 2角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角- l -的平面角为，则 cos= ．51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模 AB 计算．52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为，则定点A 到直PA⋅ n线l 的距离为d = PA cos 〈PA , n 〉 = ．n的法向量为 ，且 a53、点P是平面外一点，A是平面内的一定点，n 为平面的一个法向量，则点P到平面的距离为“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。