【附加15套高考模拟试卷】江西省南昌市10所省重点2020届高三数学(文)二模冲刺试题(九)含答案

江西省南昌市10所省重点2020届高三数学（文）二模冲刺试题（九）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2．设,x y 满足约束条件2103230360x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z 的最小值为（ ）A ．1 BCD．3．记[]m 表示不超过m 的最大整数.若在11(,)82x ∈上随机取1个实数，则使得2[log ]x 为偶数的概率为（ ）A ．23 B ．12 C ．13 D ．144．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．1125．若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．26．2ln ||()x f x x x=-，则函数y=f(x)的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若1sin()4a π+=，,02a π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos 21tan αα-=（ ） A ．158-B ．158 C ．154 D ．15168．已知,x y 满足约束条件0,3,3,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩且不等式20x y m -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3m …B ．1m …C ．0m …D ．3m -…9．23(+1)(2)x x x --的展开式中，含5x 项的系数为( ) A ．-6 B ．-12 C ．-18 D ．18 10．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向左平移个单位11．已知函数()lg(1)f x x =+，记0.2(5)a f =，0.2(log 3)b f =，(1)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．已知函数()sin 333f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( )A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．30,4⎛⎤⎥⎝⎦ D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +-=，n A 表示{}n a 的前n 项之积，则2019A =______．14．已知函数()ln ,012,0x x x f x x x x >⎧⎪=⎨++<⎪⎩，若方程()()22104f x af x e ++=⎡⎤⎣⎦有八个不等的实数根，则实数a 的取值范围是_____．15．若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆22(2)1x y-+=相切，则其离心率为__________．16．已知函数y=INT（x）叫做取整函数，它表示y等于不超过x的最大整数，如(0.89)0 INT=，(2.90)2INT=，已知1INT27nna⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，11b a=，12n n nb a a-=-（*n N∈，2n…），则2019b=_______.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x与年销售量i y(1,2,,10)i=L的数据，得到散点图如图所示：利用散点图判断，y a bx=+和·dy c x=（其中,c d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.对数据作出如下处理：令lni iu x=，lni iv y=，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；已知企业年利润z（单位：千万元）与,x y的关系为27z y xe=-（其中 2.71828e=L），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据11(,)u v，22(,)u v，L，(,)n nu v，其回归直线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为^121()()()ni iiniiu u v vu uβ==--=-∑∑，^v uαβ∧∧=-18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为315415x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点P 的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求PM.19．（12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且142318,32a a a a +==.求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n b 的通项公式2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.证明：面PAC ⊥面ABCD ；若PA 与底面ABCD 所成的角为30o， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．21．（12分）曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率3[3]3k ∈时，求1OA OB+的最小值.22．（10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin 3cos 3cos b B a A a A b B -=，a b ¹.求角C ；若22c =ABC ∆的中线2CD =，求ABC ∆的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A 9．A10．A 11．A 12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1-14．15,4e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15．3或216．1三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）选择回归类型·dy c x =；（2）13·y e x =；（3）2.7亿元. 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型·d y c x =．（2）将·dy c x =两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可． 【详解】（1）由散点图知，选择回归类型·d y c x =更适合． （2）对·dy c x =两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==，∴()()()1122211·30.510 1.5 1.5146.510 1.5 1.53ˆn ni i i i i i n n i i i i u u v v u v nu v d u u u nu ====----⨯⨯====-⨯⨯--∑∑∑∑， ∴1ln 1.5 1.5ˆ13c v du=-=-⨯=， ∴c e =，∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13·y e x =. （3）由（2）知，()1327z x x x =-， ∴()23'91z x x -=-，令()23'910z x x-=-=，得27x =，且当()0,27x ∈时，()()0,z x z x '>单调递增；当()27,x ∈+∞时，()()0,z x z x '<单调递减． 所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为()1327272727 5.4z =⨯-=亿元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元. 【点睛】求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．18．（1）2212x y +=，()1,1（2）5541PM =【解析】 【分析】（1）利用互化公式把曲线C 化成直角坐标方程，把点P 的极坐标化成直角坐标；（2）把直线l 的参数方程的标准形式代入曲线C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t 的几何意义可得． 【详解】 （1）由ρ2221sin θ=+得ρ2+ρ2sin 2θ＝2，将ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C 的直角坐标方程为22x +y 2＝1，设点P 的直角坐标为（x ，y ），因为P，4π）， 所以x ＝ρcosθ=4π=1，y ＝ρsinθ=4π=1，所以点P 的直角坐标为（1，1）．（2）将315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x +y 2＝1，并整理得41t 2+110t+25＝0，因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t 1，t 2， 则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1+t 211041=-， 依题意，点M 对应的参数为122t t +， 所以|PM|＝|122t t +|5541=． 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．19．（1）2nn a =；（2）1nn +. 【解析】 【分析】（1）根据142332a a a a ==和1418a a +=求得1a 和4a ，利用通项公式得到q ，从而可求解出通项公式；（2）由（1）得到n b ，然后利用裂项相消法求出n S . 【详解】（1）由题意知142332a a a a ==，又1418a a +=解得：14216a a =⎧⎨=⎩或14162a a =⎧⎨=⎩（舍去）设等比数列的公比为q ，由3341216a a q q ===，可得2q =故()1*12n n n a a qn N -==∈（2）由题意知：()12212211111log log log 2log 211n n n n n b a a n n n n ++====-⋅⋅++12111111...1...1223111n n n S b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、裂项相消法对数列求和，属于常规题. 20．（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO ⊥BD ，而正方形中AC ⊥BD ，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦． 【详解】（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥ ∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD =====如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()0,0,0,,,0,,22A B C D P ⎛ ⎝ 设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v，()0,,22BC CP ⎛==-- ⎝u u u v u u u v1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ,∴00x y ⎧=+=，1,0,z y x ===令则)1n =u v同理PCD 面的法向量()2n =u u v ，1212121cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u vu v u u v u v u u v ∴求二面角B PC D --的余弦值17- 【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．21．（1）1C 的极坐标方程为sin ρθ=；曲线2C 的直角坐标方程23x y =.（2）3【解析】 【分析】(1)消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程220x y y +-=，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解. (2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程，求得2OA t =，再把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程，得2OB t =，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，利用基本不等式，即可求解；解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=，分别代入曲线1C ，2C 的极坐标方程，得sin OA α=，23sin cos OB αα=，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，即可基本不等式，即可求解. 【详解】(1) 由题曲线的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程为2211()24x y +-=，即220x y y +-=， 则曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=，又因为曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求解曲线2C 的直角坐标方程23x y =.(2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为cos x t y tsin αα=⎧⎨=⎩（α为参数，63ππα≤≤），把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程得：2sin 0t t α-=， 解得10t =，2sin t α=，2sin OA t α∴==，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程得：22cos 3sin t t αα=， 解得10t =，223sin cos t αα=，223sin cos OB t αα∴==， 21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，k ∈Q，即tan α∈，63ππα≤≤Q，1sin 2α∴≤≤，12sin sin αα∴+≥= 当且仅当12sin sin αα=，即sin 2α=时取等号， 故1OA OB +的最小值为3. 解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=(63ππα≤≤），代入曲线1C 的极坐标方程，得sin ρα=，sin OA ρα∴==， 把直线l 的参数方程代入曲线2C 的极坐标方程得：2cos 3sin ρθα=，23sin cos αρα∴=，即23sin cos OB αρα==，21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，曲线1C 的参[3k ∈Q ，即tan 3α∈，63ππα≤≤Q，1sin 2α∴≤≤12sin sin αα∴+≥=当且仅当12sin sin αα=，即sin 2α=时取等号，故1OA OB +. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22．（1）3C π=（2）S =【解析】 【分析】（1）由题意及正弦定理得22sin sin B A - cos cos A A B B =，再根据倍角公式可得cos2cos2A A B B -=-，即2sin 22sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可得23A B π+=，于是3C π=．（2）由ABC ∆的中线CD 可得()12CD CA CB =+u u u vu uu v u u u v ，两边平方后得到2216a b ab ++=，又根据余弦定理得228a b ab +-=，于是4ab =，所以可得三角形的面积． 【详解】（1）由sin sin cos cos b B a A A B -=及正弦定理得，22sin sin B A - cos cos A A B B =，∴1cos21cos222B A --- A B =-，cos2cos2A A B B -=-， 即2sin 22sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又a b ≠，∴2266A B πππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23A B π+=， ∴()3C A B ππ=-+=．（2）由12CD CA CB u u u v u u u v u u u v =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v，即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，② 由①②两式得4ab =， ∴ABC ∆的面积13sin 32S ab C ab ===． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．1. 设全集为U=R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则()B U C A ⋂= ( )A. [2,1]-B. (2,)+∞C. ]2,1(D. (,2)-∞-2. 设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若//,n//m αα，则m//nB. 若,m ααβ⊥⊥，则//m βC. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥；D. 若βα//,m m ⊥，则βα⊥ 3. 已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“||||1a b +≤”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()sin()()f x A x x R ωϕ=+∈的图象的一部分如图 所示，若对任意,x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤， 则12||x x -的最小值为（ ） A. 2πB. πC.2π D.4π （第4题）5. 已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为( ) A. 32B.12C. 2D. 16. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201420150,0S S ><，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥ ，则k 的值为( ) A. 1006B. 1007C. 1008D. 10097. 设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为（ ） A.32B. 38. 已知实数,,a b c 满足22211144a b c ++=，则22ab bc ca ++的取值范围是( ) A ．(,4]-∞ B ．[4,4]- C ．[2,4]- D ． [1,4]-第Ⅱ卷（非选择题部分 共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共36分．9. 若指数函数()f x 的图像过点(2,4)-，则(3)f = _____________；不等式5()()2f x f x +-<的解集为 .10. 已知圆222:245250C x y ax ay a +-++-=的圆心在直线1:20l x y ++=上，则a = ；圆C 被直线2:3450l x y +-=截得的弦长为____________.11. ；外接球的体积为 ． 12．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a [] )(12*++∈+=N n a a a n n n 则=7a ____________；若2017a m =，则数列{}n a 的前2015项和 是________________（用m 表示）． 侧视图 （第11题）13．已知函数3,0()13x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+-⎪⎩，若关于x 的方程21(2)m 2f x x ++=有4个不同的实数根，则m 的取值范围是________________．14. 定义：曲线C 上的点到点P 的距离的最小值称为曲线C 到点P 的距离。