高中数学第2章数列 2.2.2.2 等差数列的通项公式练习苏教版必修
高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列的通项公式学案 苏教版必修5
等比数列的概念与通项公式知识点课标要求题型说明等差数列的通项公式1. 掌握等差数列的通项公式；2. 能运用通项公式解决一些简单问题；3. 了解等差数列与一次函数的关系填空题选择题等差数列是最简单最基础的数列，也是以后知识的基础，应认真体会求通项的方法，同时也是求和的一种重要方法二、重难点提示重点：等差数列通项公式的应用。
难点：灵活运用通项公式、性质解决问题。
考点一：等差数列的通项公式（1）通项公式：*1(1)()()n ma a n d a n m d m n N=+-=+-∈、。
（2）公式的推导：由1n na a d--=，可知：2132431,,,...,n na a d a a d a a d a a d--=-=-=-=。
将它们相加得1(1)na a n d-=-，即1(1)na a n d=+-（3）等差中项公式：,,a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2a bA+=。
【核心突破】1. 从函数角度研究等差数列{a n}a n＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d）是关于n的一次函数的形式，其定义域为N*，其图象是直线y＝dx＋（a1－d）上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率。
2. 利用等差数列的通项公式可以判断一个数是不是该数列中的项；由1(1)na a n d=+-可知，只要知道1na a n d、、、中三个便可求另一个，即“知三求一”。
不过有时候利用()n m a a n m d =+-可以快速地求出n a 。
3. 注意通项公式的推导方法——迭加法，除此，还可以用迭代法。
即 因为{a n }是等差数列，所以有：a n ＝a n －1＋d ＝a n －2＋d ＋d ＝a n －2＋2d ＝a n －3＋d ＋2d ＝a n －3＋3d ＝…＝a 1＋（n －1）d ，所以a n ＝a 1＋（n －1）d （n ∈N *）， 这也是两种求和方法。
考点二：等差数列的性质1. 在等差数列{a n }中，设m 、n 、p 、q 均为正整数，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p 。
苏教版数学必修五2.2等差数列的通项公式(学案含答案)
苏教版数学必修五2.2等差数列的通项公式（学案含答案）高中数学 等差数列的通项公式知识点课标要求 题型 说明 等差数列的通项公式 1. 掌握等差数列的通项公式； 2. 能运用通项公式解决一些简单问题； 3. 了解等差数列与一次函数的关系 填空题 选择题等差数列是最简单最基础的数列，也是以后知识的基础，应认真体会求通项的方法，同时也是求和的一种重要方法 重点：等差数列通项公式的应用。
难点：灵活运用通项公式、性质解决问题。
考点一：等差数列的通项公式（1）通项公式：*1(1)()()n m a a n d a n m d m n N =+-=+-∈、。
（2）公式的推导：由1n n a a d --=，可知：将它们相加得1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-（3）等差中项公式：,,a A b 成等差数列，则A叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。
【核心突破】1. 从函数角度研究等差数列{a n }a n ＝a 1＋（n －1）d ＝dn ＋（a 1－d ）是关于数列。
5. {}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列； {}0n d a <⇔为递减数列；{}0nd a =⇔为常数列。
利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程更为简洁。
考点三：判断等差数列的方法判断一个数列为等差数列的常用方法：（1）定义法：1n n a a d --=（常数）{}*()n n N a ∈⇔为等差数列。
（2）中项法：{}*122()n n n n a a a n N a ++=+∈⇔为等差数列。
（3）通项法：n a 为n 的一次函数{}n a ⇔为等差数列。
（4）求和法：{}n a 为等差数列2n S An Bn ⇔=+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。
注意：在解答题中判断等差数列用（1）或（2），不能用（3）和（4）。
【规律总结】1. 等差数列的设项方法（1）通项法：设数列的通项公式，即设*1(1)()n a a n d n N =+-∈；（2）对称设：当等差数列的项数n 为奇数项时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，…；当项数n为偶数项时，可设中间两项为a d-，a d+，再以2d为公差向两边分别设项：…，3-，a d-，a d+，a d+，…3a d2. 构造辅助数列求通项观察递推数列的结构特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列问题。
高中数学 第2章2.2.12.2.2等差数列的概念,等差数列的通项公式(一)配套课件 苏教版必修5
探究 2 由等差数列的定义知：an－an－1＝d(n≥2)，可以采用 叠加法得到通项公式 an.
a2－a1＝d
答
a3－a2＝d a4－a3＝d
(n－1)个
⋮
an－an－1＝d
将以上(n－1)个等式两边分别相加，可得 an－a1＝(n－1)d， 即 an＝a1＋(n－1)d.
第十二页，共26页。
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b) ＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b ＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a) ＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
＝b(a2＋c2)＋2abc
＝b(a2＋c2＋2ac) ＝b(a＋c)2＝b·(a＋c)·(a＋c)
＝2·b2(a＋c)．
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
2.2.1-2.2.2（一）
探究点二 等差数列的通项公式
问题 如果等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，你能用两 种方法求其通项吗？
探究 1 根据等差数列的定义：an＋1＝an＋d，可以依次得到 a1，a2，a3，a4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式
所以 a75＝a1＋74d＝6145＋74×145＝24.
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研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
2.2.1-2.2.2（一）
例 2 已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列． 证明 ∵1a，1b，1c成等差数列， ∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)． ∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c ＝a2＋ca2c＋2ac＝2baa＋＋cc2＝2ab＋c. ∴b＋a c，a＋b c，a＋c b成等差数列．
2020高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列的通项公式学案 苏教版必修5
等比数列的概念与通项公式二、重难点提示重点：等差数列通项公式的应用。
难点：灵活运用通项公式、性质解决问题。
考点一：等差数列的通项公式（1）通项公式：*1(1)()()n m a a n d a n m d m n N =+-=+-∈、。
（2）公式的推导：由1n n a a d --=，可知：2132431,,,...,n n a a d a a d a a d a a d --=-=-=-=。
将它们相加得1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-（3）等差中项公式：,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
【核心突破】1. 从函数角度研究等差数列{a n }a n ＝a 1＋（n －1）d ＝dn ＋（a 1－d ）是关于n 的一次函数的形式，其定义域为N *，其图象是直线y ＝dx ＋（a 1－d ）上的一些等间隔的点，其中公差d 是该直线的斜率。
2. 利用等差数列的通项公式可以判断一个数是不是该数列中的项；由1(1)n a a n d =+-可知，只要知道1n a a n d 、、、中三个便可求另一个，即“知三求一”。
不过有时候利用()n m a a n m d =+-可以快速地求出n a 。
3. 注意通项公式的推导方法——迭加法，除此，还可以用迭代法。
即 因为{a n }是等差数列，所以有：a n ＝a n －1＋d ＝a n －2＋d ＋d ＝a n －2＋2d ＝a n －3＋d ＋2d ＝a n －3＋3d ＝…＝a 1＋（n －1）d ，所以a n ＝a 1＋（n －1）d （n ∈N *），这也是两种求和方法。
考点二：等差数列的性质1. 在等差数列{a n }中，设m 、n 、p 、q 均为正整数，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p 。
高一数学苏教版必修5教师用书：第2章 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项公式
2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式1．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3．等差数列的证明及其应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的概念阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()【★答案☆】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2 等差数列的通项公式阅读教材P37～P38例1的有关内容，完成下列问题．对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.1．若{a n}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则a n＝. 【解析】∵a1＝1，d＝3，∴a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2.【★答案☆】3n－22．若{a n}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若a n＝7，则n＝. 【解析】∵a1＝2，d＝1，∴a n＝2＋(n－1)×1＝n＋1.由a n＝7，即n＋1＝7，得n＝6.【★答案☆】6[小组合作型]判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n}中，a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中，a n＝n2＋n.－a n―→代数运算―→利用等差数列定义判断【精彩点拨】作差a n＋1【自主解答】(1)a n－a n＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意＋1性知，这个数列为等差数列．(2)a n＋1－a n＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．1．定义法是判定(或证明)数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差a n＋1－a n；(2)对差式进行变形；(3)当a n＋1－a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋1－a n 不是常数，是与n有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．[再练一题]1．已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)，记b n －a n.求证：对任意实数p和q，数列{b n}是等差数列．＝a n＋1－a n＝2pn＋p＋q，【证明】∵a n＋1－a n＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴a n＋2∴b n－b n＝(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＋1＝2p为一个常数，故数列{b n}是等差数列.等差数列的通项公式已知数列{a n}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.【导学号：92862034】(1)求{a n}的通项公式；(2)若a n＝13，求n的值．【精彩点拨】建立首项a1和d的方程组求a n；由a n＝13解方程得n.【自主解答】(1)设{a n}的首项为a1，公差为d，则由题意可知⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5.(2)由a n ＝13，得3n －5＝13，解得n ＝6.1．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n ＝a 1＋(n －1)d 中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．2．已知数列的其中两项，求公差d ，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n ＝a m ＋(n －m )d .[再练一题]2．已知递减等差数列{a n }前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？【解】 依题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1a 2a 3＝66，∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎨⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5. ∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16， 即等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的第10项．[探究共研型]【提示】 由a n ＋1＝a n ＋1可知a n ＋1－a n ＝1. ∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2，∴a 5＝52＝25.探究2 某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？【提示】设第n排有a n个座位，由题意可知a n－a n－1＝2(n≥2)．又a1＝20，∴a n＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【精彩点拨】分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．【自主解答】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n年的利润为a n，则a n－a n－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．[再练一题]3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？【解】(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.当s＝49 cm时，t＝s9.8＝499.8＝5 s.1．下列数列中是等差数列的为(填序号)．①6,6,6,6,6；②－2，－1,0,1,2；③5,8,11,14；④0,1,3,6,10. 【解析】①②③是等差数列，④不是等差数列．【★答案☆】①②③2．若数列1，a,9是等差数列，则a的值为．【解析】由1，a,9成等差数列可知，a－1＝9－a，∴2a＝1＋9，∴a＝5.【★答案☆】 53．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则a n＝. 【解析】由a n＋1＝a n＋2，得a n＋1－a n＝2，∴{a n}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.【★答案☆】2n－14．设数列{a n}的公差为d，则数列a3，a6，a9，…，a3n是数列，其公差为.【导学号：92862035】【解析】a3n－a3(n－1)＝3d.【★答案☆】等差3d5．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【解】用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.。
高中数学第2章数列2.2.2等差数列的通项公式课件苏教版必修5
由
解得:
7
7 =
1 + 6 = - ,
4
11
3
31
∴a15=a1+(15-1)d= +14× - =- .
4
4
4
第六页，共26页。
11
1 = ,
4
3
=- .
4
一
二
三
迁移与应用(yìngyòng)
1.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15=
答案:90
2 = 1 + = 6,
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
1 + 4 = 10,
∵a5=10,a12=31,则
解得: 1 = -2,
1 + 11 = 31,
= 3.
所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3.
(2)设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1,
5
,
4
得
7
- ,
4
5
3 =
1 + 2 = ,
(2)∵a1+a17=a5+a13=2a9,
∴a9=117,∴a3+a15=2a9=2×117=234.
第十三页，共26页。
一
二
三
名师点津
1.已知数列中某些项与项之间的关系,求通项,一般可利用等差数列的通项
公式或等差数列的性质解题.
2.要记忆等差数列的常见性质,以便在解题中灵活应用.注意解题过程中整
2
2
2
1
1
2
∵bn=
,∴an= +2= +2.
高中数学苏教版必修5课时作业 2.2.1-2.2.2等差数列的概念、等差数列的通项公式(二)
2.2.1 等差数列的概念(二) 2.2.2 等差数列的通项公式(二)课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a nm －n＝____.3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为________________．一、填空题1．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝______________________________.2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．3．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为________． 4．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________. 5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为________．6．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于________．7．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝____________.8．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于________．9．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 的值为________．10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.二、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．能力提升13．已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…，{b n}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？ij(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式．差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .2．2.1 等差数列的概念(二) 2．2.2 等差数列的通项公式(二)答案知识梳理1．d 2.d 3.a m ＋a n ＝a p ＋a q 作业设计 1．24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24. 2．8解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.3．－ 3解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.4．1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105， ∴3a 3＝105，a 3＝35. ∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1. 5．8解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0， ∴m ＝8. 6．28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28. 7.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125.8．－82解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33 ＝－82. 9．0解析 ∵d ＝a p －a q p －q ＝q －pp －q＝－1，∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0. 10.12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.11．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3； 若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .13．解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1. 令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m3－1.∵m 、n ∈N *，∴m ＝3k (k ∈N *)， 又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25， ∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．14．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .。
1819 第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
双 基
量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
合 作 探 究 • 攻 重
2．已知数列的其中两项，求公差 d，或已知一项、公差和其中一项的序 号，求序号的对应项时，通常应用变形 an＝am＋(n－m)d.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[跟踪训练]
双
知
基
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为 18，前三项的积为 66.求该数列
• 固
新
双
知
合 作 探 究 • 攻 重
可知aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， 解得ad＝1＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
基
课
(2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
时 分
层
作
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
[规律方法]
标 •
探
固
新 知
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d 中包含了四个
合 作
的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预 习 • 探
[解] 依题意得aa11＋ a2aa32＝＋6a63＝ ，18，
达 标 • 固
新
双
知 合
∴3aa1·1＋a1＋3d＝ d·1a8， 1＋2d＝66，
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2.2.2 等差数列的通项公式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )
A ．2
B ．3
C ．－2
D ．－3
解析：d ＝a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2.选C.
答案：C
2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )
A ．4－2n
B ．2n －4
C ．6－2n
D ．2n －6
解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋6.
答案：C
3．已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
解析：由题意2m ＋n ＝10，2n ＋m ＝8，两式相加得3m ＋3n ＝18，所以m ＋n ＝6.所以m ＋n 2
＝3.
答案：B
4．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( )
A ．第11项
B ．第12项
C ．第13项
D ．第14项 解析：由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88，令a n ≥0，
解得n ≤887＝1247
. 而a 12＝4，a 13＝－3，
故a 13的值最接近零．
答案：C
5．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( )
A ．公差为1的等差数列
B ．公差为13
的等差数列 C ．公差为－13
的等差数列
D ．不是等差数列
解析：因为3a n ＋1＝3a n ＋1，
所以3a n ＋1－3a n ＝1.
所以a n ＋1－a n ＝13
. 故数列{a n }为公差为13
的等差数列． 答案：B
二、填空题
6．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________．
解析：根据等差数列的性质，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝37.
所以原式＝37＋37＝74.
答案：74
7．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝______．
解析：由a 3＋a 8＝10得a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝10，即2a 1＋9d ＝10，
3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝2（2a 1＋9d ）＝20.
答案：20
8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2
－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．
解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .
又Δ＝(2b )2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0，
所以二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1个或2个．
答案：1或2
三、解答题
9．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7.
(1)求a 9；
(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．
解：(1)设首项为a 1，公差为d ，则2a 1＋5d ＝12， a 1＋3d ＝7，解得a 1＝1，d ＝2，
所以a 9＝a 4＋5d ＝7＋5×2＝17.
(2)由(1)知，a n ＝2n －1，由101＜a n ＜1 000知
101＜2n －1＜1 000，
所以51＜n ＜1 0012
. 所以共有项数为500－51＝449.
10．已知数列{a n }中，a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋13
，求a n . 解：由1a n ＋1＝1
a n ＋13知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2，公差为13的等差数列，所以1a n ＝2＋(n －1)·13＝n ＋53. 所以a n ＝3n ＋5
(n ∈N *)． B 级 能力提升
一、选择题
11．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
解析：由b 3＝－2和b 10＝12得b 1＝－6，d ＝2，
所以b n ＝2n －8，即a n ＋1－a n ＝2n －8，由叠加法得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.
所以a 8＝a 1＝3.
答案：B
12．等差数列{a n }中，前三项依次为：
1x ＋1，56x ，1x ，则a 101等于( ) A ．5013 B ．1323 C ．24 D ．823
解析：由1x ＋1＋1x ＝2×56x 解得x ＝2，故知等差数列{a n }的首项为13，公差d ＝112，故a 101＝a 1＋100d ＝13＋100×112＝263＝823
. 答案：D
13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目，把100
个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17
是较小的两份之和．则最小的1份为( )
A.53
B.56
C.103
D.116
解析：设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d >0)，则有17
(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556
，则最小的一份为a －2d ＝20－553＝53
.
答案：A
二、填空题
14．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________．
解析：因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以{a n ＋b n }也是等差数列，其公差为21－72＝142
＝7.
所以a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35.
答案：35
15．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 2
2－4，则a n ＝________． 解析：设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，
得1＋2d ＝(1＋d )2－4，
所以d 2＝4.所以d ＝±2.由于该数列为递增数列，
所以d ＝2.
所以a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)．
答案：2n －1(n ∈N *)
三、解答题
16．“三个数成递减等差数列，且三数和为18，三数的积为66”，求这三个数． 解：法一：设三个数分别为a 1，a 2，a 3.
依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·（a 1＋d ）·（a 1＋2d ）＝66， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧a 1＝11，d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪
⎧a 1＝1，d ＝5.
因为数列{a n }是递减等差数列，所以d <0.
所以d ＝－5，a 1＝11，所以a 2＝6.a 3＝1.
所以这三个数为11，6，1.
法二：设等差数列{a n }的前三项依次为a －d ，a ，a ＋d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝66，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝±5. 又因为{a n }是递减等差数列，所以d <0，
所以取a ＝6，d ＝－5.
所以这三个数分别为11，6，1.
17．已知1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b
是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2是等差数列．
证明：由已知条件，得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a
， 所以2b ＋a ＋c （b ＋c ）（a ＋b ）＝2c ＋a
. 所以(2b ＋a ＋c )(a ＋c )＝2(b ＋c )(a ＋b )． 所以a 2＋c 2＝2b 2，即a 2，b 2，c 2是等差数列．。