2007年北京中考数学试卷答案
2023年北京市中考数学真题(解析版)
2023年北京市中考数学试卷考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ） A. 723.910× B. 82.3910×C. 92.3910×D. 90.23910×【答案】B 【解析】【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：8239000000 2.3910=×， 故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求； B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 3. 如图，90AOC BOD ∠=∠=°，126AOD ∠=°，则BOC ∠的大小为（ ）A. 36°B. 44°C. 54°D. 63°【答案】C 【解析】【分析】由90AOC BOD ∠=∠=°，126AOD ∠°=，可求出COD ∠的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵=90AOC ∠°，126AOD ∠°=， ∴36COD AOD AOC ∠=∠−∠=°， ∵90BOD ∠=°，∴903654BOC BOD COD ∠=∠−∠=°−°=°． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和AOD ∠相比，多加了BOC ∠．4. 已知10a −>，则下列结论正确的是（ ） A. 11a a −<−<< B. 11a a −<−<< C. 11a a −<−<< D. 11a a −<−<<【答案】B 【解析】【分析】由10a −>可得1a >，则0a >，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：10a −>得1a >，则0a >，∴1a −<−， ∴11a a −<−<<， 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 5. 若关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A. 9− B. 94−C.94D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根， ∴24940b ac m ∆=−=−=． 解得：94m =． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 6. 十二边形的外角．．和．为（ ） A. 30° B. 150°C. 360°D. 1800°【答案】C 【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为360° ∴十二边形的外角和是360°． 故选：C ．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键． 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A.14B.13C.12D.34【答案】A【解析】【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为14. 故选：A【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．8. 如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=°，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+，由DF DE <，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由EAB BCD ≌△△，可得BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=°，BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE ，由AB AE BE +>，可得a b +>的正误；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，则)c a b =<+，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴DF AC a b ==+， ∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求； ∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠， ∵90CBD CDB ∠+∠=°，∴90∠+∠=°CBD ABE ，90EBD ∠=°， ∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE ， ∵AB AE BE +>，∴a b +>，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，∴)c a b =<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式52x −有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】2x ≠ 【解析】【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式52x −有意义，则20x −≠， 解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键． 10. 分解因式：23x y y −=__________________. 【答案】()()y x y x y +− 【解析】【详解】试题分析：原式提公因式得：y （x 2-y 2）=()()y x y x y +− 考点：分解因式点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 11. 方程31512x x=+的解为______． 【答案】1x = 【解析】【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+， 解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解， 故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()3,2A −和(),2B m −，则m 的值为______． 【答案】3 【解析】【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值．【详解】解：∵函数()0ky k x=≠的图象经过点()3,2A −和(),2B m − ∴把点()3,2A −代入得326k =−×=−， ∴反比例函数解析式为6y x−=， 把点(),2B m −代入得：62m−−=，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 1000x < 10001600x ≤< 16002200x ≤< 22002800x ≤<2800x ≥灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 【答案】460 【解析】【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为176100046050+×=（只）， 故答案为：460．【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥.若2AO =，1OF =，2FD =.则BEEC的值为______．【答案】32【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，21BO AO OEOF ==，12OE OF EC FD ==，得出2BO OE =，2EC OE =，从而2322BE OE OE EC OE +==.【详解】AB EF CD ， 2AO =，1OF =，21BO AO OE OF ∴==， 2BO OE ∴=，12OE OF EC FD == ， 2EC OE ∴=，2322BE OE OE EC OE +∴==； 故答案为：32.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.15. 如图，OA 是O 的半径，BC 是O 的弦，OA BC ⊥于点D ，AE 是O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E �若45AOC ∠=°，2BC =，则线段AE 的长为______．【解析】【分析】根据OA BC ⊥，得出90ODC ∠=°，112DC BC ==，根据等腰直角三角形的性质得出OC=，即OAOC ==90OAE ∠=°，45AOC ∠=°，得出AOE △为等腰直角三角形，即可得出AE OA ==【详解】解：�OA BC ⊥， �90ODC ∠=°，112DC BC ==． �45AOC ∠=°， �ODC 为等腰直角三角形， �OC =，∴OA OC ==∵AE 是O 的切线， ∴90OAE ∠=°， ∵45AOC ∠=°， �AOE △为等腰直角三角形， �AE OA ==．【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出112DC BC ==． 16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动�已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D EFG所需时间/分钟 9 9797 10 2在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 【答案】 �. 53 �. 28 【解析】【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ；然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ；最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：9979710253++++++=（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟， 最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028++=（分钟）， 故答案为：53，28；【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：114sin603− °+．【答案】5 【解析】【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式432=++−32=++−5=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．18. 解不等式组：23535x x x x+>−<+ ． 【答案】12x << 【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】23535x x x x +>−<+ ①②解不等式①得：1x >解不等式②得：2x <∴不等式的解集为：12x <<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．19. 已知210x y +−=，求代数式222444x y x xy y +++的值． 【答案】2【解析】 【分析】先将分式进行化简，再将210x y +−=变形整体代入化简好的分式计算即可． 【详解】解：原式()()222222x y x yx y =+++=， 由210x y +−=可得21x y +=， 将21x y +=代入原式可得，原式221==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．20. 如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE DF =，AC EF =．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）AE BE =，2AB =，1tan 2ACB ∠=，求BC 的长．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AF EC =，证明四边形AECF 是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明ABE 是等腰直角三角形，可得AE BE ==EC 即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∵BE DF =，∴AF EC =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC EF =，∴平行四边形AECF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）知四边形AECF 是矩形，∴90AEC AEB ∠=∠=°，∵AE BE =，2AB =，∴ABE 是等腰直角三角形，∴AE BE AB === 又∵1tan 2AE ACB EC ∠==，12=，∴EC =∴BC BE EC =++=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm ，宽为27cm ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）【答案】边的宽为4cm ，天头长为24cm【解析】【分析】设天头长为cm x ，则地头长为2cm 3x ，边的宽为121cm cm 1036x x x += ，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为cm x ，由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为2cm 3x ， 边的宽为121cm cm 1036x x x += ， 装裱后的长为cm cm 2510010033x x x +++= ， 装裱后的宽为cm cm 1112727663x x x = +++， 由题意可得：5110027433x x +=+× 解得24x =， ∴146x =， 答：边的宽为4cm ，天头长为24cm ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A 和()1,2B ，与过点()0,4且平行于x 轴的线交于点C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当3x <时，对于x 的每一个值，函数23y x n =+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值且小于4，直接写出n 的值．【答案】（1）1y x =+，()3,4C ；（2）2n =．【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C 的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C 的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当23y x n =+过点()3,4时满足题意，代入()3,4求出n 的值即可． 【小问1详解】 解：把点()0,1A ，()1,2B 代入()0y kx b k =+≠得：12b k b = +=， 解得：11k b = =， ∴该函数的解析式为1y x =+，由题意知点C 的纵坐标为4，当14y x =+=时，解得：3x =，∴()3,4C ；【小问2详解】解：由（1）知：当3x =时，14y x =+=，因为当3x <时，函数23y x n =+的值大于函数1y x =+的值且小于4， 所以如图所示，当23y x n =+过点()3,4时满足题意， 代入()3,4得：2433n =×+，解得：2n=．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．23. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75 m n（1）写出表中m，n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162 165 165 166 166乙组学生的身高161 162 164 165 175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．【答案】（1）166m =，165n =；（2）甲组 （3）170， 172【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于329，结合其余学生的身高即可做出选择． 【小问1详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数165n =，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166， ∴中位数1661661662m +==， ∴166m =，165n =；【小问2详解】 解：甲组身高的平均数为()1162165165166166164.85++++=， 甲组身高的方差为()()()()()222221162164.8165164.8165164.8166164.8166164.8 2.165−+−+−+−+−= 乙组身高的平均数为()1161162164165175165.45++++=， 乙组身高方差为()()()()()222221161165.4162165.4164165.4165165.4175165.425.045−+−+−+−+−= ， ∵25.04 2.16>∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；【小问3详解】的解：168，168，172的平均数为()1116933168168172=++ ∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329， ∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170， 172，且选择170， 172时，平均数会增大，故答案为：170， 172．【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．24. 如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．（1）求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；（2）过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．【答案】（1）见解析，90BAD ∠=°（2）4【解析】【分析】（1）根据已知得出 AB BC=，则ADB CDB ∠=∠，即可证明DB 平分ADC ∠，进而根据BD 平分ABC ∠，得出 AD CD=，推出 BAD BCD =，得出BD 是直径，进而可得90BAD ∠=°； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，90F ∠=°，ADC △是等边三角形，进而得出1302CDB ADC ∠=∠=°，由BD 是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得12BC BD =，在Rt BFC △中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC 的长，进而即可求解．【小问1详解】解：�BAC ADB ∠=∠∴ AB BC =，∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，�ABD CBD ∠=∠，� AD CD =，� AB AD BC CD +=+，即 BAD BCD =，�BD 是直径，�90BAD ∠=°；【小问2详解】解：∵90BAD ∠=°，CF AD ∥，�180F BAD ∠+∠=°，则90F ∠=°．� AD CD =，�AD DC =．�AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=°．∵BD 平分ADC ∠， ∴1302CDB ADC ∠=∠=°．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=°，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=°，则120ABC ∠=°，∴60FBC ∠=°，∴906030FCB ∠=°−°=°， ∴12FB BC =．∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径， ∴此圆半径的长为142BD =． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为1x 个单位质量，第二次用水量为2x 个单位质量，总用水量为()12x x +个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C �记录的部分实验数据如下： 1x11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 2x0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 12x x +11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C 是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量1x 和总用水量12x x +之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象；的的.结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【解析】【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：x11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.01x0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.52x x+11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.512C0.990 √0.9890.990 √0.990 √0.990 √0.990 √0.990 √0.9880.990 √0.990 √0.990 √（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小； （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量， 19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度0.990C <， 故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()20y ax bx c a ++>上任意两点，设抛物线的对称轴为x t =． （1）若对于11x =，22x =有12y y =，求t 的值；（2）若对于101x <<，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围． 【答案】（1）32t = （2）12t ≤【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得()11,x y 离对称轴更近，12xx <，则()11,x y 与()22,x y 的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得1213222x x +<<，进而根据122x x t +>，即可求解． 【小问1详解】 解：∵对于11x =，22x =有12y y =，∴抛物线的对称轴为直线12322x x x +=， ∵抛物线的对称轴为x t =． ∴32t =； 【小问2详解】解：∵当101x <<，212x <<， ∴1213222x x +<<，12x x <， ∵12y y <，0a >， ∴()11,x y 离对称轴更近，12xx <，则()11,x y 与()22,x y 的中点在对称轴的右侧，∴122x x t +>， 即12t ≤． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．27. 在ABC 中、()045B C αα∠=∠=°<<°，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF ∠的大小，并证明．【答案】（1）见解析 （2）90AEF ∠=°，证明见解析 【解析】【分析】（1）由旋转的性质得DMDE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是FCH V 的中位线，然后求出B ACH ∠∠=，设DM DE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()SAS ABF ACH ≅ ，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可． 【小问1详解】证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∵C α∠=，∴D DEC M E C α∠−∠∠==，∴C DEC ∠=∠， ∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是MC 的中点； 【小问2详解】 90AEF ∠=°； 证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ， ∵DF DC =，∴DE 是FCH V 的中位线， ∴DE CH ∥，2CH DE =， 由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∴2FCH α∠=， ∵B C α∠=∠=，∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形， ∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+， ∴DF CD n ==，∴FM DF DM n m =−=−， ∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =−=+−−=， ∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH =∠=∠ =， ∴()SAS ABF ACH ≅ ， ∴AF AH =， ∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和O 外一点C 给出如下定义： 若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点()1,0A −，1B，2B �在点()11,1C −，20()C，(3C 中，弦1AB 的“关联点”是______． �若点C 是弦2AB 的“关联点”，直接写出OC 的长； （2）已知点()0,3M，N．对于线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）1C ，2C ；OC =（2）1t ≤≤t ≤≤【解析】【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据()0,3M ，N两点来求最值情况，S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．【小问1详解】解：�由关联点的定义可知，若直线CA CB ，中一经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，�点()1,0A −，1B ，()11,1C −，20()C ，(3C ，�直线2AC 经过点O ，且2BC 与O 相切， �2C 是弦1AB 的“关联点”，又�()11,1C −和()1,0A −横坐标相等，与1B 都位于直线y x =−上， �1AC 与O 相切，11B C 经过点O ， �1C 是弦1AB 的“关联点”．��()1,0A −，2B ，设()C a b ，，如下图所示，共有两种情况，a 、若12C B 与O 相切，AC 经过点O ，则12C B 、1AC 所在直线为： 0y x y =− = ，解得：)1C 0，�1OC =，b 、若2AC 与O 相切，22C B 经过点O ， 则22C B 、2AC 所在直线为：1x y x =−=−，解得：()211C −，，�2OC =，综上，OC =【小问2详解】解：�线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，又�弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且()0,3M ，N，OM ON >， �S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O MN 的垂直平分线上，如图所示，的�当S 位于点()0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ⊥， �()0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线， �OP MP ⊥， �PJ OM ⊥， �MPO POJ ∽ ， �OP OM OJ OP =，即13OJ=， 解得13OJ =，�根据勾股定理得，PJ =，123Q J =根据勾股定理，1PQ =2PQ =，�当S 位于点()0,3M 时，1PQ ． �当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，�点()0,3M ，N，�MN =， �2OK OM ON MN =×÷=，又�O 的半径为1，�30OKZ ∠=°， �三角形OPQ 为等边三角形， �在此情况下，1PQ =，PQ =，�当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，1PQ 的临界值为1�在两种情况下，PQ 的最小值在1t ≤≤t ≤≤，综上所述，t 的取值范围为1t ≤≤t ≤≤【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．。
2023北京市中考数学真题试卷及答案解析
2023北京中考真题数 学考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A. ⨯23.9107B. ⨯2.39108C. ⨯2.39109D. ⨯0.239109 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，∠=∠=︒AOC BOD 90，∠=︒AOD 126，则∠BOC 的大小为（ ）A. ︒36B. ︒44C. ︒54D. ︒63 4. 已知−>a 10，则下列结论正确的是（ ）A. −<−<<a a 11B. −<−<<a a 11C. −<−<<a a 11D. −<−<<a a 115. 若关于x 的一元二次方程−+=x x m 302有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. −9B. −49C. 49D. 96. 十二边形的外角和．．．为（ ） A. ︒30 B. ︒150 C. ︒360 D. ︒1800 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）A. 41B. 31C. 21D. 43 8. 如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，<AB BC ，∠=∠=︒A C 90，△△≌EAB BCD ，连接DE ，设AB a ，=BC b ，=DE c ，给出下面三个结论：①+<a b c ；②+>a b +>a b c )；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式−x 25有意义，则实数x 的取值范围是______． 10. 分解因式：−x y y 23=__________________.11. 方程+=x x51231的解为______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数=≠x y k k 0)(−A 3,2)的图象经过点(和−B m ,2)(，则m 的值为______．13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，∥∥AB EF CD .若=AO 2，=OF 1，=FD 2.则ECBE 的值为______．15. 如图，OA 是O 的半径，BC 是O 的弦，⊥OA BC 于点D ，AE 是O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠=︒AOC 45，=BC 2，则线段AE 的长为______．16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：⎝⎭⎪︒++−⎛⎫−34sin6021118. 解不答式组：⎩−<+⎪⎨⎪>⎧+x x x x 53532．19. 已知+−=x y 210，求代数式+++x xy y x y 442422的值． 20. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，=BE DF ，=AC EF ．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）=AE BE ，=AB 2，∠=ACB 2tan 1，求BC 的长． 21. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的101．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm ，宽为27cm ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数=+≠y kx b k 0)(的图象经过点A 0,1)(和B 1,2)(，与过点0,4)(且平行于x 轴的线交于点C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当<x 3时，对于x 的每一个值，函数=+y x n 32的值大于函数=+≠y kx b k 0)(的值且小于4，直接写出n 的值．23. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm ），数据整理如下：a .16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b .16名学生的身高的平均数、中位数、众数：（1）写出表中m ，n 的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为932．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于932，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均4. 数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E，BD 平分∠ABC ，∠=∠BAC ADB ．（1）求证DB 平分∠ADC ，并求∠BAD 的大小；（2）过点C 作∥CF AD 交AB 的延长线于点F ．若=AC AD ，=BF 2，求此圆半径的长．25. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为x 1个单位质量，第二次用水量为x 2个单位质量，总用水量为+x x 12)(个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C ．记录的部分实验数据如下：（Ⅰ）选出C 是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x 1和总用水量+x x 12之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C ______0.990（填“>”“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，M x y ,11)(，N x y ,22)(是抛物线=++>y ax bx c a 02)(上任意两点，设抛物线的对称轴为=x t ．（1）若对于=x 11，=x 22有=y y 12，求t 的值；（2）若对于<<x 011，<<x 122，都有<y y 12，求t 的取值范围．27. 在ABC 中、∠=∠=︒<<︒ααB C 045)(，⊥AM BC 于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转α2得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足=DF DC ，连接AE ，EF ，直接写出∠AEF 的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和O 外一点C 给出如下定义： 若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点−A 1,0)(，⎝⎭ −⎛B 22,1，⎝⎭−⎛B 222①在点−C 1,11)(，C ()02，C 3(中，弦AB 1的“关联点”是______．②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；（2）已知点M 0,3)(，⎝⎭⎪⎪⎫N ．对于线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为⨯a n 10，其中≤<a 110，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：=⨯239000000 2.39108，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为⨯a n 10，其中≤<a 110，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值． 2. 【答案】A【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转︒180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．3. 【答案】C由∠=∠=︒AOC BOD 90，=∠︒AOD 126，可求出∠COD 的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵︒∠AOC =90，=∠︒AOD 126，∴∠=∠−∠=︒COD AOD AOC 36，∵∠=︒BOD 90，∴∠=∠−∠=︒−︒=︒BOC BOD COD 903654．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和∠AOD 相比，多加了∠BOC ．4. 【答案】B【分析】由−>a 10可得>a 1，则>a 0，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：−>a 10得>a 1，则>a 0，∴−<−a 1，∴−<−<<a a 11，故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 5. 【答案】C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得=0Δ，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程−+=x x m 302有两个相等的实数根，∴∆=−=−=b ac m 49402． 解得：=m 49． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程++=ax bx c 02 (，，，≠a a b c 0为常数)的根的判别式∆=−b ac 42，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0Δ时，方程有两个相等的实数根；当<0Δ时，方程没有实数根．6. 【答案】C【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴十二边形的外角和是360°．故选：C ．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为41. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．8. 【答案】D【分析】如图，过D 作⊥DF AE 于F ，则四边形ACDF 是矩形，则==+DF AC a b ，由<DF DE ，可得+<a b c ，进而可判断①的正误；由△△≌EAB BCD ，可得=BE BD ，==CD AB a ，==AE BC b ，∠=∠ABE CDB ，则∠=︒EBD 90，△BDE 是等腰直角三角形，由勾股定理得，==BE ，由+>AB AE BE ，可得+>a b ，进而可判断②的正误；由勾股定理得=+DE BD BE 222，即=+c a b2222)(，则=<+c a b )，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过D 作⊥DF AE 于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴==+DF AC a b ，∵<DF DE ，∴+<a b c ，①正确，故符合要求；∵△△≌EAB BCD ，∴=BE BD ，==CD AB a ，==AE BC b ，∠=∠ABE CDB ，∵∠+∠=︒CBD CDB 90，∴CBD ABE ︒∠+∠=90，∠=︒EBD 90，∴△BDE 是等腰直角三角形，由勾股定理得，==BE ， ∵+>AB AE BE ，∴+>a b ，②正确，故符合要求；由勾股定理得=+DE BD BE 222，即=+c a b2222)(，∴=<+c a b )，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】≠x 2【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式−x 25有意义，则−≠x 20， 解得：≠x 2，故答案为：≠x 2．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．10. 【答案】+−y x y x y ()()【详解】试题分析：原式提公因式得：y （x 2-y 2）=+−y x y x y ()()考点：分解因式点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 11. 【答案】=x 1【分析】方程两边同时乘以+x x 251)(化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以+x x 251)(，得=+x x 651，解得：=x 1，经检验，=x 1是原方程的解，故答案为：=x 1．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12. 【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得=−⨯=−k 326， ∴反比例函数解析式为=−x y 6， 把点代入得：−=−m 26， 解得：=m 3，故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．13. 【答案】460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为⨯=+501000460176（只），故答案为：460．【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．14. 【答案】23【分析】由平行线分线段成比例可得，==OE OF BO AO 12，==EC FD OE OF 21，得出=BO OE 2，=EC OE 2，从而==+EC OE BE OE OE 2223. 【详解】AB EF CD ， =AO 2，=OF 1， ∴==OE OF BO AO 12， ∴=BO OE 2，==EC FD OE OF 21， ∴=EC OE 2，∴==+EC OE BE OE OE 2223； 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.15.【分析】根据⊥OA BC ，得出∠=︒ODC 90，==DC BC 211，根据等腰直角三角形的性质得出==OC ，即==OA OC ，根据∠=︒OAE 90，∠=︒AOC 45，得出△AOE 为等腰直角三角形，即可得出==AE OA 【详解】解：∵⊥OA BC ，∴∠=︒ODC 90，==DC BC 211． ∵∠=︒AOC 45， ∴ODC 为等腰直角三角形，∴==OC∴==OA OC ∵AE 是O 的切线，∴∠=︒OAE 90，∵∠=︒AOC 45，∴△AOE 为等腰直角三角形，∴==AE OA．【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出==DC BC 211． 16. 【答案】 ①. 53 ②. 28【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ；然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ；最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，然后可得答案．【详解】解：由题意得：++++++=9979710253（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟， 最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要++=991028（分钟），故答案为：53，28；【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 【答案】5【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式=+−432=++−32=5．【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．18. 【答案】<<x 12【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】②①⎩−<+⎪⎨⎪>⎧+x x x x 53532 解不等式①得：>x 1解不等式②得：<x 2∴不等式的解集为：<<x 12【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 19. 【答案】2【分析】先将分式进行化简，再将+−=x y 210变形整体代入化简好的分式计算即可． 【详解】解：原式=+++=x y x yx y 222222)()(， 由+−=x y 210可得+=x y 21，将+=x y 21代入原式可得，原式==122． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．20. 【答案】（1）见解析 （2）【分析】（1）利用平行四边形的性质求出=AF EC ，证明四边形AECF 是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明ABE 是等腰直角三角形，可得==AE BE ，然后再解直角三角形求出EC 即可． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴=AD BC ，∥AD BC ，∵=BE DF ，∴=AF EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵=AC EF ，∴平行四边形AECF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）知四边形AECF 是矩形，∴∠=∠=︒AEC AEB 90，∵=AE BE ，=AB 2， ∴ABE 是等腰直角三角形，∴===AE BE AB 2又∵∠==EC ACB AE 2tan 1，∴=EC 21，∴=EC∴=+=+=BC BE EC ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21.【答案】边的宽为4cm ，天头长为cm 24【分析】设天头长为x cm ，则地头长为x 3cm 2，边的宽为⎝⎭ ⎪+=⎛⎫x x x 1036cm cm 121，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为x cm ，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为x 3cm 2， 边的宽为⎝⎭ ⎪+=⎛⎫x x x 1036cm cm 121， 装裱后的长为⎪=⎝⎭⎝⎭⎪+++⎛⎫⎛⎫x x x 3310010025cm cm ， 装裱后的宽为⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪+++⎛⎫⎛⎫=x x x 6632727111cm cm ， 由题意可得：⎝⎭ ⎪+=+⨯⎛⎫x x 3310027451 解得=x 24， ∴=x 641， 答：边的宽为4cm ，天头长为24cm ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．22. 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C 的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C 的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n 的值即可． 【小问1详解】解：把点，代入得：⎩+=⎨⎧=k b b 21，解得：⎩=⎨⎧=b k 11， ∴该函数的解析式为=+y x 1，由题意知点C 的纵坐标为4，当=+=y x 14时，解得：=x 3，∴C 3,4)(；【小问2详解】解：由（1）知：当=x 3时，=+=y x 14，因为当<x 3时，函数=+y x n 32的值大于函数=+y x 1的值且小于4， 所以如图所示，当=+y x n 32过点3,4)(时满足题意， 代入3,4)(得：=⨯+n 3432， 解得：=n 2．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．23. 【答案】（1）=m 166，=n 165；（2）甲组 （3）170， 172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于932，结合其余学生的身高即可做出选择． 【小问1详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数， 16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166， ∴中位数==+m 2166166166， ∴，；【小问2详解】 解：甲组身高的平均数为++++=5162165165166166164.81)(， 甲组身高的方差为⎣⎦−+−+−+−+−=⎡⎤5 2.16162164.8165164.8165164.8166164.8166164.8122222)()()()()( 乙组身高的平均数为++++=5161162164165175165.41)(， 乙组身高的方差为⎣⎦−+−+−+−+−=⎡⎤525.04161165.4162165.4164165.4165165.4175165.4122222)()()()()(， ∵>25.04 2.16∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；【小问3详解】解：168，168，172的平均数为++=1681681723316911)( ∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170， 172，且选择170， 172时，平均数会增大，故答案为：170， 172．【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析，∠=︒BAD 90（2）4【分析】（1）根据已知得出=AB BC ，则∠=∠ADB CDB ，即可证明平分，进而根据平分，得出=AD CD ，推出=BAD BCD ，得出BD 是直径，进而可得∠=︒BAD 90；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，∠=︒F 90，△ADC 是等边三角形，进而得出∠=∠=︒CDB ADC 2301，由BD 是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得=BC BD 21，在△BFC Rt 中，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【小问1详解】解：∵∴=AB BC ，∴∠=∠ADB CDB ，即DB 平分． ∵平分， ∴∠=∠ABD CBD ，∴=AD CD ，∴+=+AB AD BC CD ，即=BAD BCD ，∴BD 是直径，∴∠=︒BAD 90；【小问2详解】解：∵∠=︒BAD 90，，∴∠+∠=︒F BAD 180，则∠=︒F 90．∵=AD CD ，∴=AD DC ．∵，∴==AC AD CD ，∴△ADC 是等边三角形，则∠=︒ADC 60．∵BD 平分， ∴∠=∠=︒CDB ADC 2301． ∵BD 是直径， ∴∠=︒BCD 90，则=BC BD 21． ∵四边形是圆内接四边形，∴∠+∠=︒ADC ABC 180，则∠=︒ABC 120，∴︒∠=FBC 60，∴∠=︒−︒=︒FCB 906030， ∴=FB BC 21． ∵，∴=BC 4，∴==BD BC 28．∵BD 是直径， ∴此圆半径的长为=BD 241． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度<C 0.990，故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．26. 【答案】（1）=t 23 （2）≤t 21 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得x y ,11)(离对称轴更近，<x x 12，则x y ,11)(与x y ,22)(的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得<<+x x 2221312，进而根据>+t x x 212，即可求解． 【小问1详解】解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线==+x x x 22312， ∵抛物线的对称轴为． ∴=t 23； 【小问2详解】解：∵当，， ∴<<+x x 2221312，<x x 12， ∵，，∴x y ,11)(离对称轴更近，<x x 12，则x y ,11)(与x y ,22)(的中点在对称轴的右侧， ∴>+t x x 212， 即≤t 21． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．27. 【答案】（1）见解析 （2）∠=︒AEF 90，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得=DM DE ，∠=αMDE 2，利用三角形外角的性质求出=∠∠=αDEC C ，可得=DE DC ，等量代换得到=DM DC 即可；（2）延长FE 到H 使=FE EH ，连接CH ，AH ，可得是FCH 的中位线，然后求出=∠∠B ACH ，设==DM DE m ，=CD n ，求出==BF m CH 2，证明≅ABF ACH SAS )(，得到=AF AH ，再根据等腰三角形三线合一证明⊥AE FH 即可．【小问1详解】证明：由旋转的性质得：=DM DE ，∠=αMDE 2，∵∠=αC ，∴∠==∠−∠αM E C DEC D ，∴∠=∠C DEC ，∴=DE DC ，∴=DM DC ，即D 是的中点；【小问2详解】∠=︒AEF 90； 证明：如图2，延长FE 到H 使=FE EH ，连接CH ，AH ，∵， ∴是FCH 的中位线，∴∥DE CH ，=CH DE 2，由旋转的性质得：=DM DE ，∠=αMDE 2，∴∠=αFCH 2，∵∠=∠=αB C ，∴∠=αACH ，是等腰三角形，∴=∠∠B ACH ，=AB AC ，设==DM DE m ，=CD n ，则=CH m 2，=+CM m n ，∴==DF CD n ，∴=−=−FM DF DM n m ，∵，∴==+BM CM m n ，∴=−=+−−=BF BM FM m n n m m 2)(，∴=CH BF ，在△ABF 和ACH 中，⎩=⎪⎨∠=∠⎪⎧=BF CH B ACH AB AC ， ∴≅ABF ACH SAS )(，∴=AF AH ，∵=FE EH ，∴⊥AE FH ，即∠=︒AEF 90．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．28. 【答案】（1）C 1，C 2；=OC（2）≤≤t 31或≤≤t 3 【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据，两点来求最值情况，S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．【小问1详解】解：①由关联点的定义可知，若直线，CA CB 中一经过点O ，另一条是的切线，则称点C 是弦的“关联点”，∵点，，，，， ∴直线AC 2经过点O ，且BC 2与相切， ∴C 2是弦的“关联点”，又∵和横坐标相等，与都位于直线=−y x 上，∴AC 1与相切，B C 11经过点O ，∴C 1是弦的“关联点”．②∵，， 设，C a b )(，如下图所示，共有两种情况，a 、若C B 12与相切，经过点O ，则C B 12、AC 1所在直线为： ⎩⎪=⎨⎪=⎧y y x 0，解得：0C 1)，∴=OC 1，b 、若AC 2与相切，C B 22经过点O ， 则C B 22、AC 2所在直线为：⎩=−⎨⎧=−y x x 1， 解得：，−C 112)(，∴=C O 2，综上，=C O 【小问2详解】解：∵线段上一点S ，存在的弦，使得点S 是弦的“关联点”，又∵弦随着S 的变动在一定范围内变动，且，，>OM ON ， ∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点时，MP 为的切线，作⊥PJ OM ，∵，的半径为1，且MP 为的切线，∴⊥OP MP ，∵⊥PJ OM ， ∴∽MPO POJ ， ∴=OJ OP OP OM ，即=OJ31， 解得=OJ 31，∴根据勾股定理得，==PJ 3，=Q J 321根据勾股定理，==PQ 31，同理，==PQ 32，∴当S 位于点时，PQ 1的临界值为3和3． ②当S 位于经过点O 的的垂直平分线上即点K 时，∵点，，∴==MN 5， ∴=⨯÷=OK OM ON MN 2， 又∵的半径为1，∴∠=︒OKZ 30，∴三角形OPQ 为等边三角形，∴在此情况下，=PQ 1，=PQ∴当S 位于经过点O 的的垂直平分线上即点K 时，PQ 1的临界值为1∴在两种情况下，PQ 的最小值在≤≤t 31内，最大值在≤≤t 3综上所述，t 的取值范围为≤≤t 31或≤≤t 3【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．。
北京市历年中考数学试题(含答案)
历年中考数学试题附参考答案（含答案）2010年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1、-2的倒数是 A. 21-B. 21C. -2D. 22、2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星―500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”.将12480用科学计数法表示应为A. 31048.12⨯ B. 5101248.0⨯ C. 410248.1⨯ D. 310248.1⨯ 3、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若AD :AB=3:4，AE=6，则AC 等于A. 3B. 4C. 6D. 8 4、若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 A. 20 B. 16 C. 12 D. 105、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是 A.51 B. 103C. 31D. 21 6、将二次函数322+-=x x y 化成的k h x y +-=2)(形式，结果为A. 4)1(2++=x y B. 4)1(2+-=x y C. 2)1(2++=x y D. 2)1(2+-=x y 7、10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：设两队队员身高的平均数依次为甲x 、乙x ，身高的方差依次为2甲S 、2乙S ，则下列关系中完全正确的是A. 甲x =乙x ，2甲S >2乙SB. 甲x =乙x ，2甲S <2乙SC. 甲x >乙x ，2甲S >2乙S D. 甲x <乙x ，2甲S <2乙S 8、美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9、若二次根式12-x 有意义，则x 的取值范围是____________. 10、分解因式：m m 43-=________________.11、如图，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连结OC ，若OC =5，CD =8，则AE =______________.12、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（用含n 的代数式表示）. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13、计算：60tan 342010)31(01--+--14、解分式方程 212423=---x x xA BC DE15、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC . 求证：∠ACE =∠DBF .16、已知关于x 的一元二次方程0142=-+-m x x 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根.17、列方程或方程组解应用题2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.18、如图，直线32+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B . （1）求A ，B 两点的坐标；（2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP =2O A ，求△ABP 的面积.AD四、解答题（本题共20分，每小题5分）19、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =2，BC =4.求∠B 的度数及AC 的长.20、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC =2∠ACD =90°. （1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果∠ACB =75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长.21、根据北京市统计局公布的2006―2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：220230 240250290280270 260 2006―2009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图 . ... 241 246 274285（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是_______年，增加了_____天；（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）；表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图（3）根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，百分比不低于95%的为A 组，不低于85%且低于95%的为B 组，低于85%的为C 组.按此标准，C 组城市数量在这十个城市中所占的百分比为_________%；请你补全右边的扇形统计图.22、阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，BA =6cm.现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45°的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时．．．所经过的路径总长是多少. 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形CD B A 11.由轴对称的知识，发现E P P P 232=，E P A P 11=.请你参考小贝的思路解决下列问题：2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年 天数百分比分组统计图A 组 20%（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰_______次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是_______cm ；（2）进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD >AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上，若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则AB ：AD 的值为______. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23、已知反比例函数xky =的图象经过点A （3-，1）. （1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P （m ，63+m ）也在此反比例函数的图象上（其中0<m ），过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点M .若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是21，设Q 点的纵坐标为n ，求9322+-n n 的值.24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上. （1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）.①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）.过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）.若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值.25、问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值. 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.2011年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．34-的绝对值是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 565 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为A ．766.610⨯B ．80.66610⨯C ．86.6610⨯D ．76.6610⨯ 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A ．等边三角形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．矩形4．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AOCO 的值为A ．12B ．13C ．14D ．19则这10个区县该日气温的众数和中位数分别是 A ．32，32 B ．32，30 C ．30，32 D ．32，316．一个不透明的盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为A ．815B ．13C ．215D ．1157．抛物线265y x x =-+的顶点坐标为 A ．(34)-，B ．(34)，C ．(34)--，D ．(34)-，8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，2AB =，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD x =，CE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是ODCBACE DBADCBA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若分式8x x -的值为0，则x 的值等于_____________．10．分解因式：321025a a a -+=____________．11．若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是_________．12．在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为i j a，（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数i ja ，规定如下：当i j ≥时，1i j a =，；当i j <时，0i j a =，．例如：当2i =， 1j =时，211i j a a ==，，．按此规定，13a =，_______；表中的25个数中，共有______个1；计算111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，，，，，，，，，，的值为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：()1012cos30272π2-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭。
2007年北京市高级中等学校招生统一考试数学试卷(课标卷,含答案)-
2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数 学 试 卷考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷密封线内认真填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号． 3．考试结束，请将本试卷和机读答题卡一并交回．第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）考生须知：1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题．2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．3-的倒数是（ ） A ．13-B ．13C ．3-D ．32．国家游泳中心－－ “水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（ ） A ．60.2610⨯B ．42610⨯C ．62.610⨯D ．52.610⨯3．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，DE 过点C 且平行于AB ， 若35BCE ∠=°，则A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65° 4．若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．45．北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ） A ．28℃ B ．29℃ C ．30℃ D ．31℃ 6．把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（ ） A ．2(2)a x -B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A ．19B ．13C ．12D ．23ABD CE8．右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是 这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（ ）2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数 学 试 卷第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）考生须知：1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题．2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．若分式241x x -+的值为0，则x 的值为 ． 10．若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ． 11．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，，如图， ，其中a b c，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b c d e ++=+，例如 ．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图： ．12．右图是对称中心为点O 的正六边形．如果用一个含30°角的直角三 角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积 n 等分，那么n 的所有可能的值是 ． 三、解答题（共5个小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1118(π1)2cos 454-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭°．a b c d e2 4 65 7O Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解方程：2410x x +-=． 15．（本小题满分5分） 计算：22111x x x ---． 16．（本小题满分5分）已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，． 求证：AB CD =．B ACO D P已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．四、解答题（共2个小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．19．（本小题满分5分）已知：如图，A 是O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC BC =，12AC OB =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长．B A D EC OABCD五、解答题（本题满分6分）20．根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：2005年北京市水资源分布图（单位：亿3m ） 2004年北京市用水量统计图2005年北京市用水情况统计表生活用水 环境用水 工业用水 农业用水 用水量 （单位：亿3m ） 13.386.8013.22占全年总用水量的比例38.8%3.2% 19.7%38.3%（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿3m ）；农业用水生活用水工业用水环境用水 2%37%39%22%0 12 34 5678 水系2.796.786.883.22永定河水系潮白河水系北运河水系蓟运河水系大清河水系水资源量2005年北京市水资源统计图（单位：亿3m ）6.783.226.882.793.51 潮白河水系永定河水系蓟运河水系北运河水系永定河水系 大清河水系（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿3m ，请你先计算环境用水量（单位：亿3m ），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿3m ）； （3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿3m ）； （4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法．六、解答题（共2个小题，共9分） 21．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)，．将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ； （2）若三角形纸片的直角顶点不与点O F ，重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．11 O E F G yx22．（本小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图象与3y x=的图象关于x 轴对称，又与直线2y ax =+交于点(3)A m ，，试确定a 的值．七、解答题（本题满分7分） 23．如图，已知ABC △．（1）请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； （2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．A B C24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．1 2 312 3 4 1- 2- 3-1-2- 3- 4- yxO25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．B O A DEC。
2024年北京中考试卷数学
2024年北京中考试卷数学一、选择题（每题4分）2的相反数是（）A. 2B. -2C. -D. 2（答案：B）据报道，某小区居民李先生改良用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨。
将300000用科学记数法表示应为（）A. 0.3×105 C. 3×104（答案：B）有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）（具体选项未给出，但可以通过计算得出概率为1/3或类似值，需根据原试卷确定选项）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 正三棱柱D. 正三棱锥（答案需根据具体图形确定）某篮球队12名队员的年龄分布如下：年龄（岁）18 19 20 21人数 5 4 1 2那么这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A. 18,19B. 19,19C. 18,19.5D. 19,19.5（答案：D）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间。
绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象……那么休息后园林队每小时绿化面积为（）A. 40平方米B. 50平方米C. 80平方米D. 100平方米（答案需根据具体函数图象确定）圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A. 2B. 4√2-4C. 4D. 8（答案需通过几何计算得出）点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周。
设点P运动的时间为x，线段AP的长为y。
表示y 与x的函数关系的图象大致为……，则该封闭图形可能是（）（答案需根据具体函数图象确定）二、填空题（每题4分）分解因式：ax2=_________（答案：a(x2-3y)）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为_________m（答案：15）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2。
2023北京中考数学真题试卷及答案
2023北京中考真题数 学考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A. ⨯23.9107B. ⨯2.39108C. ⨯2.39109D. ⨯0.239109 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，∠=∠=︒AOC BOD 90，∠=︒AOD 126，则∠BOC 的大小为（ ）A. ︒36B. ︒44C. ︒54D. ︒63 4. 已知−>a 10，则下列结论正确的是（ ）A. −<−<<a a 11B. −<−<<a a 11C. −<−<<a a 11D. −<−<<a a 115. 若关于x 的一元二次方程−+=x x m 302有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. −9B. −49C. 49D. 96. 十二边形的外角和．．．为（ ） A. ︒30 B. ︒150 C. ︒360 D. ︒1800 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）A. 41B. 31C. 21D. 43 8. 如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，<AB BC ，∠=∠=︒A C 90，△△≌EAB BCD ，连接DE ，设AB a ，=BC b ，=DE c ，给出下面三个结论：①+<a b c ；②+>a b +>a b c )；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式−x 25有意义，则实数x 的取值范围是______． 10. 分解因式：−x y y 23=__________________.11. 方程+=x x51231的解为______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数=≠x y k k 0)(−A 3,2)的图象经过点(和−B m ,2)(，则m 的值为______．13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，∥∥AB EF CD .若=AO 2，=OF 1，=FD 2.则ECBE 的值为______．15. 如图，OA 是O 的半径，BC 是O 的弦，⊥OA BC 于点D ，AE 是O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠=︒AOC 45，=BC 2，则线段AE 的长为______．16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：⎝⎭⎪︒++−⎛⎫−34sin6021118. 解不答式组：⎩−<+⎪⎨⎪>⎧+x x x x 53532．19. 已知+−=x y 210，求代数式+++x xy y x y 442422的值． 20. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，=BE DF ，=AC EF ．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）=AE BE ，=AB 2，∠=ACB 2tan 1，求BC 的长． 21. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的101．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm ，宽为27cm ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数=+≠y kx b k 0)(的图象经过点A 0,1)(和B 1,2)(，与过点0,4)(且平行于x 轴的线交于点C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当<x 3时，对于x 的每一个值，函数=+y x n 32的值大于函数=+≠y kx b k 0)(的值且小于4，直接写出n 的值．23. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm ），数据整理如下：a .16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b .16名学生的身高的平均数、中位数、众数：（1）写出表中m ，n 的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为932．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于932，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均4. 数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E，BD 平分∠ABC ，∠=∠BAC ADB ．（1）求证DB 平分∠ADC ，并求∠BAD 的大小；（2）过点C 作∥CF AD 交AB 的延长线于点F ．若=AC AD ，=BF 2，求此圆半径的长．25. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为x 1个单位质量，第二次用水量为x 2个单位质量，总用水量为+x x 12)(个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C ．记录的部分实验数据如下：（Ⅰ）选出C 是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x 1和总用水量+x x 12之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C ______0.990（填“>”“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，M x y ,11)(，N x y ,22)(是抛物线=++>y ax bx c a 02)(上任意两点，设抛物线的对称轴为=x t ．（1）若对于=x 11，=x 22有=y y 12，求t 的值；（2）若对于<<x 011，<<x 122，都有<y y 12，求t 的取值范围．27. 在ABC 中、∠=∠=︒<<︒ααB C 045)(，⊥AM BC 于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转α2得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足=DF DC ，连接AE ，EF ，直接写出∠AEF 的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和O 外一点C 给出如下定义： 若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点−A 1,0)(，⎝⎭ −⎛B 22,1，⎝⎭−⎛B 222①在点−C 1,11)(，C ()02，C (中，弦AB 1的“关联点”是______．②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；（2）已知点M 0,3)(，⎝⎭⎪⎪⎫N ．对于线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为⨯a n 10，其中≤<a 110，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：=⨯239000000 2.39108，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为⨯a n 10，其中≤<a 110，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值． 2. 【答案】A【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转︒180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．3. 【答案】C由∠=∠=︒AOC BOD 90，=∠︒AOD 126，可求出∠COD 的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵︒∠AOC =90，=∠︒AOD 126，∴∠=∠−∠=︒COD AOD AOC 36，∵∠=︒BOD 90，∴∠=∠−∠=︒−︒=︒BOC BOD COD 903654．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和∠AOD 相比，多加了∠BOC ．4. 【答案】B【分析】由−>a 10可得>a 1，则>a 0，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：−>a 10得>a 1，则>a 0，∴−<−a 1，∴−<−<<a a 11，故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 5. 【答案】C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得=0Δ，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程−+=x x m 302有两个相等的实数根，∴∆=−=−=b ac m 49402． 解得：=m 49． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程++=ax bx c 02 (，，，≠a a b c 0为常数)的根的判别式∆=−b ac 42，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0Δ时，方程有两个相等的实数根；当<0Δ时，方程没有实数根．6. 【答案】C【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴十二边形的外角和是360°．故选：C ．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为41. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．8. 【答案】D【分析】如图，过D 作⊥DF AE 于F ，则四边形ACDF 是矩形，则==+DF AC a b ，由<DF DE ，可得+<a b c ，进而可判断①的正误；由△△≌EAB BCD ，可得=BE BD ，==CD AB a ，==AE BC b ，∠=∠ABE CDB ，则∠=︒EBD 90，△BDE 是等腰直角三角形，由勾股定理得，==BE ，由+>AB AE BE ，可得+>a b ，进而可判断②的正误；由勾股定理得=+DE BD BE 222，即=+c a b2222)(，则=<+c a b )，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过D 作⊥DF AE 于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴==+DF AC a b ，∵<DF DE ，∴+<a b c ，①正确，故符合要求；∵△△≌EAB BCD ，∴=BE BD ，==CD AB a ，==AE BC b ，∠=∠ABE CDB ，∵∠+∠=︒CBD CDB 90，∴CBD ABE ︒∠+∠=90，∠=︒EBD 90，∴△BDE 是等腰直角三角形，由勾股定理得，==BE ， ∵+>AB AE BE ，∴+>a b ，②正确，故符合要求；由勾股定理得=+DE BD BE 222，即=+c a b2222)(，∴=<+c a b )，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】≠x 2【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式−x 25有意义，则−≠x 20， 解得：≠x 2，故答案为：≠x 2．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．10. 【答案】()()y x y x y +−【详解】试题分析：原式提公因式得：y （x 2-y 2）=()()y x y x y +−考点：分解因式点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 11. 【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12. 【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得326k =−⨯=−， ∴反比例函数解析式为6y x −=， 把点代入得：62m −−=， 解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．13. 【答案】460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为176100046050+⨯=（只），故答案为：460．【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．14. 【答案】32【分析】由平行线分线段成比例可得，==OE OF BO AO 12，==EC FD OE OF 21，得出=BO OE 2，=EC OE 2，从而==+EC OE BE OE OE 2223. 【详解】AB EF CD ， =AO 2，=OF 1， ∴==OE OF BO AO 12， ∴=BO OE 2，==EC FD OE OF 21， ∴=EC OE 2，∴==+EC OE BE OE OE 2223； 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.15.【分析】根据⊥OA BC ，得出∠=︒ODC 90，==DC BC 211，根据等腰直角三角形的性质得出==OC ，即==OA OC ，根据∠=︒OAE 90，∠=︒AOC 45，得出△AOE 为等腰直角三角形，即可得出==AE OA 【详解】解：∵⊥OA BC ，∴∠=︒ODC 90，==DC BC 211． ∵∠=︒AOC 45， ∴ODC 为等腰直角三角形，∴==OC∴==OA OC ∵AE 是O 的切线，∴∠=︒OAE 90，∵∠=︒AOC 45，∴△AOE 为等腰直角三角形，∴==AE OA．【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出==DC BC 211． 16. 【答案】 ①. 53 ②. 28【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ；然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ；最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，然后可得答案．【详解】解：由题意得：++++++=9979710253（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟， 最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要++=991028（分钟），故答案为：53，28；【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 【答案】5【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式=+−432=++−32=5．【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．18. 【答案】<<x 12【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】②①⎩−<+⎪⎨⎪>⎧+x x x x 53532 解不等式①得：>x 1解不等式②得：<x 2∴不等式的解集为：<<x 12【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 19. 【答案】2【分析】先将分式进行化简，再将+−=x y 210变形整体代入化简好的分式计算即可． 【详解】解：原式=+++=x y x yx y 222222)()(， 由+−=x y 210可得+=x y 21，将+=x y 21代入原式可得，原式==122． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．20. 【答案】（1）见解析 （2）【分析】（1）利用平行四边形的性质求出=AF EC ，证明四边形AECF 是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明ABE 是等腰直角三角形，可得==AE BE ，然后再解直角三角形求出EC 即可． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴=AD BC ，∥AD BC ，∵=BE DF ，∴=AF EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵=AC EF ，∴平行四边形AECF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）知四边形AECF 是矩形，∴∠=∠=︒AEC AEB 90，∵=AE BE ，=AB 2， ∴ABE 是等腰直角三角形，∴===AE BE AB 2又∵∠==EC ACB AE 2tan 1，∴=EC 21，∴EC =∴BC BE EC =+=+=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21.【答案】边的宽为4cm ，天头长为24cm【分析】设天头长为cm x ，则地头长为2cm 3x ，边的宽为121cm cm 1036x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为cm x ，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为2cm 3x ， 边的宽为121cm cm 1036x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 装裱后的长为cm cm 2510010033x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎪， 装裱后的宽为cm cm 1112727663x x x =⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意可得：5110027433x x ⎛⎫+=+⨯ ⎪⎝⎭ 解得24x =， ∴146x =， 答：边的宽为4cm ，天头长为24cm ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．22. 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C 的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C 的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n 的值即可． 【小问1详解】解：把点，代入得：12b k b =⎧⎨+=⎩，解得：⎩=⎨⎧=b k 11， ∴该函数的解析式为=+y x 1，由题意知点C 的纵坐标为4，当=+=y x 14时，解得：=x 3，∴C 3,4)(；【小问2详解】解：由（1）知：当=x 3时，=+=y x 14，因为当<x 3时，函数=+y x n 32的值大于函数=+y x 1的值且小于4， 所以如图所示，当=+y x n 32过点3,4)(时满足题意， 代入3,4)(得：=⨯+n 3432， 解得：=n 2．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．23. 【答案】（1）=m 166，=n 165；（2）甲组 （3）170， 172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于932，结合其余学生的身高即可做出选择． 【小问1详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数， 16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166， ∴中位数1661661662m +==， ∴，；【小问2详解】 解：甲组身高的平均数为()1162165165166166164.85++++=， 甲组身高的方差为()()()()()222221162164.8165164.8165164.8166164.8166164.8 2.165⎡⎤−+−+−+−+−=⎣⎦ 乙组身高的平均数为()1161162164165175165.45++++=， 乙组身高的方差为()()()()()222221161165.4162165.4164165.4165165.4175165.425.045⎡⎤−+−+−+−+−=⎣⎦， ∵25.04 2.16>∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；【小问3详解】解：168，168，172的平均数为)1116933168168172=++ ∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170， 172，且选择170， 172时，平均数会增大，故答案为：170， 172．【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析，90BAD ∠=︒（2）4【分析】（1）根据已知得出AB BC =，则ADB CDB ∠=∠，即可证明平分，进而根据平分，得出AD CD =，推出BAD BCD =，得出BD 是直径，进而可得90BAD ∠=︒；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，90F ∠=︒，ADC △是等边三角形，进而得出1302CDB ADC ∠=∠=︒，由BD 是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得12BC BD =，在Rt BFC △中，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【小问1详解】解：∵∴AB BC =，∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分． ∵平分， ∴ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，∴AB AD BC CD +=+，即BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；【小问2详解】解：∵90BAD ∠=︒，，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵AD CD =，∴AD DC =．∵，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．∵BD 平分， ∴1302CDB ADC ∠=∠=︒． ∵BD 是直径， ∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =． ∵四边形是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒−︒=︒， ∴12FB BC =． ∵，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径， ∴此圆半径的长为142BD =． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度0.990C <，故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．26. 【答案】（1）32t =（2）12t ≤ 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得()11,x y 离对称轴更近，12x x <，则()11,x y 与()22,x y 的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得1213222x x +<<，进而根据122x x t +>，即可求解． 【小问1详解】解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线12322x x x +==， ∵抛物线的对称轴为． ∴32t =； 【小问2详解】解：∵当，， ∴1213222x x +<<，12x x <， ∵，，∴()11,x y 离对称轴更近，12x x <，则()11,x y 与()22,x y 的中点在对称轴的右侧， ∴122x x t +>， 即12t ≤． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．27. 【答案】（1）见解析 （2）90AEF ∠=︒，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得是FCH 的中位线，然后求出B ACH ∠∠=，设DM DE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()SAS ABF ACH ≅，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【小问1详解】证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∵C α∠=，∴D DEC M E C α∠−∠∠==，∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是的中点；【小问2详解】90AEF ∠=︒； 证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵， ∴是FCH 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∴2FCH α∠=，∵B C α∠=∠=，∴ACH α∠=，是等腰三角形，∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，∴DF CD n ==，∴FM DF DM n m =−=−，∵，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =−=+−−=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABF ACH ≅，∴AF AH =，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．28. 【答案】（1）1C ，2C ；OC=（2）13t ≤≤或3t ≤≤ 【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据，两点来求最值情况，S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．【小问1详解】解：①由关联点的定义可知，若直线CA CB ，中一经过点O ，另一条是的切线，则称点C 是弦的“关联点”，∵点，，，，， ∴直线2AC 经过点O ，且2BC 与相切， ∴2C 是弦的“关联点”，又∵和横坐标相等，与都位于直线y x =−上， ∴1AC 与相切，11B C 经过点O ，∴1C 是弦的“关联点”．②∵，， 设()C a b ，，如下图所示，共有两种情况，a 、若12C B 与相切，经过点O ，则12C B 、1AC 所在直线为： 0y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：)1C 0，∴1OC =，b 、若2AC 与相切，22C B 经过点O ， 则22C B 、2AC 所在直线为：1x y x =−⎧⎨=−⎩， 解得：()211C −，，∴2OC =，综上，OC =【小问2详解】解：∵线段上一点S ，存在的弦，使得点S 是弦的“关联点”，又∵弦随着S 的变动在一定范围内变动，且，，OM ON >， ∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点时，MP 为的切线，作PJ OM ⊥，∵，的半径为1，且MP 为的切线，∴OP MP ⊥，∵PJ OM ⊥，∴MPO POJ ∽， ∴OP OM OJ OP =，即13OJ=， 解得13OJ =，∴根据勾股定理得，3PJ ==，123Q J =根据勾股定理，13PQ ==，同理，23PQ ==，∴当S 位于点时，1PQ 的临界值为3和3． ②当S 位于经过点O 的的垂直平分线上即点K 时，∵点，，∴5MN ==， ∴2OK OM ON MN =⨯÷=， 又∵的半径为1，∴30OKZ ∠=︒，∴三角形OPQ 为等边三角形，∴在此情况下，1PQ =，PQ =∴当S 位于经过点O 的的垂直平分线上即点K 时，1PQ 的临界值为1∴在两种情况下，PQ 的最小值在13t ≤≤内，最大值在3t ≤≤综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤或3t ≤≤ 【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．。
2007年全国各地中考试题130多份标题汇总
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2024年北京市中考数学试卷真题及其答案
2024年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞04．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．165．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×10187．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C ′O ′D ′≌△COD 得到∠A ′O ′B ′＝∠AOB ，其中判定△C ′O ′D ′≌△COD 的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．（2分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，O 为对角线的交点．将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°得到菱形A ′B ′C ′D ′，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H ．对八边形BFB ′GDHD ′E 给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2分）分解因式：x 3﹣25x ＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝°．15．（2分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，AF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G ．若AD ＝5，CG ＝4，则△AEF 的面积为．第14题第15题16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm （结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点是弦AB 的“α可及点”，其中α＝°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故选：B．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∵∠BOD＝∠AOC＝58°，∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．故选：B．3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞0【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，故选：C．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．16【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故选：C．5．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：列表如下：红黄红（红，红）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×1018【解答】解：由题意可得：4×1017×5＝2×1018．故选：D．7．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：A．8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：延长BD和DB，连接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；根据题意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，故②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥9．【解答】解：根据题意得x﹣9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝x（x+5）（x﹣5）．【解答】解：x3﹣25x，＝x（x2﹣25），＝x（x+5）（x﹣5）．11．（2分）方程的解为x＝﹣1．【解答】解：x +（2x +3）＝03x +3＝0x ＝﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），∴y 1＝，y 2＝﹣，∴y 1+y 2＝0．故答案为：0．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是160．【解答】解：∵满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品，∴抽取10个工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共计8个，∴估计这200个工件中一等品的个数是200×＝160，故答案为：160．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝55°．【解答】解：设AB 与CD 相交于点E ，∵⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径），∴AB ⊥CD ，∴∠DEB ＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG＝＝3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF＝，＝AE•EF＝．∴S△AEF故答案为：．16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为60min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按B﹣D﹣C﹣A的先后顺序彩排．【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20＝60（min）；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：B﹣D﹣C﹣A顺序排序，即1×10+10×10+10×20＝310（min），故答案为：60；B﹣D﹣C﹣A．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【解答】解：＝1+﹣2×+＝．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，x＜7，解不等式得，x＞﹣1，所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜7．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．【解答】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴CF∥AD，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形；（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2，∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，∴AF＝＝，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF＝，∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，解得x＝68，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34，∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），∴﹣2k+3＝1，解得k＝1，将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，解得b＝﹣1．（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x﹣1的值，也大于函数y＝﹣x+3的值，∴m≥1．∴m的取值范围是m≥1．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为91，n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＜91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲，表中k（k为整数）的值为92．【解答】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m＝91．45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；故答案为：91；4；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＝×（88+90+91+91+91+91+92+92）＝90.75，∴＜91．故答案为：＜；（2）甲选手的平均数为×（93+90+92+93+92）＝92，乙选手的平均数为×（91+92+92+92+92）＝91.8，∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，＝×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，乙选手的方差S2乙5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，∴乙选手的方差小于丙选手的方差，∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，∴92≥k＞91，∵k为整数，∴k（k为整数）的值为92，故答案为：92．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接AC交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝，∴设OE＝5x，BC＝6x，∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，∴，∴，∴x ＝或x ＝0（不合题意舍去），∴OE ＝，∴⊙O 半径的长为．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 1.2cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为8.5cm （结果保留小数点后一位）．【解答】解：（1）设h 1＝kV ，将（100，2.5）代入得：2.5＝100k ，解得k ＝，∴h 1＝V ，∵V ＝40，∴h 1＝1.0，故答案为：1.0．（2）如图所示，（3）①当V ＝320ml 时，h 1＝8.0cm ，由图象可知相差约为1.2cm ．故答案为：1.2．②在①的条件下两杯相差1.2cm ，此时h 1大约是7.9，加上0.6约为8.5cm ．故答案为：8.5．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．【解答】解：（1）将a ＝1代入得y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，∴顶点坐标为（1，﹣1）；（2）由题得，y 1＝a •（3a ）2﹣2a 2•3a ＝3a 3，y 2＝﹣2a 2x 2，∵y 1＜y 2，∴y 2﹣y 1＝a （﹣2ax 2﹣3a 2）＝a （x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，①当a ＞0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，∴或，解得x 2＞3a 或x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴3a ＜3或﹣a ＞4，∴a ＜1或a ＜﹣4，∵a ＞0，∴0＜a ＜1；②当a ＜0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＜0，∴或，解得3a ＜x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴，解得a ＜﹣4，综上，0＜a ＜1或a ＜﹣4．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：连接CD，由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴，∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，∴CA＝CE，∴点C是AE的中点；（2）解：EF＝2AC，在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD，∴∠ABC＝∠HBD，∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS），∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，∵DF∥AN，∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，∵G 是AE 的中点，∴GF ＝GD ，EF ＝2GD ，∴∠GFD ＝∠GDF ＝α，∴∠HGD ＝2α，∴∠HGD ＝∠FHD ，∴DG ＝DH ，∵AC ＝DH ，∴DG ＝AC ，∴EF ＝2AC ．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点C 2是弦AB 的“α可及点”，其中α＝45°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O 关于AB 的对称圆⊙O ，∵若点C 关于直线AB 的对称点C '在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”，∴点C 应在⊙O '的圆内或圆上，∵点A （0，1），B （1，0），∴OA ＝OB ＝1，∵∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，由对称得：∠O 'BA ＝O 'AB ＝45°，∴△O ′BA 为等腰直角三角形，∴O '（1，1），设⊙O 半径为R ，则，故C 1在⊙O '外，不符合题意；C 2O '＝2﹣1＝1＝R ，故C 2在⊙O '上，符合题意；，故C 3在⊙O '外，不符合题意，∴点C 2是弦AB 的“α可及点”，可知B ，O ′，C 2三点共线，∵，∴，故答案为：C 2，45；②取AB 中点为H ，连接DH ，∵∠ADB＝90°，∴HD＝HA＝HB，∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B），∴当DH∥x轴时，点D横坐标最大，∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴，∴，∵点A（0，1），B（1，0），∴，∴，∴点D的横坐标的最大值为，故答案为：；（2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上，作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O″M，O″N，∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N），∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，∴∠O″MN＝30°，由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，∵△MPN的外接圆为⊙O″，∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO'与NM交于点Q，∴，∴，随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O'与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，，连接O″P，OP，∵OP≤OO″+O″P，∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形，由上述过程知，∴，∴当r＝1，OP的最大值为2，设，则，解得：，记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴，当x＝0，，当y＝0时，，解得x＝1，∴与x轴交于点T（1，0），∴，∵OT＝OS，∴△OTS为等边三角形，∴∠TOS＝60°，∴，∴，∴t的取值范围是．。
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2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）参考答案一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑. 1. －3的倒数是（ A ） A.13-B. 13C. －3D.3 2. 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为 （ D ）A. 0.26×106B. 26×104C. 2.6×106D. 2.6×1053. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90O ，DE 过点C 且平行于AB ，若∠BCE=35 O ， 则∠A 的度数为 （ C ）A. 35OB. 45ºC. 55ºD. 65º4. 若2|2|(1)0m n ++-=，则2m n +的值为 （ C ）A. －4B. －1C. 0D. 45. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为。
（ B ）A. 28ºCB. 29ºCC. 30ºCD. 31ºC6. 把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是。
（ A ） A. 2(2)a x - B. 2(2)a x +C. 2(4)a x -D. (2)(2)a x x +-7. 一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 （ B ） A.19 B. 13 C. 12 D. 238. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个．．．．是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是 （ D ）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. 若分式241x x -+的值为0，则x 的值为 2 . 10. 若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是1k <-.11. 在五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如图： ，其中a b ，c 是三个连续偶数()a b <，d ，e 是两个连续奇数()d e <，且满足a b c d e ++=+，例如： ，. 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：12. 2007年北京市统招右图是对种中心为点O 的正六边形，如果用一个含30º角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面 积n 等分，那么n 的所有可能的值是 2，3，4，6，12 .三、解答题（共5个小题，共25分） 13.（本小题满分5分）2007年北京市统招计算：1118(1)2cos 45()4π---︒-︒+ 解：1118(1)2c o s 45()4π---︒-︒+2321242=--⨯+322=+14.（本小题满分5分）解方程：2410x x +-=解：因为 1a =，4b =，1c =-所以 224441(1)20b ac -=-⨯⨯-=代入公式，得 24420425252212b b ac x a -±--±-±====-±⨯所以 原方程的解为 1225,25x x =-+=--15.（本小题满分5分）计算：22111x x x --- 解：22111x x x --- 21(1)(1)1x x x x =-+--2(1)(1)(1)x x x x -+=+-1(1)(1)x x x -=+-11x =+16.（本小题满分5分）已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA =OC ，OB =OD .求证：AB =CD证明：∵ OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线， ∴ ,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴ A O B C O D ∠=∠ 在A O B ∆和C O D ∆中，,,,O A O CA OBC OD O B O D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ A O B C O D∆≅∆ ∴ A B C D =17.（本小题满分5分）已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值. 解析：22(1)()7x x x x x x +-+-- 323227x x x x x x =++---- 27x =-又240x -=，故原式3=-.四、解答题（共2个小题，共10分） 18.（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC = AD ，∠C=60º，AE ⊥BD 于点E ，AE=1，求梯形ABCD 的高. 解：作D F B C ⊥于点F∵ AD ∥BC ， ∴ 12∠=∠ ∵ A B A D =， ∴ 23∠=∠∴ 13∠=∠∵ AB DC =，60C ∠=，∴11133022ABC C ∠=∠=∠=∠= ∵ AE BD ⊥于点E ，1AE =， ∴2A B D C== 在Rt CDF ∆中，由正弦的定义可得3DF = ∴梯形A B C D 的高为3.19.（本小题满分5分）2007北京统考 已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A的直线交于B 点，OC = BC ，AC =12OB （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD 的长. 解：（1）证明： 如图，连结OA∵ 1,2O C B C A C O B== ∴ O C B C A C O A===∴ ACO ∆是等边三角形故 60O ∠=又可得 30B ∠= ∴ 90OAB ∠=∴ AB 是O 的切线. （2）解：作AE CD ⊥于E 点.∵ 60O ∠= ， ∴ 30D ∠=又 45ACD ∠=，2A C O C ==，∴在Rt ACE ∆中，2C E A E ==在Rt ACE ∆中，∵ 30D ∠=，∴ 22AD = 由勾股定理，可求得 6DE =∴ 62CD DE CE =+=+.五、解答题（本题满分6分）20. 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供，请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿m 3）；（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m 3，请你选计算环境用水量（单位：亿m 3），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿m 3）；（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿m 3）； （4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法. 解：（1）补全2005年北京市水资源统计图见右图； 水资源总量为23.18亿m 3（2）设2005年环境用水量为x 亿m 3依题意得 60.26.8x += 解得 1.1x =∴ 2005年环境用水量为1.1亿m 3 ∵ 13.38+1.1+6.8+13.22=34.5∴ 2005年北京市用水总量为34.5亿m 3（3）∵ 34.5-23.18=11.32，∴2005年北京市缺水量为11.32亿m 3（4）说明：通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能提出积极看法的给分，比如节约用水等.六、解答题（共2个小题，共9分） 21.（本小题满分5分）在平面直角坐标系x O y 中，O E F G 为正方形，点F 的坐标为（1，1），将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上， （1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O 、F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），解：（1）12； （2）直角顶点的坐标为22,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或221,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭此时的图形如右图22.（本小题满分4分）在平面直角坐标系x O y 中，反比例函数k y x =的图像与3y x=的图像关于x 轴对称，又与直线2y a x =+交于点(,3)A m ，试确定a 的值. 解：依题意得，反比例函数k y x =的解析式为3y x=- ∵ 点(,3)A m 在反比例函数3y x=-的图像上， ∴ 1m =-即 点A 的坐标为(1,3)-由点(1,3)A -在直线2y a x =+上 可求得 1a =-.七、解答题（本题满分7分）23. 如图，已知ABC ∆（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面 积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的 三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明A B A C A D A E+>+. 解：（1）相应的条件是： BD = CE ≠ DE ；两对面积相等的三角形分别是： △ABD 和△ACE ，△ABE 和△ACD .（2）证法1：如图2，分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线交于F 点，DF 与AB 交于G 点.所以 ∠ACE = ∠FDB ，∠AEC = ∠FBD在△AEC 和△FBD 中，又CE = BD 可证 △AEC ≌ △FBD 所以 AC = FD ，AE = FB在△AGD 中，AG + DG ＞AD 在△BFG 中，BG + FG ＞FB所以 AG + DG －AD ＞0，BG + FG －FB ＞0 所以 AG + DG + BG + FG －AD －FB ＞0 即 AB + FD ＞AD + FB 所以 AB + AC ＞AD + AE证法2：如图，分别过点A 、E 作CB 、CA 的平行线，两线交于F 点，EF 与AB 交于G 点，连结BF. 则四边形FECA 是平行四边形，所以 FE = AC ，AF = CE.因为 BD = CE 所以 BD = AF所以 四边形FBDA 是平行四边形 所以 FB = AD在△AGE 中，AG + EG ＞AE 在△BFG 中，BG + FG ＞FB可推得 AG + EG + BG + FG ＞AE + FB 所以 AB + AC ＞AD + AE八、解答题（本题满分7分）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(3,5)P ，(0,2)A 两点. （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标. 解：（1）由题意可得1365322m m n m n n ⎧++==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩故抛物线的解析式为：2123233y x x =++. （2）由2123233y x x =++可知抛物线的顶点坐标为B （3,1-），故C （3,1--），且直线l 过原点. 设直线l 的解析式为y kx =，则有3313k k -=-⇒=. 故直线l 的解析式为33y x =.（3）到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点有四个.由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC 为等边三角形，四边形ABCO 是菱形，且∠BCO=60°，连接AC 交x 轴于一点M ，易证点M 到OB 、OC 、BC 的距离相等.由点A 在∠BCO 的平分线上，故它到BC 、CO 的距离相等均为3，同时不难计算出点A 到OB 的距离为3，故点A 也算其中一个. 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO 全等的菱形（如图所示，其中△OBC 为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB 、OC 、BC 的距离相等. 此四个点的坐标分别为：M （23,03-）、A （0，2）、（0，-2）、（23,0-）.九、解答题（本题满分8分）25. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若60A ∠=︒，12DCB EBC A ∠=∠=∠，请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC ∆中，如果A ∠是不等于60º的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论. 解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.（2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ） 四边形DBCE 是等对边四边形.（3）此时存在等对边四边形DBCE.证明1：如图，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点. ∵∠DCB=∠EBC=12∠A ，BC 为公共边 ∴△BGC ≌△CFB ∴BF=CG∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF ≌△CEG ∴BD=CE故四边形DBCE 是等对边四边形.证明2：如图，在BE 上取一点F ，使得BF=CD ，连接CF.易证△BCD ≌△CBF ，故BD=CF ，∠FCB=∠DBC.∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE故四边形DBCE 是等对边四边形.。