【中小学资料】九年级数学上册 专题训练(三)用待定系数法求二次函数解析式试题 (新版)新人教版
【初中数学】第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 [人教版九年级上册] (练习题)
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第2课时用待定系数法求二次函数的解析式[人教版九年级上册] (2912)1.已知二次函数的图象经过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是（）A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2−2x+3D.y=x2−3x+22.已知二次函数y=ax2+bx的图象过点(6，0)，(−2，8).(1)求此二次函数的解析式；(2)写出该函数图象的对称轴和顶点坐标3.顶点为M(−2，1)，且经过原点的抛物线的解析式是（）A.y=(x−2)2+1B.y=−14(x+2)2+1C.y=(x+2)2+1D.y=14(x−2)2+14.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，−1)，那么这个二次函数的解析式可以是．5.已知抛物线的顶点坐标是(3，−1)，与y轴的交点坐标是(0，−4)，则这个抛物线的函数解析式为6.已知二次函数的图象经过点(4，−3)，并且当x=3时，函数有最大值4，求出对应的二次函数解析式．7.已知一抛物线与x轴交于点A(−2,0)，B(1,0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为.8.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1，0)，且经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点.(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点M的坐标9.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2−4x+3相同，顶点坐标为(−2，1)，则该抛物线的函数解析式为（）A.y=12(x−2)2+1 B.y=12(x+2)2−1C.y=12(x+2)2+1 D.y=−12(x+2)2+110.二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点是(−1,−3)，则b、c的值为（）A.b=2，c=4B.b=2，c=−4C.b=−2，c=4D.b=−2，c=−411.抛物线经过点A(2,0)，B(−1,0)，且与y轴交于点C．若OC=2，则该抛物线解析式为（）A.y=x2−x−2B.y=−x2−x−2或y=x2+x+2C. −y=−x2+x+2D.y=x2−x−2或y=−x2+x+212.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点及点(−2，−2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．13.已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A(c，−2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3.题目中矩形方框部分是一段被墨水污损了无法辨认的字.(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中二次函数的解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由.(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形方框中添加一个适当的条件，把原题补充完整14.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)．参考答案1.【答案】:D【解析】:设函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则{a+b+c=0,4a+2b+c=0,c=2,解得{a=1,b=−3,c=2,∴该函数的解析式为y=x2−3x+22(1)【答案】解：因为二次函数y=ax2+bx的图象过点(6，0)，(−2，8)，所以{36a+6b=0，4a−2b=8，解得{a=12，b=−3，所以此二次函数的解析式为y=12x2−3x.(2)【答案】因为y=12x2−3x=12(x−3)2−92，所以该函数图象的对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3，−92).3.【答案】:B4.【答案】:y=2x2−1(答案不唯一)【解析】:因为抛物线的顶点坐标为(0，−1)，所以可设该抛物线的解析式为y=ax2−1.又因为二次函数的图象开口向上，所以a>0，所以这个二次函数的解析式可以是y=2x2−1(答案不唯一).5.【答案】:y=−13(x−3)2−1【解析】:因为抛物线的顶点坐标是(3，−1)所以设抛物线的函数解析式为y=a(x−3)2−1.又因为抛物线过点(0，−4)所以−4=a(0−3)2−1，解得a=−1.3(x−3)2−1.所以这个抛物线的函数解析式为y=−136.【答案】:∵当x=3时，函数有最大值4，∴函数的顶点坐标为(3,4)，设此函数的解析式是y=a(x−3)2+4.再把(4，−3)代入函数解析式中，得a×(4−3)2+4=−3，解得a=−7，故二次函数的解析式是y=−7(x−3)2+4，即y=−7x2+42x−59【解析】:根据二次函数的图象与性质，得出函数的顶点坐标为(3,4)，利用顶点式设出二次函数解析式，再将(4，−3)代入，计算出二次函数的解析式7.【答案】:y=2x2+2x−48(1)【答案】解：直线y=x−3与x轴，y轴的交点坐标分别是(3,0)，(0，−3)，∵抛物线过点(−1，0)，(3，0)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x−3)(x+1).把(0，−3)代入，得−3=−3a，解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x−3)(x+1)，即y=x2−2x−3.(2)【答案】∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4,∴抛物线的顶点M的坐标为(1,−4).9.【答案】:C【解析】:已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y=a(x−ℎ)2+k，x2−4x+3相同，又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12所以a=1，2所以该抛物线的函数解析式是y=12(x+2)2+110.【答案】:D【解析】:因为二次函数y=−x2+bx+c的二次项系数−1<0，所以该函数图象的开口方向向下，所以二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点坐标(−1，−3)就是该函数图象的顶点坐标.又因为二次项系数为−1，所以二次函数的解析式为y=−(x+1)2−3.化为一般形式，得y=−x2−2x−4，所以b=−2，c=−4.故选D.11.【答案】:D【解析】:设抛物线的解析式为y=a(x−2)(x+1)(a≠0)∵OC=2∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，−2）①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得2=a(0−2)(0+1)解得a=−1∴抛物线解析式为y=−1(x−2)(x+1)，即y=−x2+x+2②当抛物线和y轴交点的为（0，−2）时，−2=a(0−2)(0+1)解得a=1∴抛物线解析式为y=(x−2)(x+1)，即y=x2−x−2.故选：D．12.【答案】:y=12x2+2x或y=−16x2+23x【解析】:∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为(−4，0)或(4，0)，①当这个交点坐标为(−4，0)时，{c=0,4a−2b+c=−2,16a−4b+c=0,解得{a=12,b=2,c=0,∴该二次函数的解析式为y=12x2+2x；②当这个交点坐标为(4，0)时，{c=0,4a−2b+c=−2,16a+4b+c=0,解得{a=−16,b=23,c=0,∴该二次函数的解析式为y=−16x2+23x．故这个二次函数的解析式为y=12x2+2x或y=−16x2+23x13(1)【答案】解：能.由结论中的对称轴是直线x=3，得−b2×12=3，则b=−3.因为图象经过点A(c，−2)，所以12c2−3c+c=−2，c2−4c+4=0，(c−2)2=0，所以c=2，所以二次函数的解析式为y=12x2−3x+2.(2)【答案】可添加条件：B(0，2).(答案不唯一)14(1)【答案】解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，∴{−1−b+c=0,−9+3b+c=0，解得{b=2, c=3，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3【解析】:∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，∴{−1−b+c=0,−9+3b+c=0，解得{b=2, c=3，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3 (2)【答案】∵x=0时，y=3∴点C的坐标为(0，3)．y=−x2+2x+3=−(x2−2x+1)+4 =−(x−1)2+4，∴点D的坐标为(1，4)【解析】:∵x=0时，y=3∴点C的坐标为(0，3)．y=−x2+2x+3=−(x2−2x+1)+4=−(x−1)2+4，∴点D的坐标为(1，4)(3)【答案】设点P(x，y)，其中x>0，y>0，S△COE=12×3×1=32,S△ABP=12×4y=2y,S△ABP=4S△COE,∴2y=4×32,∴y=3.∴−x2+2x+3=3，解得x=2(x=0舍去)．∴点P的坐标为(2，3)【解析】:设点P(x，y)，其中x>0，y>0，\(S_{\triangle COE}={\dfrac{1}{2}}\times 3\times 1={\dfrac{3}{2}}, S_{\triangle ABP}={\dfrac{1}{2}}\times 4y=2y\),S△ABP=4S△COE, ∴2y=4×32,∴y=3.∴−x2+2x+3=3，解得x=2(x=0舍去)．∴点P的坐标为(2，3)。
九年级数学上册 专题训练(三)用待定系数法求二次函数解析式试题
专题训练（三）用待定系数法求二次函数解析式一、已知三点求解析式1．已知二次函数的图象经过(1,0），（2,0）和（0,2）三点，则该函数的解析式是（D)A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋22．如图,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．解：将点A（－1,0）,B(0，－3），C（4，5）三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c得解得所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3二、已知顶点或对称轴求解析式3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4）,且过点B （3，0）,求该二次函数的解析式．解:∵二次函数的图象顶点为A(1,－4）,∴设y＝a(x－1)2－4,将点B （3,0)代入得a＝1，故y＝（x－1)2－4,即y＝x2－2x－34．已知抛物线经过两点A（1，0），B(0，3），且对称轴是直线x＝2,求其解析式．解：∵抛物线对称轴是直线x＝2且经过点A（1,0）,由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3，0)，设抛物线的解析式为y＝a（x －1)(x－3），把（0，3）代入得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3三、已知抛物线与x轴的交点求解析式5．已知抛物线与x轴的交点是A（－2，0)，B(1，0）,且经过点C （2，8），则该抛物线的解析式为__y＝2x2＋2x－4___．6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B(3,0），求这条抛物线的解析式．解：∵抛物线与x轴交于A(1,0)，B（3，0)两点，∴抛物线的解析式可表示为y＝－（x－3）(x－1)，即y＝－x2＋4x－3四、已知几何图形求解析式7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．解：由题意,得C（0，2），B(2,2),∴解得所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2五、已知面积求解析式8．直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝，求二次函数关系式．解:易求直线AB的解析式为y＝－x＋4，∵S△AOP＝，∴×4×y p ＝，∴y p＝，∴＝－x＋4,解得x＝，把点P的坐标（，）代入y＝ax2，解得a＝，∴y＝x2六、已知图形变换求解析式9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B（3，0）,C（0，－3）．（1）求抛物线C1的解析式；(2）将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．解:（1)y＝x2－2x－3（2)抛物线C1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x（x＋4），即y＝x2＋4x七、运用根与系数的关系求解析式10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.（1）直线l:y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点;（2）设该抛物线与x轴交于M，N两点,当OM·ON＝4，且OM ≠ON时,求出这条抛物线的解析式．解：（1)将y＝－x2＋2mx－m2－m＋2配方得y＝－（x－m)2－m＋2，由此可知,抛物线的顶点坐标是（m，－m＋2）,把x＝m代入y＝－x＋2得y＝－m＋2，显然直线y＝－x＋2经过抛物线y＝－x2＋2mx －m2－m＋2的顶点（2）设M，N两点的横坐标分别为x1，x2，则x1,x2是方程－x2＋2mx－m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1x2＝m2＋m－2，∵OM·ON＝4，即｜x1x2｜＝4，∴m2＋m－2＝±4。
人教版九年级上册数学待定系数法求二次函数的解析式练习题(无答案)
待定系数法求二次函数的解析式知识点回顾用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0))；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．随堂练习 一、选择题 1.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3 D.y =21(x +2)2－1 2.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上4.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1) 6.下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是A.43B.－43C.45 D.－458.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 1 二、填空题 9.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 10.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______. 11.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____.12.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______. 13.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.三、解答题14.根据已知条件确定二次函数的表达式（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；（2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2。
部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲 解析版含答案
22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个 二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个 等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
九上数学每日一练：待定系数法求二次函数解析式练习题及答案_2020年解答题版
九上数学每日一练：待定系数法求二次函数解析式练习题及答案_2020年解答题版答案解析答案解析答案解析答案解析2020年九上数学：函数_二次函数_待定系数法求二次函数解析式练习题1.(2019闵行.九上期末) 已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 的图像经过点A （1，0）、B （0，-5）、C （2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;待定系数法求二次函数解析式;2.(2019丰城.九上期中)抛物线的顶点坐标为，且与y 轴的交点为 ，求此抛物线的解析式．考点： 待定系数法求二次函数解析式;3.(2019宜昌.九上期中) 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.考点： 二次函数图象与坐标轴的交点问题;待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-喷水问题;4.(2018松原.九上期末) 如图，抛物线y=﹣x +bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C （0，3），作直线BC ．动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM ⊥x 轴，交抛物线于点M ，交直线BC 于点N ，设点P 的横坐标为m ．（1） 求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2） 当点P 在线段OB 上运动时，若△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；（3） 当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是以OC 为一边的平行四边形时，求m 的值．考点： 待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象与坐标轴的交点问题;待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-几何问题;5.(2018虎林.九上期中) 如图，抛物线y=x ﹣bx+c 交x 轴于点A （1，0），交y 轴于点B ，对称轴是x=2．22答案解析（1） 求抛物线的解析式；（2） 点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点： 待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;轴对称的应用-最短距离问题;2020年九上数学：函数_二次函数_待定系数法求二次函数解析式练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
九年级上-待定系数法求二次函数的解析式
待定系数法求二次函数的解析式知识集结知识元利用一般式求二次函数的解析式知识讲解已知三个点求二次函数的解析式，一般选择一般式，基本的作法是：（1）设出二次函数的一般式；（2）将三个点的值分别代入到解析式中，得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得出三个字母的值，即可得到为此函数的解析式.例题精讲利用一般式求二次函数的解析式例1.'二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：求此二次函数的解析式．'例2.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'例3.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'利用顶点式求二次函数的解析式知识讲解当已知条件中出现二次函数的顶点或者顶点的横、纵坐标之一等顶点相关的内容时，会考虑用顶点式来求解二次函数的解析式.例题精讲利用顶点式求二次函数的解析式例1.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3例2.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4例3.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．例4.'已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．'利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式知识讲解当已知的点中出现与x轴的交点时，常会考虑设成两点式求二次函数的解析式，此类问题已知点的坐标的形式比较多，除了可以直接已知与x轴的两个交点坐标外，还可以已知其中一个与x轴的交点的坐标及对称轴等其他形式.例题精讲利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式例1.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．例2.抛物线与轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（）B．C．D．A．例3.过（﹣1，0），（3，0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，）C．（﹣1，5）D．（2，）例4.'已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．'顶点在原点的二次函数解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲顶点在原点的二次函数解析式的求法例1.若二次函数函数的图象是顶点在原点，则的值为（）A．-2 B．2C．±2 D．4例2.'抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．'例3.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在y轴上的抛物线的解析式的形式是b=0，即一次项系数为0.例题精讲顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．例2.已知一抛物线的顶点在y轴上，且过二点（1，2）、（2，5），则此抛物线的解析式为．例3.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在x轴上的二次函数可以有多种表述方法：（1）与x轴只有唯一的交点；（2）判别式等于0；（3）图象不在x轴上方（或下方）；（4）对应的一元二次方程有两个相等的实根等.例题精讲顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法已知抛物线的顶点在轴上，则等于（）A．4B．8C．-4D．16例2.若函数的图象顶点在轴上，则的值为（）A．B．-1C．D．或例3.'如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．'过原点的二次函数的解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲过原点的二次函数的解析式的求法例1.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．例2.'二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．求此二次函数的解析式．'例3.'已知抛物线经过原点，点（1，﹣4）和（﹣1，2），求抛物线解析式．'例4.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'与长度相关的解析式的求法知识讲解在利用线段的长度或者线段之间的等量关系求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与长度相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，﹣6），对称轴是直线x=3，与x轴交于A、B 两点，且AB=8．求函数解析式．'例2.'如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．'例3.'在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C （如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．'与面积相关的解析式的求法知识讲解在利用几何图形的面积求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与面积相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式．'例2.'在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+kx+4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．'例3.'已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．'利用几何综合性质求函数解析式知识讲解利用几何性质求函数解析式是求解析式中的较难问题，其难点在于对几何性质的探究，并通过几何性质找到所需的点或列出所需的等式.例题精讲利用几何综合性质求函数解析式例1.'如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．'例2.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'例3.'已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线y1=x﹣6相交于M、D两点①用含a的式子表示点D的坐标；②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．'当堂练习单选题练习1.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2练习2.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．练习3.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．练习4.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．练习5.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4练习1.已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（3，﹣3），则该抛物线的函数解析式为．练习2.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．练习3.若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．练习4.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．解答题练习1.'如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．'练习2.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'练习3.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'练习4.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．'练习5.'已知，抛物线的顶点为P（3，﹣2），且在x轴上截得的线段AB=4．求抛物线的解析式．'练习6.'如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．求这个二次函数的解析式．'练习7.'直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．'练习8.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．求该二次函数的表达式．'练习9.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'练习10.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'练习11.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'。
九年级数学： 用待定系数法求二次函数的解析式同步训练题10
第22章二次函数 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式同步训练题1. 一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5.则这个二次函数的关系式是( )A．y＝4x2＋3x－5 B.y＝2x2＋x＋5C.y＝2x2－x＋5 D．y＝2x2＋x－52．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴且经过点(0,1)的是( ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－33. 二次函数的图象经过(0,3)，(－2，－5)，(1,4)三点，则它的解析式为( ) A．y＝x2＋6x＋3 B．y＝－3x2－2x＋3C．y＝2x2＋8x＋3 D．y＝－x2＋2x＋34. 已知抛物线经过点(－1,0)、(3,0)、(1，－4)，则这个抛物线对应的函数解析式为( )A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2＋2x＋35. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )A.y＝x2－4x＋C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋86．已知二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象经过点(－3，6)，与x轴交于点(－1,0)，那么b＋c＝.7. 顶点是(1,4)，且经过(2,3)的抛物线的解析式是 .8. 已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，则它的解析式是.9. 如图，抛物线的解析式为10．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且过点(2,7)，(－3，5)，则y ＝.11. 二次函数的图象经过点(4，－3)，且当x＝3时，有最大值－1，则该二次函数解析式为 .12．已知某个二次函数图象的最高点为点A，与x轴交于点B、C，与y轴交于点D(0,5)，已知点A、B的横坐标分别是3、－4，求该二次函数的解析式．13. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式：(1)已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且过点(2,3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，－1)、(0,1)、(－1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1,0)、(3,0)，且图象过点(0，－3)．15. 已知二次函数的图象经过点(0,3)、(－3,0)、(2，－5)，且与x轴交于A、B两点．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)判断点P(－2,3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．16. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a、b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．参考答案： 1---5 ACDBA 6. －527. y ＝－x 2＋2x ＋3 8. y ＝12(x －2)(x －3) 9. y ＝－x 2＋x ＋2 10. 2x 2－111. y ＝－2(x －3)2－1或y ＝－2x 2＋12x －19 12. 解：y ＝－18x 2＋34x ＋513. 解：(1)根据题意设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋2，将(2,3)代入得：a ＋2＝3，即a ＝1，则抛物线解析式为y ＝x 2－2x ＋3；(2)设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将(1，－1)、(0,1)、(－1,13)三点代入得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－1c ＝1a －b ＋c ＝13，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－7c ＝1，则抛物线解析式为y ＝5x 2－7x＋1；(3)根据题意设抛物线解析式为y ＝a(x －1)(x －3)，将(0，－3)代入得：3a ＝－3，即a ＝－1，则抛物线解析式为y ＝－x 2＋4x －3.15. 解：(1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .∵二次函数的图象经过点(0,3)、(－3,0)、(2，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝39a －3b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝－5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3.∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)∵－(－2)2－2×(－2)＋3＝－4＋4＋3＝3 .∴点P(－2,3)在这个二次函数的图象上．令－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1 .∴与x 轴的交点坐标为：(－3,0)、(1,0)．∴S △PAB ＝12×4×3＝6.16. 解：(1)由题意知(1＋a)(1－a －1)＝－2，即a(a ＋1)＝2.因为y 1＝x 2－x －a(a ＋1)，所以y 1＝x 2－x －2；(2)由题意知，函数y 1的图象与x 轴交于点(－a,0)和(a ＋1,0)，当y 2的图象经过点(－a,0)时，得a 2－b ＝0；当y 2的图象经过点(a ＋1,0)时，得a 2＋a ＋b ＝0； (3)由题意知，函数y 1的图象的对称轴为直线x ＝12，所以点Q(1，n)与点(0，n)关于直线x ＝12对称．因为函数y 1的图象开口向上，所以当m ＜n 时，0＜x 0＜1.。
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专题训练(三) 用待定系数法求二次函
数解析式
一、已知三点求解析式
1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( D ) A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．
解：将点A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c得
解得
所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3
二、已知顶点或对称轴求解析式
3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
解：∵二次函数的图象顶点为A(1，－4)，∴设y＝a(x－1)2－4，将点B(3，0)代入得a＝1，故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3
4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．
解：∵抛物线对称轴是直线x＝2且经过点A(1，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把(0，3)代入得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3
三、已知抛物线与x轴的交点求解析式
5．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为__y＝2x2＋2x－4___．
6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．
解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可表示为y＝－(x－3)(x－1)，即y＝－x2＋4x－3
四、已知几何图形求解析式
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．
解：由题意，得
C(0，2)，B(2，2)，
∴
解得所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2
五、已知面积求解析式
8．直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝，求二次函数关系式．
解：易求直线AB的解析式为y＝－x＋4，∵S△AOP＝，∴×4×y p＝，∴y p＝，∴＝－x＋4，解得x＝，把点P的坐标(，)代入y＝ax2，解得a＝，∴y＝x2
六、已知图形变换求解析式
9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．
解：(1)y＝x2－2x－3
(2)抛物线C1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x(x＋4)，即y＝x2＋4x
七、运用根与系数的关系求解析式
10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.
(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；
(2)设该抛物线与x轴交于M，N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式．
解：(1)将y＝－x2＋2mx－m2－m＋2配方得y＝－(x－m)2－m＋2，由此可知，抛物线的顶点坐标是(m，－m＋2)，把x＝m代入y＝－x＋2得y＝－m＋2，显然直线y＝－x＋2经过抛物线y ＝－x2＋2mx－m2－m＋2的顶点
(2)设M，N两点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程－x2＋2mx－m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1x2＝m2＋m－2，∵OM·ON＝4, 即|x1x2|＝4，∴m2＋m－2＝±4.当m2＋m－2＝4时，解得m1＝－3，m2＝2，当m＝2时，可得OM＝ON不合题意，所以m＝－3；当m2＋m－2＝－4时，方程没有实数根，因此所求的抛物线的解析式只能是y＝－x2－6x－4。