圆锥曲线综合.测试题.学生版 普通高中数学复习讲义Word版

【例1】 已知P 为抛物线22(0)x py p =>上的动点，F 为抛物线的焦点，过F 作抛物线在P 点处的切线的垂线，垂足为G ，则点G 的轨迹方程为（ ） A ．222x y p +=B ．2p y =- C ．22224p p x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．0y =【考点】轨迹方程 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，东城二模【解析】0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设00(,)P x y ，由抛物线方程得函数22x y p =，其导数x y p '=，于是P点的切线方程为000()x y y x x p -=-；从而过点F 的直线方程为02p py x x -=-，联立两条直线的方程解得交点坐标为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭，而0x ∈R ，故点G 的轨迹方程为0y =．如果直接设(,)G x y ，也可由此出发推出x 与y 的关系式，但对于本题来说，此方法相当烦繁琐，如下：当P 为原点时，易知G 也为原点，满足条件；当G 不为原点时，0x ≠，此时2FG py k x-=，故2PGx k p y =--，由抛物线方程得函数22x y p =，其导数xy p '=，过P 点的切线斜率为2x p y --，故P 点的横坐标2P px x p y =--，于是2222P px y p y =⎛⎫- ⎪⎝⎭，有2P PG P y y x k p x x y -==---，化简得2202p x y y ⎡⎤⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，而0x ≠，0y =，加上圆锥曲线综合.测试题原点即可．本题也可由排除法得到答案，直接取P 为原点，排除A ，B ；再找特殊点排除C 即可．【答案】D ；【例2】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在A 上，且13AM AB =，点P在平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是 ．A D【考点】轨迹方程 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2008年，湖北高考模拟考试【解析】过P 点作PQ AD ⊥于Q ，再过Q 作11QH A D ⊥于H ，连PH ，利用三垂线定理可证11PH A D ⊥． 设()P x y ，，∵22||||1PH PM -=，∴2221113x x y ⎡⎤⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化简得22139y x =-． 【答案】22139y x =-【例3】 AB 是圆O 的直径，且||2AB a =，M 为圆上一动点，作MN AB ⊥，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹方程．【考点】轨迹方程 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】参数法，以O 为原点AB 为x 轴建立平面直角坐标系，如图，设(cos sin )M a a αα，，()P x y ，，[02π)α∈，，则由题设有|sin |cos |sin |sin x a y a αααα=⎧⎨=⎩， 0πα<≤时，2sin 2sin (1cos2)22a ax y a ααα===-，，于是222222sin 2cos 211x y a a αα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理得220x y ay +-=；类似的π2πα<≤时，P 的轨迹方程为220x y ay ++=． 因此所求方程为22||0x y a y +-=．【答案】22||x y a y +=；【例4】 已知抛物线2:C y ax =，点(1,1)P -在抛物线C 上，过点P 作斜率为1k 、2k 的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且满足120k k +=．⑴求抛物线C 的焦点坐标；⑵若点M 满足BM MA =，求点M 的轨迹方程．【考点】轨迹方程 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2008年，崇文一模【解析】⑴将(1,1)P -代入抛物线C 的方程2y ax =得1a =-，∴抛物线C 的方程为2y x =-，即2.x y =- 焦点坐标为10,4F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．⑵设直线PA 的方程为11(1)y k x +=-， 联立方程121(1),.y k x y x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩消去y 得21110x k x k +--=， 则1111x k ⋅=--，即111x k =--． 同理直线PB 的方程为21(1)y k x +=-，联立方程221(1),.y k x y x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩消去y 得22210x k x k +--=， 则2211x k ⋅=--，即221x k =--．设点M 的坐标为(,)x y ，由BM MA =得122x x x +=， 1212112()22k k k k x ------+==， 又∵120k k +=，∴点M 的轨迹方程为1x =-．【答案】⑴焦点坐标为10,4F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．⑵点M 的轨迹方程为1x =-．【例5】 已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点()，A A A x y 和()，B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点()，P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． ⑴若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； ⑵若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 【考点】轨迹方程 【难度】星 【题型】解答【关键字】2009年，广东高考【解析】⑴联立2y x =与2y x =+得12，A B x x =-=，则AB 中点1522，Q ⎛⎫⎪⎝⎭，设线段PQ 的中点M 坐标为()，x y ，则152222，s tx y ++==，即152222，s x t y =-=-，又点P 在曲线C 上，∴2512222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简可得2118y x x =-+，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则11222x -<-<，即1544x -<<， ∴中点M 的轨迹方程为2118y x x =-+1544x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭． ⑵曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=， 即圆E ：()()2249225x a y -+-=，其圆心坐标为()2，E a ，半径75r =由图可知，当0≤a 时，曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点；当0a <时，要使曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点，只需圆心E 到直线:20l x y -+=的距离75d =，得0a <，则a 的最小值为． 【答案】⑴中点M 的轨迹方程为2118y x x =-+1544x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭．⑵a 的最小值为【考点】曲线与方程 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，湖北高考 【解析】C ； 【答案】C ；【例7】 已知以4T =为周期的函数(11]()12(13]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，，，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A．83⎫⎪⎪⎝⎭，B．⎝ C ．4833⎛⎫⎪⎝⎭，D．43⎛ ⎝【考点】曲线与方程 【难度】4星 【题型】选择【关键字】2009年，重庆高考【解析】因为当(11]x ∈-，时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=≥，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(13]x ∈，的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3x y =与第二个折线段无交点，因此当直线3xy =与第二个半椭圆222(4)1(0)y x y m -+=≥相交，而与第三个半椭圆222(8)1(0)y x y m -+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(0)y x y m -+=≥得2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=． 由2(8)415(1)0t t t ∆=-⨯+>，解得15t >，即2915m m >⇒>． 同样由3x y =与第三个半椭圆222(8)1(0)y x y m -+=≥无交点，0∆<，可计算得m ．综上知m ∈⎝． 【答案】B ；【例8】 如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心，以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ．⑴求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；⑵设曲线G 上点D 的横坐标为2a +，求证：直线CD 的斜率为定值．【考点】曲线与方程 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴由题意知，(A a ．因为OA t =，所以222a a t +=． 由于0t >，故有t ． 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知， 直线BC 的方程为1x yc t+=． 又因点A 在直线BC上，故有1a c =，将t =代入上式，得1a c +=，解得2c a =++ ⑵因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为1CD k ====-【答案】⑴2c a =++⑵⑵因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为1CD k ====-【例9】 过点(01)P ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________．【考点】切线问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】直线的斜率不存在时，此时的直线方程为0x =，显然满足要求；直线斜率存在时，设为k ，直线方程为1y kx =+． 代入抛物线22y x =中，得222(1)10k x k x +-+=．当0k =时，直线与抛物线只有一个交点1(1)2，，满足要求；当0k ≠时，令224(1)40k k ∆=--=，得12k =，即直线112y x =+也满足要求．综上，所求直线方程是0x =或1y =或112y x =+．另解当直线平行于抛物线的对称轴时，1y =为所求；当直线为抛物线的切线时，对应切线方程为00y y x x =+，该直线过点P ，于是00y x =，将此方程与2002y x =联立，解得0000x y =⎧⎨=⎩或0022x y =⎧⎨=⎩，因此，切线方程为0x =和220x y -+=；综上，所求直线方程为1y =，0x =，220x y -+=．【答案】1y =，0x =，220x y -+=．【例10】 如图，P 是抛物线C ：212y x =上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SPSQ+的取值范围．【难度】4星 【题型】解答【关键字】2004年，福建高考【解析】⑴设11()P x y ，，22()Q x y ，，00()M x y ，， 依题意10x ≠，10y >，20y >．由212y x =① 得y x '=． ∴过点P 的切线的斜率01k x =， ∴直线l 的斜率10111k k x =-=-， ∴直线l 的方程为211111()2y x x x x -=-- ②，法一：联立①②消去y ，得2211220x x x x +--=． ∵M 是PQ 的中点， ∴120112x x x x +=-=-，20101111()2y x x x x =--． 消去1x ，得20002011(0)2y x x x =++≠， ∴PQ 中点M 的轨迹方程为22112y x x =++（0x ≠）． 法二：由21112y x =，22212y x =，1202x x x +=， 得2212121212012111()()()222y y x x x x x x x x x -=-=+-=-，则12011211y y x k x x x -===--，∴101x x =-，将上式代入②并整理，得20002011(0)2y x x x =++≠， ∴PQ 中点M 的轨迹方程为22112y x x =++（0x ≠）． ⑵法一：常规办法可设直线l 的方程为211()2x y k x x -=-，由题意知0k ≠．联立2112()212x y k x x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得：2112(2)0x kx k x x -+-=， 由214()0k x ∆=->得，1k x ≠；又122x x k +=，故212x k x =-，且12x k ≠． 在直线方程中令0y =，便可得到S 点的横坐标．于是得到四点,,,P Q T S 的横坐标依次为21111,2,0,2x x k x x k--，∵,,,P Q T S 四点共线，∴2211112211111122(2)22x x x x ST ST k k SPSQx x x x x k x kk--+=+-----1111222k x x x k x -=+-≥．∵112x k x ≠-，否则0k =或1k x =．故等号取不到，而k 可以取110,,2x x 外的任何数， ∴||||||||ST ST SP SQ +的取值范围是(2)+∞，．以下为法二到法四的共同出发点：设直线l ：y kx b =+，依题意00k b ≠≠，，则(0)T b ，． 分别过P Q ，作PP '⊥x 轴，QQ y '⊥轴，垂足分别为P Q ''，， 则12ST ST OT OT b bSPSQP P Q Q y y +=+=+''． 由212y x =，y kx b =+消去x 得2222()0y k b y b -++= ③ 则2122()y y k b +=+，212y y b =． 法二：∴12||||11222||||ST ST b b SP SQ y y ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭≥． ∵12y y ，可取一切不相等的正数， ∴||||||||ST ST SP SQ +的取值范围是(2)+∞，．法三：∴212212||||2()||||y y ST ST k b b b SP SQ y y b +++=⋅=⋅． 当0b >时，2222||||2()2()222||||ST ST k b k b k b SP SQ b b b +++=⋅==+>； 当0b <时，222||||2()2()||||ST ST k b k b b SP SQ b b+++=-⋅=-． 又由方程③有两个相异实根，得222224()44(2)0k b b k k b ∆=+-=+>， 于是220k b +>，即22k b >-．所以||||2(2)2||||ST ST b b SP SQ b-++>=-． ∵当0b >时，22k b可取一切正数，∴||||||||ST ST SP SQ +的取值范围是(2)+∞，． 法四：由P Q T ，，三点共线得TQ TP k k =，即2121y b y bx x --=．则121212x y bx x y bx -=-，即212112()()b x x x y x y -=-． 于是2221121221111222x x x x b x x x x ⋅-⋅==--． ∴1212212212121211||||||||22211||||||||22x x x x x x ST ST b b SP SQ y y x x x x --+=+=+=+≥．∵21x x 可取一切不等于1的正数，∴||||||||ST ST SP SQ +的取值范围是(2)+∞，．对,a k 的限制关系是0>△，也即()2220a k a -->⎡⎤⎣⎦，将()2k m a =-代入，得()2220a m m ->，结合0m >，于是2m >为所求范围．【答案】⑴设11()P x y ，，22()Q x y ，，00()M x y ，， 依题意10x ≠，10y >，20y >． 由212y x =① 得y x '=． ∴过点P 的切线的斜率01k x =， ∴直线l 的斜率10111k k x =-=-， ∴直线l 的方程为211111()2y x x x x -=-- ②，联立①②消去y ，得2211220x x x x +--=． ∵M 是PQ 的中点， ∴120112x x x x +=-=-，20101111()2y x x x x =--．消去1x ，得20002011(0)2y x x x =++≠， ∴PQ 中点M 的轨迹方程为22112y x x=++（0x ≠）． ⑵可设直线l 的方程为211()2x y k x x -=-，由题意知0k ≠．联立2112()212x y k x x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得：2112(2)0x kx k x x -+-=， 由214()0k x ∆=->得，1k x ≠；又122x x k +=，故212x k x =-，且12x k ≠． 在直线方程中令0y =，便可得到S 点的横坐标．于是得到四点,,,P Q T S 的横坐标依次为21111,2,0,2x x k x x k--，∵,,,P Q T S 四点共线， ∴2211112211111122(2)22x x x x ST ST k k SPSQx x x x x k x kk--+=+-----1111222k x x x k x -=+-≥．∵112x k x ≠-，否则0k =或1k x =．故等号取不到，而k 可以取110,,2x x 外的任何数， ∴||||||||ST ST SP SQ +的取值范围是(2)+∞，．【考点】切线问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，广东高考【例12】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程；⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切．⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．【考点】切线问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】1c =，则1b =， 即椭圆C 的标准方程为2212x y +=．⑵因为(1,1)P ，(1,0)F -，所以12PF k =，所以2OQ k =-， 所以直线OQ 的方程为2y x =-，所以点(2,4)Q -．所以1PQ k =-，又1OP k =，所以1OP PQ k k ⋅=-，即OP PQ ⊥， 故直线PQ 与圆O 相切．⑶当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切，证明：设00(,)P x y （0x ≠，则22002y x =-，所以001PF y k x =+，001OQ x k y +=-， 所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-，所以点00222,x Q y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++，又00OP y k x =，所以1OP PQ k k ⋅=-，即OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆O 相切．【答案】⑴2212x y +=．⑵直线PQ 与圆O 相切．⑶当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切，证明：设00(,)P x y（0x ≠，则22002y x =-，所以001PF y k x =+，001OQ x k y +=-， 所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-，所以点00222,x Q y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++，又00OP y k x =，所以1OP PQ k k ⋅=-，即OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆O 相切．满足()1PM PA PB =+，求:l y k x =于点E ．若上的点(cos sin Q a b θθ，满足PP PP PQ +=，写出求作点【考点】中点问题 【难度】星 【题型】解答【关键字】2010年，上海高考因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以0∆>，即222210a k b p +->．设()11C x y ，、()22D x y ，，CD 中点坐标为()00x y ，， 由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程()21k k x p -=，⑶ 求作点1P 、2P 的步骤：③由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据⑵可得CD 的斜率⑤将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点1P 、2P 的坐标．PP PP PQ +=知E ()221s i n a k aθ=+，【例14】 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1e -，直线l 与y 轴交于P 点()0m ，，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=⑴求椭圆方程；⑵若4,OA OB OP m λ+=求的取值范围．【考点】定比分点问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，江苏省灌云高级中学高二数学期末模拟试卷【解析】⑴设2222:1(0)y x C a b a b+=>>，设0c >，222c a b =-，由条件知1a c -=c a =∴1a =，b c = 故C 的方程为：22112x y += ⑵由AP PB λ=得()OP OA OB OP λ-=-，(1)OP OA OB λλ+=+ ∴14,3λλ+==设l 与椭圆C 交点为11()A x y ，，22()B x y ，22,21y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(2)2(1)0k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(21)0km k m k m ∆=-+-=-->（*）212122221,22km m x x x x k k --+==++ ∵3AP PB =，∴123x x -=∴122212223x x x x x x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去2x 得212123()40x x x x ++= ∴22222213()4022km m k k --+=++整理得22224220k m m k +--= 当214m =时，上式不成立， 当214m ≠时，2222241m k m -=- 因3λ=，∴0k ≠，∴222220,41m k m -=>- ∴111122m m -<<-<<或容易验证2221k m >+成立，所以（*）成立即所求m 的取值范围为11(1,)(,1)22-- 【答案】⑴22112x y += ⑵m 的取值范围为11(1,)(,1)22--()22N x y ，，其中0m >，10y >，20y <．【考点】与原点相关的问题【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，江苏高考⑴求椭圆的方程；，且0⋅=，求OA OBO l【考点】与原点相关的问题【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，石景山二模故1213k+∵0OA OB⋅=，=(1【考点】相交弦问题【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，丰台一模⑵直线l的方程为10+-=．x yx y--=或10。