高中数学讲义微专题27 三角函数的值域
三角函数值域和定义域
三角函数值域和定义域英文回答：The domain and range of trigonometric functions depend on the specific function being considered. Let's start with the sine function (sin(x)). The domain of sine is all real numbers, as it can take any angle as an input. However, the range of sine is limited to values between -1 and 1. This is because the sine function oscillates between these two values as the angle increases or decreases. For example, sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = -1, and so on.Moving on to the cosine function (cos(x)), its domain and range are also all real numbers. The cosine function also oscillates between -1 and 1, but it starts at 1 when the angle is 0. For example, cos(0) = 1, cos(π/2) = 0,cos(π) = -1, cos(3π/2) = 0, and so on.Next, we have the tangent function (tan(x)). The domainof tangent is all real numbers except for the values where the cosine function equals zero. This is because tangent is defined as the ratio of sine to cosine, and division by zero is undefined. Therefore, the values where cosine is zero (e.g., π/2, 3π/2, etc.) are excluded from the domain of tangent. The range of tangent is all real numbers, as it can take any value depending on the angle. For example,tan(0) = 0, tan(π/4) = 1, tan(π/2) is undefined, tan(π) = 0, and so on.Moving on to the cosecant (csc(x)), secant (sec(x)), and cotangent (cot(x)) functions, their domains and ranges are similar to their reciprocal functions (sine, cosine, and tangent). The only difference is that their domains exclude the values where the sine, cosine, or tangent functions equal zero, respectively.中文回答：三角函数的定义域和值域取决于具体的函数。
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
【三角函数值域的求法】 求三角函数值域图解
所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。
常见的三种三角函数值域的求法
常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。
一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。
而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。
二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。
而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。
三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。
具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。
因此，正切函数的值域为实数集。
2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。
这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。
3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。
正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。
综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。
高中数学三角函数讲解
高中数学三角函数讲解三角函数是数学中非常重要的一部分，它与几何图形的关系密不可分，也是其他数学分支（如物理、工程等）中经常出现的基本工具。
在高中数学中，三角函数的学习和应用占据了重要的位置，理解三角函数的概念和性质对学习和掌握数学知识是至关重要的。
本文将对高中数学中常见的三角函数进行详尽的讲解，帮助读者深入理解三角函数的本质和应用。
1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
它的定义域是一切实数，值域是[-1, 1]。
在直角三角形中，正弦函数可以表示为一个直角边与斜边的比值。
其表示方法为sinθ（θ为角度），也可以用sinx（x为弧度）表示。
正弦函数具有周期性，周期是2π（或360°），且存在对称性。
图像上来看，正弦函数在[0, π/2]上递增，在[π/2, π]上递减，在[π, 3π/2]上再次递增，在[3π/2, 2π]上再次递减。
2. 余弦函数余弦函数是另一个基本的三角函数，它也在直角三角形中有重要的应用。
余弦函数的定义域是一切实数，值域也是[-1, 1]。
余弦函数表示的是直角三角形的两个边之比，其表示形式为cosθ（θ为角度）或cosx （x为弧度）。
与正弦函数类似，余弦函数也是周期性的，周期也是2π（或360°）。
余弦函数的图像可以看作是正弦函数图像向右平移π/2（或90°），即余弦函数在[0, π/2]上递减，在[π/2, π]上递增，在[π, 3π/2]上再次递减，在[3π/2, 2π]上再次递增。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的另一个重要概念。
它的定义域和值域是一切实数（除去一些特殊点），不同于正弦函数和余弦函数的有界性。
正切函数表示的是直角三角形中斜边和一个直角边的比值。
正切函数可以表示为tanθ（θ为角度）或tanx（x为弧度）。
正切函数的周期是π（或180°），而且具有奇对称性，即tan(θ) = -tan(θ + π)，图像上看正切函数在[-π/2, π/2]上递增。
高中数学三角函数知识点解析
高中数学三角函数知识点解析1. 三角函数的定义三角函数是用于描述一个角内各边之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
2. 正弦函数的性质和应用- 正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值。
- 正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
- 正弦函数具有周期性，周期为360度或2π弧度。
- 正弦函数在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在三角测量、波动现象等中起着重要作用。
3. 余弦函数的性质和应用- 余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值。
- 余弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
- 余弦函数具有周期性，周期为360度或2π弧度。
- 余弦函数在几何、物理、工程等领域同样有着广泛的应用，例如在图像处理、力学问题等中起着重要作用。
4. 正切函数的性质和应用- 正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比值。
- 正切函数的定义域是所有实数，值域为整个实数集。
- 正切函数在定义域上是周期性的，周期为180度或π弧度。
- 正切函数在几何、物理、工程等领域也有着广泛的应用，例如在力学问题、电路分析等中常常出现。
5. 三角函数的基本关系式- 正弦函数和余弦函数之间有着互补关系：$\sin(x) =\cos(90^\circ - x)$- 正切函数和余切函数之间有着互补关系：$\tan(x) =\cot(90^\circ - x)$- 正弦函数和余切函数之间有着互补关系：$\sin(x) =\frac{1}{\cot(x)}$以上是高中数学中三角函数的一些基本知识点解析。
三角函数在数学中的应用广泛，但需要注意理解和掌握其定义、性质和相互关系，才能真正灵活运用。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数值域
三角函数值域三角函数是数学中常见的一个重要概念，描述了一个角度与其对应的正弦、余弦、正切等数值之间的关系。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和性质，还需要深入研究它们的值域。
三角函数的值域是指函数所有可能取到的值的集合。
在这篇文章中，我们将探讨三角函数的值域，并深入讨论正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的反函数。
首先，让我们来了解正弦函数的值域。
正弦函数是一个周期函数，它的取值范围在-1和1之间，即[-1,1]。
这是因为正弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，而且它在区间内是连续的。
接下来，我们来探讨余弦函数的值域。
余弦函数也是一个周期函数，它的取值范围也在-1和1之间，即[-1,1]。
与正弦函数相似，余弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，并且也是连续的。
正切函数是三角函数中的另一个重要的函数。
它的定义域是所有实数除去所有的奇倍数π/2，值域是整个实数集。
这是因为正切函数在定义域内是连续的且无界的，可以取到正无穷和负无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有它们的反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
这些函数的取值范围与对应函数的定义域相同。
例如，反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
这是因为反正弦函数的作用是将正弦函数的值映射回[-π/2,π/2]的范围内。
总结起来，三角函数的值域可以归纳如下：- 正弦函数的值域是[-1,1]。
- 余弦函数的值域是[-1,1]。
- 正切函数的值域是整个实数集。
- 反正弦函数的值域是[-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域是[0,π]。
- 反正切函数的值域是(-π/2,π/2)。
需要注意的是，这里提到的值域仅仅是三角函数单独的值域，而在实际问题中，多个函数可能组合使用，进而限制函数的取值范围。
综上所述，三角函数的值域对于研究三角函数的性质和应用非常重要。
通过深入了解值域的特点，我们能够更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
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解：令 t sin x ，可得 t 1,1
y
3 2
t t
1
t
5 2
t 1,1
t 2 1,3
t
5
2
5 3
,5
y
1
t
5 2
2 3
,
4
答案：
2 3
,
4
小炼有话说：要注意在 x R 时 sin x 自身带范围，即 sin x 1,1
例 6：函数 f x 2 sin x 的值域为____________
定其三角函数值的范围
例
2：已知函数
f
x
cos
2x
3
2 sin
x
4
sin
x
4
（1）求函数 f x 的最小正周期和图像的对称轴方程
（2）求函数
f
x
在区间
12
, 2
的值域
解：（1）
f
x
cos
2x
3
2
sin
x
4
sin
x
4
1 cos 2x 2
3 2
sin
2x
2
62
32
（2）思路：将 2x 视为一个整体，先根据 x 的范围求出 2x 的范围，再判断其正弦值
6
6
的范围
解：
f
x
sin
2x
6
x
12
,
2
2x
6
3
,
5 6
f
x
sin
2x
6
3 2
,1
例 3：函数 y cos x sin2 x cos 2x 7 的最大值为___________ 4
, 4
得到角
2x
3
的范围，
进而求出 f x 的范围
解：由（1）得：
f
x
2
cos
2x
3
x
6
,
4
2x
3
,
2
2x
3
0,
5 6
cos
2
x
3
3 2
,1
f
x
2
cos
2x
3
3, 2
小炼有话说：对于形如 f x Asin x 的形式，通常可先计算出 x 的范围，再确
1 2
sin
3
cos
3
30 4
f
3
的值为
1 2
或
3 4
例 9：当 0 x 时，函数 f x 1 cos 2 x 8sin 2 x 的最小值为__________
2
sin 2x
思 路 一 ： 考 虑 将 所 有 项 转 变 为 关 于 2x 的 三 角 函 数 ， 即
cos2 x sin2 x 2 3 sin x cos x
cos 2x
3
sin
2x
2
cos
2 x
3
2k 2x 2 2k k x 5 k k Z
3
3
6
单调递增区间为：
3
k , 5 6
k
k
Z
（2）思路：由（1）可得：
f
x
2
cos
2x
3
，从
x
6
, 4
时，
t
2x
4
3 4
,
4
sin t
2, 2
2
2
f x 2, 2
（2）形如 y f sin x 的形式，即 y f t 与 t sin x 的复合函数：通常先将解析式化简为
同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可
2a
7
，解得：
a
6
2
2
66
6
2
答案：
a
6
2
例 8：已知函数
f x a cos2 x b sin x cos x a 的 最 大 值 为 1 ， 且
2
2
f
3
3
，则
4
f
3
（
）
1
A.
2
B. 3 4
C. 1 或 3 24
D. 1 或 3 24
思路：观察到 f x 的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为 Asin x 的形式，
2
时，
f
x min
1 2
2
所以可得：
f
x 的值域为
1 2
2 , 2
cos x
思路：可变形为 f x 2 sin x ，且 2 sin x 可视为 0,2 与 cos x,sin x 连线的斜率 k
0 cos x 0 cos x
的取值范围， cos x,sin x 为单位圆上的一点，所以问题转化为直线 l : y kx 2 与圆
x2 y2 1有公共点的 k 的范围。所以 dOl
a
2、常见三角函数的值域类型：
（1）形如 y Asin x 的值域：使用换元法，设 t x ，根据 x 的范围确定 t 的范
围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出 x 的三角函数值，进而得到值域
例：求
f
x
2 sin
2x
4
, x
4
,
4
的值域
解：设 t 2x 4
当
x
4
设t
sin x
，由
x
6
,
2
可得：
sin
x
1 2
,1
，从而
t
0,1
y
2t 2
t
1
2 t
1 2 4
9 8
，所以
y
0,
9 8
所以最小值为 y 0
答案：0
例
5：函数
f
x
3 2
sin sin
x x
的值域为___________
思路：可将 sin x 视为研究对象，令 t sin x,t 1,1 ，进而只需求 y 3 t 的值域即可。
a
cos2
3
b sin
3
cos
3
a 2
1a 4
3b 4
3 4
a2 b2 1 整理可得：
a 3b
3
，解得：
a b
0 1,
a b
3 2 1 2
a 0 当 b 1时，
f
3
sin
3
cos
3
3 4
a 当
3 2 时，
b
1 2
f
3
3 2
cos2
3
思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解 sin x cos x 与 sin x cos x 之
间的联系：
sin x cos x
1 2
sin
x
cos
x
2
1
，从而将解析式的核心变量转化为
sin x cos x ，通过换元求出值域即可
解：sin
x cos
x
1 2
sin
x
cos
x
2x
6
,
x
6
,a
的值域是
1 2
,1
，则实数 a
的取值范围是
_____________
思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着
a
计算角
2
x
6
的范围为
6
,
2a
6
，
可知
f
6
1 2
，值域中最大值为
1，所以说明
6
,
2a
6
经过
2
，同时范围不能超
过 7
（否则最小值就要小于 1 ），从而可得
2
sin 2 x cos 2 x
1 2
sin
x
cos
x
2
1
f
x
sin
x
cos
x
1 2
sin
x
cos
x
2
1
1
1 2
sin
x
cos
x
2
2
sin
x
cos
x
1
2
1 2
sin
x
cos
x
1
2
2
因为 sin x cos x
2
sin
x
4
2,
2
sin
x
cos x
1时，
f
x
max
2
当 sin x cos x
合法进行处理（详见例 5，例 6）
二、典型例题
例 1：已知向量 a cos x,sin x 3 cos x ,b cos x 3 sin x, sin x , f x a b
（1）求函数 f x 的单调递增区间
（2）当
x
6
,
4
时，求
f
x
的取值范围
解：（1） f x a b cos x cos x 3 sin x sin x 3 cos x sin x
f
x 1 cos2x 4 1 cos2x
5 3cos 2 x
3
5 cos 2x 3
，从而想到分式与斜率的
sin 2x
sin 2x
0 sin 2x
关系，
5 3
cos 2x sin 2x
可视为
0,
5 3
,
sin
2
x,