三角函数专题：三角函数的值域

高考复习专题 三角函数的值域与最值一、基础知识1、形如()sin y A x ωϕ=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：221cos21cos2cos,sin 22αααα+-==（2）2sin cos sin2ααα=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（4）合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=2、常见三角函数的值域类型：（1）形如()sin y A x ωϕ=+的值域：使用换元法，设t x ωϕ=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ωϕ+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域 解：设24t x π=-当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦sin 22t ⎡∴∈-⎢⎣⎦()f x ⎡∴∈⎣（2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可例：求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域 解：()()22sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++设sin t x =2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 1,12t ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3,34y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6） 二、典型例题例1：已知向量()()()cos ,sin 3cos ,cos 3sin ,sin ,a x x x b x x x f x a b =+=--=⋅ （1）求函数()f x 的单调递增区间 （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值范围解：（1）()()()()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =⋅=++⋅-22cos sin cos x x x x =--cos 222cos 23x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()52222336k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤+⇒+≤≤+∈ ∴单调递增区间为：()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）思路：由（1）可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到角23x π+的范围，进而求出()f x 的范围解：由（1）得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 52,20,3236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∴∈-⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos 2,132x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ()2cos 223f x x π⎛⎫⎡⎤∴=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭ 小炼有话说：对于形如()()sin f x A x ωϕ=+的形式，通常可先计算出x ωϕ+的范围，再确定其三角函数值的范围例2：已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域 解：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭221cos 22sin cos 22x x x x =++-11cos 22cos 22cos 22222x x x x x =+-=- sin 26x π⎛⎫=-⎪⎝⎭T π∴= 对称轴方程：()26232k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈ （2）思路：将26x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26x π-的范围，再判断其正弦值的范围解：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦()sin 262f x x π⎡⎤⎛⎫∴=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦例3：函数27cos sin cos24y x x x =--+的最大值为___________ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。

观察可得cos x 次数较低，所以不利于转化，而2sin ,cos2x x 均可以用cos x 进行表示，确定核心项为cos x ，解析式变形为()()227cos 1cos 2cos 14y x x x =----+，化简后为2271cos cos cos 242y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当1cos 2x =时，max 2y =答案：2小炼有话说：当解析式无法化成()sin y A x ωϕ=+的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可 例4：设函数()sin cos2f x x x =+，若,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______ 思路：同例4考虑将解析式中的项统一，22cos212sin 12sin x x x =-=-，进而可将sin x 作为一个整体，通过换元来求值域。

解：()2sin cos2sin 12sin f x x x x x =+=+- 设sin t x =，由,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而[]0,1t ∈ 221921248y t t t ⎛⎫∴=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以90,8y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以最小值为0y = 答案：0例5：函数()3sin 2sin xf x x-=+的值域为___________思路：可将sin x 视为研究对象，令[]sin ,1,1t x t =∈-，进而只需求32ty t-=+的值域即可。

解：令sin t x =，可得[]1,1t ∈-35122t y t t -∴==-+++ []1,1t ∈- []21,3t ∴+∈55,523t ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦ 521,423y t ⎡⎤∴=-+∈⎢⎥+⎣⎦答案：2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦小炼有话说：要注意在x R ∈时sin x 自身带范围，即[]sin 1,1x ∈-例6：函数()2sin cos xf x x-=的值域为____________思路：可变形为()2sin 0cos x f x x -=--，且2sin 0cos xx--可视为()0,2与()cos ,sin x x 连线的斜率k的取值范围，()cos ,sin x x 为单位圆上的一点，所以问题转化为直线:2l y kx =+与圆221x y +=有公共点的k 的范围。

所以1O l d -=≤，解得：k ≥k ≤以()(),3,f x ⎡∈-∞+∞⎣答案：(),3,⎡-∞+∞⎣小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。

要采取数形结合的方式。

（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：2sin cos sin 2cos xy y x x x-=⇒+=()()2sin x x ϕϕ+=⇒+=所以y 的取值范围（即值域）要能保证存在x 使得等式成立1≤2∴≤(),3,y ⎡∈-∞+∞⎣例7：设函数()sin 2,,66f x x x a ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是_____________思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着a 计算角26x π+的范围为,266a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，可知162f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，值域中最大值为1，所以说明,266a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦经过2π，同时范围不能超过76π（否则最小值就要小于12-），从而可得72266a πππ≤+≤，解得：62a ππ≤≤ 答案：62a ππ≤≤例8：已知函数()2cos sin cos 2a f x a x b x x =--的最大值为12，且34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.12 B.4- C. 12-或4 D. 12-或4思路：观察到()f x 的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为()sin A x ωϕ+的形式，通过变形可得：()()2f x x ϕ=+，所以最大值为12=，即221a b +=①，再利用34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可得：1444a --=②，通过①②可解得：02,112a ab b ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩，进而求出3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为12-或4解：()21cos21cos sin cos sin22222a x af x a x b x x a b x +=--=⋅-- ()()1cos2sin222a x b x x ϕ=-=+所以可得：()max 12f x ==另一方面：21cos sin cos 33332444a f a b a ππππ⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭整理可得：221a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：02,112a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩ 当01a b =⎧⎨=-⎩时，sin cos 3334f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21sin cos 033233f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴ 3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为12-或4例9：当02x π<<时，函数()21cos28sin sin 2x xf x x ++=的最小值为__________思路一：考虑将所有项转变为关于2x 的三角函数，即()()5cos21cos241cos253cos233sin2sin20sin2x x x xf x x x x -++--===-⋅-，从而想到分式与斜率的关系，5cos23sin 2xx -可视为()50,,sin 2,cos23x x ⎛⎫⎪⎝⎭，结合02x π<<可得()sin2,cos2x x 为单位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4思路二：考虑将所有项转变为关于x 的三角函数，则()222221cos28sin 2cos 8sin cos 4sin sin 22cos sin cos sin x x x x x x f x x x x x x ++++===，观察到分子分母为齐二次式，从而上下同时除以2cos x ，可得：()214tan 14tan tan tan x f x x x x+==+，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 0,x ∈+∞，所以利用均值不等式可得：()14tan 4tan f x x x =+≥答案：4例10：求函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+的值域思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解sin cos x x +与sin cos x x 之间的联系：()21sin cos sin cos 12x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦，从而将解析式的核心变量转化为sin cos x x +，通过换元求出值域即可解：()()()222211sin cos sin cos sin cos sin cos 122x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-+=+-⎣⎦⎣⎦()()21sin cos sin cos 112f x x x x x ⎡⎤∴=+-+-+⎣⎦()()21sin cos 2sin cos 122x x x x ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()21sin cos 122x x =-+-+⎡⎤⎣⎦因为sin cos 4x x x π⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭sin cos 1x x ∴+=时，()max 2f x =当sin cos x x +=时，()min 12f x =-所以可得：()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。