高中数学讲义微专题27 三角函数的值域
三角函数的值域
三角函数的值域-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1如何求三角函数的值域 濮阳外国语学校 王艳敏 电话：摘要：三角函数的最值是中学数学的一个重要内容，归纳这一内容，有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何的联系，培养学生的思维能力。
关键词：函数最值 三角函数三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,由于三角函数和代数、几何等知识联系紧密,故求解这类问题的方法灵活多变,能力要求高,具有一定的综合性.本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。
一． 基本型： 或 cos y a x b =+解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤解：x R∈ 2sin(3y x π=+）[]sin()113x π∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性1sin 1x -≤≤解： 12sin 13x ∴-≤+≤ []2sin 113y x ∴=+- 函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求 值域。
sin cos y a x b x c=++),tan bx c aϕϕ=++=y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型解决策略：例2、求函数sin y x x=+[]22-，三、形如22sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ωϕ=+ 来求解例3.求 22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域解： 212sin cos 2cos y x x x =++sin 2cos 22)24x x x π=++=++1sin(2)14x π-≤+≤所以所求函数的值域为2⎡-⎣ 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d+=+ 或cos cos a x b y c x d+=+解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。
三角函数值域和定义域
三角函数值域和定义域英文回答：The domain and range of trigonometric functions depend on the specific function being considered. Let's start with the sine function (sin(x)). The domain of sine is all real numbers, as it can take any angle as an input. However, the range of sine is limited to values between -1 and 1. This is because the sine function oscillates between these two values as the angle increases or decreases. For example, sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = -1, and so on.Moving on to the cosine function (cos(x)), its domain and range are also all real numbers. The cosine function also oscillates between -1 and 1, but it starts at 1 when the angle is 0. For example, cos(0) = 1, cos(π/2) = 0,cos(π) = -1, cos(3π/2) = 0, and so on.Next, we have the tangent function (tan(x)). The domainof tangent is all real numbers except for the values where the cosine function equals zero. This is because tangent is defined as the ratio of sine to cosine, and division by zero is undefined. Therefore, the values where cosine is zero (e.g., π/2, 3π/2, etc.) are excluded from the domain of tangent. The range of tangent is all real numbers, as it can take any value depending on the angle. For example,tan(0) = 0, tan(π/4) = 1, tan(π/2) is undefined, tan(π) = 0, and so on.Moving on to the cosecant (csc(x)), secant (sec(x)), and cotangent (cot(x)) functions, their domains and ranges are similar to their reciprocal functions (sine, cosine, and tangent). The only difference is that their domains exclude the values where the sine, cosine, or tangent functions equal zero, respectively.中文回答：三角函数的定义域和值域取决于具体的函数。
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
【三角函数值域的求法】 求三角函数值域图解
所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。
三角函数值域的求法及例题
标题：三角函数值域的求法及其应用
一、基本概念：
三角函数是描述周期性现象的关键工具，特别是一元函数微积分中的基本函数。
它们的值域，即能够表示的函数的取值范围，对于理解函数的性质和图形至关重要。
二、求值域的方法：
1. 观察法：根据三角函数的定义，我们知道正弦、余弦和正切函数的值域分别是-1 到1（包括-1，但不包括0），0 到正无穷（包括0），以及-π/2 到π/2（包括0，但不包括π/2 和-π/2）。
当已知函数的表达式时，可以通过观察函数的定义域和函数自身的性质来求值域。
2. 三角函数不等式法：可以利用三角函数的不等式来求值域，例如：对于正弦函数，有0 <= sin(x) <= 1。
3. 反函数法：对于反三角函数，如arcsin(x) 和arctan(x)，可以通过求其反函数的定义域来得到值域。
4. 换元法：对于某些复杂的三角函数，可以通过换元法将问题简化。
5. 判别式法：对于二次或高次方程的解，可以通过判别式小于或等于零来求出函数的值域。
三、例题解析：
【例题】求函数f(x) = 3sin(2x + π/6) 的值域。
解：首先，我们可以看出函数的定义域为R（即所有实数），且函数的周期性表现为sin(x) 的形式。
由于正弦函数的值域为-1 到1（包括-1，但不包括0），因此我们可以得出f(x) 的值域为[-3, 3]。
四、总结：
求三角函数值域的方法多种多样，观察法、三角函数不等式法、反函数法、换元法以及判别式法都是常见的方法。
理解这些方法并灵活运用，可以帮助我们更好地解决实际问题。
以上就是关于三角函数值域求法的介绍以及例题解析，希望对你有所帮助。
常见的三种三角函数值域的求法
常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。
一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。
而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。
二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。
而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。
三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。
具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。
因此，正切函数的值域为实数集。
2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。
这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。
3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。
正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。
综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数基础,定义域值域,单调性,奇偶性
二.基础练习1． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2xy =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是4．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.8．给出下列命题：①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立；②函数5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；③直线8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．⑤R x x x f ∈+=),32sin(3)(π的图象关于点)0,6(π-对称；其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．三、例题分析：题型1：三角函数图像变换例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1cos 2y x =的图象怎样变换？ 式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .题型2：三角函数图像性质例2、已知函数 y=log 21)4x π-)⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.变式1：求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是题型3：图像性质的简单应用例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴交于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-， （1）求函数()y f x =的解析式；（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微专题27三角函数的值域与最值一、基础知识1、形如()sin y A x ωϕ=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：221cos21cos2cos,sin 22αααα+-==（2）2sin cos sin2ααα=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（4）合角公式：()22sin cos a b a b αααϕ+=++，其中tan b aϕ=2、常见三角函数的值域类型：（1）形如()sin y A x ωϕ=+的值域：使用换元法，设t x ωϕ=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ωϕ+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域 解：设24t x π=-当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦22sin 22t ⎡∴∈-⎢⎣⎦()2,2f x ⎡⎤∴∈-⎣⎦（2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可例：求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域 解：()()22sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++设sin t x =2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 1,12t ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3,34y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6） 二、典型例题例1：已知向量()()()cos ,sin 3cos ,cos 3sin ,sin ,a x x x b x x x f x a b =+=--=⋅ （1）求函数()f x 的单调递增区间 （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值范围解：（1）()()()()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =⋅=++⋅-22cos sin cos x x x x =--cos 222cos 23x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()52222336k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤+⇒+≤≤+∈ ∴单调递增区间为：()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）思路：由（1）可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到角23x π+的范围，进而求出()f x 的范围解：由（1）得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 52,20,3236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∴∈-⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos 2,132x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ()2cos 223f x x π⎛⎫⎡⎤∴=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭ 小炼有话说：对于形如()()sin f x A x ωϕ=+的形式，通常可先计算出x ωϕ+的范围，再确定其三角函数值的范围例2：已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域 解：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭221cos 22sin cos 22x x x x =++-11cos 22cos 22cos 22222x x x x x =+-=- sin 26x π⎛⎫=-⎪⎝⎭T π∴= 对称轴方程：()26232k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈ （2）思路：将26x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26x π-的范围，再判断其正弦值的范围解：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦()sin 262f x x π⎡⎤⎛⎫∴=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦例3：函数27cos sin cos24y x x x =--+的最大值为___________ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。
观察可得cos x 次数较低，所以不利于转化，而2sin ,cos2x x 均可以用cos x 进行表示，确定核心项为cos x ，解析式变形为()()227cos 1cos 2cos 14y x x x =----+，化简后为2271cos cos cos 242y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当1cos 2x =时，max 2y =答案：2小炼有话说：当解析式无法化成()sin y A x ωϕ=+的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可 例4：设函数()sin cos2f x x x =+，若,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______ 思路：同例4考虑将解析式中的项统一，22cos212sin 12sin x x x =-=-，进而可将sin x 作为一个整体，通过换元来求值域。
解：()2sin cos2sin 12sin f x x x x x =+=+- 设sin t x =，由,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而[]0,1t ∈ 221921248y t t t ⎛⎫∴=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以90,8y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以最小值为0y = 答案：0例5：函数()3sin 2sin xf x x-=+的值域为___________思路：可将sin x 视为研究对象，令[]sin ,1,1t x t =∈-，进而只需求32ty t-=+的值域即可。
解：令sin t x =，可得[]1,1t ∈-35122t y t t -∴==-+++ []1,1t ∈- []21,3t ∴+∈55,523t ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦ 521,423y t ⎡⎤∴=-+∈⎢⎥+⎣⎦答案：2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦小炼有话说：要注意在x R ∈时sin x 自身带范围，即[]sin 1,1x ∈-例6：函数()2sin cos xf x x-=的值域为____________思路：可变形为()2sin 0cos x f x x -=--，且2sin 0cos xx--可视为()0,2与()cos ,sin x x 连线的斜率k的取值范围，()cos ,sin x x 为单位圆上的一点，所以问题转化为直线:2l y kx =+与圆221x y +=有公共点的k 的范围。
所以1O l d -=≤，解得：k ≥k ≤以()(),3,f x ⎡∈-∞+∞⎣答案：(),3,⎡-∞+∞⎣小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。
要采取数形结合的方式。
（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：2sin cos sin 2cos xy y x x x-=⇒+=()()2sin x x ϕϕ+=⇒+=所以y 的取值范围（即值域）要能保证存在x 使得等式成立1≤2∴≤(),3,y ⎡∈-∞+∞⎣例7：设函数()sin 2,,66f x x x a ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是_____________思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着a 计算角26x π+的范围为,266a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，可知162f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，值域中最大值为1，所以说明,266a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦经过2π，同时范围不能超过76π（否则最小值就要小于12-），从而可得72266a πππ≤+≤，解得：62a ππ≤≤ 答案：62a ππ≤≤例8：已知函数()2cos sin cos 2a f x a x b x x =--的最大值为12，且34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.12 B.4- C. 12-或4 D. 12-或4思路：观察到()f x 的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为()sin A x ωϕ+的形式，通过变形可得：()()2f x x ϕ=+，所以最大值为12=，即221a b +=①，再利用34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可得：1444a --=②，通过①②可解得：02,112a ab b ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩，进而求出3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为12-或4解：()21cos21cos sin cos sin22222a x af x a x b x x a b x +=--=⋅-- ()()1cos2sin222a x b x x ϕ=-=+所以可得：()max 12f x ==另一方面：21cos sin cos 33332444a f a b a ππππ⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭整理可得：221a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：02,112a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩ 当01a b =⎧⎨=-⎩时，sin cos 3334f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21sin cos 033233f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴ 3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为12-或4例9：当02x π<<时，函数()21cos28sin sin 2x xf x x ++=的最小值为__________思路一：考虑将所有项转变为关于2x 的三角函数，即()()5cos21cos241cos253cos233sin2sin20sin2x x x xf x x x x -++--===-⋅-，从而想到分式与斜率的关系，5cos23sin 2xx -可视为()50,,sin 2,cos23x x ⎛⎫⎪⎝⎭，结合02x π<<可得()sin2,cos2x x 为单位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4思路二：考虑将所有项转变为关于x 的三角函数，则()222221cos28sin 2cos 8sin cos 4sin sin 22cos sin cos sin x x x x x x f x x x x x x ++++===，观察到分子分母为齐二次式，从而上下同时除以2cos x ，可得：()214tan 14tan tan tan x f x x x x+==+，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 0,x ∈+∞，所以利用均值不等式可得：()14tan 4tan f x x x =+≥答案：4例10：求函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+的值域思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解sin cos x x +与sin cos x x 之间的联系：()21sin cos sin cos 12x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦，从而将解析式的核心变量转化为sin cos x x +，通过换元求出值域即可解：()()()222211sin cos sin cos sin cos sin cos 122x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-+=+-⎣⎦⎣⎦()()21sin cos sin cos 112f x x x x x ⎡⎤∴=+-+-+⎣⎦()()21sin cos 2sin cos 122x x x x ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()21sin cos 122x x =-+-+⎡⎤⎣⎦因为sin cos 4x x x π⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭sin cos 1x x ∴+=时，()max 2f x =当sin cos x x +=时，()min 12f x =-所以可得：()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。