【江苏特刊】决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题10 立体几何原卷版

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2017年江苏省高考数学试卷(含答案解析)

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2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2｝，B=｛a，a2+3}．若A∩B=｛1｝，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=(1+i）（1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 3．件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．(5分）若tan（α﹣）=．则tanα= ．6．（5分)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．(5分)记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列｛a n｝的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=，S6=，则a8= ．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f(x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．(5分）如图，在同一个平面内,向量，,的模分别为1，1，，与的夹角为α,且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R),则m+n= ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A(﹣12，0），B(0,6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．（5分）设f(x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f（x）=，14．其中集合D={x|x=，n∈N*｝,则方程f（x)﹣lgx=0的解的个数是．二。

决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题14 选讲部分(解析版)

解答题1．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）若AB 为定圆O 一条弦（非直径），4AB =，点N 在线段AB 上移动，F 90∠ON =，F N 与圆O 相交于点F ，求F N 的最大值．2．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．【答案】121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】解：由题意得11611a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，33122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦则 66323322a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ ， (6)分解得3234a cb d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ………………………………………10分 3. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线2cos 24ρθ=相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．4．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设 x ，y ，z ∈R +，且1x y z ++=，求证：2222221x y z y z z x x y++≥+++ 【答案】详见解析．【解析】2222()[()()()]x y z y z z x x y y z z x x y +++++++≥+++22222()()()x y z x y z x y z y z z x x y∴++++≥+++++即2222221x y z y z z x x y++≥+++……………10分 5【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为n S ”．（Ⅰ）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33536587123088080()()()()33218733P C C ⨯=+⋅⋅==或【解析】（Ⅰ）||3S =ξ 的取值为1，3，又21==q p ；故43)21()21(2)1(213=⋅==C P ξ，41)21()21()3(33=+==ξP ．所以ξ的分布列为：6. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N ∈n ，有)0(21>+=+c ca a a n n n .（Ⅰ）求证：121ni icca =<+∑；（Ⅱ）若20161=c ，是否存在*N ∈n ，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）2018 【解析】证明：（Ⅰ）∵2111nn n ca a a +=+，∴n n n ca c a a +-=+1111，即nn n ca ca a +=-+1111，121111ca c a a +=-， 232111ca c a a +=-， ……nn n ca c a a +=-+1111， ∴nn ca c ca c ca c a a ++++++=-+111112111 ， ∴111111121ni in c ca a a a =+=-<=+∑ . …5分（Ⅱ）∵n n n n a a a a >+=+2120161，∴}{n a 单调递增. 得20162121a a a <<<= ，由201621n n n aa a +=+⇒20161111+=-+n n n a a a ⇒201612016120161122016212017++++++=-a a a a ，∵)2016,,2,1(0 =>i a i ， ∴201620161122017⨯<-a ，解得：12017<a ，7．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．A【答案】详见解析【解析】AE AC =，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠又EAC PDE ∠=∠ PDE POC ∴∠=∠.8．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程．9．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）．若1F C B =A ，求直线l 的倾斜角θ的值．【答案】6πθ=【解析】把cos sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入椭圆方程，并整理得：()2212sin cos 10tθθ+--=，设点A 、B 对应的参数为A t 、B t ，由1FB A C =结合参数t 的几何意义得：A B C t t t +=，即212sin cos θθθ=+，解得1sin 2θ=，依题意知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πθ=.10．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2(0)f x x a x a =-+->，若正实数c b ,满足1=++c b a ，且不等式cb c b a x f +++≥222)(对任意实数x 都成立，求a 的取值范围．【答案】270-≤<a【解析】由条件可知10<<a ，故2)(-+-=x a x x f a a -=-≥22又因1=++c b a ，故a c b -=+1，故2222)1(21)(21a c b c b -=+≥+原不等式可化为22222)1(21)1)(2(a a c b a a a -+≥++≥-- 化简得0342≤-+a a ，解之得270-≤<a .11．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ．31434712(0)35C C P C ξ⋅===；4224434719(2)35C C C P C ξ+⋅===；1343474(4)35C C P C ξ⋅===，121945402435353535E ξ=⨯+⨯+⨯=.12．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）已知三位数abc ，其中c b a ,,不全相同，若将这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数（如百位数字为0，也视作三位数），两者相减得到一个新数，定义这一操作为f ，如792038830)308(=-=f ，再对新数进行第二次操作f ，依次类推，若记经过第n 次后所得新数为n f（1）已知618=abc ，求2f ，3f ；（2）设abc 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为d ，经n 次操作后新数n n n c b a 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为n d ①已知61=d ，求证：当1>n 时，5=n d ； ②求证：当6≥n 时，495=n f .【答案】（1）5943699632=-=f ，4954599543=-=f ；（2）详见解析当51=d 时，4959952=⨯=f ，结论成立；当61=d 时，由①已证结论成立；当71=d 时，6939972=⨯=f ，由（1）可证结论成立；当81=d 时，7929982=⨯=f ，从而72=d ，故证结论成立；当91=d 时，8919992=⨯=f ，从而82=d ，故证结论成立；综上所述，当6≥n 时，495=n f .13．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在锐角三角形ABC中，AB AC=，以AB为直径的圆O与边,BC AC的交点分别为,D E，且DF AC⊥于点F．（Ⅰ）求证：DF是O⊙的切线；（Ⅱ）若3CD=，7=5EA，求AB的长．14．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，5)在矩阵M1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q(y-2，y)，求1x y-⎡⎤⎢⎥⎣⎦M．【答案】1x y-⎡⎤⎢⎥⎣⎦M1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦【解析】依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2yy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102320x yx y+=-⎧⎨+=⎩，，解得48xy=-⎧⎨=⎩，，...4分.由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦M ，......8分所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 213122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． ......10分 15. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C ：θρsin 6=．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．16．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．【答案】（Ⅰ）6≤∴m （Ⅱ）23【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，∴240x x m ++--?恒成立，即24m x x ?+-恒成立，又6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m . ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由基本不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b++++ 1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++，当且仅当15,2626a b ==时取等号， 47a b ∴+的最小值为23. ………10分 17. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)过直线2y =-上的动点P 作抛物线214y x =的两条切线,PA PB ，其中A ，B 为切点．（Ⅰ）若切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值；（Ⅱ）求证：直线AB 过定点．18. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)设f (n )＝(a ＋b )n（n ∈N *，n ≥2），若f (n )的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P ．（Ⅰ）求证：f (7)具有性质P ；（Ⅱ）若存在n ≤2016，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）k ＝989或945．【解析】（Ⅰ）f (7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为123777C 7,C 21,C 35===，因为132777C C 2C +=，即123777C ,C ,C 成等差数列，所以f (7)具有性质P ． …………………………4分（Ⅱ）设f (n )具有性质P ，则存在k ∈N *，1≤k ≤n －1，使11C ,C ,C k k k n n n -+成等差数列，所以11C C 2C k k k n n n -++=．整理得，4k 2－4nk ＋(n 2－n －2)＝0， …………………7分即(2k －n )2＝n ＋2，所以n ＋2为完全平方数．又n ≤2016，由于442＜2016＋2＜452，所以n 的最大值为442－2＝1934，此时k ＝989或945． ……10分19．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C .若DB DC =，求证：CA AO =.20．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是11,0,2a b c d =-===，从而110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，……7分所以1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……10分 21. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l过点2),(3,)32A B ππ，且直线l 与曲线:sin (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值. 【答案】 2.a =【解析】点2),(3,)32A B ππ的直角坐标为3(),(0,3)2A B ，从而直线l 的直角坐标方程30,y -+=曲线:sin (0)C a a ρθ=>的直角坐标方程为222()24a a x y +-=……5分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|3|2,022aa a -+=>，解得 2.a =……10分22．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数y =的最大值.23. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在四棱锥P ABCD -中，直线,,AP AB AD 两两相互垂直，且//,AD BC 2AP AB AD BC ===. （1）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；（2）求钝二面角B PC D --的大小.【答案】（1（2）3.4A PBCD24. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设数列{}n a 按三角形进行排列，如图，第一层一个数1a ，第二层两个数2a 和3a ，第三层三个数45,a a 和6a ，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如123245356,,,a a a a a a a a a =+=+=+.（1）若第四层四个数为0或1，1a 为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，1a 为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？12345678910a a a a a a a a aa【答案】（1）13448C C +=（2）82=256【解析】（1）设第4层四个数字依次为1234,,,x x x x ，则第3层三个数字依次为12,x x +2334,x x x x ++，第2层两个数字依次为1232342,2x x x x x x ++++，所以1a =123433x x x x +++. ……………2分25．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 与⊙O 相切，割线DM 与⊙O 相交于点M ，N ，若∠B=30°，AC=1，求DM ⋅DN【答案】3【解析】因为AD 与O 相切，所以30DAC B ∠=∠=︒，设圆的半径为r ，则122,1sin 30r r ==∴=︒，连接OA ，则1OA OC AC ===，即OAC ∆为正三角形，所以60OCA ∠=︒，30ODA OAC DAC ∠=∠-∠=︒，在Rt OAD ∆中，1OA =，所以AD =23DM DN AD ⨯==.26．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ：1xy =，若矩阵M -⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.【答案】．222y x -=【解析】设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴2222x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴22x y x ''-=，22x y y ''+=，……5分∴x '=，y '=∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分27. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()42l πρθ-=，（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．28．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c均为正数,证明：2222111()a b c a b c+++++≥【答案】详见解析．【解析】因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………2分因为13111()abc a b c -++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ． (5)分故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39．（当且仅当c b a ==时取等号）又32233()9()abc abc -+≥（当且仅当433=abc 时取等号），所以原不等式成立．…………………………………10分29. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底边长都为M ，N 分别在PA，BD上，且13 PM BNPA BD==．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．（2）设平面PAD的法向量为(,,),n x y z=(3,3,0),(3,0,3),AD AP=--=-30. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 【答案】（1）317=p （2）详见解析．【解析】可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（2分）（1）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p .（6分）（2）ξ的可能值为1，2，3，4，5.ξ1 2 3 4 5P 311 312 314 318 3116 （9分） ()31129311653184314331223111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（10分） 31．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，已知圆O 的半径OB 垂直于直径M AC ,为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过N 点所作的切线交CA 的延长线于点P ．（1）求证：PC PA PM ⋅=2；（2）若圆O 的半径为32，且OM OA 3=，求MN 的长．PBC32．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤21，⎢⎣⎡=01B ⎥⎦⎤-12．（1）计算AB ；（2）若矩阵B 将直线0232:=+-y x l 变为直线/l ，求直线/l 的方程．33. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=t y t x l 11:（t 为参数）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2:y x C （πθ20≤≤），若直线l 与曲线C 交于两点N M ,，求MN 的长度．【答案】||MN =【解析】将曲线C 化为普通方程可得：4422=+y x （该曲线为椭圆），-----------------2分直接将参数方程代入可得：01652=+-t t ，-----------------------------------------------4分解之得：1=t 或51=t ，---------------------------------------------------------------------------6分当1=t 时，0,2==y x ，即得直线l 与曲线C 的一个交点为)0,2(M ，---------------7分当51=t 时，54,56==y x ，得直线l 与曲线C 的一个交点为)54,56(N ，--------------8分所以MN的长度为||MN =------------------------------------------10分34．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）若c b a ,,是正数，且1=++c b a ．（1）求证：9111≥++c b a ；（2）求证：29111≥+++++a c c b b a ．35、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】某品牌汽车S 4店经销C B A ,,三种排量的汽车，其中C B A ,,三种排量的汽车依次有5，4，3款不同的车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．（1）求该单位购买的3辆汽车均为B 排量的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）155（2）详见解析【解析】（1）设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则343121().55C P M C ==-2分所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155．--------------------------3分（2）容易算得随机变量X 的所有可能取值为1，2，3．36、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，其前n 项和为n S ，若))(1(21*∈+=N n a a S nn n ．（1）求5432,,,a a a a 的值；（2）由此归纳出通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．【答案】．（1）122-=a 233-=a 344-=a （2）1--=n n a n【解析】（1）因)1(2122212a a a a S +=+=，即012222=-+a a ，解之可得：122-=a ， ------1分再由)1(21333213a a a a a S +=++=可得：0122323=-+a a ，解之可得233-=a ；------------2分再由)1(214443214a a a a a a S +=+++=可得：0132424=-+a a ，解之可得344-=a ；----------------------------------------------------------------3分由)1(2144543215a a a a a a a S +=++++=可得：014525=-+a a ，解之可得454-=a ．------------------------------------------------4分37．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在⊙O 直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 做直线CE 与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上取一点F ，使点A 是弧EF 的中点，连接DF 交直线AB 于G ．若CB=OB ，求CGCB的值．【答案】32==CA CO CG CB 【解析】连接OE,因点A 是弧EF 的中点，故EOA EDF ∠=∠,从而E 、D 、G 、O 四点共圆，得CE•CD=CO•CG，又因CE•CD=CA•CB，故CA•CB=CO•CG，当CB=OB 时，32==CA CO CG CB 38．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.39．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数），设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．【答案】15+.【解析】解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y=0，得圆C 的圆心坐标为C （0，1），半径r=1，将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得)2(34--=x y令y=0，得x=2，即M 点的坐标为（2，0），因5=MC ,N 是曲线C 上一动点，故MN 的最大值为15+．40．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知a ，b ，c R ∈，若444444a b c m ++=，关于x 的不等式|2|1x m -≤的整数解有且仅有一个值为3（m 为整数）,求222a b c ++的最大值.41．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 为正方形,⊥SA 平面ABCD ,E 为SC 的中点,F 为AC 上一点,且2=AB ,22=SA .（Ⅰ）若//EF 平面SBD ,试确定F 点的位置；（Ⅱ）求二面角D SC B --的余弦值.【答案】（Ⅰ）F 是GC 中点（Ⅱ）31．【解析】以A 为原点, AB 、AD 、AS 所在直线分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系. 则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ,)0,2,2(C ,)0,2,0(D ,)22,0,0(S ,)2,1,1(E ,)0,,(a a F ,其中220<<a .（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为G ,则)0,1,1(G ,连接SG ,)2,1,1(---=a a EF ,)22,1,1(-=,42. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)对于数列{}n a ，称∑-=+--=11111)(k i i i k a a k a P ，其中N k k ∈≥,2为数列{}n a 的前k 项“波动均值”．若对任意的N k k ∈≥,2，都有)()(1k k a P a P <+，则称数列{}n a 为“趋稳数列”．（1）若数列2,,1x 为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（2）已知数列{}n a 的首项为1，各项均为整数，前k 项的和为k S ，且对任意N k k ∈≥,2，都有)(2)(3k k a P S P =，试计算：)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ ，其中N n n ∈≥,2【答案】（1）),23(+∞（2）)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ )123(231+-=+n n．【解析】（1）因()1Px x =-，1(2)(12)2P x x =-+-，故由题意得)21(211-+->-x x x即21->-x x ，两边平方得441222+->+-x x x x ，解之得23>x所以x 的取值范围是),23(+∞43．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．【答案】详见解析【解析】连结OT ．因为AT 是切线，所以OT AP ⊥．………………………2分又因为PAQ ∠是直角，即AQ AP ⊥，所以ABOT ，所以TBA BTO ∠=∠． ………………………………… 5分又OT OB =，所以OTB OBT ∠=， …………………8分所以OBT TBA ∠=∠，即BT 平分OBA ∠． …………………………………10分44．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M.45. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.【答案】6.【解析】解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， …………6分圆心(0,4)到直线的距离为2d ==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． …………10分46．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y +≥+-+．【答案】详见解析．【解析】因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0， 22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，…………………………………4分＝21()()()x y x y x y -+-+-33≥， ……………………8分所以2212232x y x xy y++-+≥． ……………………………………………10分 47. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. （1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.所以随机变量h 的概率分布为：…………………………8分故数学期望1111123012324424412E =⨯+⨯+⨯+⨯=h . …………………………10分 48. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值；（2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=，即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分49．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．50．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．【答案】(1,4)B '-.【解析】解：设(,)B x y '，则由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得(1,2)A ' 则(2,2),(1,2),A B A B x y '''==--0121110224x x y y --=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，(1,4)B '- 51. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=椭圆C 的参数方程为2cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) ．（1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．52．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：x ＋4x 2－2xy ＋y 2≥y ＋3.【答案】详见解析．【解析】证明：x －y ＋4x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )＋4（x －y ）2(3分)＝x －y 2＋x －y2＋4（x －y ）2，(5分)53. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅱ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．【答案】（Ⅰ）17（Ⅱ）12BP PB =．【解析】AMPCBA 1C 1B 1所以二面角P AM B --5分（Ⅱ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-．54. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N ，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；（2）设b k ＝1k n k+-a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求1||m m n S C -【答案】（1）1024（2）1．【解析】解：（1）因为a k ＝(－1)kkn C ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝67891011111111111111C C C C C C +++++ ＝01101110111111111()21024.2C C C C ++++==……………………………………………3分（2）b k ＝1k n k +-a k ＋1＝(－1)k ＋11k n k+-1k n C +＝(－1)k ＋1k n C ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1k n C ＝ (－1)k ＋1(111k k n n C C ---+)＝(－1)k ＋111k n C --＋(－1)k ＋11kn C -＝(－1)k －111k n C --－(－1)k1kn C -． (7)分当m ＝0时，011||||m m n n S b C C --=＝1． ……………………………………8分当1≤m ≤n －1时， S m ＝－1＋1mk =∑[(－1)k －111k n C --－(－1)k 1k n C -]＝－1＋1－(－1)m 1mn C -＝－(－1)m 1m n C -，所以1||mmn S C -＝1．综上，1||mmn S C -＝1． ……………………………………10分 55．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．56．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B .【解析】解：（1）由题意，得323234a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，…………………4分所以a ＝－1，b ＝5．…………………………………………………………6分（2）由（1），得3152A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．由矩阵的逆矩阵公式得2153B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦……………………8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B ……………………………………………………………10分 57. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．58．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】求函数f (x )＝的最大值．【答案】．【解析】解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋2)2＋2)]≥(5＋2，······················5分即27×4≥(52，所以＝x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝． ··································10分59. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线与抛物线交于A ，B 两点．设A （x 1，y 1）到准线l 的距离为d ，且d ＝λp （λ＞0）．（1）若y 1＝d ＝1，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+＝0，求证：直线AB 的斜率为定值．所以k 2＝－2，所以直线AB 的斜率为定值． ………………10分 60. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n=∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．61．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.62．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量．【答案】．属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+， ……………2分由()0f λ=，解得12λ=，23λ=. …………………………………………4分当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩ABDEOC·故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；………………………………7分当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分63．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.64．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥. 【答案】详见解析．【解析】因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以1≥23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥因此，24611127a b c ++≥≥ ……………………10分 65.【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．【答案】（1）1625（2)1925BD BC λ== 1A 1B 1C ABC因为9[0,1]25∈,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,1925BDBCλ==. ………10分66【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分)已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值．（1）求(6)f 的值；（2）对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式；（ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．又∵从集合1A 中选出的i a 至多n 个，∴()21f k n =-， ………………10分（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给1分．）67．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30APE ∠=︒．（Ⅰ）求证：ED PB PDBD PA PC⋅=；（Ⅱ）求PCE ∠的大小．68．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-，求2M . 【答案】264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】2λ=-代入3x = ……5分∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦…………10分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-．【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=．【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥．又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --．因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=．又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减．因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，．【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：（1）PAC CAB ∠=∠；（2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩．因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4．【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值．试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ．因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-．因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=．因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A．【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+．（2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑．所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-，即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。

2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题10 立体几何(原卷版)

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图，已知三棱柱ABC - A 1B l C 1中，点D 是AB 的中点，平面A 1DC 分此棱柱成两部分，多面体A 1ADC 与多面体A 1B 1C 1DBC体积的比值为2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】【在体积为2的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为．3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2、锐角为︒60的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥M-PAD 的体积为4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知三棱锥S ABC -的体积为1，E 是SA 的中点，F 是SB 的中点，则三棱锥F BEC -的体积是 ▲ ．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱锥ABC D -的体积为．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】如图，已知平面⋂α平面l =β，βα⊥，B A ,是直线l 上的两点，D C ,是平面β内的两点，且l CB l DA ⊥⊥,，DA=4,AB=6,CB=8,P 是平面α上的一动点，且有BPC APD ∠=∠，则四棱锥ABCD P -体积的最大值是8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12S S 的值为 ▲ ． 9. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若半径为2的球O 内切于一个正三棱柱111C B A ABC -中，则该三棱柱的体积为．12. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该（第7题图） AB CA 1B 1FC 1E1A A圆锥的体积为_______.13. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 .16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知正六棱锥的底面边长为2则该正六棱锥的表面积为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ， DE AD ⊥.（Ⅰ）求证： ⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）若M 为线段BE 中点，N 为线段CE 的一个三等分点，求证：MN 不可能与平面ABCD 平行.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图所示,在直四棱柱1111-ABCD A B C D 中,=DB BC , ⊥DB AC ,点M 是棱1BB 上的一点.A BCD E(1)求证：11//B D 面1A BD ；(2)求证：⊥MD AC ； (3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 上一点，G 为EO 中点.（Ⅰ）若DE //平面ACF ，求证：F 为BE 的中点；（Ⅱ）若ABCE ，求证：CG ⊥平面BDE.4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中AD //BC ，BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角.（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB 平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由. M A BCDA 1B 1C 1D 15. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A.6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）在三棱锥ABC P -中，若E D AC BD ,,2=分别为PC AC ,的中点，且⊥DE 平面PBC ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：⊥BC 平面PAB ．CBAPA BC D7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，N M BP AB ,,⊥分别为PD AC ,的中点．(1)求证：//MN 平面ABP ；(2)求证：平面ABP ⊥平面APC 的充要条件是BP PC ⊥．8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC .A NBPM C（第16题图）10. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】 (本小题满分14分) 在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ， D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ．11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，8,6==BD AC ，E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3．C B 1A 1P DCBA1 E A B（1）求证：DE AC ⊥；（2）求四棱锥ABCD P -的体积．13. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PDE ⊥平面PEC .14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=，AC BD ⊥.（Ⅰ）求证：1//B C 平面11ADD A ； D 1 DAC 1A 1B 1 B CPA CDE第16题图 F（Ⅱ）求证：1AC B D ⊥；（Ⅲ）若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB//EF BC ，O 为EF 的中点．（1）求证：AO CF ⊥；（2）求O 到平面ABC 的距离． 16. 【】(本小题满分14分)在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，,O F 分别为,BE DE 的中点．（Ⅰ）求证：AO CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ?若存在，求出AP PC 的值；若不存在，请说明理由．C B 1A 1P D CB A。

2017高考试题分类汇编-立体几何

2017高考试题分类汇编-立体几何D面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．9．（2017江苏）（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A 处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E 处，另一端置于侧棱上，求没入水中部EG 11E G l l 1CC l l l 1GG l分的长度．10（2017天津文）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（II ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.11（2017北京理）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．12（2017浙江）（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（Ⅰ）证明：平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．//BC AD //CE P A B C D E13（2017新课标Ⅲ文数）（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．14（2017新课标Ⅰ文数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠=∠=90BAP CDP（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90∠=,且四棱锥APDP-ABCD 的体积为8，求该四棱锥的侧面积.315（2017山东文）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.16（2017新课标Ⅱ文）（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.17（2017新课标Ⅲ理数）（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．18（2017浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则2BQ CRQCRA==（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α19（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．20（2017新课标Ⅲ文数）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π421（2017新课标Ⅲ文数）在正方体1111ABCD A B C D -中，6S 6S =E 为棱CD 的中点，则（）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥D ．1A E AC ⊥22（2017新课标Ⅱ文）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为.23（2017新课标Ⅱ理）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B CD24（2017新课标Ⅰ文数）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是25（2017新课标Ⅰ文数）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。

决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题06 数列(解析版) 含解析

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为.2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则3253S S S S --的值为．【答案】2【解析】若134,,a a a 成等比数列()()223141111234a a a a d a a d a d ∴=∴+=+∴=-32315354122227S S a a d dS S a a a d d-+-====-++-3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：)(*1N n a a b n n n ∈-=+，且)(1*1N n b b n n ∈=-+,13=a ，14-=a ，则=1a【答案】8【解析】因)(1*1N n b b n n ∈=-+，故数列{}n b 是等差数列，公差为1，又由条件得2343-=-=a a b ，从而5-=n b n ，故41-=b ，32-=b ，于是412-=-a a ，323-=-a a ，故42=a ，81=a4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】若数列{}n a 是首项为13a =，公比1q ≠-的等比数列，n S 是其前n 项和，且5a 是14a 与32a -的等差中项，则19S = ▲【答案】57【解析】由题意可得425132426126a a a q q =-∴=-，，即（2222(120q q q +-=⇒=），由题公比191111957q q S a ≠-∴=∴==，，5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥），则2011a = ．【答案】2【解析】因为12a =，23a =，所以23132a a a ==，344523311122,33232a a a a a a ======，56423a a a ==，6778562,3a aa a a a ====，……，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，所以20113356112a a a ⨯+===．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若2412++=n n S S n n ，则=53a a ________．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】若,a b 是函数()2(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于【答案】9【解析】由条件可知q ab p b a ==+,，因0,>q p ，故不妨设0>>b a ，则a b ,,2-成等差数列，a b ,2,-成等比数列，从而22-=a b ，4=ab ，解之得1,4==b a ，于是4,5==q p ，9=+q p8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．【答案】312n - 【解析】试题分析：由题意得：19m m m a S S -=-=，由1()02m m m a a S +==得19.a =-因此*118(1)9,1a m d m N d +-=-=∈，而d 为奇数，且1d >，3m >，因此3d =，从而n a =312n -9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲【答案】20 【解析】试题分析：9663633S S S S S S S --=-,263396()()S S S S S -=-,22633963333(5)2510101020S S S S S S S S S -+-===++≥+=（）,当且仅当35S =时取“=”，则96S S -最小值为20.11. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a _______. 【答案】448.【解析】由题意得1237a a a ++=，45663756a a a ++=-=，所以789568448a a a ++=⨯= 12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】若m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为_______.13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足243n n S S +=+，且30S <，则 2a 的值为_______.【答案】6【解析】由题意得，2114343(2)n n n n S S S S n ++-=+=+≥，，两式相减得24(2)n n a a n +=≥，因此公比q 满足24q =，即2q =±.因为3143S S =+，所以当2q =时，11112443a a a a ++=+⇒11a =⇒37S =，与30S <矛盾，舍去；当2q =-时，111113244339a a a a a S -+=+⇒=-⇒=-0<，满足题意，因此2=6.a14. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知公比q 不为1的等比数列}{n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且223344,,a S a S a S +++成等差数列，则=+n n S a ．【答案】1【解析】由条件得442233)(2S a S a S a +++=+，即432322a a a a +-=，故3221221213q q q ⨯+=⨯，解之得21=q ，q=0（舍去），q=1（舍去），从而1211])21(1[21)21(=--+=+n n n n S a . 15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有991-+=+k ka a n n ,其中k 为不等于0与 1的常数，若{}2016,216,32,9,84,684---∈i a ，5,4,3,2=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为 .16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 的首项为1，等比数列{}n b 满足1n n na b a +=，且10081b =，则2016a 的值为_______. 【答案】1 【解析】由题意得，1,n n n a b a += 因此2111322212016201520141,,,a b a b a b a b b a b b b =====⋅⋅，而201520152014110081b b b b ⋅⋅==，因此2016=1.a二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.112(121)2(31)31231m m m m m --+--=+=+--，221221213m m m m m S S a S S ---+∴==-2122(1)331m m m --≤+-，故若221mm S S -为{}n a 中的某一项只能为123,,a a a ，①若2122(1)3131m m m ---=⇒+-无解；2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n c 的通项公式是n n n b a c =，前n 项和为n T ,其中{}n a 是首项为11=a 的等差数列，且0>n a ，数列{}n b 为等比数列，若32)32(+⋅-=n n n T （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得2016)1(212=-+q p b a 成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；（3）是否存在非零整数λ，使不等式12112sin )111()111)(111(+<+-+-+-n n n a a a a a πλ 对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ)12-=n a n 12-=n n b （Ⅱ）6,32==q p （3）λ⎛∈ ⎝【解析】（1）由条件可设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则取3,2,1=n得111=b a ，72211=+b a b a ，27332211=++b a b a b a ，从而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=20)21(6)1(12111q b d q b d b ，解之得21=d ，522-=d ，因0>n a ，故取2=d ，从而2=q（3）由12-=n a n 得1)1(212sin--=-n n π 记121)111()111)(111(1)(++-+-+-=n n a a a a n f ，则原不等式可记为)()1(1n f n <--λ，因32)221(12)11()()1(211++-+=+-=++++n n n a a a n f n f n n n 1)32)(12(22>+++=n n n故)(n f 为单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式)()1(1n f n <--λ对一切n *∈N 都成立，则当n 为奇数时，得32)1()(min ==<f n f λ 当n 为偶数时，得538)2()(min ==<-f n f λ，即538->λ综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件．3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 中任意连续三项的和为零，且212 1.a a ==- (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1111(N ),n n n b b a n b a ++=∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围.（II ）因为33132231331322132131323313()()4n n n n n n n n n n n n b b b b b b a a a a a a a a b b b b -------=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==，所以11313212113()()24n n n b a a a a a ---==⋅，1132321113()()24n n n b a a a a ---==-⋅，从而当*3,n k k N =∈时，333(1())33443(1())[,3)34414k k k S -==-∈-，当*31,n k k N =-∈时，31333333(1())()34()[0,3)444k k kk k k S S b -=-=--=-∈，当*32,n k k N =-∈时，1323131313143134()()3()[,3)424342k k k k k k S S b ----=-=--=-∈-，因此n S 的取值范围为131[,3)[0,3)[,3)=[,3).242--………16分.4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131n n S S +-=. （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）数列{}n a 是否存在一项k a ，使得k a 恰好可以表示为该数列中连续*(,2)r r N r ∈≥项的和？请说明理由；（3）设*1(),n n nb n N a +=∈试问是否存在正整数,(1)p q p q <<使1,,pq b b b 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组(,)p q ；若不存在，说明理由．5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =.（1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.2(5)213nn n q ++>的解，适合题意； ………12分下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=，则2112[(1)(75)7]3n n n q n q n q b b q ++-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减，又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立，又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ………15分综上所述，q 的取值为2,3,4. ……………16分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),,(+*∈∈+=R r p N n r pn a S nn．（1）若32,31==r p ，求数列}{n a 的前n 项和n S ；（2）设*∈N k ，先计算33)1(k k -+的值，再借用这个结论求出2222321n T n +⋅⋅⋅+++=的表达式（用n 表示）并在（1）的前提下，比较n T 与n S 的大小关系；（3）若120162016a a =，求r p ,的值．（2）33)1(k k -+=*∈++=-+++N k k k k k k k ,1331332323，n n a r pn a r n p )(]1)1([1+=+-++，当1=n 时，11a S =，所以1=+r p ，注意到+∈R r p ,，因此np n p a a n n 1)1(1+-=+，取1,2,3,,,1n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-可得：pp a a p a a 21,12312+==，)1(1)2(,,413,31214534-+-=⋅⋅⋅+=+=-n n p a a p p a a p p a a n n ，将以上1-n 个等式两边相乘可得：pn p p p n p p p p a a n )1(32]1)2([)13)(12)(1(1-⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+++=---------------------------------------11分，取2016=n 可得：p p p p p p p p a a 201532]12014[)13)(12)(1(12016⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=，注意到201612016=a a，所以2016201532]12014[)13)(12)(1(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++pp p p p p p p ，即2016201532)12014()12)(1(⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++p p p p p p p ，7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，01=a ，)(,21R p p a a n n ∈+=+，（1）当12-=p 时，试证明：432,,a a a 成等差数列；（2）若432,,a a a 成等比数列，试求实数p 之值；（3）当41>p 时，试证明：存在*N k ∈，使得2016>k a . 【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）251±-=p （3）见解析【解析】（Ⅰ）当12-=p 时，1221-+=+n n a a ，从而122-=a ，223-=a ，2354-=a ，因2232334-=-=-a a a a ，故432,,a a a 成等差数列；（2）p a =2，p p a +=23，p p p a ++=224)(，因432,,a a a 构成公比不为1的等比数列，故])[()(2222p p p p p p ++=+，解之得251±-=p ；（3）因p a a a a n n n n +-=-+214141)21(2-≥-+-=p p a n ，当41>p 时，令41-=p d ，则d a a n n ≥-+1，从而d a a ≥-12，d a a ≥-23，d a a n n ≥--1, ，将上述不等式相加得d n a a n )1(1-≥-，因01=a ，故d n a n )1(-≥，取正整数12016+>dk ，则2016)1(=-≥d k a k 8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.证明：因为1()2nn a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. …………16分9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】 (本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2=a 3，b 1b 2=b 3，且a 3，a 2+b 1，a 1+b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1，第2次从数列{b n }中取b 1，b 2，第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4，第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， …第2n ﹣1次从数列{a n }中继续依次取2n ﹣1个项，第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， …由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求满足S n ＜22014的最大正整数n ．（2）将a 1，b 1，b 2记为第1组， a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分16分) 已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝1n S n+．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值； ②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得22t r b t b r +=+求q 的值．【答案】(Ⅰ) ①34ad=②见解析．【解析】解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3+3d 2a ＝3(2a ＋d )＋4+6d3a ，解得，34a d =． ····································4分 ② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(1)(1)+d 2n nn a n++＜a ＋(n ＋1)d ，整理得222020a n n d a n n d ⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩········································6分＜n≤········································8分＝1＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n＋则f (t )＞f (r )，即1111(2)r(2)t r q q t t r ++-->++，这与1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++互相矛盾．所以r ＝1，即11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【答案】(Ⅰ) 12（Ⅱ）1n a n =+．（3）见解析【解析】（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--， 21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分（2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++，两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+，12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n++==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设*),2(N n S n b n n ∈-=，若*,N n b n ∈≤λ恒成立，求实数λ的取值范围；（3）设*,)1(2N n n n S c n n ∈+-=,n T 是数列{}n c 的前n 项和，证明143<≤n T ．【答案】（1）2n nna =（2）2λ≥（3）证明过程见解析【解析】（1）由已知得1112n n a a n n+=+，其中*N n ∈ 所以数列{}n a n 是公比为12的等比数列，首项112a =13. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】 (本题满分16分)已知两个无穷其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩，（2）①22,4415,5n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩②6．当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅ 此时3p =，5q =，所以m 的最大值为6.………………………………16分14. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2)1(41+=n n a S ，*N n ∈．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n S b b ≥+，*N n ∈，且存在整数2≥k ，使得21k k k S b b =+．（i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当2≥n 时，*N b n ∈，求数列{}n b 的通项公式．记k x k x x f --=ln ln )(，则2)()ln (ln )(1)('k x k x k x x x f ----=2)(ln 1k x x k k x ---=15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：11b =，121n n b T +-=.（Ⅰ）求n S 与n b ；（Ⅱ）比较n n S b 与2n n T a 的大小，并说明理由. 【答案】，13n n b -=；（Ⅱ）当*4()n n N ≤∈时，2n n n n S b T a <；当*5()n n N ≥∈时，2n n n n S b T a >，理由见解析.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得：解得122a d =⎧⎨=⎩，16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）()()2133nn a n N *-=-∈所以12111222n n n mn a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和.(Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nn a n N *-=-∈.。

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一、填空1. 【2016-2017．【答案】7 【解析】2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222,sin 3sin a b bc C B -==，则A =________．3. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数将函数()y f x =的图象向右平移所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于___________．【答案】3 【解析】试题分析：平移后得，由题意，3(0k k Z ω=-∈且k ＜），最小值为3． 4. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】设ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，若,,A B C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数的取值范围是____________．【答案】(]1,2 【解析】试题分析：∵,,A B C 依次成等差数列，∴2k ≤，又2222cos a c b ac B +-=0>,1k >，所以12k <≤。

5. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】，则cos β= ▲ ．6. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知||3AB =|，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，△ADC ，△BCE 均为等边三角形，则△CDE 的外接圆的半径的最小值是．【解析】试题分析：设,AC m CB n ==,则3m n +=，在△CDE中，由余弦定理知，当且仅时取等号，所以，因此△CDE 的外接圆的半径7. 【南京市2017为π，则的值是 .【解析】8. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知角α的终边过点(8,6sin 30)P m --︒，且，则m 的值为．9. 【泰州中学2016-2017，则sin 2α ．【解析】试题分析：因为10.【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设，均为大于1的自然数，函数()(sin)f x a b x=+，()cosg x b x=+，若存在实数m使得()()f mg m=，则a b+=．【答案】4【解析】试题分析：由题意得(sin)cos sin cosa b x b x a x x b ab+=+⇒-=-有解，即，因为2b≥，所以，所以22,52a b b=≤⇒=，4a b+= 11.【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】，则正数的值为．【答案】612.【泰州中学2016-2017，则sin2α的值是．【解析】试题分析：，因为，所以13.【泰州中学2016-2017象向左平移ϕ（ϕ=．【解析】试题分析：由题意得关于原点成中心对称，即14.【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】的最小正周期为▲ ．【答案】4π【解析】15.【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】若tan2tanβα=，，则sin()αβ-的值为▲．【解析】试题分析：，所以16.【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】若角α的终边经过点P(a，2a)(a<0)，则cos α=▲ ．17.【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】在△ABC中，BC＝1，BABC的面积SAC等于▲ ．【解析】18.【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】函数y＝y轴最近的对称轴方程是▲ ．【解析】y轴最近的对19.【2017届高三七校联考期中考试】设函数的部分图象如图所示.则Aωϕ++= ▲620. 【2017届高三七校联考期中考试】已知0＜α＜β＜π，则tan(β－α)的值为 ▲ ．【解析】，又παβ<-<0，21. 【江苏省如东高级中学2017调增区间为__________．22. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】如图所示函数的部分图像，现将函数()y f x =的个单位后，得到函数()y g x =的图像，则函数()g x 的解析式为____________．【解析】试题分析: 因为,所以,故2=ω,又向右平移23. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知α为锐角，若．2524. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知角α的终边经过点(),6P x --，且_________. 【答案】8- 【解析】试题分析: 解之得8-=x ,故应填答案8-.25.【泰州中学2017届高三上学期期中考试】单调增区间是_________.【解析】试题分析:因为,所以增区间为取0=k又0≤≤-xπ,26.【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数的部分图象如图所示，,P Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为()2,A，点R 的坐标为()2,0.，则()y f x=的最大值是_________.【解析】试题分析:由题设可知,则),8(),0,2(),,2(AQRAP-,所以,由余弦定理可得27.【无锡市普通高中2017，则sin α=____________．9二、解答1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分15分）cos x ⎫⎪⎭．（1，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且，求()cos A B -的值．【答案】（1（2试题解析：（1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分．．．．．．．．．．．．4分，即函数()f x 的值域为．．．．．．．．6分（2．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，得．．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ∵b a <，∴B A <，∴ ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分15分）如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，0120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米．（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置；（2）试求的值，使路EF 的长度y 最短．【答案】（1）E 是BC 的中点；（2（百米）时，路EF 最短为．试题解析：（1）平行四边形ABCD 的面积为ABCDS=，当点F 与点D 重合时，0sin120CE CD = ABCD S ，∴，∴E 是BC 的中点．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）①当点F 在CD 上时，∵0sin120ABCDCE CF S ==．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-，，当且仅当1x =时取等号．此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 ②当点F 在DA 上时， )31244ABCDS ==，∴1DF x =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 I ．当CE DF <时，过E 作//EG CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，01,GF 12x,EGF 60EG ==-∠=，由余弦定理得y =II ．当CE DF ≥，过E 作//EG CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，01,GF 2x 1,EGF 120EG ==-∠=，由余弦定理得y =由I 、II ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且，符合题意；．．．．．．．．．．．．．14分（百米）时，路EF 最短为．．．．．．．．．．．．．15分3. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求A 的大小；（2）若=3AB AC ⋅，求△ABC 的面积．【答案】（12试题解析：解：（1）法一：在△ABC 中，由正弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，………………………………… 3分即sin 2sin cos A A A =，因为(0π)A Î，，所以sin 0A ≠，所以6分……………………………………………………………………8分解法二：在△ABC 中，由余弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，3分所以222a b c bc =+-，………………………………………………6分因为(0π)A Î，，所以…………………………………………………8分（2）由=cos AB AC cb⋅11分所以△ABC 3602=. ……………… 14分 4. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】（1）求cos α的值；（2【答案】（12）详见解析试题解析：解：（15. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是，点B 的纵坐标是（1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.【答案】（12【解析】试题分析：（1）由任意角的三角函数的定义得cos α角范围求得sin αsin β再根据同角三角函数关系及锐角范围求得cos β最后根据两角差余弦公式得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β（2）由于αβ+的范围为，所以先求αβ+的正弦值：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＋，再根据正弦函数单调性确定αβ+的值因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B所以sinβcosβ……………………4分（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ…………………… 8分（2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ…………………… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈，所以α＋β……………………14分6.【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数（1）求()f x的值域和最小正周期；（2）若()1f x=-，求【答案】（1）()f x 的值域为，最小正周期为π．（2试题解析：（1）因为所以()f x 的值域为（27. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】在△ABC 中，，，分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =．（1）求A 的大小；（2）若2a =，，求△ABC 的面积．【答案】（12【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边转化为角得sin 2sin sin B A B =，再根据三角形内角范围得2）已知两边一角，所以由余弦定理求第三边：，再根据a b c <<得4c =，最后根据三角形面积公式得（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2680c c -+=，2c =或4c =，由于a b c <<，4c =，8. .【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C ．（1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，判断△ABC 的形状；（2）设向量(2sin s C =，(cos 2t C =，且//st ，若【答案】（1）等腰三角形．（2【解析】试题分析：（1）由向量数量积及向量夹角与三角形内角关系得cos()cos()cos cos a b C b c A a C c A ππ⋅-=⋅-⇒=,再根据正弦定理得sin A cos sin cos sin()0C C A A C =⇒-=，最后根据三角形内角范围得C A =，也可根据向量运算进行化简转换（2）先由//s t 得（2）∵//s t ，∴∵C 为锐角，∴2(0,)C π∈，∴，且A 为锐角，9. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分14分）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且tan 2B =，tan 3C =．（1）求角A 的大小；（2）若3c =，求的长．【答案】（12【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系及诱导公式、两角和正切公式得6分 8分 10分 14分10. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度；（2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．【答案】（12【解析】试题分析：（1）由面积相等建立等量关系：求得直角梯形ABCD再表示四边形BCEF的面积：分割成一个小直角梯形BCEG及一个直角三角形EFG,其中G为AB中点，根据四边形BCEF的面积为直角梯形ABCD面积一半，可解2）易得60ADC∠=︒，进而可得其中DE a=，DF b=，根据DEF△的面积为直角梯形ABCD 面积一半，可解得3ab=，再由余弦定理可得．故灌溉水管EF 的长度为．……………………8分（第18题图②）（第18题图②）（2）设DE a =，DF b =，在ABC △中，所以在ADC △中，2AD DC CA ===，所以60ADC ∠=︒，所以DEF △的面积为12分在ADC △中，由余弦定理，得．故灌溉水管EF 的最短长度为．……………………………………16分11. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分14分)已知向量(sin(a ω=，(1,cos(b ω=，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4(1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．【答案】试题解析：222()()sin (a b a b a b ω+⋅-=-=………………4分………………6分………………10分当11x-≤≤时，分12.【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分14分)如图，在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，(sin cos)a b C C=+．(Ⅰ)求ABC∠；(Ⅱ)，D为ABC∆外一点，2DB=，1DC=，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】222=12212cosBC D+-⨯⨯⨯54cos D=-最后根据正弦函数性质可得最值试题解析：(Ⅰ)在ABC∆中，∵(sin cos)a b C C=+，∴sin sin(sin cos)A B C C=+，……………………………………………1分∴sin()sin(sin cos)B C B C Cπ--=+，∴sin(+)sin(sin cos)B C B C C=+，……………………………………………2分∴sin cos cos sin sin sin sin cosB C B C B C B C+=+，……………………… 3分∴cos sin sin sinB C B C=，又∵(0,)C ∈π，故sin 0C ≠， ……………………………………………4分 ∴cos sin B B =，即tan 1B =． ……………………………………………5分又(0,)B ∈π，∴ ……………………………………………6分 (Ⅱ)在BCD ∆中，2DB =，1DC =，222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D =-． ………………………………7分∴ABC ∆为等腰直角三角形， …………………………………………8分……………………………… 9分分 ……………………12分分13. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分14分）在ABC V 中，已知，向量()sin ,1m A →=，()1,cos n B →=，且m n →→⊥.(1) 求A 的值；(2) 若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u r uu u r，AD △ABC 的面积．【答案】(1)试题解析：(1)由题意知m n→→⋅＝sinA ＋cosB ＝0，(2分)又C ＝，A ＋B ＋C ＝π，所以sinA ＋cos ＝0， (4分)即sinA －cosA ＋sinA ＝0，即sin＝0.(6分)又0＜A 所(，所以A 0，即A(7分)注：不写范围扣1分.(2) 设||BD x =uu u r ，由3BD BC =uu u r uu u r ，得||3BC x =uu u r |，由(1)知A ＝C ，所以||3BA x =uu r ,B在△ABD 中，由余弦定理，得()2＝(3x)2＋x 2－2×3x ×xcos， (10分)解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，(12分)所以S△ABC＝BA ·BC ·sinB ＝×3×3×sin ＝. (14分)14. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百M 到D 修建小路：在¼MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ． (1)，求PQ 的长度；(2)当点P 选择在何处时，才能使得修建的小路»MP 与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．【答案】(1) 1PQ = (2) 当BP BC ⊥时，总路径最短.分析单调性变化规律，确定最值试题解析：（1）连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q在1Rt PBP ∆中，，1PQ =……………4分（2，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==，则11sin cos PP BP θθ==，若则…………………8分在1Rt QBQ ∆中，所以总路径长PDQCN BA M…………………………10分…………………………12分令()'0f θ=，时，()'0f θ<当时，()'0f θ> …………………………14分. 答：当BP BC⊥时，总路径最短. …………………………16分15. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，（1）求sin BAD ∠；（2）求AD 及DC 的长．【答案】(2)2=AD ，【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用正弦两角和的公式求解；(2)借助题设运用正弦定理和余弦定理求解. 试题解析：（2．．．．．．．．．． 9分依题意得23AC AE ==，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD CD ADC =+-∠，，所以2250DC DC --=去）．．．．14分16. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为（1）若92CA CB =，求ABC ∆的面积；（2）设向量()2sin ,3,cos 2,12sin x B y B ⎛=-=-，且//xy ，求角B 的值．【答案】【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及三角形的面积有关知识求解；(2)借助题设运用向量的平行条件建立三角方程求解.（1）∵92CB CA =，∴，∴15ab =．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分考点：向量的平行条件及数量积公式等有关知识的综合运用.17. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分14分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为、、，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==.（1）若,3m n c a =求角A ；（2）若3sin m n b =求cos C 的值. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的垂直及正弦定理等有关知识求解；(2)借助题设运用向量的数量积公式、正弦定理、三角变换等有关知识求解.（1）,cos cos m n a A c C ∴=.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得()sin 2sin 2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+=或.从而A C =（舍）或在Rt ABC ∆中，（2）3cos ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=,由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=,从而()()2sin 3sin ,,sin sin A C B A B C A C B π+=++=∴+=.从而()43,cos 0,0,,0,,sin .sin sin ,525A A A A A B a b ππ⎛⎫=>∈∴∈=>∴> ⎪⎝⎭,从而,A B B >为锐角18. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知（1）求B ；（2，求A .【答案】（2．．．．．．．．．．8分 31cos 21cos 224A A A +=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分．．．．．．．．．．．．．14分。

决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题10 立体几何(解析版) Word版含解析

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图，已知三棱柱ABC - A 1B l C 1中，点D 是AB 的中点，平面A 1DC 分此棱柱成两部分，多面体A 1ADC 与多面体A 1B 1C 1DBC 体积的比值为2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】【在体积为2的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为．【解析】由题意得1111sin sin 23322∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯∠⇒∠=BCD AB S BC BD CBD CBD 因此1cos 2∠=±CBD由余弦定理得：22223223cos 7=+-⨯⨯⨯∠=CD BCD 或19，因此CD =3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2、锐角为︒60的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥M-PAD 的体积为【答案】3【解析】因ADM P PAD M V V --=,又360sin 221212=︒⨯==∆ABCD ADM S S 故三棱锥M-PAD 的体积为33331=⨯=V 4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知三棱锥S ABC -的体积为1，E 是SA 的中点，F 是SB 的中点，则三棱锥F BEC -的体积是 ▲ ．【答案】41【解析】h S V V FBC FBC E BEC F ⨯⨯==∆--31，根据几何体知，SBC FBC S S ∆∆⨯=21，而点E 到平面SBC 的距离是点A 到平面SBC 距离的一半，所以1314231=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆∆-h s h S V FBC SBC SBC A ，所以4131=⨯⨯∆h s FBC ，所以三棱锥BEC F -的体积是415. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱锥ABC D -的体积为．【答案】245【解析】因为平面DAC ⊥平面BAC ,所以D 到直线BC 距离为三棱锥ABC D -的高，134123412346,,25555ABC S h h ∆⨯⨯=⨯⨯=====11122463355D ABC ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=． 7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】如图，已知平面⋂α平面l =β，βα⊥，B A ,是直线l 上的两点，D C ,是平面β内的两点，且l CB l DA ⊥⊥,，DA=4,AB=6,CB=8,P 是平面α上的一动点，且有BPC APD ∠=∠，则四棱锥ABCD P -体积的最大值是8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12S S 的值为 ▲ ．【解析】试题分析：因为3322211221,6,,33r V a S a V r r S rl r ===⋅===p p p ，所以31323=13V a ar V r=⇒=p p ，因此212S S ==9. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为,,a b c ，1122111111,,322123262Vabc abc V ab c V bc a V =⨯⨯==⨯⨯==11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若半径为2的球O 内切于一个正三棱柱111C B A ABC -（第7题图）ABCA 1B 1FC 1E1AA中，则该三棱柱的体积为．【答案】【解析】由题设可知：三棱柱的高为4，底面内切圆的半径为2，则其底面三角形的边长为其底面积为2S =4V ==． 12. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_______.π【解析】由题意得22,1,r r h ππ====21133r h π==. 13. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是_______. 【答案】3:4π【解析】由题意得圆锥母线为2，设圆锥底面半径为r 、高为h，则2ππ21,r r h =⨯⇒===因此圆锥体积为21π.33r h =而正三棱柱体积为4，因此正三棱柱与圆锥的体积比是:π=3:4π.4315. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 . 【答案】38【解析】设底面边长为a ，则高212a h -=，从而体积221223331a a V -⨯=461223a a +-=，记4612)(a a a f +-=，则由)22)(22(6486)('335-+-=+-=a a a a a a f 得当220<<a 时，0)('>a f ，当22>a 时，0)('<a f ，从而当22=a 时，256)(max =a f ，故体积的最大值是38max =V . 法二（理科）：)12(2333124a a V -⨯=，因)12(224)12(22224a a a a a -⨯⨯=-256)31222(43222=-++⨯≤a a a ，以下同法一. 16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知正六棱锥的底面边长为2则该正六棱锥的表面积为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ， DE AD ⊥.（Ⅰ）求证： ⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）若M 为线段BE 中点，N 为线段CE 的一个三等分点，求证：MN 不可能与平面ABCD 平行.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】A BCDEHA BCDE即MN 不可能与平面ABCD 平行.……14分2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图所示,在直四棱柱1111-ABCD A B C D 中,=DB BC , ⊥DB AC ,点M 是棱1BB 上的一点.(1)求证：11//B D 面1A BD ；MABCD A 1B 1C 1D 1(2)求证：⊥MD AC ；(3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析. (3) 点M 为棱1BB 的中点【解析】又因为⊥AC BD ,且1⋂=BD BB B ，所以⊥1面BB D AC 而⊂1面BB D MD ，所以⊥MD ACMABCD A 1B1C 1D 1 NN 1O3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE上一点，G为EO中点.（Ⅰ）若DE//平面ACF，求证：F为BE的中点；（Ⅱ）若AB CE，求证：CG⊥平面BDE.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）连接OF，由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，因为DE//平面ACF,平面ACF∩平面BDE=OF，DE平面DEB，所以OF//DE.……………… 4分因为O为BD的中点，所以 F 为BE 的中点. ……………… 6分因为CG ⊥EO ，CG 平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE. … 14分4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中AD //BC ，BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角.（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB 平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）不平行【解析】证：（1）因为BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角，所以,.PA AB PA AD ⊥⊥……2分由于,AB AD ABCD ⊂平面，且AB AD A =，所以PA ABCD ⊥平面，……4分由于BD ABCD ⊂平面，所以.PA BD ⊥PBC所以AC BD ⊥……6分由于,PA AC PAC ⊂平面，且PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ，……8分解：（2）不平行. ……10分假设直线l 平行平面ABCD ，由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD平面ABCD CD =，所以//l CD ……12分同理可得//l AB ，所以//AB CD这与AB 和CD 是梯形ABCD 的两腰相矛盾，故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行. ……14分5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .又OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A . …………14分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）在三棱锥ABC P -中，若E D AC BD ,,2=分别为PC AC ,的中点，且⊥DE 平面PBC ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：⊥BC 平面PAB ．CBA7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，N M BP AB ,,⊥分别为PD AC ,的中点．(1)求证：//MN 平面ABP ；(2)求证：平面ABP ⊥平面APC 的充要条件是BP PC ⊥．8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】(本小题满分14分)如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；（2）若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.A NBPM C10. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】 (本小题满分14分) 在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ， D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ．（第16题图）CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，C B 1A 1P DCBA∴1BP AD BA AA ， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ，从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒， ∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CD A D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】1 EA B1 E AB故1A ，1C ，F ，E 四点共面．……………7分（2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分因为底面1111A B C D 是菱形，所以11A C 11B D ⊥．又1DD 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………11分因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ．又OD ⊥1A E ，11A C 11A E A =，11AC ⊂平面11AC FE ，1A E ⊂平面11AC FE ，所以OD ⊥平面11AC FE . ……………………14分12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，8,6==BD AC ，E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3．（1）求证：DE AC ⊥；（2）求四棱锥ABCD P -的体积．当AEC ∆面积的最小值是3时，EF 有最小值1 …………9分∵当PB EF ⊥时，EF 取最小值，∴1522=-=EF BF BE ，由 BD BE PD EF =，得158=PD ，又24862121=⨯⨯=⋅=BD AC S ABCD 故151564158243131=⨯⨯=⋅=-PD S V ABCD ABCD P …………14分 13. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PDE ⊥平面PEC .又E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC ， PA CDE第16题图 F14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=，AC BD ⊥. PB C DE 第16题图2 FH（Ⅰ）求证：1//B C 平面11ADD A ；（Ⅱ）求证：1AC B D ⊥；（Ⅲ）若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）不垂直（Ⅲ）结论：直线1B D 与平面1ACD 不垂直. 证明：假设1B D ⊥平面1ACD ，由1AD ⊂平面1ACD ，得11B D AD ⊥. D 1A 1D B 1 B C AC 1D 1 DAC 1A 1B 1 B C由棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=可得111A B AA ⊥，1111A B A D ⊥，又因为1111AA A D A =，所以11A B ⊥平面11AA D D ，所以111A B AD ⊥. 又因为1111A B B D B =，所以1AD ⊥平面11A B D ，所以11AD A D ⊥. 这与四边形11AA D D 为矩形，且1=2AD AA 矛盾，故直线1B D 与平面1ACD 不垂直.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB //EF BC ，O 为EF 的中点．（1）求证：AO CF ⊥；（2）求O 到平面ABC 的距离．过O 作OH AG ⊥，垂足为H ，则B C O H ⊥，因为AGBC G =，所以OH ⊥平面ABC因为OG AO =OH =O 到平面ABC的距离为2（另外用等体积法谈亦可） 16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】(本小题满分14分)在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，,O F 分别为,BE DE 的中点．（Ⅰ）求证：AO CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ?若存在，求出AP PC的值；若不存在，请说明理由．F OB C D AEPBC DE第16题图2 FH。

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一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图，已知三棱柱ABC - A 1B l C 1中，点D 是AB 的中点，平面A 1DC 分此棱柱成两部分，多面体A 1ADC 与多面体A 1B 1C 1DBC体积的比值为2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】【在体积ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为．3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2、锐角为︒60的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥M-PAD 的体积为4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知三棱锥S ABC -的体积为1，E 是SA 的中点，F 是SB 的中点，则三棱锥F BEC -的体积是 ▲ ．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱锥ABC D -的体积为．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】如图，已知平面⋂α平面l =β，βα⊥，B A ,是直线l 上的两点，D C ,是平面β内的两点，且l CB l DA ⊥⊥,，DA=4,AB=6,CB=8,P 是平面α上的一动点，且有BPC APD ∠=∠，则四棱锥ABCD P -体积的最大值是8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12S S 的值为 ▲ ． 9. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若半径为2的球O 内切于一个正三棱柱111C B A ABC -中，则该三棱柱的体积为．12. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_______.（第7题图） AB CA 1B 1FC 1E1A A13. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 .16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知正六棱锥的底面边长为2则该正六棱锥的表面积为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ， DE AD ⊥.（Ⅰ）求证： ⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）若M 为线段BE 中点，N 为线段CE 的一个三等分点，求证：MN 不可能与平面ABCD 平行.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图所示,在直四棱柱1111-ABCD A B C D 中,=DB BC , ⊥DB AC ,点M 是棱1BB 上的一点.A BCD E(1)求证：11//B D 面1A BD ；(2)求证：⊥MD AC ； (3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 上一点，G 为EO 中点.（Ⅰ）若DE //平面ACF ，求证：F 为BE 的中点；（Ⅱ）若AB，求证：CG ⊥平面BDE.4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中AD //BC ，BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角.（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD平行？请说明理由. M A BCDA 1B 1C 1D 15. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A.6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）在三棱锥ABC P -中，若E D AC BD ,,2=分别为PC AC ,的中点，且⊥DE 平面PBC ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：⊥BC 平面PAB ．CBAPBC7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，N M BP AB ,,⊥分别为PD AC ,的中点．(1)求证：//MN 平面ABP ；(2)求证：平面ABP ⊥平面APC 的充要条件是BP PC ⊥．8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC .A NBPM C（第16题图）10. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】 (本小题满分14分) 在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ， D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1A CD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1A CD ．11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，8,6==BD AC ，E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3．C B 1A 1P DCBA1 E A B（1）求证：DE AC ⊥；（2）求四棱锥ABCD P -的体积．13. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PDE ⊥平面PEC .14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=，AC BD ⊥.（Ⅰ）求证：1//B C 平面11ADD A ； D 1 DAC 1A 1B 1 B CPCDE第16题图 F（Ⅱ）求证：1AC B D ⊥；（Ⅲ）若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB//EF BC ，O 为EF 的中点．（1）求证：AO CF ⊥；（2）求O 到平面ABC 的距离． 16. 【】(本小题满分14分)在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，,O F 分别为,BE DE 的中点．（Ⅰ）求证：AO CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ?若存在，求出AP PC的值；若不存在，请说明理由． C B 1A 1P D CB A。