《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)【学习目标】1. 了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2. 能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3. 利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用；4. 掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一、平移变换1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.要点诠释：(1)平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；(2)图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；(3)图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.2 •平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等.要点诠释：(1)要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；(2)“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据.要点二、旋转变换1. 旋转概念：把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转•点0叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.2.旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化•3.旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角②分析所作图形，找出构成图形的关键点•③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段，从而作出图形中各关键点的对应点•④按原图形连结方式顺次连结各对应点•4. 中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点.中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形•5. 中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至 2 倍，得到各点的对称点②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形•要点诠释：图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案• 要点三、轴对称变换1 .轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形•2. 轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形•②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称3. 轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形•4. 平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的.要点四、图形的全等1.全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合•能够完全重合的两个图形叫做全等图形要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等•两个全等形的周长相等，面积相等2. 全等多边形(1 )定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形•相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角(2)性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等(3)判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等3. 全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.(1)全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角分别相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具(2)全等三角形的判定如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等【典型例题】类型一、平移变换1.阅读理解题.(1 )两条直线a, b相交于一点O如图①，有两对不同的对顶角；(2)三条直线a, b, c 相交于点0,如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；(3)四条直线a, b, c, d相交于一点0如图④，用(2)的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；(4)n条直线相交于一点0,用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；(5)_____________________________________________________________________________ 2013条直线相交于一点0,用同样的方法把直线平移后，有 ______________________________________________________________ 对不同的对顶角.①②③宓【思路点拨】(3 )画出图形，根据图形得出即可；(4)根据以上能得出规律，有n (n-1 )对不同的对顶角；(5 )把n=2013代入求出即可.【答案与解析】解：(3)如图有12对不同的对顶角,(4)有n (n-1 )对不同的对顶角, 故答案为：n (n-1 );(5)把n=2013 代入得：2013X( 2013-1 ) =4050156,故答案为：4050156.【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律.2 .操作与探究：1对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以-，再把所得数对应的点向右平移1个单位，3得到点P的对应点P'.点A, B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A'B',其中点A B的对应点分别为A', B'.如图1,若点A表示的数是-3，则点A'表示的数是 ___________________________________ ;若点B'表示的数是2,则点B表示的数是________________ ;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E' 与点E重合，则点E表示的数是____________________ ..4iiii 1 1| 了-4 -3 -1 0 124〉图1【思路点拨】(根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A',设点B表示的数为a, 根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b,根据题意列出方程计算即可得解；3【答案】0; 3;—.2【解析】解：点A'：-3 X 1+1 =- 1 + 1=0 ,3设点B表示的数为a, 则1—a+1=2, 解得a=3, 3 J—设点E表示的数为b, 则-b+1=b, 解得b=^ ;3 23 故答案为：0; 3;2【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键.举一反三：【变式】如图，面积为12cm2的厶ABC沿BC方向平移至△ DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED勺面积为()2 2 2A . 24cmB . 36cmC . 48cmD .无法确定【答案】B.四边形ABED是平行四边形且S四边形ABE=S 四边形ACFD 而S四边形ACE[=S四边形ABED'S △ABC.类型二、旋转变换3 .正方形ABCD中对角线AC BD相交于点O, E是AC上一点，F是0B上一点，且0E=0F回答下列问题：(1)在图中1,可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△0AF变到厶OBE的位置.请说出其变化过程.(2)指出图(1)中AF和BE之间的关系，并证明你的结论.(3)若点E、F分别运动到OB 0C的延长线上，且OE=OF(如图2),则(2)中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由.【思路点拨】(1 )根据图形特点即可得到答案；(2)延长AF交BE于M 根据正方形性质求出AB=BC/ AOB M BOC证厶AOF^A BOE推出AF=BE / FAO=Z EBO根据三角形内角和定理证出即可；(3)延长EB交AF于N,根据正方形性质推出/ ABD=/ ACB=45 , AB=BC得到/ ABF=/ BCE同法可证△ ABF^A BCE 推出AF=BE / F=/ E , / FAB=/ EBC 得到/ E+/ FAB+Z BAO=90 即可.【答案与解析】解：(1)旋转，以点0为旋转中心，逆时针旋转90度.(2)图(1 )中AF和BE之间的关系：AF=BE AF丄BE证明：延长AF交BE于M•••正方形ABCD••• AC丄BD, OA=OB •••/ AOB Z BOC=90 ,在厶AOFm BOE中(AO—OB、OF=OE:.△ AOF^A BOE( SAS , ••• AF=BE / FAO=z EBO •••/ EBO丄OEB=90 , •••/ FAO+Z OEB=90 ,•••/ AME=90 ,• AF 丄BE, 即AF=BE AF丄BE(3)成立；证明：延长EB交AF于N,•••正方形ABCD•••/ ABD=/ ACB=45 , AB=BC•••/ ABF+7 ABD=180，/ BCE+7 ACB=180 ,•••/ ABF=/ BCE•/ AB=BC BF=CE•△ABF^A BCE•AF=BE / F=/ E, / FAB=/ EBC•••/ F+/ FAB=/ ABD=45 ,•/ E+/ FAB=45 ,•/ E+/ FAB+/ BAO=45 +45° =90° ,•/ ANE=180 -90° =90° ,•AF 丄BE,即AF=BE AF丄BE【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.▼ 4.如图，在正方形ABCD中 , F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE^ AB.2①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角.②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明.(1 )把厶ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ ADE- 1(2)根据正方形的性质得到AB=AD / BAF=/ EAD又F是AD的中点，AE」AB贝U AE=AF根据旋转2的定义得到△ ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD, AF旋转到AE,于是有BF=DE 【答案与解析】解：(1)可以通过旋转使厶ABF变到△ ADE的位置，即把△ ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ ADE(2)线段BF和DE的数量关系是相等.理由如下：•••四边形ABCD为正方形，••• AB=AD / BAF=/ EAD1•/ F 是AD的中点，AE=—AB,2•AE=AF,•△ ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD, AF旋转到AE,即卩F点与E点重合，B点与D点重合，•BF与DE为对应线段，•BF=DE【总结升华】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形的性质.举一反三：【变式】如下图，等边△ ABC经过平移后成为△ BDE则其平移的方向是______________________ ;平移的距离是 ____________ △ ABC经过旋转后成为△ BDE则其旋转中心是__________________ ;旋转角度是__________ 度.解：等边厶ABC经过平移后成为△ BDE则其平移的方向是水平向右；平移的距离是AB或BD △ ABC经过旋转后成为△ BDE则其旋转中心是B;旋转角度是120度.类型三、轴对称变换（3）v 所有拼凑图形是 16种，是轴对称图形的个数是4种,•••是轴对称图形的成功率为:4 1 16 45.现有如图①的瓷砖若干块.（I ）用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，请在图②的两 个长方形中各画出一种拼法（要求两种拼法不同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）（2 ）用四块如图①的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图③的三个正方形中 各画出一种拼法，要求同（1）；（3）在第（1）题中，请你计算用如图①的瓷砖拼成的所有长方形中，是轴对称图形的成功率是多少?I③【思路点拨】（1）根据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，利用轴对称图形的性质拼凑即可；（2 ）禾9用轴对称图形的性质拼凑即可；（3 ）根据所有是轴对称图形的个数，以及拼凑总数即可求出是轴对称图形的成功率. 【答案与解析】解：（1）如图所示：【总结升华】此题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能 力•趣味性强，便于操作，是一道好题. 举一反三：（2）如图所示:【变式】（2015秋？睢宁县期中）如图，是 4X4正方形网格，其中已有 4个小方格涂成了黑色.现在要 从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C.解：如图所示：蓝色正方形位置都能使此图形是轴对称图形,类型四、图形的全等C\（2016春?蓝田县期中）如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）【思路点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，对选择项逐个与原图对比验证. 【答案】C. 【解析】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形.A 、B 、D 图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，C 中的图案旋转180°后与题干中的图形重合.故选C.( )。