2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)

2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2.若复数z=1−2i2+i+2，则z在复平面内对应的点是()A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)3.设函数f(x)=2f(1x)+1，则f(10)等于()A. 1B. −1C. 10D.4.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=tanxC. y=x3−xD. y=ln2+x2−x5.已知sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π)，则tanθ=()A. −43B. 43C. −34D. 346.已知函数f(x)=2x+3，若f(a)=1，则a=()A. −2B. −1C. 1D. 27.设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，命题乙：对数函数y=log(4−2a)x在(0,+∞)上递减，那么甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f(x)=sinxln(x+2)的图象可能是()A. B.C. D.9.设tan(α−β)=1,tan(β+π4)=2,则tanα等于()A. 1B. 2C. 3D. 510.设a=log43，b=log52，c=log85，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b11.若函数f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f(x)的一个单调增区间为()A. (−π6,π3) B. (−π3,π6) C. (π6,2π3) D. (π3,5π6)12.己知函数f(x)=lnx+1lnx，则下列结论中正确的是()A. 若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1,x2)内是增函数B. 若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1,x2)内是减函数C. ∀x>0，且x≠1，f(x)≥2D. ∃x0>0，f(x)在(x0,+∞)上是增函数二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.∫(12x2+3x)dx=________．14.已知向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(m,2)，若a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则m=______．15.曲线f(x)=e3x在点(0,1)处的切线方程为______ ．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC中点，若A=π3且AD=3，则bc 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足f(B)=0，a=2，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求|CP|+|PD|的最小值．18.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC;(2)若M 是PC 的中点，点N 在线 段PA 上，且满足PN =2NA ，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值．19. 已知在等差数列{a n }中，a 1=4，a 8=25，b n =1a n a n+1(1)求a n 的通项公式；(2)设数列{b n }的前nZ 项和为T n ，证明：T n <112．20. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F(0,1)，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交圆F ：x 2+(y −1)2=1于M ，N 两点(A,M 两点相邻)． (Ⅰ)若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当λ∈[12,23]时，求k 的取值范围； (Ⅱ)过A ，B 两点分别作曲线C 的切线l 1，l 2，两切线交于点P ，求△AMP 与△BNP 面积之积的最小值．21.已知3f(x)+f(−x)=5x，求f(x)的解析式．22.[选修4−4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=t,y=t2,(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin(θ−π4)=√2．求：(1)直线l的直角坐标方程；(2)直线l被曲线C截得的线段长．23.已知函数f(x)=|2x−1|+1．(1)解不等式f(x)≤6；(2)若存在实数n使f(n)+f(−n)≤m成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简答题．【解答】解：z=1−2i2+i +2=(1−2i)(2−i)(2−i)(2+i)+2=2−i，所以在复平面上对应点为(2,−1)，故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的解析式，属于基础题．【解答】解：由f(x)=2f(1x )+1，得f(1x)=2f(x)+1，解得f(x)=−1，则f(10)=−1．故选B．4.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性的判定，属于基础题目．【解答】解：A ，函数y =e x 为非奇非偶函数，故A 选项不符．B ，y =tanx 为奇函数，但不是定义域内的增函数，故B 选项不符．C ，y =x 3−x ，y′=3x 2−1，不能得出y′>0恒成立，所以该函数在其定义域内不是增函数 ，故C 选项不符．D ，y =ln 2+x2−x 为奇函数且为定义域内的增函数.故D 选项符合． 综上只有D 符合题意． 故选D ．5.答案：A解析：解：∵sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π )， ∴(sinθ+cosθ)2=125=1+2sinθ cosθ， ∴sinθcosθ=−1225<0.由根与系数的关系知，sinθ，cosθ是方程x 2−15x −1225=0的两根，解方程得x 1=45，x 2=−35．∵sinθ>0，∴sinθ=45，cosθ=−35． ∴tanθ=−43，故选：A ．本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意三角函数的各象限的三角函数的符号，考查计算能力．6.答案：B解析： 【分析】本题考查函数值的求法，根据f(a)=1得到2a +3=1，即可求出答案，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=2x +3，若f(a)=1，则2a +3=1， 解得a =−1． 故选B ． 7.答案：B解析：解：若关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立，则判别式△<0，即4a2−4×4<0，所以a2−4<0，解得−2<a<2.即甲：−2<a<2．若对数函数y=log(4−2a)x在(0,+∞)上递减，则0<4−2a<1，解得32<a<2.即乙：32<a<2．所以甲是乙的必要不充分条件．故选：B．先求出命题甲和乙成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用二次函数和对数函数的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：【分析】本题考查了由函数解析式判断函数图像，属于中档题．【解答】解：函数f(x)=sinxln(x+2)，x∈(−2,1)，f(x)>0，故排除C，D．且f(0)=0，故排除B，故选A．9.答案：B解析：因为tan(α+π4)=tan[(α−β)+(β+π4)]=tan(α−β)+tan(β+π4)1−tan(α−β)tan(β+π4)=1+21−1×2=−3，所以tan(α+π4)=tanα+tanπ4 1−tanαtanπ4=tanα+11−tanα=−3,解得tanα=2．10.答案：B解析：解：∵a=log43=lg3lg4=lg27lg64，c=log85=lg5lg8=lg25lg64；∴a>c；又log52<log5512=12，log85>log8812=12；∴c>b；∴a>c>b；∴b<c<a．故选：B．根据换底公式即可得出a=lg27lg64,c=lg25lg64，从而得出a>c，容易得出log52<12,log85>12，从而得出c>b，这样即可得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．11.答案：A解析：解：f(x)=sin(ωx+π6)−cosωx=√32sinωx+12cosωx−cosωx=√32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6)，∵f(x)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2， ∴函数的周期T =2×π2=π，即2πω=π，∴ω=2， 则f(x)=sin(2x −π6)，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z 解得：x ∈[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ， 当k =0时，增区间为(−π6,π3)，故选：A ．根据两角和差的正弦公式以及三角函数的辅助角公式化简f(x)，结合函数的性质求出函数的周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的单调性的判断，利用两角和差的正弦公式将函数进行化简求出函数f(x)的解析式是解决本题的关键． 12.答案：D解析：解：∵f(x)=lnx +1lnx (x >0且x ≠1)， ∴f′(x)=1x −1x(lnx)2=0，∴x =e ，或x =1e当x ∈(0,1e )时，f′(x)>0，；当x ∈(1e ,1)，x ∈(1,e)时，f′(x)<0；当x ∈(e,+∞)时，f′(x)>0． 故x =1e 和x =e 分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，而函数f(x)在(1e ,e)上单调递减，故A 、B 错误；当0<x <1时，lnx <0，f(x)<0，不满足不等式，故C 错误； 只要x 0≥e ，f(x)在(x 0,+∞)上时增函数，故D 正确． 故选：D ．求导数，可得(1e ,e)上函数单调递减，(0,1e )，(e,+∞)上函数单调递增，即可判断． 本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，正确求导是关键．13.答案：136解析： 【分析】本题考查微积分基本定理，属于基础题． 根据微积分基本定理即可直接求解． 【解答】解：∫(102x 2+3x)dx =(2x 33+3x 22)|01=23+32=136．故答案为136．14.答案：−4解析：解：a ⃗ +b ⃗ =(m +1,−1)；∵a ⃗ ⊥(a ⃗ +b⃗ )； ∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=m +1+3=0； ∴m =−4． 故答案为：−4． 可求出a ⃗ +b ⃗ =(m +1,−1)，根据a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )即可得出a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算． 15.答案：3x −y +1=0解析： 【分析】由导数的几何意义可知曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率k =f′(0)，从而可求切线方程 本题主要考查导数的几何意义：导数在某点的切线的斜率即为改点的导数值的应用，属于基本概念的简单应用． 【解答】解：∵f(x)=e 3x ， ∴f′(x)=3e 3x ， ∴f′(0)=3，∴曲线 f(x)=e 3x 在点(0,1)处的切线方程为y −1=3(x −0)，即3x −y +1=0． 故答案为3x −y +1=0． 16.答案：36解析：解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 中点， 由于A =π3且AD =3，则：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 整理得：9=14(a 2+b 2−2abcos π3)， 所以：36=(b 2+c 2−bc)≥2bc −bc =bc ，故：bc 的最大值为36． 故答案为：36直接利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )和向量的数量积的应用及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1=4cosx(√32sinx−12cosx)−1=√3sin2x−cos2x−2 =2sin(2x−π6)−2；由于−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z；所以f(x)的增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z；(2)由f(B)=2sin(2B−π6)−2=0得2B−π6=π2，所以B=π3；作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，如图所示；(C′D)2=BD2+(BC′)2+BD⋅BC′=7；CP+PD=C′P+PD≥C′D=√7，C′，P，D三点共线时取得最小值√7．解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．(1)化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f(x)的增区间；(2)由题意求得B的值，作C关于AB的对称点C′，利用对称关系求得CP+PD的最小值．18.答案：解：(1)取AC的中点O，连接OP，OB，则有∵PA=PC且O为AC的中点，∴OP⊥AC；同理，OB⊥AC．∴AC⊥平面POB，则有∠POB为平面P−AC−B的平面角，又∵在△POB中，OP=OB=1，BP=√2，则有OP2+OB2=BP2，∴∠POB=90°∴平面PAC⊥平面ABC．(2)由(1)可知，OP⊥平面ABC，则有OP⊥OC，OP⊥OB ，又∵OB ⊥OC ，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．则有，OA =OB =OC =OP =1，∴A(−1,0，0)，B(0,1，0)，C(1,0，0)，P(0,0，1)，∵M 是PC 的中点，∴M(12,0,12)，又∵PN =2NA ，∴N(−23,0,13)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−76,0,−16) 设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则有{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴n⃗ =(−1,1,1)， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，sinθ=∣∣cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >∣=∣∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗⃗ ∣∣∣∣=√65． 故直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为√65．解析：此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便．(1)利用线面垂直来证面面垂直；(2)利用向量法来求直线与平面所成的角。