浙江省金华十校2019届高三4月高考模拟考试数学理试题

浙江省金华十校2019届高三4月高考模拟考试数学（理科）试卷 2019.4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1． 已知集合U={a,b,c,d,e}，M={a,d}，N={a,c,e}，则M ∪ UN 为 A ．{c,e} B ．{a,b,d} C ．{b,d} D ．{a,c,d,e} 2． 已知复数z 1=2+i ，z 2=a -i(a ∈R )，z 1·z 2是实数，则a = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3． y =f (x )是定义在R 上的函数，若a ∈R ，则“x ≠a ”是“f (x )≠f (a )”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 关于函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是A ．是奇函数B ．最小正周期为πC ．06π⎛⎫⎪⎝⎭，为图像的一个对称中心 D ．其图象由y =tan2x 的图象右移3π单位得到 5． 空间中，若α,β,γ 是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是 A ．若l ∥α,， l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α C ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β6． 已知集合A ={1,2,3,4,5,6}，在A 中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则 取法种数共有 A ．4 B ．10 C ．15 D ．20 7． 已知某几何体的三视图（单位：dm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．13dm 3 B ．32dm 3 C ．1dm 3D ．12dm 3 8． “3111a b c++”称为a ,b ,c 三个正实数的“调和平均数”，若正数x , y 满足“x , y , xy的调和平均数为3”，则x +2 y 的最小值是A ．3B ．5C ．7D ．89． 如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |=1,则双曲线的离心率是A ． 3B ．2 C．D 10. 已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 所在的平面互相垂直，点P ，Q 分别是线段BC ，正视图 侧视图 俯视图 11 1（第7题图）DE 上的动点（包括端点），PQPQ 中点的轨迹为ℜ，则ℜ 的长度为A ．2 BC ．2πD ． 4π二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.11. 若两直线x -2y +5=0与2x +my -5=0互相平行，则实数m = ▲ ．12.已知函数1,()1,x f x x =<≥ 若f (a )+f (0)=3，则a = ▲ ．13. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ _． 14. 二项式521+2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 3项的系数为 ▲ ．15. 甲乙两人分别参加某高校自主招生考试，能通过的概率都为23，设考试通过的人数(就甲乙而 言)为X ，则X 的方差D (X )= ▲ ．16．对于不等式组2320340210x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥，≤，≥的解(x ，y )，当且仅当=2,=2x y ⎧⎨⎩时，z =x +ay取得最大值，则实数a 的取值范围是 ▲ _．17. 如图，已知：|AC |=|BC |=4，∠ACB =90°，M 为BC 的中点， D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM DC ⋅的最大值是 ▲ _．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且2sin tan tan cos CA B A+=．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)已知3a c c a+=，求11tan tan A C +的值．（第13题图）19. （本小题满分14分） 已知数列{a n }的首项a 1=a ，前n 项和为S n ，且-a 2，S n ，2a n +1成等差． (Ⅰ)试判断{a n }是否成等比数列，并说明理由；(Ⅱ)当a >0时，数列{b n }满足11b a =，且1(2)()()n n n n a b n a a a a +=--≥．记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1≤aT n <2．20．（本题满分14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥AC ，P A =PB =PC ，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，AB=，AC =2，PD=Q 为线段PE 上不同于端点的一动点． (Ⅰ)求证：AC ⊥DQ ；(Ⅱ)若二面角B -AQ -E 的大小为60°，求QEPE的值．PQ21．(本小题满分15分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =⋅直线l :y =kx +m (km <0)与椭圆C 交于M N 、两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且2||||AB MN =4．是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.22．(本小题满分15分)已知函数32()2ln 3f x x tx t x =-+⋅(t ∈R ). (Ⅰ)若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线y =x 平行，求实数t 的值；(Ⅱ)证明：对任意的x 1,x 2∈(0.1]及t ∈R ，都有|f (x 1)-f (x 2)|≤(|t -1|+1)|ln x 1-ln x 2|成立.金华十校2019年高考模拟考试数学（理科）卷参考答案二． 11 12．4或-3 13．3 14．-1201516．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭17．8+三．解答题：18．解：(Ⅰ)sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos A B A B A BA B A B A B++=+=sin()sin cos cos cos cos A B C A B A B+==， ……………………………………………………… 3分 ∵2sin tan tan cos C A B A +=，∴sin 2sin cos cos cos C CA B A=， ∴1cos 2B =，∵0B <<π，∴B =3π.……………………………………………… 6分(Ⅱ)2222cos a c a c b ac B c a ac ac+++==， ∵3a cc a +=， ∴22cos 3b ac B ac +=，即22cos 33b ac ac π+=，∴22b ca =，……………………… 9分 而222sin sin 33sin sin sin sin 4sin sin b B ca A C A C A C π===，∴3sin sin 8A C =.…………… 12分∴11cos cos sin()tan tansin sin AC A C A C A C ++=+=sin sin sin B A C ===. ……………………………………………… 14分 19．解：(Ⅰ)∵2122n n S a a +=-+，∴当12222n n n S a a -=-+≥时， 两式相减得()11222,22n n n n n a a a a a n ++=-=故≥ ，…………………………… 3分 又当n =1时，1222122,2a a a a a =-+=得， ……………………………………… 4分当a 1=a =0时，此时a n =0，{a n }不是等比数列，{}1022n n naa a a a +≠=当时，，此时是首项为，公比为的等比数列. …………… 6分(Ⅱ)∵111,2n n b a a a-==⋅，∴2n 当≥时，()()11222n n n na b a a a a --⋅=⋅-⋅⋅- ()()1111211121212121n n n n n a a ---⎛⎫=⋅=⋅- ⎪---⋅-⎝⎭. ………………………………… 8分 ∴12n n T b b b =+++1223111111111212121212121n n a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11221n a ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， ∴1221n n aT =--，………………………………………………………………… 10分 ∵2n ≥，∴24n ≥，∴513n aT >≥，又1021n >-，∴2n aT <. …………… 12分而当n =1时，aT n =1，故1≤aT n <2．………………………………………………………………………… 14分 20．(Ⅰ)证明：∵P A =PB =PC ，∴P 在底面ABC 的射影是△ABC 的外心E ，∴PE ⊥面ABC ，又AC ⊂面ABC ，从而PE ⊥AC ． ……………………………… 3分 又∵P A = PC ，且D 是AC 的中点，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥面PDE ．又DQ ⊂面PDE ，∴AC ⊥DQ．………………………………… 6分 (Ⅱ)解法一:过点B 作BF⊥AE 于F ，易证BF ⊥面P AE ， 过F 作FG ⊥AQ 于点G，连接BG ，则∠BGF 即为二面角B -AQ -E 的平面角．…………………… 8分 在Rt △ABF中，由30AB BAF =∠=︒得3,AF BF = 在Rt △BGF中，由60BF BGF ∠=︒，所以1GF =． 在△AQF 中，设QE h =，则AQ =由1122AQF S AQ GF AF QE =⋅⋅=⋅⋅△3h ,从而h =，………… 12分又在Rt △PED 中，PD DE =，所以PE =,从而QE PE = 14分 解法二：如图以A 为原点， AB 、AC 分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，则()0,0,0A ，()B ，)E， …………………………………… 8分P ABCEDQF EG Q设点)Q h ，设面AQE 的法向量m =(x 1,y 1,z 1).由1111130,30,AE x y AQ x y hz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩m m得1110,0,z y =⎧⎪+= 令11x =，得()1,=m ．…………… 10分 设面ABQ 的法向量n =(x 2,y 2,z 2)，由2222230,30,AB AQ x y hz ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩n n 得2220,0,x y hz =⎧⎨+=⎩令21y =得10,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ．………………… 12分由1cos 602⋅︒===mn m n，得h =，又易求得PE ，所以QE h PE PE == 14分 21．解：(Ⅰ)椭圆的顶点为，即b 12c e a ==，所以2a =，∴椭圆的标准方程为22143x y+=． ……………………………………………… 4分(Ⅱ)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -⋅=+， …………………………………… 6分∴△=22226416(43)(3)k m k m-+-=2216(1239)0km -+>，则 |MN |==， ……………………… 8分 令0m =，可得|AB ， ……………………………………10分∴22||4||12AB MN k ==，化简得m k =-或m k =(舍去)，…………… 12分∴21212121212[()1]OM ON x x yy x x k x x x x ⋅=+=+-++=2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k ----+-+==-++++解得k = 14分 故直线l 的方程为1)y x =-或1)y x =-．……………………………… 15分22. 解：(Ⅰ) 由题2()22tf x x t x'=-+，且(1)1f '=，解得1t =．………………… 4分(Ⅱ)当12x x =时，结论明显成立， ………………………………………………… 5分 不妨设12x x <，且记|1|1t λ=-+，则1212|()()||ln ln |f x f x x x λ--≤等价于121221(ln ln )()()(ln ln )x x f x fx x x λλ---≤≤ ⇔1122()ln ()ln f x x f x x λλ++≤且1122()ln ()ln f x x f x x λλ--≥，要使得对任意的12,(0,1]x x ∈，1122()ln ()ln f x x f x x λλ++≤恒成立， 只需()f x xλ'-≥对于(0,1]x ∈恒成立，同理可得()f x xλ'≤对于(0,1]x ∈恒成立，即222t x t x x xλλ--+≤≤对于(0,1]x ∈恒成立⇔当t ∈R 时，3(|1|1)22|1|1t x tx t t --+-+-+≤≤对于(0,1]x ∈恒成立．… 9分考虑函数3()22g x x tx t =-+，(0,1]x ∈，则2()62g x x t '=-，(1)当0t ≤时，函数()g x 在(0,1]上单调递增，此时()(1)2g x g t =-≤； (2)当3t ≥时，函数()g x 在(0,1]上单调递减，此时()(0)g x g t <=；(3)当03t <<时，函数()g x 在⎛ ⎝上递减及⎤⎥⎦上递增， 此时()max{(0),(1)}max{,2}g x g g t t <=-综上，当1t <时，()2g x t -≤；当1t ≥时，()g x t ≤，所以322|1|1x tx t t -+-+≤对于(0,1]x ∈成立；………………………………… 13分为证3(|1|1)22t x tx t --+-+≤，可设函数3()|1|221h t t t tx x =-+-++, 即332(1)2,1()2()22,1t x x t h t t x x t ⎧-+=⎨-++<⎩≥，则有3()(1)222h t h x x =-+≥，又由上面3()22g x x tx t =-+的分析可知函数3222y x x =-+((0,1]x ∈)在x =处取到最小，所以3()(1)2220h t h x x =-+>≥，从而3(|1|1)22t x tx t --+-+≤对任意(0,1]x ∈恒成立．……………………… 15分。