浙江省台州市2016-2017学年高三上学期联考数学试题 Word版含解析

浙江省台州市2016-2017学年高三上学期联考数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数21ii-=- （ ） A.322i - B.322i + C.322i -+ D.322i -- 【答案】B.考点：复数的计算.2.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B. 考点：1.对数的性质；2.充分必要条件. 3.给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有的直线都不垂直C.直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有的直线都不平行D.异面直线a ，b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直 【答案】D. 【解析】试题分析：A ：直线共面不具有传递性，故A 错误；B ：根据线面垂直的判定可知B 错误；C ：若直线a α⊂，满足直线a 与平面α不平行，故C 错误；D ：假设存在过a 的平面与b 垂直，则可知b a ⊥，∴假设不成立，故D 正确，故选D.考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定.4.下列四个函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，ln sin y x =-，以π为周期，在(0,)2π上单调递减且为偶函数的是（ ）A.sin y x =B.cos y x =C.tan y x =D.ln sin y x =-【答案】D.考点：函数性质的综合运用.5.点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(),0F c ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A.(1,8] B.4(1,]3C.45(,)33D.(2,3] 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意，设(,)P x y ，x a ≤-，∴(,)22x c y M +，∴222()4464x c y c ++=， 即22222222212()1616b c c x cx c x b x a c a a +++-=⇒+=，∵x a ≤-，∴c x a c a a +≤-+，∴2222114()()()1643c c x a c a c c a c c a e a a +≥-+⇒≥-+⇒≥-⇒=≤，∴413e <≤， 故选B.考点：双曲线的标准方程及其性质.6.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则直线1AB 与侧面11ACC A 所 成角的正弦值等于（ ）2【答案】A.考点：直线与平面所成的角.7.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当02x ≤≤时，(){}2min 2,2f x x x x =-+-，若方程()0f x mx -=恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）A. 11(,)(,+)33-∞-∞B.11(,][,+)33-∞-∞C.)2,31()31,2( --D.11[2,][,2]33--【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，()(4)()f x f x f x =+=-，∴()f x 是周期函数，周期4T =，且图象关于直线2x =对称，∴()f x 的图象如下图所示，若直线mx y =与抛物线x x y 22+-=相切，则0)2(222=-+⇒⎩⎨⎧+-==x m x xx y mx y ，由20=⇒=∆m ，故可知实数m 的取值范围是)2,31()31,2( --，故选C.考点：1.函数的性质；2.函数与方程.【思路点睛】函数的图象与零点问题往往已知函数零点或根的情况，求参数的取值范围，解决这类问题的关键通常转化为函数图象问题进行讨论，对于方程()()f x g x =的根，可构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为函数()()f x g x =的根，或转化为求两个函数的公共点，利用数形结合的方法解决. 8.已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ， 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A.ln 21--B.ln 21-C.ln 2-D.ln 2 【答案】A.考点：1.导数的运用；2.基本不等式求最值.【思路点睛】函数最值的重要结论：1.设)(x f 在某个区间D 上有最小值，m 为常数，则m x f ≥)(在D 上恒成立的充要条件是m x f ≥min )(；2.设)(x f 在某个区间D 上有最大值，m 为常数，则m x f ≤)(在D 上恒成立的充要条件是m x f ≤max )(.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.双曲线22:13x C y -=的渐近线方程是 ；若抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线C 的一个焦点重合，则p = ．【答案】y x =，4.考点：双曲线与抛物线的标准方程及其性质.10.一个几何体的三视图如下图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为 ；体积为 ．【答案】28+8. 【解析】试题分析：由三视图可知，如下图所示，该几何体为一长方体1111ABCD A BC D -中挖去一四棱锥P ABCD -，易得PA PB ===122PAB S ∆=⨯=，∴表面积22+234+428S =⨯⨯=+221232383V =⋅-⋅⋅=，，故填：28+8.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.11.已知函数2()sin 2(12sin )1f x x x =⋅-+，则()f x 的最小正周期T = ；()f T = ． 【答案】2π，1.【解析】试题分析：由题意得，1()sin 2cos 21sin 412f x x x x =+=+，∴最小正周期242T ππ==，()()12f T f π==，故填：2π，1.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象和性质. 12.已知4316a b a -=，21log a a b+=，则a = ；b = . 【答案】3，34log 2.考点：指对数的计算.13.已知函数()2x f x x e =，若()f x 在[],1t t +上不单调．．．，则实数t 的取值范围是 ． 【答案】(3,2)(1,0)--- . 【解析】试题分析：由题意得，2'()(2)xf x e x x =+，∴()f x 在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，(2,0)-上单调递减，又∵()f x 在[,1]t t +上不单调，∴212t t <-⎧⎨+>-⎩或010t t <⎧⎨+>⎩，即实数t 的取值范围是(3,2)(1,0)--- ，故填：(3,2)(1,0)--- . 考点：导数的运用.14.已知点()1,0A m -，()1,0B m +，若圆C :2288310x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB ⋅=，则正实数．．．m 的最小值为 ． 【答案】4.考点：1.平面向量数量积；2.圆与圆的位置关系.【思路点睛】用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些，其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与r R +，d 与r R -的大小关系来判定 15.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，在面对角线1A D 上取点M ，在面对角线1CD 上取点N ，使得//MN 平面11AAC C ，当线段MN 长度取到最小值时，三棱锥11A MND -的体积为 .【答案】1. 【解析】试题分析：如下图所示，建立空间直角坐标系，从而可设，(,0,)M m m ，(0,,3)N n n -，∴(,,3)MN m n n m =--- ，而面11ACC A 的一个法向量是(1,1,0)n =，∴0MN n m n ⋅=⇒= ，∴22222222(3)2(32)61296(1)33MN m n n m m m m m m =++--=+-=-+=-+≥ ，当且仅当1m =时，等号成立，此时11111321132A MND N AMD V V --==⨯⨯⨯⨯=，故填：1.考点：立体几何中的最值问题.【思路点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1.结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2.直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题． 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）已知圆()22:19C x y -+=内有一点()2,2P ，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．【答案】（1）220x y --=；（2试题解析：（1）已知圆()22:19C x y -+=的圆心为()1,0C ，∵直线过点P ，C ，∴20221PC K -==-，直线l 的方程为()21y x =-，即220x y --=；（2）当直线l 的倾斜角为45时，斜率为1，直线l 的方程为22y x -=-，即0x y -=，圆心C 到直线l3，∴弦AB考点：1.直线方程；2.直线与圆的位置关系．17.（本小题满分15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值；【答案】（1）3；（2）6. 【解析】试题分析：（1）将已知条件中给出的式子进行三角恒等变形，从而求解；（2）利用余弦定理首先得到a ，b 所满足的一个关系式，再利用基重要不等式2)2(b a ab =≤即可求解.考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形；3.重要不等式求最值．18.（本小题满分15分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤ ，试求cos θ的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）1]2. 试题解析：（1）在梯形ABCD 中， ∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =， ∴2222cos 603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= ，∴ 222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥， ∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE ；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则(0,0,0)C，A ，()0,1,0B ，(),0,1M λ，∴(AB = ，(),1,1BM λ=-，设1(,,)n x y z = 为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则1)n λ= ， ∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212||cos ||||n n n n θ⋅===⋅ ，∵0λ≤≤0λ=时，θcos，当λ=时，θcos 有最大值12，∴1cos ]2θ∈.考点：1.线面，面面垂直的判定与性质；2.空间向量求解二面角．19.（本小题满分15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>，经过椭圆C 上一点P的直线:42l y x =-+与椭圆C 有且只有一个公共点，且点P 横坐标为2. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若AB 是椭圆的一条动弦，且52AB =，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）3. 【解析】试题分析：（1）利用点P 在椭圆上以及直线l 与椭圆只有一个公共点，建立关于a ，b 的方程组，即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，建立面积的函数关系式，求得函数的最值即可求解.试题解析：（1）∵P 在椭圆上，故22421a b +=，同时联立2222224b x a y a b y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩得222222(42b x a x a b +-+=，化简得2222222139()0822b a x a x a a b +-+-=，由0∆=， 可得212a =，23b =，故椭圆22:1123x y C +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 方程为：y kx b =+， 联立22412x y y kx b⎧+=⎨=+⎩得()()222418430k x kbx b +++-=，故122814kb x x k +=-+，21224(3)14b x x k -=+， 由()()()()22222212112251144AB k x x k x x x x ⎡⎤==+-=++-⎣⎦，得2222225(14)3(14)64(1)k b k k +=+-+， 故原点O 到直线AB的距离d =S = 令22141k u k+=+，则22262519262596()()9102425102425S u u u =--=--+， 又∵[)22214341,411k u k k +==-∈++， 当9625u =时，2max 9S =， 当斜率不存在时，AOB ∆，综合上述可得AOB ∆面积的最大值为3. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题．【思路点睛】对于圆锥曲线的综合问题，1.要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；2.要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；3.要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.20．（本小题满分15分）已知函数3()f x ax x a =+-，a R ∈．（1）若1a =-，求函数()[),0,y f x x =∈+∞的图象在1x =处的切线方程；（2）若4()g x x =，试讨论方程()()f x g x =的实数解的个数；（3）当0a >时，若对于任意的[]1,2x a a ∈+，都存在[)22,x a ∈++∞，使得12()()1024f x f x =，求满足条件的正整数a 的取值的集合．【答案】（1）230x y +-=；（2）详见解析；（3）}1{.【解析】（2）()()f xg x =即为34||ax x a x +-=，∴43||x ax x a -=-，从而3()||x x a x a -=-，此方程等价于x a =或1x a x >⎧⎨=⎩或1x a x <⎧⎨=-⎩， ∴当1a ≥时，方程()()f x g x =有两个不同的解a ，1-；当11a -<<时，方程()()f x g x =有三个不同的解a ，1-，1；当1a ≤-时，方程()()f x g x =)有两个不同的解a ，1；（3）当0a >，(,)x a ∈+∞时，3()f x ax x a =+-，2'()310f x ax =+>，∴函数()f x 在(,)a +∞是增函数，且4()()0f x f a a >=>，∴当[,2]x a a ∈+时，()[(),(2)]f x f a f a ∈+，102410241024[,]()(2)()f x f a f a ∈+， 当[2,)x a ∈++∞时，()[(2))f x f a ∈++∞，， ∵对任意的1[,2]x a a ∈+，都存在2[2,)x a ∈++∞，使得12()()1024f x f x =， ∴10241024[,][(2),)(2)()f a f a f a ⊆++∞+，从而1024(2)(2)f a f a ≥++， ∴2[(2)]1024f a +≤，即(2)32f a +≤，即3(2)232a a ++≤，∵0a >，显然1a =满足，而2a ≥时，均不满足，∴满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}.考点：1.导数的运用；2.函数与方程；3.分类讨论的数学思想；4.恒成立与存在性问题．【思路点睛】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：1.函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；2.周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解；3.研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．。