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(完整word版)空间向量知识点总结
空间向量知识点总结1。
直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。
⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。
⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。
用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。
即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。
⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3。
用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。
空间向量知识点归纳(期末复习).doc
空间向量期末复习知识要点:1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
运算律：⑴加法交换律：a + h =b +ci⑵加法结合律：（N + T） + E = N + 0 + e）⑶数乘分配律：= +3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5 ,记作allb o当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量万、b（方工6）, allb存在实数2,使a=kb o4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数x^y\^p = xa-\-yb。
5.空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z ,使0 = xN + y5 + zC。
若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O ,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x, y, z ,使OP = xOA + yOB + zOC。
6.空间向量的数量积。
（1）空I'可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A = a,0B = b ,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OM a9b＞＜7T, 显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。
空间向量及其运算知识总结
空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A '''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使M P xM A yM B =+①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅． 14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点， 分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它 们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi y j zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体：如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体：如图所示，正四面体A BCD -的棱长为a ，一般选择A 在BCD ∆上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥：如图所示，正四棱锥P ABCD -的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱：如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则23||a a a a a =⋅=+，2||b b b b =⋅=+5．夹角公式：2cos||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==，或,A B d =空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y zz =---.平面法向量 如果a α⊥，那么向量a 叫做平面α的法向量.法向量的求解:______________________________________________________________________. 二、证明平行问题1．线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a a a b b b b ⇔==. x y2.线面平行：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则//a α.3.面面平行：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ. 三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2．线面垂直：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ=则a α⊥. 3. 面面垂直：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥即120n n ⋅=则αβ⊥. 四、求夹角1．线线夹角：设123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；2cos ,||||a ba b a b a ⋅<>==⋅+；cos |cos ,|a b θ=<>.2．线面夹角：如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>|cos ,|OP AP =<>|cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||n PA n PA ⋅=.3． 面面夹角：设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>； 当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>. 五、距离1．点点距离：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，,A B d =||(AB AB AB x =⋅=2．点面距离：A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=.3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=. 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.。
空间向量及其运算知识总结
.空间向量及其运算知识总结————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：空间向量及其运算1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3、共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.4、向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的5、共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+若A 、B 、M 、P 四点共面：,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=6、空间向量基本定理：若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++7、空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.8、向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．9、空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．10、空间向量数量积运算律：aC'B'A'D'DABCyk iA(x,y,z)O jxz（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点， 分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫 坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++3、空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4、模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++，222123||b b b b b b =⋅=++．5、夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++．6、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---.平面法向量 如果a α⊥，那么向量a 叫做平面α的法向量.二、证明平行问题1、线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a a a b b b b ⇔==. 2、线面平行：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则//a α. 3、面面平行：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2、线面垂直：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ=则a α⊥.3、面面垂直：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥即120n n ⋅=则αβ⊥.四、求夹角1、线线夹角：设123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；112233222222123123cos ,||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅<>==⋅++++；cos |cos ,|a b θ=<>.2、线面夹角：如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>|cos ,|OP AP =<>|cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||n PA n PA ⋅=.3、面面夹角：设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>.五、距离1、点点距离：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-222212121||()()()AB AB AB x x y y z z =⋅=-+-+-2、点面距离：A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=. 3、线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=. 4、线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5、面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.nOPAαθ空间向量及其运算一、选择题1、与向量a =(12,5)平行的单位向量是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--135,1312 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312135,1312或 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛±±135,13122、A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( )A.1B.2C.3D.43、向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直 C.平行D.以上都不对4、m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( )A.0B.25 C.221 D.85、若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则（ ） A.x =1，y =1 B.x =21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =236、a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A.0B.6C.-6D.±67、若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z zy y x x ==是a 与b 同向或反向的( ) A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件8、已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角（） A ．0 B ．2πC ．πD ．32π9、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ ） A. 030 B.045 C.060 D.09010、设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( ) A.（41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32） 11、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( D )A.627B.637C.607D.65712、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，若b a ⊥，则x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±613、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，若b a //，则m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 14、已知向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180° 15、若斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，则AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120° 16、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ）A ．627 B. 637 C. 647 D. 65717、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°18、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°19、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定20、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为( )A ．21 B ．36 C ．33 D ．23 二、填空题21、已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则a 在b 方向上的投影是______． 22、已知)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为____________．23、∠BOC 在平面α 内，OA 是平面α 的一条斜线，若∠AOB ＝∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，则OA 与平面α 所成的角是______．24、空间四边形ABCD ，则AB ·CD +BC ·AD +CA ·BD =_______. 25、点A(1,2,1),B(-1,3,4)、D(1,1,1),若PB AP 2=,则|PD |的值是_____________.26、已知空间三点A 、B 、C 坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P 在xOy 平面上且P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，则P 点坐标为 .27、a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为89，则λ＝_____________.三、解答题28、已知()()2,4,,2,,26a x b y a b ===⊥，若a 且，求x y +的值.29、设向量()()3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-⋅，计算并确定,λμ的关系，使a b z λμ+与轴垂直.30、如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN31、如图，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，3=AB ，BC ＝1，P A ＝2，求直线AC 与PB 所成角的余弦值．32、一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
(word完整版)选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点,文档.docx
3.1 空间向量及其运算知识点1． 空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)单位向量：模为 1 的向量称为单位向量 (3)相等向量：方向相同且模相等的向量．(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (5)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuur uuur uuuur uuuur uuuuur OA n ＝OA 1＋A 1 A 2＋ A 2 A 3＋ ＋A n －1 A .n运算律：①加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ②加法结合律： (a ＋ b)＋ c ＝ a ＋ (b ＋c) ③数乘分配律： λ(a ＋ b)＝ λa＋ λb.3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量 a ， b(b ≠ 0)， a ∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λb .推论： 点 P 在直线 AB 上的充要条件 是：uuuruuur存在实数 λ，使得 APAB ①uuuruuur uur或对空间任意一点O,有 OP OAAB ②uuur uur uuur或对空间任意一点O ，有 OPxOA yOB 其中 x ＋ y ＝ 1 ③uuur uur uuur uur uuur uuur uuruuur 【推论③推导过程：OP OA AB OA (AO OB) (1)OAOB 】(2)共面向量定理如果两个向量 a ，b 不共线，那么 p 与 a ，b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对 （x,y ）使 p ＝ xa ＋ yb推论： 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件 是uuur uuur uuur存在唯一有序实数对 （x,y ）使 AP xAB yAC ，uuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP OA xAB yACuuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP xOA yOB zOC ，其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1【推论③推导过程：(3)空间向量基本定理uuur uur uuur uuur uur uuuruuur OP OA xAByAC (1 x y)OA xOByOC 】如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ，z} ，使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc 基底：把 { a ， b ， c} 叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4． 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念→ →①两向量的夹角： 已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点O ，作 OA ＝ a ，OB ＝ b ，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹π角，记作〈 a ，b 〉，其范围是 0≤〈 a ， b 〉≤ π，若〈 a ， b 〉＝ 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a ⊥b. ②两向量的数量积： 已知空间两个非零向量 a ，b ，向量 a ， b 的数量积记作 a ·b ，且 a ·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律： (λa) ·b ＝ λ(a ·b)； ②交换律： a ·b ＝ b ·a ； ③分配律： a ·(b ＋ c)＝ a ·b ＋ a ·c.5． 空间向量的坐标表示及应用设 a ＝ (a 1，a 2，a 3) ，b ＝ (b 1， b 2， b 3)(1)数量积的坐标运算： a ·b ＝a 1 b 1＋ a 2b 2＋ a 3 b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：(3)模、夹角和距离公式：|a|＝ a ·a ＝ 222a 1＋ a 2＋ a 3，a ·b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 ＋a 3b 3 cos 〈 a ，b 〉＝ |a||b| 2 2 22 2 2 .1 2 3 1 2 3→设 A(a 1， b 1， c 1)， B(a 2， b 2， c 2)，则 d AB ＝ |AB|＝6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1) 适当的选取基底 { a ， b ， c} ；(2) 用 a ， b ， c 表示相关向量；(3) 通过运算完成证明或计算问题．)．a 2－ a 1 2＋b 2 －b 1 2＋c 2－ c 1 2 .题型一 空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．例 1：三棱锥 O — ABC 中， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是△ ABC 的重心，用基向量 → → →→OA ， OB ， OC 表示 MG ，→ .OG1 →2 → 1 → 2 → →1 →2 1 → →→1 → 1 → 1 → →→ →解析： MG ＝MA ＋ AG ＝OA ＋AN ＝ OA ＋ (ON － OA)＝ OA ＋3 [ (OB ＋ OC)－ OA] ＝－6OA ＋OB ＋ OC.23 2 322 33→→→→→ →→→→ →OG ＝OM ＋ MG ＝1OA －1OA ＋1OB ＋ 1OC ＝1OA ＋1OB ＋1OC.2633 333 uuur uuur uuur uuur→ 1 → →→, 例 2：如图所示， ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形． 若 AE ＝ EC ，A 1F ＝ 2FD ，且 EF =x AB+y AD+z AA2 1 试求 x 、 y 、 z 的值．.解→ → →→ 1 → 1→ →连接 AF ，EF ＝EA ＋AF .∵ EA ＝－3 AC ＝－（ AB ＋ AD ）3→→ → → → → 1 →→ 1 →→2 uuur 1uuur→ → → 1 uuur 1 uuur 1 uuurAF ＝ AD ＋ DF ＝ AD －FD ＝ AD －1 ＝ AD － （ A 1＋ AD ）＝3 AD3A 1A∴ EF ＝ EA ＋ AF ＝3 AD3AA13 AB3A D3A题型二共线定理应用向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b ，化简得出 a ＝b ，从而得出 a ∥ b ，即a 与b 共线．→ →点共线问题 ：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A 、B 、C 三点共线，即证明AB 与 AC 共线．a ⊥b? a ·b ＝0? a 1b 1＋ a 2b 2＋ a 3b 3＝ 0(a ， b 均为非零向量a ∥b? a ＝ λb? a 1＝ λb 1，a 2 ＝λb 2， a 3＝ λb 3(λ∈ R)，→→例 3：如图所示，四边形 ABCD ， ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是 AC ， BF 的中点，判断 CE 与 MN是否共线？uur uur uur CE CB BE∵uuur uuur uuruuur1 uuur uur 1 uur uur1 uuur uur uur 1 uur1 uur1 uurMNMCCBBNAC CB2( BA BE)2( AC BA) CBBECBBE2222→ → → → → →∴ CE ＝ 2MN ，∴ CE ∥MN ，即 CE 与MN 共线．→→→例 4：如图所示，在正方体ABCD － A 1 B 1C 1D 1 中， E 在 A 1D 1 上，且 A 1E ＝ 2ED 1， F 在对角线 A 1C 上，且 A 1F ＝ 2F C .3求证： E ， F ， B 三点共线．→→→证明： 设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c.→→ → ＝ 2 →→→→ → → → →∴ A 1 ＝ 2ED 1=2 1 ＝2 FC ＝ 212 (AC －AA 1 2 (AB ＋ AD － AA 1 2 2 2 c35 3 3 5 55 5 5 → → → 2 4 2 2 2 → → → → 2 2 ＝ A 1 － A 1 ＝ ＝EA 1＋ A 1 ＋ AB ＝－∴ E F 5a － 15b －5c ＝ 5a － b － c3b －c ＋ a ＝ a －3b － c ， F E 3 ， EBA →→2∴ EF ＝ 5EB.所以 E ， F ， B 三点共线．题型三共面定理应用→→点共面问题 ：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明→ → → → → → →P 、A 、B 、 C 四点共面，只要能证明 → → PA ＝ xPB＋ yPC ，或对空间任一点 O ，有 OP ＝OA ＋ xPB ＋ yPC 或 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC(x ＋y ＋ z ＝ 1)即可→2→→→例 5：已知 A 、 B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点 O ，若 OP ＝125OA ＋ OB ＋ OC ，则点 P 是否与 A 、 B 、C55一定共面？试说明理由．1 uur2 uuuruuur uur 1uuur 2 uur1 uur2 uuuruuur 2 uur2 uuur uur 2 uuur uuur 解析： ∵ OPOAOBOC5 (OP+PA)(OP+PB)3(OP+ PC)=OP+ PA+PB+PC5 5 3 55 5 3→→→12∴ AP ＝ 5AB ＋ 5AC ，故 A 、 B 、C 、 P 四点共面 .例 6：如图所示，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点 E 、F 、 G 、H 分别为△ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长 PE 、 PF 、 PG 、 PH 交对边于 M 、 N 、 Q 、 R.∵ E 、 F 、 G 、H 分别是所在三角形的重心，∴ M 、 N 、 Q 、 R 为所在边的中点→ → →→ →→ →→顺次连结 M 、 N 、 Q 、 R ，所得四边形为平行四边形，且有222 2PE ＝ PM， PF ＝ PN，PG ＝ PQ ， PH ＝ PR.333 3→ → → 2 →2 → 2 →2 → → 2 → → 2 → → 23 → 3 → 2 3 → 3 → ∴ EG ＝PG － PE ＝ PQ －PM ＝ MQ ＝ ( MN ＋ MR)＝ (PN － PM)＋ (PR － PM)＝( PF － PE)＋ ( PH － 2 PE)3333333 223 2→ →＝ EF ＋ EH . ∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面 .→ → →例 7：正方体 ABCD － A 1 B 1C 1 D 1 中， E ， F 分别是 BB 1 和 A 1D 1 的中点，求证向量 A 1B ， B 1C ， EF 是共面向量．→→→→ → → → →→→ → →＝1 － A ＋ 1 ＝ 1 ＋BC ＝ 1－ A 证明： 如图所示， EF ＝ EB ＋ BA ＋ A(B 1B )－A 1B 1B.2 222→ → →由向量共面的充要条件知A 1B ，B 1C ， EF 是共面向量．题型四 空间向量数量积的应用例 8：①如图所示，平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 60°.(1) 求 AC 1 的长；(2) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值．解析： → → →(1)记 AB ＝ a ，AD ＝ b ，AA 1＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1，〈 a ，b 〉＝〈 b ，c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60°， ∴ a ·b ＝ b ·c ＝ c ·a ＝ 1.2→2(a ·b ＋ b ·c ＋ c ·a)＝ 1＋ 1＋ 1＋ 2×1 1 1→|＝ 6，|AC 1|2＝ ( a ＋ b ＋ c)2＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋2 ＋ ＋2＝ 6， ∴ |AC 12即 AC 1 的长为 6. → → → (2)BD 1＝ b ＋ c － a ， AC ＝ a ＋ b ，∴ |BD 1|＝→ → → → 6 BD ·AC∴ cos 〈BD 1，AC 〉＝ 1＝ 6 .∴ AC → → |BD 1||AC|→ → →2， |AC|＝ 3， BD 1·AC ＝ (b ＋ c － a) ·(a ＋ b)＝ b 2－ a 2＋ a ·＋cb ·＝c 1. 6 与 BD 1 夹角的余弦值为6 .→ →②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F分别是BC 、AD的中点，则AE ·AF 的值为()2A ．a B.1a 22C.1a 24D.3a 24→→ →解析： 设 AB ＝ a ， AC ＝ b ，AD ＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ a ，且 a ， b ， c 三向量两两夹角为 60°.→→ → →1 1 1 1 1 1 1AE ＝(a ＋ b)， AF ＝ c ，∴ AE ·AF ＝(a ＋ b) ·c ＝ (a ·c ＋ b ·c)＝ (a 2cos60°＋ a 2cos60 °)＝ a 2.22 2 2 4 4 4题型五 空间向量坐标运算例 9：如图所示， PD 垂直于正方形→ →3 ABCD 所在平面， AB ＝ 2， E 为 PB 的中点， cos 〈 DP ， AE 〉＝，若以 DA ，3DC ， DP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为 ()A ． (1,1,1) B. 1， 1， 1 C. 1， 1， 3D ． (1,1,2)2 2设 PD ＝ a (a>0) ，则 A(2,0,0) ， B(2,2,0) ，P(0,0， a)， E 1， 1，a2 ，→ → a → →3， ∴ a 2 2＋ a 2 3， ∴ a ＝ 2.∴ E 的坐标为 (1,1,1) ．∴ DP ＝ (0,0， a)， AE ＝ － 1， 1，2 ， cos 〈DP ， AE 〉＝3＝ a 4 ·23例 10：已知 a ＝ (2，－ 1,3)， b ＝(－ 1,4，－ 2)，c ＝ (7,5， λ)．若 a ， b ， c 三向量共面，则实数 λ=________________33 t ＝ 7，7＝ 2t － μ，17，解析：由题意得 c ＝ ta ＋ μb ＝(2t － μ，－ t ＋ 4μ， 3t － 2μ)，∴ 5＝－ t ＋4μ，∴ μ＝7λ＝3t －2μ. 65λ＝ 7.例 11：已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1) ， B(2,2,2) ， C(3,2,4) ，试求△ ABC 的面积→→→→→ →AB ＝(1,1,1) ， AC ＝ (2,1,3) ， |AB|＝ 3， |AC|＝ 14， AB ·AC ＝ 2＋1＋ 3＝ 6，→ → 6 6 36＝ 1∴ cosA ＝ cos 〈 AB ， AC 〉＝ ＝ .∴ sinA ＝ 1－ .3· 14 42 427→ → 1 1 61 ＝ × 3× 14× ＝∴ S △ABC ＝ |AB| |AC ·| sinA · 27.2 2例 12：已知 a ＝ (λ＋ 1,0,2)， b ＝(6,2μ－ 1,2λ)，若 a ∥ b ，则 λ与 μ的值可以是 ()A ． 2，1B ．－ 1，1C ．－ 3,2D ． 2,223 2λ＋ 1＝ 2 ，λ＝ 2，λ＝－ 3，解析 由题意知：62λ解得1或 12μ－ 1＝ 0，μ＝2μ＝2.例 13：已知空间中三点→ →A(－ 2,0,2) ， B(－ 1,1,2) ， C(－3,0,4) ，设 a ＝ AB ， b ＝ AC.，若 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，求实数 k 的值．方法一 ∵ ka ＋b ＝ (k － 1，k,2) ．ka － 2b ＝ (k ＋2， k ，－ 4)，且 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，∴ (k － 1， k,2) ·(k ＋ 2， k ，－ 4)＝ (k － 1)(k ＋ 2)＋ k 2－ 8＝ 0， ∴ k ＝2 或－ 5， 2方法二由 (2) 知 |a|＝ 2，|b|＝ 5，a ·b ＝－ 1，∴( ka ＋b) ·(ka － 2b)＝ k 2a 2－ ka ·b － 2b 2＝ 2k25 ＋ k － 10＝ 0，得 k ＝2 或－ .2例 14：已知空间三点 A (0,2,3)， B (－ 2,1,6)，C(1，－ 1,5)．→ →(1)求以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积；(2)若 |a|＝ → →3，且 a 分别与 AB ， AC 垂直，求向量 a 的坐标．→ → － 2＋ 3＋67 1 → →3→ →AB ·AC解 (1)cos 〈 AB ， AC 〉＝ → →＝14× 14 ＝ 14＝2.∴ sin 〈AB ， AC 〉＝2，|AB||AC|→ →1 → → → → 3 3.∴ 以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积为S ＝ 2× |AB | |AC ·| ·sin 〈 AB ， AC 〉＝ 14×＝ 7 22x 2＋ y 2＋z 2＝ 3x ＝1 x ＝－ 1（ 2）设 a ＝ (x ， y ，z)，由题意得 － 2x － y ＋ 3z ＝0 ，解得y ＝ 1 或 y ＝－ 1 ，x － 3y ＋ 2z ＝ 0z ＝ 1z ＝－ 12 1例 15：如图所示， 在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别在 A 1D 、AC 上，且 A 1E ＝ A 1D ，AF ＝ AC ，则 ()3 3A ． EF 至多与 A 1D 、 AC 之一垂直B ． EF 与 A 1D 、 AC 都垂直 C ．EF 与 BD 1 相交D ． EF 与 BD 1 异面解析： 设 AB ＝1，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 1 所在直线为z 轴建立空间直角坐标11 2 1 →系，则 A 1(1,0,1) ，D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，E 3， 0，3 ，F3，3， 0 ， B(1,1,0) ，D 1 (0,0,1) ，A 1D ＝(－ 1,0，－ 1)，→ → 1 11 → →1 → → → → →AC ＝ (－ 1,1,0)，EF ＝ 3， 3，－3，BD 1＝(－1，－1，1)，EF＝－3BD 1，A 1D ·EF ＝AC ·EF ＝0，从而EF∥BD 1，EF⊥ A 1D，EF ⊥ AC.→ →例 16：已知 O(0,0,0)， A (1,2,3) ， B(2,1,2) ， P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ·QB 取最小值时，点 Q 的坐标是 __________．→ → → →解析： 设 OQ ＝λOP ＝ (λ， λ， 2λ)，则 QA ＝ (1－ λ，2－ λ， 3－ 2λ)， QB ＝ (2－ λ， 1－ λ，2－ 2λ)．→ →42∴ QA ·QB ＝ (1－ λ)(2－ λ)＋ (2－ λ)(1 － λ)＋ (3－2λ)(2－ 2λ)＝ 6λ2－ 16λ＋ 10＝6( λ－ 3)2－ 3.→ → →4 4 8 4 2∴当 λ＝3时， QA ·QB 取最小值为－ 3.此时， OQ ＝ ( 3， 3，3)，综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确 的所有命题的序号为 __________．．．．①若 A 、 B 、 C 、D 是空间任意四点，则有 → → → → ＝ 0； ② |a|－ |b|＝ |a ＋ b|是 a 、 b 共线的充要条件；AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA ③若 a 、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；④对空间任意一点 → → → →O 与不共线的三点 A 、 B 、 C ，若 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC (x 、 y 、z ∈ R )，则 P 、 A 、 B 、C 四点共 面． ⑤设命题 p ： a ， b ， c 是三个非零向量；命题q ： { a ， b ， c} 为空间的一个基底，则命题 p 是命题 q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a 、b 同向时，应有 | a | ＋ | | ＝| ＋ | ；③中 a 、ba bb 所在直线可能重合；④中需满足x ＋ y ＋ z ＝ 1，才有 P 、 A 、B 、 C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是 ( ) ①若 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面； ②若 p 与 a ，b 共面，则 p ＝ xa ＋yb ；→ → →→ → → ③若 MP ＝ xMA ＋ yMB ，则 P ， M ， A 、 B 共面； ④若 P ， M ， A ， B 共面，则 MP ＝ xMA ＋ yMB. A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 解析 其中 ①③ 为真命题． ② 中，若 a ， b 共线，则 p ≠xa ＋ yb ；→ → → 3、已知 A(1,0,0)， B(0，－ 1,1)，OA ＋ λOB 与 OB 的夹角为 120°，则 λ的值为 ()6 6 6A ． ±6 B. 6 C ．－ 6 D ． ± 6→ → λ＋ λ 1 666 解析： OA ＋ λOB ＝ (1，－ λ，λ)，cos120°＝ ，得 λ＝ ±不合题意， 舍去， ∴ λ＝－＝－ 2 6.经检验 λ＝66 .1＋ 22λ· 24、 如图所示，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝ 120 °，PA ＝ AB ＝ BC ＝6，则 PC 等于( )A ．6 2B ． 6C ．12D ． 144→ 2→ → → 2→ 2 → 2 → 2→ →→解析 PC ＝ (PA ＋ AB ＋ BC) =PA ＋ AB ＋ BC ＋ 2AB ·BC ＝36＋ 36 ＋36＋ 2× 36cos 60 °＝ 144∴ |PC |＝ 12→→ →→ → → → 3 → 1 311c ， 证明 设 AB ＝ a ，AC ＝b ， AD ＝ c ，则 BG ＝ BA ＋ AG ＝ BA ＋ AM ＝－ a ＋ (a ＋ b ＋ c)＝－4 a ＋ b ＋ → → → → 1 → →11 4 → 444 4→ →，即 B 、G 、N 三点共线．BN ＝ BA ＋ AN ＝ BA ＋ (AC ＋ AD )＝－ a ＋b ＋c ＝ BG.∴ BN ∥BG33335、正方体 ABCD — A 1B 1C→ 1 →→1D 1 的棱长为 a ，点 M 在 AC 1 上且 AM ＝ MC 1， N 为 B 1B 的中点，则 |MN |为 ()2A.21 6 aB.6 6 aC.15 6 aD.15 3a解析以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则 A(a,0,0)，C 1a ， a ，a2.(0，a ，a)，N设 M(x ， y ， z)． ∵ 点 M 在 AC 1 → 1 →1上且 AM ＝MC 1， ∴ (x －a ， y ， z)＝ (－ x ， a － y ， a － z)222 a a 2a a a， ∴→2 a2＋a － a 2＝ 21∴ x ＝ a ，y ＝ ， z ＝ .∴M， ， 3|MN |＝a － a 2＋ a －3 2 3 a.3333336π→→6、如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝ OC ，且∠ AOB ＝∠ AOC ＝ 3，则 cos 〈 OA ， BC 〉的值为 ()1 32A ． 0B. 2C. 2D. 2解析→ → →π设 OA ＝ a ，OB ＝ b ， OC ＝ c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈 a ，c 〉＝ ，且 |b|＝ |c|，1 13→ →→ →OA ·BC ＝ a ·(c － b)＝a ·c － a ·b ＝ |a||c|－ |a||b|＝ 0，∴ cos 〈 OA ， BC 〉＝ 0.227、如图所示，在平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1→ → →的交点．若 AB ＝a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则下列→)向量中与 BM 相等的向量是 (．1 1 1 11 1 1 1A － 2a ＋ 2b ＋ c B. 2a ＋2b ＋ c C ．－ 2a － 2b ＋c D. 2a － 2b ＋ c解析 →→→→ 1 → →1 (b － a)＝－ 1 a ＋ 1 b ＋c. BM ＝ BB 1＋ B 1M ＝ AA 1＋ (AD － AB)＝ c ＋2 22 28、平行六面体 → → → 60°，且 →→ → ABCD － A 1B 1 C 1D 1 中，向量 AB ，AD ，AA 1两两的夹角均为 |AB|＝ 1，|AD|＝ 2，|AA 1|＝3，则 → )[|AC 1|等于 ( A ．5 B ． 6 C ．4 D ． 8 → → → → → →设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则 AC 1＝ a ＋ b ＋ c ， AC 12＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2a ·＋b 2b ·＋c 2c ·＝a 25， |AC 1|＝ 5.9、在下列条件中，使 M 与 A 、 B 、 C 一定共面的是 ( )→→→ → →→ → →→ → →→→ →→A. OM ＝ 3OA － 2OB － OC B ．OM ＋OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0C ． MA ＋ MB ＋ MC ＝ 0D ．OM ＝1OB － OA ＋1OC42→ → →解析：C 中 MA ＝－ MB － MC .故 M 、 A 、 B 、C 四点共面．二、填空题10、同时垂直于 a ＝ (2,2,1) 和 b ＝ (4,5,3) 的单位向量是 ____________________ ．解析 设与 a ＝(2,2,1) 和 b ＝(4,5,3) 同时垂直 b 单位向量是 c ＝ (p ， q ，r )，则11p 2＋ q 2＋ r 2＝ 1，p ＝3，p ＝－ 3，2，2，1，－ 2， 2或 － 1， 2，－ 22p ＋ 2q ＋ r ＝ 0， 解得或所求向量为q ＝－ 3q ＝ 33 3 3 3 3 3 .4p ＋ 5q ＋ 3r ＝0，2，2，r ＝ 3r ＝－ 311． 若向量 a ＝ (1，λ， 2)， b ＝ (2，－ 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 8，则 λ＝ ________.9解析 由已知得 8 a ·b ＝ 2－ λ＋ 4 ， ∴ 8 2－λ)，解得 λ＝－ 2 或 λ＝ 2 .＝5＋ λ＝3(655212． 在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)、 B(10，－ 1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为 ________．解析 由题意知 → → → →AB ·AC ＝ 0， |AB|＝ |AC|，可解得 x ＝ 2.13． 已知 a ＋3b 与 7a －5b 垂直，且 a － 4b 与 7a －2b 垂直，则〈 a ， b 〉＝ ________.解析 由条件知 (a ＋ 3b) ·(7a － 5b)＝ 7|a|2＋ 16a ·b － 15|b|2＝ 0，及 (a －4b) ·(7a －2b)＝ 7|a|2＋ 8|b|2－ 30a ·b ＝0.1两式相减，得 46a ·b ＝ 23|b|2，∴ a ·b ＝ |b|2.21代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝ |b|.∴ cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b2|b|21＝ 2 ＝.∴ 〈a ， b 〉＝ 60°.|a||b| |b| 2π， 2， ⊥ ， ⊥ ， 在平面 内， 在 上， 14. 如图所示，已知二面角 α— l — β的平面角为 0AB BC BC CD AB BC l θ θ βCD 在平面 α内，若 AB ＝ BC ＝ CD ＝ 1，则 AD 的长为 ________．→→ → →2=→→→→ →→ →→ →π－ θ＝) 3－ 2cos θ.解析 :AD 2＝ (AB ＋ BC ＋CD ) AB 2＋ BC 2＋ CD 2＋ 2AB ·CD ＋ 2AB ·BC ＋ 2BC ·CD ＝ 1＋ 1＋ 1＋2cos(15． 已知 a ＝(1－ t,1－ t ， t)， b ＝(2， t ，t)，则 |b － a|的最小值为 ________．19 1 3 5解析 b －a ＝ (1＋ t,2t － 1,0)，∴ |b －a|＝1＋ t 2＋ 2t － 1 2＝5 t －5 2＋ 5 ，∴当 t ＝ 5 时，|b －a|取得最小值 5.三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， P 是 CA 1 的中点， M 是 CD 1 的中点， N 是→ → →C 1D 1 的中点，点 Q 在 CA 1 上，且 CQ ∶QA 1＝ 4∶ 1，设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，AA 1＝ c ，用基底 { a ， b ， c} 表示以下向量：→ → → → (1)AP ； (2) AM ； (3)AN ； (4) AQ.→ 1 → →1 → →→1(a ＋ b ＋ c)．(1) AP ＝ (AC ＋ AA1)＝ (AB ＋AD ＋ AA1)＝ 222→＝1→→1→→→1(2) AM＋ AD＋ 2AD＋AA222→ 1 →→1→ →→→ → 1 →→→11a＋ b＋ c.(3) AN＝(AC1＋ AD1)＝[( AB＋ AD ＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝(AB＋2AD＋2AA1)＝(a＋ 2b＋2c)＝22222→ → → → 4 →→1 → 4 → 1 → 1 → 4 → 114(4) AQ＝ AC＋CQ＝ AC＋(AA1－AC)＝ AC ＋ AA 1＝AB＋AD ＋ AA1＝a＋ b＋ c55555555517、如图，已知M、 N 分别为四面体ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且G 为 AM 上一点，且GM ∶GA＝ 1∶ 3.求证： B、 G、 N 三点共线．18． (13 分 )直三棱柱ABC—A′ B′ C′中，AC＝ BC＝ AA′，∠ ACB＝ 90°，D 、E 分别为 AB 、BB′的中点．(1)求证： CE⊥ A′D ；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．→→→(1)证明：设 CA＝ a，CB＝b，CC′＝c，根据题意， |a|＝ |b|＝ |c|且 a·b＝b·c→1→11→→11→ →，即∴ CE＝ b＋ c， A′ D＝－ c＋b－a.∴CE· A′ D＝－c2＋b2＝ 0，∴ CE⊥A′D22222＝c·a＝ 0. CE⊥A′D.→→→5→→112＝12，(2) AC′＝－ a＋ c，∴ |AC′|＝2|a|， |CE|＝|a |.AC′· CE＝ (－ a＋ c) ·c2 12222→→2|a|＝1010∴ cos〈 AC′，CE〉＝510.即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为10.2·2 |a|2。
word完整版选修2 1 第三章 空间向量及其运算知识点推荐文档
3.1 空间向量及其运算知识点1.空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.⑵单位向量：模为1的向量称为单位向量⑶相等向量：方向相同且模相等的向量.⑷共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量. ⑸共面向量：平行于同一个平面的向量.2•空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuu uuu uuuu uuuu uuuuu OA n = OA + AA+ AA+ + A n —A •运算律：①加法交换律： a + b = b + a②加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)③数乘分配律：入(+ b)=入a 入b.3. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1) 共线向量定理对空间任意两个向量 a , b(b ^ 0), a// b 的充要条件是存在实数 人使得a =入b推论：|点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数人使得 uuu AP uuuAB ①uuu uuruur 或对空间任意一点 O,有 OP OAAB ②urn uuruur或对空间任意一点 O , 有OP xOAyOB 其中x + y = 1 ③uur uururn uir uuu uuu uur uur【推论③推导过程: OP OA AB OA (AO OB) (1)OA OB(2) 共面向量定理如果两个向量a , b 不共线，那么p 与a , b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对 (x,y )使p = xa + yb推论：空间一点P 位于平面 ABC 内的充要条件|是uur uur uuu存在唯一有序实数对 (x,y )使 AP xAB yAC ,urn uir uur uuu或对空间任意一点 O , 有OP OA xAB yACurn uu uur uuu或对空间任意一点 O , 有OP xOA yOB zOC ，其中 x + y + z = 1uuu uur uin uuu uir uuu uuu【推论③推导过程：OP OA xAB yAC (1 x y)OA xOB yOC 】(3) 空间向量基本定理如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组｛x , y , z ｝，使得p = xa + yb + zc基底：把｛a , b , c ｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 4. 空间向量的数量积及运算律 (1) 数量积及相关概念① 两向量的夹角： 已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 0,作OA = a , OB = b ,则/ AOB 叫做向量a 与b 的夹 角，记作〈a , b>,其范围是0<< a , b >< n 若〈a , b 〉=才，则称a 与b 互相垂直，记作a 丄b.② 两向量的数量积： 已知空间两个非零向量 a , b ,向量a , b 的数量积记作a b ,且a b = |a||b|cos <a , b >.⑵空间向量数量积的运算律：①结合律：(扫)b = ?(a b);②交换律：a b= b a;③分配律：a (b+ c)= a b + a c.5. 空间向量的坐标表示及应用设a= (a i, a2, a3), b= (b i, b2, b3)(1) 数量积的坐标运算： a b = a i b i + a2b2 + a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示：a / b? a= b? a1 =入1，a2 =入2，a3=入 3 (入€ R)，a丄b? a b= 0? a1b1+ a2b2+ a3b3= 0(a，b 均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式：|a|= \,'a a = ：：：：;a1+ a2 + a3，a b a1b1 + a2b2 + a3b3cos a’ b|a||b|.'a1+ a2 + a3 • b2+ b2 + b3 •设A(a1，b1，C1)，B(a2，b2，⑵，贝U d AB= |AB|= ：a2—a1 2+b2 —b1 2+ C2 —C1 2.6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤:(1) 适当的选取基底｛a，b，c｝；(2) 用a，b，c表示相关向量；(3) 通过运算完成证明或计算问题.题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.例1:三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是厶ABC的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG 8.T T T 1 T 2 f 1 f 2 f f 1 f 2 1 f f f 1 f 1 T 1 T解析：MG = MA + AG= 2°A+ 3AN = 2OA + §(0N - OA) = ?OA + ^[^(OB + OC) - OA] = -6°A+ 3OB+ 3OC.1 f 1 f 1 f 1 f 1 f+3°B+3°c=3OA+$+3°c.f 1 f f furn uuu uuu uuu 例2:如图所示，ABCD -A1B1C1D1 中, ABCD 是平行四边形.若AE = ?EC, A1F = 2FD，且EF =XAB+yAD+ZAA1 , 试求x、y、z的值.O G = O M + M G=!< F4 ¥%-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1•解连接AF，EF = EA + AF. •/ EA =- ^AC=- - (AB + AD)ffffff1 ff1 ff2uuuAF = AD + DF = AD - FD = AD --A1D = AD -( A1A+ AD) = - AD3 331 uuu f f f1 uuu3A1A : EF= EA+AF= 3AD1 uuu 1 uu u严3AB题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b，化简得出a = b，从而得出a// b，即a与b共线.点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明f fA、B、C三点共线，即证明AB与AC共线.例3:如图所示, 都是平行四边形且不共面, N分别是AC, BF的中点，判断CE与MN 四边形ABCD , ABEF是否共线？A Fuur UlT uurCE CB BE••• uuu uuu uir uuu i uuu-ACuirMN MC CB BN CB2T T T T T T即CE与MN共线.••• CE //MN ,••• CE=2MN ,1 uur2(BAuur i uuuBE) 2(ACuurBA)uir i uur i uir 1 uur CB -BE -CB - BE 2 2 2例4:如图所示，在正方体ABCD —A I B I C I D I中, E在A i D i上，且A i E = 2ED i, F在对角线A i C 上,T T且A i F = 2F C. 求证：E , F , B三点共线.HiT证明：设AB = a,T T T2 2…A i E= 2ED i=§AD = 3b,T TT 2• E F = A i F—A i E= ：a—5TAA i = c.T T T2 2 2TAD = b,TA i F = 3FC = 5A i C=5(ACT T T T2 2 2 2 —AA i)= 5(AB + AD —AA i) = 5a+ ~b —5cT T T T4 2 2 2 2 2—5c=5 a —3b —c , EB= EA i + A i A+ AB = —~b —c+ a= a —3b—c,T T• EF = |E B.所以E, F, B三点共线.题型三共面定理应用T T 点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明PA= xPB T+ yPC,或对空间任一点TTTTTT T T0,有OP = OA + xPB + yPC或0P= xOA + yOB + zOC(x + y + z= 1)即可例5:已知A、B、C三点不共线，对于平面T T T T2 i 2ABC 外一点O,若OP =- OA +-OB + 7OC，则点P 是否与A、B、5 5 5一定共面？试说明理由.uuu 2 uir i uu u解析：••• OP OA -OB5 52 uuru 2OC -3 5uuu uir i uuu uu(OP+PA) —(OP+PB)52 uuu uur uuu 2 uir i uir 2 uuu2(OP+PC)=OP+5PA+5PB+3PC1 2••• AP=^AB + -AC,故A、B、C、P 四点共面•5 5例6:如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△ PAB、△ PBC >△ PCD、△ PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面.A B A M B证明：分别延长PE、PF、PG PH交对边于M N Q R.••• E、F、G H分别是所在三角形的重心，• M、N、Q、R为所在边的中点T TT TT TT T2 2 2 2 顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形，且有PE = §PM , PF = §PN , PG= 3PQ , PH = §PR.TTTTTT T T T T T T T T T T 2222 2 2 23 3 23 3• EG= PG —PE = 3PQ —3PM = 3MQ = 3(MN+ MR) = §(PN —PM) + §(PR—PM) = 3(^PF —°PE) + 3(?PH —^PE) T T=EF + EH. •••由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.T T T例7:正方体ABCD —A1B1C1D1中，E, F分别是BB1和A1D1的中点，求证向量A1B, B1C, EF是共面向量.T T T T T T T TTT~T 1 —T 1 1 1证明：如图所示，EF = EB + BA1 + A1F =尹1B —"B + 尹心1 = ?(B1B + BC) —A1B =尹£一A^.T T T由向量共面的充要条件知A1B, BQ, EF是共面向量.题型四空间向量数量积的应用例8:①如图所示，平行六面体ABCD —A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解析：(1)记AB = a, AD = b, AA1 = c,则|a|= |b|= |c|= 1,〈a, b〉=〈b, c〉=〈c , a〉= 60°,•ab = b •= c a= 72'|AC1|2= (a+ b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2(a b+ b c+ c a) = 1+ 1+ 1 + 2 x 丁+ *+ * = 6, •• |AC1|= ,'6, 即AC1的长为叮6.(2)BD1 = b+ c—a, AC= a+ b, •• |B D1|= 2, |AC|= . 3, B D1 AC = (b + c—a) (a+ b)= b2—a2+ a c+ b c= 1.•cos〈B D1, AC> = BD1管=#••• AC与BD1夹角的余弦值为卡.|BD1||AC|例10:已知a = (2 , — 1,3) , b = (— 1,4 , — 2) , c = (7,5 ,从若a , b , c 三向量共面，则实数7 = 2t —仏解析：由题意得 c = ta + Q = (2t — (1, — t + 4(1, 3t — 2" , • 5 =— t + 4(i, 入=3t — 2 i例 11:已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1) , B(2,2,2) , C(3,2,4),试求△ ABC 的面积TTTTT TAB = (1,1,1) , AC = (2,1,3) , |AB|= 3 , |AC|=、14 , AB AC = 2+ 1 + 3= 6 , • 8訊=8S < AB , AC 〉=^4=±, sinA = 1 —脊=亡•- S ^ABC = 1|AB| |AC| 前人=击=老例12：已知a =( + 1,0,2) , b= (6,2 3— 1,2为,若a / b ，则 入与 3的值可以是( )1 A .2 , 2 1 1B .—3, 2C . — 3,2D . 2,2+ 1 2 =2 , 匸一 3 ,解析由题意知：6= 2入，解得1或12 厂 1 = 0 ,3= 2尸2例 13:已知空间中三点 A( — 2,0,2), B(- 1,1,2), C(-3,0,4)，设 a = AB , b = AC.，若 ka + b 与 ka - 2b 互相垂直，ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE1 2 C.4a 2D. 43a 2 4T设AB = a , TAC = b , AD = c ,则|a|= |b|= |c|= a ，且a , b , c 三向量两两夹角为TT1 1AE = 2(a + b), AF = 2c ,^ AE1 11 12 2 1 2 AF = 2(a + b) g c = &(a c+ b c )= ^(a 2cos60 + a 2cos60 ) = 4a 2.题型五 空间向量坐标运算例9:如图所示，PD 垂直于正方形1,AF 的值为（ ）60°ABCD 所在平面，AB = 2 , E 为PB 的中点，cos < DP , Al 〉=匚3,若以DA , 3y , z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为（）C. 1 1 31 ? 1? n(1,1,2)设 PD = a (a>0)，则 A(2,0,0), ••• DP = (0,0, a), A E = — 1,B(2,2,0), P(0,0, a), E 1, 1, 1, 2 , cos < DP , Al 〉-—••• a = 2. A E 的坐标为(1,1,1).17 "=7 , 65 入=65.②已知空间四边形 O1 ODC , DP 所在直线分别为 B. 1, 33求实数k的值.方法一一ka+ b = (k—1, k,2). ka —2b= (k+ 2, k, —4)，且ka + b 与ka —2b 互相垂直，5 •••(k—1, k,2) (k+ 2, k,—4) = (k—1)(k+ 2)+ k2—8= 0, /. k= 2 或一2，5 方法二由⑵知|a|=Q2,卜| =半,a b=—1, • (ka + b) (ka —2b) = k2a2—ka b—2b2= 2k2+ k—10= 0,得k= 2 或一|.例14:已知空间三点A(0,2,3), B( —2,1,6), C(1 , —1,5).(1)求以AB, AC为边的平行四边形的面积；⑵若|a|= ,'3，且a分别与AB, AC垂直，求向量a的坐标.窑亡AB AC —2 + 3+ 67 1 T'3解⑴cos〈AB, AC〉=甌=^T孑“sin AB, AC〉= 2,•••以A B, AC为边的平行四边形的面积为S= 2X 2|AB| I A C| sin〈AB, AC> =14X-^= 7 3x2+ y2+ z2= 3 x= 1 x=— 1(2) 设a= (x, y, z)，由题意得—2x—y+ 3z= 0 ，解得y= 1 或y=—1 ,x —3y+ 2z= 0 z= 1 z=—12 1例15:如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E= 3A1D, AF = 3AC ,则()3 3A. EF至多与A1D、AC之一垂直 B . EF与A1D、AC都垂直C . EF与BD 1相交D . EF与BD 1异面解析：设AB = 1,以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 1所在直线为z轴建立空间直角坐标1 12 1 T系，贝V A1(1,0,1), D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E 3, 0, 3 , F 3 , - , 0, B(1,1,0) , D1(0,0,1) , A1D = (—1,0 , —1), AC= (—1,1,0) , EF = £, £, —3 , BD 1= (—1 , —1 , 1) , EF = —^BD1 , A1D EF = AC EF = 0,从而EF // BD1 , EF 丄A1D , EF 丄AC.1 1例16:已知0(0,0,0) , A(1,2,3) , B(2,1,2), P(1,1,2),点Q在直线OP上运动，当QA QB取最小值时，点Q的坐标是.解析：设OQ = QP =(人人2为,则QA = (1 —人2—入3—2为,QB= (2 —入1 —入2 —2为.4 2二 QA QB = (1—为(2 -为+ (2-片(1 -入 + (3-2 2)(2- 2 为=6 泵一16 H 10 = 6( 1 -)2-石.3 3 二当X= 4时，QA QB 取最小值为一3.此时，0Q = (；, 3，3)，综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确.的所有命题的序号为 _____________ • ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB + B C + CD + DA = 0;②|a|—|b|=|a + b|是a 、b 共线的充要条件；③ 若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④ 对空间任意一点 0与不共线的三点 A 、B 、C ,若OP = xOA + yOB + zOC （x 、y 、z € R ）,贝U P 、A 、B 、C 四点共 面.⑤ 设命题p : a , b , c 是三个非零向量；命题 q : {a , b , c}为空间的一个基底，则命题 p 是命题q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当 a 、b 同向时，应有| a | + | b | = | a + b | ;③中a 、 b 所在直线可能重合；④中需满足 x + y + z = 1,才有P 、A 、B C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作 为空间的一个基底，应改为必要不充分条件3、已知A(1,0,0), B(0,- 1,1), OA + QB 与OB 的夹角为120°则入的值为()A . ±66B<66C .-普D . ±64、 如图所示，已知 PA 丄平面 ABC , / ABC = 120 ° ° PA = AB = BC = 6,贝U PC 等于 ()A . 6 . ' 2B . 6C . 12D . 144r七 f f f f f f f f ff飞 解析 PC 2= (PA + AB + BC) 2=PA 2 + AB 2+ BC 2+ 2AB BC = 36 + 36 + 36 + 2 X 36cos 60 = 144/• |PC|= 12 证明 设AB = a , AC = b , AD = c ,则 BG = BA + AG = BA + 3AM = - a + ~(a + b + c)=- 3a +7b +^c ,4 4' ' 4 4 4BN = B A +AN = B A +*AC + AD)=- a +^b + fc =|BG .••• B N // BG ，即 B 、G 、N 三点共线.5、正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为 a ,点 M 在AC 1上且AM = ?MC 1, N 为B 1B 的中点，贝U |MN|为（ ）2、有下列命题：其中真命题的个数是 （ ）①若p = xa + yb ,贝U p 与a , b 共面；③若 MlP = xMA + yMIB ，贝U P , M , A 、B 共面； A . 1 B . 2 C . 3解析 其中①③为真命题.②中，若a , b 共线,②若p 与a , b 共面，则p = xa + yb ；④若 P , M , A , B 共面，则 MP = xMA + yMIB. D . 4贝U p 孜a + yb ；ff解析：OA + ?OB = (1 ,-入 2,cos120°H 入 .1+ 2* • 21，得匕±[.经检验X= 不合题意，舍去, 2 6 6解析 设与a = (2,2,1)和b = (4,5,3)同时垂直b 单位向量是c = (p , q , r)，则 B<66a7、如图所示,在平行六面体ABCD — A i B i C i D i 中， M 为 A i C i 与 B i D i的交点.若AB = a , AD = b , AA i = c ,则下歹U向量中与B M 相等的向量是 ( )i ii ii ii iA . — 2a + 2b + cB.2a + 尹+ c C .— 尹—2b + c D.2a — 2b + c解析 BM = BB i + B I M = AA i + |(AD — AB )= c + *(b — a) = — 2a + 2b + c.。
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空间向量的有关概念和公式
概念
空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间
如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。
坐标表示
， , ．
运算
则 ， ，
， ，
定比分点公式
设点P分有向线段 所成的比为λ，即 ＝λ ，
， ， （ ）
中点公式： ， ，
空间向量的应用（1）
方法分类
图形
1、求平面 的法向量
若 ， ，
是平面 的法向量，
则
（取 ，得到其中的一组解：
而 常取简单整数）
2、证明线面平行
设 是平面 的法向量， ，则：
3、证明面面垂直
设 分别是平面 的法向量,则：
4、求两条异面直线间的距离
先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设 、 是异面直线， 是 、 的公共法向量，点 ，则异面直线 、 之间的距离
5、求点到平面的距离
设 为平面 外一点，点 为平面 内的任一点，平面 的法向量为 ，过点 作平面 的垂线 ，记 ，则点 到平面 的距离：
因此，点 到平面 的距离：
空间向量的应用（2）
方法
图形
6、求直线和直线所成的角
若直线 所成的角是 ，
7、求直线和平面所成的角
已知 为平面 的一条斜线， 为平面 的一个法向量，过 作平面 的垂线 ，连结 ，则 为斜线 和平面 所成的角，记为 ，易得
三角形重心公式： ， ，
模
， ，则 =
= ； = ； = ; =
平行
，
（或 = = ）
垂直
．（ ）
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空间向量及其运算1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 .⑵向量一般用有向线段表示■同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b ; BA OA OB a b; OP a(R)运算律：⑴加法交换律：abb aD' ----------------- .C'⑵加法结合律：（a b） c a(b c)J /f /.⑶数乘分配律：（a b）a b，A'.a ---------- .B'i * 3•平行六面体：C4 1 1I平行四边形ABCD平移向量a到A BCD的轨迹所形成的几何体，D ----------------------------------- C叫做平行六面体，并记作：ABCD- A B CD •它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱一A B4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b = ^a.要注意其中对向量a的非零要求.5，共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a〃b .当我们说向量a、b共线（或a// b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.6.共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b丰0 ）, a// b的充要条件是存在实数入使a=Ab .推论：如果I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点0,点P在直线|上的充要条件是存在实数t满足等式OP 0A t a•其中向量a叫做直线I的方向向量.空间直线的向量参数表示式：tOB ,OP 0A t a或OP 0A t（OB 0A）（1 t）OA一，1 ——一中点公式.OP -（0A OB）2uuu rr7.向量与平面平行：已知平面和向量a，作OA a , 如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a〃•通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的•r&共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量r r r r ra,b共面的充要条件是存在实数x, y使p xa yb ■推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x,y ,使uju uuur uuir uuu uuuu uur uuirMPxMA yMB ①或对空间任一点 O ，有OP OM xMA yMB ② uuu uuu uuu uuuu或 OP xOA yOB zOM ,(x y z 1)③上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式*r9，空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有r序实数组x, y,z ,使p xa yb zC.rr r若三向量a,b,c 不共面，我们把｛^bd ｝叫做空间的一个基底，a,b,C 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设O,代B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x,y,z ,uuu uuu uuu uuir 使 OP xOA yOB zOC +10 .空间向量的夹角及其表示： 则 AOB 叫做向量a, b, a 11.向量的模：设 ;若uuuOAa,，则称a 与b 互相垂直，记作： a b .2则有向线段 OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作:12.向量的数量积: 已知向量 iai .a,b ，则|a | |b | cos a,b 叫做a,b 的数量积，记作 ab ,即|a| |b| cos a,b . uuu r已知向量AB a 和轴 uumr 在I 上的射影B ，则ABuuu uuu r r| A B | | AB | cos a, e 13.空间向量数量积的性质： r r r r r(1) a e | a | cos a, e 14•空间向量数量积运算律： r r b) r 1，e 是1上与1同方向的单位向量，作点A 在1上的射影u A u ,作点B i 上或在e 上的正射影.可以证明A B 的长度 叫做向量 |a e|. uuuAB 在轴 r ■) b 0. (3) |a|(1) ( a) b (a r rr r (3)a (b C )aa (b). ( 2)ab b a (交换律).b ac (分配律)+空间向量的直角坐标及其运算1 •空间直角坐标系： (1) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用｛i, j, k ｝表示；r r r (2) 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底｛i, j,k ｝，以点O 为原点， 分别以i,j,k 的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、y 轴、z 轴，它 们都叫坐标轴•我们称建立了一个空间直角坐标系 向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 2.空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 uuu r rxyz ，点0叫原点，向量 xOy 平面，yOz 平面，r r ri, j,k 都叫坐标zOx 平面；A ，存在唯一的有序实数组 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作(x, y,z)，使r ruju 已知两非零向量 a,b ，在空间任取一点 O ,作OAr r rb 的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,br uuua, OB ,显然有A(x, y,z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标，z 叫竖坐标.常见坐标系① 正方体：如图所示， 选择点D 为原点，DA 、 立空间直角坐标系 D 正方体 ABCD A'B'C'D'的棱长为a ，一般 DC 、DD'所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建 xyz ，则各点坐标为 亦可选A 点为原点•在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 ② 正四面体：如图所示，正四面体 A BCD 的棱长为a ，一般选择 A 在 BCD 上的射影为原点，0C 、OD （或0B ）、OA 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点坐标为 ③ 正四棱锥：如图所示，正四棱锥 P ABCD 的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，0A （或0C ）、0B （或0D ）、0P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点 坐标为 ④ 正三棱柱：如图所示，正三棱柱 ABC A'B'C'的底面边长为a , 高为h ，一般选择AC 中点为原点，0C （或0A ）、0B 、0E （ E 为0 在A'C'上的射影）所在直线分别为 x 轴、 系0 xyz ，则各点坐标为 3.空间向量的直角坐标运算律：（i ） 若 a y 轴、z 轴建立空间直角坐标 (a i (a i aib (a i ,a 2,a 3，b (^,b 2,b 3)，bi,a 2 b 2,a 3 bi,a 2 b 2,a 3 d)， b s ), a i > a 2>a 3)( R)，a 2b 2 a//b a i b 2,a 3R)，a^ a ?b 2 a s bj 1zzC 1/B ID zC:A\ zl\1 \ i l -----Buuu （2）若 A （X i ,y i ,z i ） , B （X 2,y 2,Z 2），则 AB （x 2 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标r r 4 ■模长公式：若a ⑻忌怎）,b （以6,6）,x i , y 2 y i ,Z 2 Z i ) •A2a 2 a 32 , |b | \ b b 、t ^2 b 22b 32•5.夹角公式： cos ：a aib i a 2b 2 asd2 2b 2b3|a| |b|,a i 2 a 22 a 32、bi A(x i ,y i ,z i ) , Bgy zZ ), 6.两点间的距离公式：若UJU /L L U2I ----------------- 2 --------------------- 2 ------------------- 2 则 | AB| \AB J (X 2 X i ) (y 2 y i )亿 z)，或 d A,BX i )2(y 2 y i )2②乙)2空间向量应用一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量uuuA （x i , y i , z i ）与B （x 2, y 2, z 2）确定直线AB 的方向向量是 AB （x 2平面法向量 如果a ，那么向量a 叫做平面 的法向量••在空间直角坐标系中，由X i , y 2 y iZ 乙）.二、证明平行问题 1 •线线平行：证明两直线平行可用 a//b 冃 ba b 2,a 3t 3( R)或 a//ba ? a 32. 线面平行：直线I 的方向向量为3. 面面平行：平面 的法向量为 三、证明垂直问题 &，平面 n ，平面 的法向量为、n u 且1卄 的法向量为n 2，右 n // n 2 即 n 1 r即 a n 0 则 a//.uu n 2 则〃.i .线线垂直：证明两直线垂直可用 a b a i b i a z ba 3b 3 02. 线面垂直：直线I 的方向向量为3. 面面垂直：平面 四、求夹角 的法向量为 u ?,平面 n ，平面 的法向量为％且1的法向量为n 2，若 u 岛〃 n 即a n则arii n 2 即 n, n 2 0 则1.线线夹角：设a 佝,@,a 3)b (bbb) (0,90］为一面直线所成角，贝^： a b |a| |b| cos a,b ; cos a,b|a| |b| a 12.线面夹角：如图，已知PA 为平面 垂线PO ，连结OA 则 PAO 为斜线 uuu unr sin |sin(— OP,AP ) | 2=；cos | cos a,b |. b 3 a ； a 3 ,b 12 的一条斜线，n 为平面 的一个法向量，过P 作平面 的 所成的角，记为 易得 PA 和平面 | cos | cos r uuu r uunn, AP | | cos n, PA 3.面面夹角: ir uu n 、n 2分别是二面角两个半平面 uu uuu uuu OP, AP |r uuu |n PA| -4—tuu- |n ||PA| 的法向量，当法向量 当法向量 五、距离 设 ir n 、n 2同时指向二面角内或二面角外时，二面角 ir uu 厲、n 2 一个指向二面角内， 另一外指向二面角外时， Oir uumm .面角 的大小为的大小为 ir uumm 1.点点距离：设 A(X 1,y 1,w) , B(X 2,y 2,Z 2), d A,B .区 x 1) uuu uu tur ----------------------- -------------- 2~ | AB| x AB AB . (X 2 xj ® %) (z> 対2 %)2亿乙)2乙)2 2.点面距离： 过P 作平面 uuur uuu uuu uuu r | PO | | PA | sin | PA| | cos PA, n | | PA | n 为平面 的一个法向量， 所成的角，记为易得uuu r|PA n| |n|.设两条异面直线a 、b 的任一点，已知 PA 为平面 的一条斜线， 的垂线PO ,连结OA 则 PAO 为斜线PA 和平面 uuu rG UPA 甲|PA| |n| 3. 线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算r 公垂线的方向向量为 n ,这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两 条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线 r uurur uuu n | AB n | .直线a 、b 的距离d |AB 卓| LA B Bn|. |n||n|4.线面距离：一条直线和一个平面平行时， 这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线 到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离 A 为平面 方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值 •公垂线夹在这两个平平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段•公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离。