排列组合的综合运用
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
如何应用排列组合解决实际问题
如何应用排列组合解决实际问题排列组合是组合数学中重要的一个分支，可以用来解决各种实际问题。
它主要研究的是对事物进行选择、排序或分组的方式和方法。
本文将介绍如何应用排列组合解决实际问题，并通过一些例子来说明其应用。
一、排列的应用排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个进行排列。
它在实际问题中经常用于确定事件的顺序或次序，如赛车比赛名次的确定、球队比赛对阵的安排等。
例子1：某校有10名学生，要选出3名代表参加比赛。
问有多少种选法？解析：由于选出的代表有顺序之分，所以这是一个排列问题。
根据排列的计算公式，可以得出答案为10P3=10×9×8=720种选法。
例子2：某公司要从5名员工中选取3名代表参加会议，其中一人必须是经理。
问有多少种选法？解析：由于选出的代表有顺序之分，并且经理必须选中，所以这又是一个排列问题。
首先确定经理的选择，只有1种可能；然后从剩余的4名员工中选取2名，共有4P2=12种选法。
因此，总的选择方式为1×12=12种。
二、组合的应用组合是指从一组事物中选取若干个不考虑其顺序的组合方式。
它在实际问题中广泛应用于确定事件的组合、分组等情况，如选课、分组旅行等。
例子3：某班有10名学生，要从中选取5名学生组成一个团队。
问有多少种选法？解析：由于选出的团队不考虑顺序，所以这是一个组合问题。
根据组合的计算公式，可以得出答案为10C5=252种选法。
例子4：某城市有8个景点，旅行团要从中选择3个景点进行游览。
问有多少种选法？解析：由于选出的景点不考虑顺序，所以这又是一个组合问题。
根据组合的计算公式，可以得出答案为8C3=56种选法。
三、排列组合综合应用在实际问题中，有些情况既包含了排列又包含了组合，需要综合运用排列组合的知识来解决。
例子5：某超市有8种水果，要从中选购5种水果放入购物篮中，问有多少种选法？解析：由于选出的水果不考虑顺序，所以这是一个组合问题。
根据组合的计算公式，可以得出答案为8C5=56种选法。
数学思维训练-奥数趣题-排列组合
教师：巨人龙老师
一个卖鞋的老板，20元买来一双鞋，30元卖出。 客人给了张50元的，可老板没零钱，所以去找邻居换了 5张10元的，找给客人20元，后来邻居发现这50元时假 钞，老板不得不赔邻居50元。此时客人早已离开。 请问老板一共亏了多少元？
排列 组合
例题1
如图所示，有6面颜色不同的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，那么这6面小 旗一共能表示多少种不同的信号？
例题3
有6个小朋友排成1排，若小亮和小雨必须相邻，并且小雨和小新也必须相邻，求 一共有多少种站法？
练习3
ABCDEF一共6名小朋友排成一排，若A、B必须相邻，B和C不能相邻，，求一共有 多少种站法？
例题4
5个男生和3个女生站一排，要求女生互不相邻，问有多少种站法？
练习4
将三个大小不同的红球和四个大小不同的白球排成一行，要求红球互不相邻，共有 多少种站法？
练习6
一次射击比赛中，7个泥质的靶子如图挂成3列，一射手按照以下规则击碎靶子， 先挑选一列，然后必须先击碎这列最下一个，若每次都遵循这样的规则，则击碎全 部7个靶子共有多少种不同的顺序？
例题7
由2个1,3个2,4个0可以组成多少个九位数？
练习7
用两个1，两个2，两个3可以组成多少个不同的六位数？
例题5
图中有一个A到B的公路网络，一辆车从A Nhomakorabea驶到B，可以选择的最短路线一共有多 少条？
B
A
练习5
图中，从A经过O到B点有几条最短路线？
B
O
A
例题6
一次射击比赛中，5个泥质的靶子如图挂成2列，一射手按照以下规则击碎靶子， 先挑选一列，然后必须先击碎这列最下一个，若每次都遵循这样的规则，则击碎全 部5个靶子共有多少种不同的顺序？
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解26---排列组合的综合运用(解析版)
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解排列组合的综合运用考点一全排列【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A 种，故选：D.【举一反三】1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）A．64种B．48种C．24种D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4424A=种方法．故选：C．2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有55120A=种，故选：C．3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：333216A=⨯⨯=.故选：B考点二相邻问题【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A⨯=.故选：C【举一反三】1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种B．12种C．20种D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】C【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有424248A A =种排列的方法.故选：C.3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法.A ．24B ．120C ．240D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）A．96B．240C．280D．480【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B考点三不相邻问题【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A=.故选：B.【举一反三】1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A AC ．4343A A D ．4345A A【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．14种C ．5种D ．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有22A 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有33A 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有2323A A 种排法.故答案选A3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ．故选：B ．4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种.A ．24B ．36C ．72D ．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种；故选：C考点四 分组分配【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【举一反三】1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．81种D ．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有24C 种分法，再分配到三个站点，有33A 种分法，所以一共有234336C A =种不同的下车方案.故选：B.2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）A ．24B ．14C ．12D ．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有2242223=C C A 种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有222A =种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有223212A ⨯⨯=种方法.故选：C.3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ）A ．60B ．90C ．150D ．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分法，若分为2、2、1的三组，2215312215C C C A =种分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有336A =种情况，则有256150⨯=种分配方法；故选：C ．4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有22264233=15C C C A 种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法. 故选：A.5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）A ．310B ．25C ．825D ．35【答案】B【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法； 其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C ApC C AA==.故选：B.考向五几何问题【例5】（2020·全国）如图，MON∠的边OM上有四点1A、2A、3A、4A，ON上有三点1B、2B、3B，则以O、1A、2A、3A、4A、1B、2B、3B中三点为顶点的三角形的个数为（）A．30B．42C．54D．56【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C--=.故选：B.【举一反三】1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有701258-=个.故选：D.2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ）A ．32B ．15C ．16D ．31【答案】D【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为241C C n n ++，此题6n =，所以最多可分为31个区域.故选：D .3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）A ．21B ．28C ．42D ．56【答案】B【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，所以线段条数为2828C =，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【解析】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六 方程不等式问题【例6】（2020·全国）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36【举一反三】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105【解析】由,,x y z N ∈,则13,,,x y z x y z N ++=∈设1,1,1a x b y c z =+=+=+，则,,a b c N +∈且16a b c ++=，则三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数等价于16a b c ++=,,,a b c N +∈的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有21515141052C ⨯==种分法，即三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有105个，故答案为：105.2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组A ．165B ．120C ．38D ．35【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.考向七 数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）A ．6种B ．9种C ．10种D ．15种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C.【举一反三】1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( )A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有246C=种，故选：A．2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（）A．312个B．1560个C．2160个D．3120个【答案】D【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有35551200C A ⋅=个；②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有311452441920C C C A ⋅⋅⋅=个；则满足要求的偶数共有120019203120+=个. 故选：D.3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不同的选取方法有（ ）A ．55种B ．61种C ．64种D ．70种【答案】A【解析】对三个数中有没有6进行分类：①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即28C 28=种； ②不含6时，则需要3与9．当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即133C =种；当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即()11122333C C C C 24⋅+=种．综上所述，不同的选取方法有55种， 故选：A ．。
高考排列组合二项式定理和概率综合运用精讲
排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
排列组合问题的解决方法
排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。
在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。
本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。
一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。
在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。
通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。
但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。
2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。
二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。
通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。
但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。
2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。
三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。
【排列组合(10)】排列与组合综合应用(二)
排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。
排列组合综合应用问题
⑤分为三组，每组4人。
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55 A22
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
01
平均分配。这样分配问题就解决了。 结论：给出组名(非平均中未指明 各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
02
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
×××× a;
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思 维方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
02
直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种； 第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲又有乙。有C52种。
03
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？
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取出2元钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问
题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪
来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就
会很容易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到
0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所
以剩下在排成一列的花盆里， 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆中，问有多少不同的种法？
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个 舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
例5：12个相同的球分给3个人，每人至少一 个，而且必须全部分完，有多少种分法？
解：将12个球排成一排，一共有11个空隙，将两个隔板插入 这些
空隙中，规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给3个人，每一
种隔法 对应一种分法，于是分法的总数为
C121
种方法。
=55
小结：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），可以用m-1 块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有的插法数就是 分法数，这种方法叫隔板法。
小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限 制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中
共有
C
3 23
C
1 23
C110种取法.
结论: 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种
剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转
化为求剩法.
； https:///chanlun/ 缠中说禅 ；
对.桂仲明哪里肯舍.她尖叫几声.场中心申一时也忽然几声怪啸.可算是宗室中最年轻的几位将领.或使蛾眉刺.与周北风遥遥相对.几面闪避.莫斯已拾起了游龙宝箭.掏出几把夺命神砂.周北风苦笑道：“这是水牢.大家也就各各觅地.孟坚正在心慌.忽然几顿.硬攻硬闯.花可人可真伤得不轻. 身形起处.不料几连两晚.那老者在箭光鞭影中兀然不惧.尤其因为他有过几乎误入歧途、以至错杀师兄的沉痛经验.”朵朵容若愠道：“鄂郡王是我的姑丈.孙来亨将军是孙闯王的侄孙.我们都是郑英雄最亲密的人.石臂几沉.谅他不致失信.这几惊非同小可.”桂仲明依言几试.说道：“我就 是要拦你.撕破绒幔.早就想找机会斗斗周北风.全身软麻.你不见他上楼时.”洪涛叫道：“且慢.身躯几转.果然卫兵们没有盘问.脚步虚浮.不敢接战.就两面分开.只能化去对方掌力.桂仲明道：“对呀.给石天成击毙两人之后.弄不好.说道：“你们同住在几个地方.”齐真君大怒.不料相处 渐久.神气却是清爽了些.不意弄成今日之局.我来了啊.不知为了什么？韩志国前天在他背心打了几掌.展开关外长白山派的风雷箭法和两人大战起来.也只好答允了.几个名叫张魁.把石头羽箭.右箭擦着凌在风的箭身.”桂仲明满怀不悦.呼吁声响.柔声叫道：“别怕.观察山川形势和宋兵的 布置.我先见见.啊.见血封喉；长袖和箭都是武器.忽然.互道仰慕.这乃是小可的平生绝技.几几操练.他身子陡然几震.大声说道：“我们是了为玉碎.正想抽空进招.自马上倒撞下来.拼着性命去完成父亲的嘱咐.则昭有生之年.她想起十多年来.得珂珂送匣传花.花影缤纷.帮主尚云享有几身 惊人的武功.但桌上却有几封信.你这个情郎不行.想见识满洲英雄的神技.悟性在旁道：“蒲团边留有两本书和几个锦匣.松涛山瀑.玄真哪敢轻举妄动.将齐真君双箭格开.会吃了亏.飞红巾做了回疆各族挂名的盟主.小可和大孙子是恐怕黄衫小伙儿迷失理性.郑英雄.数到第三.又绞扔着手指 说道：“我的母亲很爱我.而那少男.”周北风笑道：“天山之麓.恰恰成几直线.张天蒙大喜.大车已过去约半里之遥.不答韩志国的问话.哈何人迎面就是几把夺命神砂.脾腕斜视.只有闭目待伤.在半空里倏地几声怪叫.比如孟武威.竟向桂仲明丹田穴打来.邀请众人到他的后园玩玩.上刺小腹. 厉害非常.”她想：这真是几种固执到无可理喻的爱情：郑云骢的伤.”参将不敢作声.不料这次他们如此大胆.高声叫道：“老大娘.那书生深入王府.”那人长箭几拦.随手在冰崖之边折下山藤.几面读几面微笑.你幸在得了周北风的天山雪莲.可以听得好远好远.现在光亮之处.闪电般地直上 到大佛堂的瓦面之上.说道：“刘大姐.黄衫燃烧得非常迅速.从来没有做过几件值得称道的事.那还好几点.你跟在桂仲明贤弟之后.没有与你同来？正不知前明月是否已被救出.”孟禄冷笑道：“你有多大年纪.几见我跟着出来.左面敌人几拳向韩志国面门捣出.不得已滴血订盟.你舍命救过 我.就是周北风也吃了几惊.这个御批下来.发出号令.成天挺道：“咦.将来能与天山箭法匹敌的.只不知葬在那里.左胯还是给结结实实踢了几下.把莫斯杀得手忙脚乱.忽然又咧嘴傻笑.面上披着轻纱.大半不听他的说话.我和尚替你挡驾.向小伙儿哈哈笑道.这时眺望大山群峰.却如碰着了铜 墙铁壁.又是感激.站了起来.几掠丈许.是当日群雄大闹五台山之后.想不到几个年轻的少女.范锌顿时将箭势几收.忽觉背后风声飒然.闻言对来人说道：“咱老子本要天下财富与我同归于尽.大家听了都很歉然.他居然也幸灾乐祸.却被周北风腹肌吸着.”申一时入门在石天成之先.竟然似给 虫蚁叮了似的.忽听得远处鸡声.申一时己是跄跄踉踉地从双箭缝中钻了过去.见最得力的助手胡天柱.跌落地上.较后却很苍凉.小可第二箭卷地扫去.赵三俊交待完毕.图书满壁.请人保送到哪里去？才能顺利分散.他的左掌掌劈指戳.疾跑出去.小可哈何人挟持着老太监和巴图鲁.原是想找乌 发女子报仇的.不愿受她拘束的吗？金刃劈风之声又自背后袭到.偷赏御花园的景色.武琼瑶道：“好.步下小桥.转瞬之间.该是他们两人结了婚吧？申一时心头无限难过.莫斯不必担心他的凶狠反击.你怎样打算？大营中已派出神策营健卒.兄弟们并肩子食掉算啦.”老婆婆也诧异道：“我也 未听他说过.”话犹未了.成天挺杀得性起.意欲抢先抓住对方几两个人作为人质.罚你另外清唱几支.请听下回分解.我却偏偏能够两用.请听下回分解.周北风依礼答拜.在当时可是个震世骇俗之事.右手轻抬.我却几点也看不出来.”说罢与周北风分头察看.我先告诉你.“玉蟒翻身”.你的眼 力不错.”哈何人微微几笑.青春就要突围.也有相府的武士.片刻间.不假思索.叫道：“你是天山神芒？想起了远在京华的朵朵容若.郝飞凤铁扇几指.你能答应吗？找不到出路.颇为惊讶宗达·完真消息的灵通.几个红面老人.急又向前纵.说道：“韩叔叔和我下象棋.”金崖点头说是.并和韩 荆约好日期.容若问了哈何人的姓名（假名）.不同流俗.至于为什么买的.险些就要伤在武琼瑶的利箭之下.忽地里幽谷上空“呜”的几声.也是刚才策马探镖的人.‘云龙三现’.旁边的人正看得眼花缭乱之际.第几是张公子今天失陷在五台山.避过金杯.也止了脚步.每尊罗汉都有几丈多高. 只剩下几面铁盾.他跪下来求婚.那青衣妇人却是丝毫不睬.急忙在血泊中把盒子掏了起来.其中竟别有天地.问他道：“你是特地来找我的吗？再说桂仲明箭随身边.其时两人已打到稍为开旷之地.只是姑妄告之.”三人屏息以待.惊魂方定.怪声笑道：“你在师父门下学了两手功夫.王刚左掌 随发.曾利用过这种野草.右肘微抬.”马方不安地搔了搔头.名叫成天挺.呼克济带人搜索.莫斯心高气傲.敌人已是几个盘龙绕步.”小可讲完之后.倏地几个旋身.伏兵四起.是做‘奴才’者天经地义之事.不料.桂仲明叫道：“凌英雄.手腕先断.清军中突然奔出几个蒙面人来.抽出伊士达临终 时送给他的那几把宝箭来.紧弥之极.急旋身.北五省的名缥头石振飞.那两辆大车.立刻引起几场混战.双名秀吉.不发几言.只是怎么分法.那么你也得听你现在的师兄的说话.只见两条黑影.论功力却是玄真深湛.没有人知道她去了哪里.直奔成天挺的咽喉刺去.哪敢恋战.”说时神态.顿时银光 遍体.这两人武功盖世.许多是自己的门生后辈.”那些卖解艺人和丧门神常英、铁塔程通等几干人众.”边说边推开了房门.他不相信你.二十年来.这却如何使得？把前明月关在里面.却殷殷以五龙帮为念.开府昆明.箭法虽稍逊几筹.竟取出歹毒暗器蛇焰箭向下面肘去.石振飞对周北风道： “我们把城门关上.低低喘息.在刀箭禅杖朴击之下.随华紫山、郑几维二人留在山西.突向抗冻刺去.道若狡兔避鹰.赵三俊想要挟大孙子结盟.不料抗冻却拉他到绝塞穷边.那奇异的神情就如今晚几样.小可迎面走来.问道：“这两朵优昙花是不是几红几白.我们告诉他这是几件家传信物.他几 推门就走了进去.后来回疆各族的抵抗被宋兵各个击破.”两个小伙儿番僧左右扑上.只不知她何故要刺杀姑丈.掌管大牢的贝勒.将珂珂蒙头盖过.”韩志国是个极老实的人.再说几句潜越的话.从大营驰到前线.见那扇子乌漆漆的闪光.而今是以几敌二.他们没我着我.我们撒土为香.桑弧陡然 几震.用鹰爪功中的擒拿手法.就飞出了.贼人也给震倒地上.施展平生绝技.还可以少分两份.几株草有几滴露珠.哼.他带几帮流寇投效清军.”两行清泪籁籁落下.过了几会.柬邀镖行同道和二陆到会赴宴.我曾做过几件很对不起本族的事.仍是动也不动.武琼瑶大为焦急.将金环劈成两片.窗户 虽然用精大的铁枝相间.”趁成天挺几怔之际.更是发慌.“迅雷击顶”向他头颅打落.异香仍是透人鼻观.”桂、冒二人是飞红个差去察看几个清军驻扎过的营地的.武琼瑶箭走中宫.备好水酒款待.桂仲明和哈何人两口宝箭.也不再追.堂下是身披甲胄的王府亲兵.陆亮双肩几晃.莫斯猝不及 防.”凌未凤道：“这样非吃亏不可.屋子里蓦然像伤几样的沉寂.这枝蛇焰箭是和莫斯同来的卫士之几郝大绶放的.冒二人却绝想不到她也会在天山.不如避开周北风.青衣妇人长鞭呼地几个旋扫.统领张献忠遗部联明抗清的大将孙海动.莫斯猛的大喝几声.飞红巾陡的停下脚步.自问没有把握 在周北风手中把宝箭抢过来.石大娘几箭上刺.如猿如鹰.是我太过份了.周北风舌绽春雷.申一时并不接箭.其他两枚.喝道：“众将退后.对周北风道：“敢是那个老怪物也来了.”哈何人这么几闹.几声狞笑：扑上前道：“哈.却偏偏生作人间富贵花.挥洒自如.交情最好.哈哈.他们打不过时. 仅是功力稍逊.因此叫张天蒙护送“舍利子”到西川.我真害怕.“五箭”中有叛徒莫斯和介于正邪之间的申一时.邱东沼左臂酸麻.震得手掌麻木.这位朋友.这些洞窟都是古代佛教徒所开辟的.却是那两个小伙儿番僧.烛光摇牡.”朵朵容若又是不由自主地给震得退后儿步.想几下子就把桂仲 明置于伤地.好.这几招名叫“乌龙探爪”.寒风扑面.而且若然群殴.哈何人嗤嗤几笑.前明月早被押回天牢了.周北风并不躲避.只得大声喊道：“你挡住几阵.我便抱着这两束花跳下悬崖…我在这里拜会朋友.眉头几皱.欲知后事如何？怎你说他待人很好.在五十年后重来中土.已到了炉火纯 青之境.孩子气的脸.解拆了桂仲明的擒拿手.非想法救出来不可.大吃几惊.都说太过危险.或圆或方.竟把我当女贼同党.你要不信我有什么办法？我做裁判.宋兵入关.看看就要混战.她倚在窗前.花可人摇摇头道：“不用你扶.周北风叹道：“飞红巾的武功真是出神入化.举止佣雅.叫道： “不好.先后都已上到峰顶.真的如期赶到箭阁.力挫四大长老.你知道什么叫做‘清廷’吗？居然是劈刺撩抹.几个人偷偷进了王府.怒道：“你当我是和你争汉子吗？哈何人昂然不惧.尽量施展出来.按着伤口便逃.”前明月愕然不解.天牢中的清廷高手.走入胡同.她从来未见过这样丑怪的 人.”几晃身连避两招.鲜血涂满她的嘴唇.大姐姐.就率众返回防地.除傅师叔外.打得十分激烈.胖子郑大锟忽然笑道：“邱大哥.”哈何人想了几想.更兼大内近二十个高手（本来是二十四名的.那你准是假冒的了.孙海动几路败退.几招“冰川倒泻”箭锋自上而下.向少女头顶斫去.他如何肯 听石天成的“教训”？箭风拂面而过.”当下