定理2比较审敛法ppt课件
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第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
审敛法 课件
定理4 定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 . 证: (1) 当ρ <1时,
un+1 知存在N ∈Z , 当n > N时 < ρ + ε <1 , un
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数+ − 1− p−1 ∑p−1 − p−1 +L+ 的部分和 (n −1) p−1 n p−1 p−1 − p−1 2 n=22 3 (n +1) n
∞
1 1 n →∞ 1 − = 1− σ n = ∑ p−1 1 p−1 p−1 (k +1) (n +1) k =1 k
∞
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 定理8. 定理 *定理 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 定理9. 定理 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S,σ , 按任意顺序排列得到的级数
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 Sσ . 说明: 说明 证明参考 P203～P206, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
用Leibnitz 判别法 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n−1 1 n +1 1 1) 1− + − +L+ (−1) +L n+1 收敛 2 3 4 un+1 n (n +1)! 1 1 +1 n 10 = = n = 10 ⋅+1 1 1 1 un n−1 1 1 n n 收敛 2) 1− + − +L+ (−1) +L n 2! 3! 4! n!10! n 1 2 3 4 n−1 n 3) − + − +L+ (−1) +L收敛 10 102 103 104 10n
比较判别法
正项级数的审敛法
正项级数收敛的充要条件 比较审敛法
1.正项级数
定义 如果级数 un中各项均有 un 0，
n1
则称这种级数为正项级数.
观察正项级数的部分和：
s1 u1 , s2 u1 u2 , s1 s2 ,
s3 u1 u2 u3 , s2 s3 ,
4.几个常用比较级数
P-级数：
n1
1 np
收敛，P 1 发散，P 1
几何级数： aqn
n1
收敛， q 发散， q
1 1
例2
判断级数
n1
1 n(n
1)
的敛散性。
分析：
1 1 n
1 1 n(n 1) n
解 因为
1 n(n 1)
1, n1
n1
且 un vn (n 1,2,)，
(1)若 vn 收敛，则 un 收敛；
n1
n则 vn 发散.
n1
n1
有比较，才有鉴别； 有比较，才能有进步。
n
证明 设 sn uk ,
k 1
n
n vk
k 1
因为 un vn 所以 0 sn n
(1) vn 收敛，则 n 有界, sn 有界， un收敛。
n1
n1
(2) un 发散，则 sn 无界, n无界， vn 发散。
n1
n1
注意 ：
1) 比较判别法只适用于正项级数。
2) un vn 可以从某个有限值 N 之后 成立，即当 n N 时，有un vn 即可。
正项级数收敛的充要条件 比较审敛法
1.正项级数
定义 如果级数 un中各项均有 un 0，
n1
则称这种级数为正项级数.
观察正项级数的部分和：
s1 u1 , s2 u1 u2 , s1 s2 ,
s3 u1 u2 u3 , s2 s3 ,
4.几个常用比较级数
P-级数：
n1
1 np
收敛，P 1 发散，P 1
几何级数： aqn
n1
收敛， q 发散， q
1 1
例2
判断级数
n1
1 n(n
1)
的敛散性。
分析：
1 1 n
1 1 n(n 1) n
解 因为
1 n(n 1)
1, n1
n1
且 un vn (n 1,2,)，
(1)若 vn 收敛，则 un 收敛；
n1
n则 vn 发散.
n1
n1
有比较，才有鉴别； 有比较，才能有进步。
n
证明 设 sn uk ,
k 1
n
n vk
k 1
因为 un vn 所以 0 sn n
(1) vn 收敛，则 n 有界, sn 有界， un收敛。
n1
n1
(2) un 发散，则 sn 无界, n无界， vn 发散。
n1
n1
注意 ：
1) 比较判别法只适用于正项级数。
2) un vn 可以从某个有限值 N 之后 成立，即当 n N 时，有un vn 即可。
定理2比较审敛法PPT文档49页
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
定理2比较审敛法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
定理2比较审敛法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
02-正项级数的比较审敛1PPT
正项级数的比较审敛法1一、正项级数的定义定义:，中各项均有如果级数01≥∑∞=n n n a a 则称其为正项级数..}{ 单调递增正项级数的部分和数列n s 注：二、正项级数收敛的充要条件定理1(正项级数的收敛准则)：.}{ 1有上界部分和数列收敛正项级数n n n s a ⇔∑∞=单调有界收敛准则：单调递增有上界的数列收敛.三、比较审敛法1定理2：：则都有使得若是两个正项级数与设 , , , , 11n n n n n n b a N n N b a ≤≥∀∃∑∑∞=∞=., (2) ;, (1) 1111也发散则发散若也收敛则收敛若∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=n n n n n n n n b a a b 关键：选取恰当的参考级数.证明：n n a a a s +++= 21.)1( ≥∀≤n b a n n 不妨设,σ≤即部分和数列有界，.1收敛∑∞=∴n n a n b b b +++≤ 21n n s ≥σ则),( )2(∞→∞→n s n 设,n n b a ≤由于,∞→.1发散∑∞=∴n n b ，则记∑∞==1 )1(n n b σ解：,1≤p 设,11nn p ≥ .级数发散则-P ,1>p 设o y x)1(1>=p x y p 1234由图可知⎰-<n n p p x dx n 11p p p n ns 131211++++= ⎰⎰-+++≤n n p p x dx x dx 1211 .1 1的敛散性级数讨论∑∞=-n p np 例1四、典型例题⎰+=n p x dx 11)11(1111---+=p n p 111-+<p , }{ 有界即n s .级数收敛则-P .,1 ,1 ⎩⎨⎧≤>-发散时当收敛时当级数p p P 重要参考级数:几何级数, P-级数, 调和级数.证明：,11)1(1+>+n n n ,111∑∞=+n n 发散而级数.)1(11∑∞=+∴n n n 发散级数例2.)1(1 1发散证明级数∑∞=+n n n五、小结1. 正项级数收敛准则：部分和数列由上界.2. 正项级数比较审敛法1：越小越收敛，越大越发散..,1,111⎩⎨⎧≤>∑∞=发散时当收敛时当p p n n p 3. 典型级数。
常数项级数的审敛法 ppt课件
(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
un,vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取 vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n
1
un
un
u n 1 ()u n ()2un1
( )nNuN 1
()k收敛 , 由比较审敛法可知 un收敛 .
(2) 当1或 时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
时 u n 1 1, 从而
un
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.
数项级数及审敛法
设对一切
都有
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分别表示
和
的部分和, 则有
(1) 若级数
收敛, 由定理1，则 有界，
因此 也有界 由定理 1 可知, 级数
也收敛 .
(2) 是(1) 的逆否命题。
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比较审敛法的基本形式：
设正项级数
满足：
则 (1) 若级数
收敛 , 则级数
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
2) 若 p 1, 因为当
Sn
1
1 2p
L
1 np时,Fra bibliotek1 np
1 xp
,故
1
2 1
1 2p
d
x
L
n1 n1 n p d x
1 2 1 d x L n 1 d x
1 xp
x n1 p
1 n x p d x 1 x1 p n 1 1 n1 p
1
1 p 1
p 1
1 1 , 故 p 级数收敛 . p 1
推论：
为二个正项级数，且当 n N
（N为某一正整数）时，存在 C1 > 0, C2 > 0, 使
第二节：正项级数的审敛法
v2
1 1 1 1 1 1 1 + 取 u1 = < 1+ = v1 , u2 = ( 4 + 4 ) = < + = v 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u3 = ( + + + ) = < + + + = v 3 , L 8 8 8 8 2 5 6 7 8
因此有
∞
1 un ≤ v n , 而 un = ( n= 1 , 2, 3 , L ) 2
收敛。 则级数 ∑ un 收敛。 例如级数 ∑
n =1 ∞
∞
n→∞
n =1
n + 1(1 − cos ) , n
π
un = n + 1(1 − cos ) n
π
1 π 2 π 2 n+ 1 + 当 n → ∞ 时， un ~ n + 1 ⋅ ( ) = 2n 2n2
∴ lim
n→∞ 3 n2 un
= lim
第二节 正项级数及审敛法 如果级数
n =1
∑ un = u1 + u2 + L + un + L
称为正项级数
∞
满足条件： 满足条件： un ≥ 0 ( n = 1, 2 , L ) ,
s1 = u1 ≥ 0 , s 2 = u1 + u2 ≥ u1 = s1 , s 3 = u1 + u2 + u3 ≥ u1 + u2 = s 2 LL 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ s 3 ≤ L ≤ s n−1 ≤ sn ≤ L
n =1 n =1 ∞ ∞ 1 1 （1）取 vn = , 则 ∑ v n = ∑ ） 发散， 因此若 发散， n n =1 n =1 n ∞ un = lim nu lim n = l > 0 （或为 + ∞），则 ∑ un ），则 n→∞ n→∞ vn n =1
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例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
利用 “拆项相消” 求 和
10
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
aq n
n0
a
aq
aqanq-12
等比级数 几 何a级qn数
n1
1 np
1
1 2p
n131np1p1 21ppn—1p级31p数
6
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
aa qn 1q
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
从而 lim Sn
n
a 1q
因此级数发散 .
从而
lim
n
Sn
,
7
2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
11
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
第十章
级数
第一节 数项级数
第二节 幂级数
第三节 傅立叶级数
1
第一节 数项级数
§ 10.1.1 级数的概念及其基本性质 § 10.1.2 正项级数 § 10.1.3 任意项级数
2
§ 10.1.1 级数的概念及其基本性质
一、常数项级数的概念
引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
发散.
15
例3.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
边形, 设 a0 表示
增加时增加的面积, 则圆内接正
这个和逼近于圆的面积 A . 即
3
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
16
性质5.(级数收敛的必要条件)
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
17
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
8
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
必发散 .(用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
13
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Skn Sk
9
(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n
1 (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
则称无穷级数
4
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然
5
级数举例
级数的展开形式
简写形式 一般项 备注
1
1 n
1
1 2
1 3
1 n
1 1 1 1
n1) 12 23
n(n 1)
qn a aq aq2 aqn
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
14
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1 12
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 np
n1
1 n
1
1 2
13n1 1n 11n12调和13 级 数
1 n
n 1
1 n(n 1)
1n121 n(n21131)112
1 1 n2(n31)