2016年内蒙古包头市昆区中考数学二模试卷(解析版)

2016年内蒙古包头市昆区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．（3分）﹣8的立方根是（）A．2 B．2 C．﹣ D．﹣22．（3分）统计显示，2013年底某市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（）A．11.4×104B．1.14×104C．1.14×105D．0.114×1063．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣24．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4B．3a2b2÷a2b2=3abC．（﹣a2）2=a4D．（﹣m3）2=m95．（3分）抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位6．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米7．（3分）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣πB．4﹣2πC．8+πD．8﹣2π8．（3分）按一定规律排列的一列数：，，，…其中第6个数为（）A．B．C．D．9．（3分）在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8911121315人数123432这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（）A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，410．（3分）下列四个命题：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②，则m≥1；③过弦的中点的直线必经过圆心；④圆的切线垂直于经过切点的半径；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等；其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．411．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x 轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．412．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题3分，共24分）13．（3分）计算：（﹣）=．14．（3分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=．15．（3分）=．16．（3分）折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5，tan ∠EFC=，则BC=．17．（3分）如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A、B、C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为．18．（3分）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是．19．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=．20．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②=；③DP2=PH•PB；④=．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该课题研究小组共抽查了名同学的体育测试成绩；扇形统计图中B 级所占的百分比b=，D级所在小扇形的圆心角的大小为；（2）请直接补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的人数．22．（8分）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．23．（12分）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．25．（12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．26．（12分）如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S=4S△ABM成立，求点P的坐△PAD标．2016年内蒙古包头市昆区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．（3分）﹣8的立方根是（）A．2 B．2 C．﹣ D．﹣2【解答】解：﹣8的立方根是：﹣2．故选：D．2．（3分）统计显示，2013年底某市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（）A．11.4×104B．1.14×104C．1.14×105D．0.114×106【解答】解：11.4万=1.14×105，故选：C．3．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣2【解答】解：依题意，得x+2≥0，解得x≥﹣2，故选B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4B．3a2b2÷a2b2=3abC．（﹣a2）2=a4D．（﹣m3）2=m9【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误；B、3a2b2÷a2b2=3，故此选项错误；C、（﹣a2）2=a4，正确；D、（﹣m3）2=m6，故此选项错误；故选：C．5．（3分）抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位【解答】解：∵y=﹣6x2+5的顶点坐标为（0，5），而抛物线y=﹣6x2的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线y=﹣6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=﹣6x2．故选B．6．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，∴AC=BC×=6，∴AB===12．故选A．7．（3分）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣πB．4﹣2πC．8+πD．8﹣2π【解答】解：△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=90°．则扇形EAF的面积是：=π．故阴影部分的面积=△ABC的面积﹣扇形EAF的面积=4﹣π．故选A．8．（3分）按一定规律排列的一列数：，，，…其中第6个数为（）A．B．C．D．【解答】解：根据一列数：，，，可知，第n个数分母是n，分子是（n+1）2﹣1的算术平方根，据此可知：第六个数是=，故选D．9．（3分）在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩如下表所示：成绩（个）8911121315人数123432这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（）A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，4【解答】解：第8个数是12，所以中位数为12；12出现的次数最多，出现了4次，所以众数为12，故选B．10．（3分）下列四个命题：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②，则m≥1；③过弦的中点的直线必经过圆心；④圆的切线垂直于经过切点的半径；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等；其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；②，则m≥1，正确；③过弦的中点的且垂直于弦的直线必经过圆心，故错误；④圆的切线垂直于经过切点的半径，正确；⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确，正确的有3个，故选C；11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x 轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．4【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱形ABCD=底×高=2×2=4，故选D．12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．二、填空题（每题3分，共24分）13．（3分）计算：（﹣）=﹣．【解答】解：原式=•=﹣•=﹣．故答案为：﹣．14．（3分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=1．【解答】解：由题意知：，解得n=1．15．（3分）=5．【解答】解：原式=2﹣4×+1+4=2﹣2+5=5．故答案为：5．16．（3分）折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5，tan ∠EFC=，则BC=10．【解答】解：设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE==5k，∴DC=AB=8k，∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=tan∠EFC=，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE===5k=5，解得：k=1，∴BC=10×1=10；故答案为：10．17．（3分）如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A、B、C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为．【解答】解：AB=4，∠ABA′=120°，所以s==π．18．（3分）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围是m≥3．【解答】解：，解①得x＜3，∵不等式组的解集是x＜3，∴m≥3．故答案是：m≥3．19．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=50°．【解答】解：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．方法二：连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°20．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②=；③DP2=PH•PB；④=．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△DCF，故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴===，故②错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴=，∴PD2=PH•CD，∵PB=CD，∴PD2=PH•P B，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4，∴=．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该课题研究小组共抽查了80名同学的体育测试成绩；扇形统计图中B 级所占的百分比b=40%，D级所在小扇形的圆心角的大小为18°；（2）请直接补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）的人数．【解答】解：（1）根据题意得：20÷25%=80（人），B占的百分比为×100%=40%，D所占的度数为360°×=18°；故答案为：80；40%；18°；（2）C级的人数为80﹣（20+32+4）=24（人），补全条形图，如图所示：（3）根据题意得：600×=570（人），则估计该校九年级同学体育测试达标的人数约为570人．22．（8分）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．【解答】解：如图，过B点作BD⊥AC于D．∴∠DAB=90°﹣60°=30°，∠DCB=90°﹣45°=45°．设BD=x，在Rt△ABD中，AD==x，在Rt△BDC中，BD=DC=x，BC=，∵AC=5×2=10，∴x+x=10．得x=5（﹣1）．∴BC=•5（﹣1）=5（﹣）（海里）．答：灯塔B距C处海里．23．（12分）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）设y=kx+b，则由图象知：，解得k=﹣，b=30，∴y=﹣x+30，100≤x≤180；（2）设公司第一年获利W万元，则W=（x﹣60）y﹣1500=﹣x2+36x﹣3300=﹣（x﹣180）2﹣60≤﹣60，∴第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）若两年共盈利1340万元，因为第一年亏损60万元，第二年盈利的为（x﹣60）y=﹣x2+36x﹣1800，则﹣x2+36x﹣1800﹣60=1340，解得x1=200，x2=160，∵100≤x≤180，∴x=160，∴每件产品的定价定为160元时，公司两年共盈利达1340万元．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，又∵∠D=∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；DC=．25．（12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图（1），∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ，∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，∴∠EQC=45°，∴∠DEF=∠EQC，∴CE=CQ，由题意知：CE=t，BP=2t，∴CQ=t，∴AQ=8﹣t，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，则AP=10﹣2t，∴10﹣2t=8﹣t，解得：t=2，答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）如图（2），过P作PM⊥BE，交BE于M，∴∠BMP=90°，在Rt△ABC和Rt△BPM中，∴，∴，∴PM=，∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t，∴y=S△ABC ﹣S△BPE==，∵，∴抛物线开口向上，∴当t=3时，y最小=，答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2；（3）如图（3），假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上，过P作PN⊥AC，交AC于N，∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN∽△BAC，∴，∴，∴，，∵NQ=AQ﹣AN，∴NQ=，∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP，∴，∴，∵0＜t＜4.5，∴，解得：t=1，答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．26．（12分）如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；=4S△ABM成立，求点P的坐（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD标．【解答】解：（1）由题意可得：，解得；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4；（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD．则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），则有：，解得；∴直线BD的解析式为y=x﹣2，点M（0，﹣2）；（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3）；∴MN=1，BN=1，ON=3；S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×2×2﹣×1×1=2；∴S=4S△ABM=8；△PAD=AD•|y p|=8，由于S△PAD即|y p|=4；当P点纵坐标为4时，x2﹣4=4，解得x=±2，∴P1（﹣2，4），P2（2，4）；当P点纵坐标为﹣4时，x2﹣4=﹣4，解得x=0，∴P3（0，﹣4）；故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（﹣2，4），P2（2，4），P3（0，﹣4）．。