第3章一元一次方程数学活动
人教部编版七年级数学上册《三章 一元一次方程 数学活动》优质课课件_4
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活动
解题后回顾反思： （1）解决本题用到什么知识？ （2）解决本题用到什么方法？ （3）解决本题可能遇到的障碍是什么？如何解决？ （4）试想，如果教科书中直接给出最后一段的问题， 你认为题目是变简单了还是变难了？为什么？教科 书中的实验起到了什么作用？
活动
总结 （1）在实践中找到规律，总结知识，运用知识解决 问题 （2）明确问题中的已知量和未知量，分析实际问题 中的等量关系，根据等量关系，列出方程
支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与b；
（4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后
把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录
此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与重复以上操作和
记录.
实验次数
小物体数 右左
a与b的 值
ab
n与a之间的关系
第1次 1 1
第2次 1 2
活动2
练习： 为了给一本厚书标上页码，印刷工人用了2 989个
数字.这本书有多少页？
解：印一你本能有估9计页出的这书本需书要的9个页数码字的；范围吗？ 印一本有印9一9页本的有书9页需的要书9+需(9要9-9多)×少2个=1数8字9（？个）数字； 印一本有印9一99本页有的9书9页需的要书需要多少个数字？
第三章 一元一次方程
数学活动
活动
用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下
列实验：
什么是平衡？
（1）在木杆中间栓绳，水平将静木止杆状吊态起. 来并使其左右
平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保
持平衡；
（3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这
两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时
七年级数学上第三章一元一次方程单元教学计划
第三章《一元一次方程》
一、单元教学内容及教材分析
1．本章的主要内容：
列方程，一元一次方程的概念及解法，列一元一次方程解应用题。
2．本章的地位及作用：
一元一次方程是数学中的主要内容之一，它不仅是学习其它方程的基础，而且是一种重要的数学思想——方程思想，利用方程思想可以使许多实际问题变得直接易懂，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
更深刻地体会数学的应用价值。
3．本章涉及到的主要数学思想及方法：
a.转化思想：主要体现在利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程，直至求出它的解。
b.整体思想：例如：解方程3/2(3x+1)—1/2(3x+1)=5运用整体思想可以使解题步骤简捷，思路清晰。
c.数学建模思想：它是在对问题深入地思考、分析、抽象的基础上，用数学方法去解决实际问题，建立数学模型。
方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
本章中的列方程解应用题就是培养学生的数学建模思想。
注重几种基本题型的应用题：商品利润问题，储蓄问题，行程问题，行船问题，工程问题，调配问题，比例分配问题，数字问题，等积变形问题。
这是一些经典题型。
同时注意一些图表型应用题，阅读理解型等新颖的应用题。
d.数形结合思想：这主要体现在列方程解应用题时，尤其是对行程问题的分析解决中。
二、单元教学重点、难点:
重点：列方程，一元一次方程的解法，
难点：解有分母的一元一次方程和应用一元一次方程解决实际问题。
三、单元教学目标:。
数学七上《第3章 一元一次方程》word教案(高效课堂)2022年人教版数学精品(2)
通渭县七年级数学下册导学案通渭县七年级数学下册导学案通渭县七年级数学下册导学案组长查阅教学反思15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到D CA BD CABDCA B∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习(1）如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．D CAB我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．CE DC A B P3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+(2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》教案
第三章一元一次方程1.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念.2.掌握等式的基本性质.3.能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理.4.了解方程的基本变形及其在解方程中的作用.5.会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解,能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理.1.会解一元一次方程,并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想.了解一元一次方程解法的一般步骤,并能正确、灵活应用.2.通过实践与探索,经历“问题情境——建立数学模型——解答——应用与拓展”的过程,体会数学建模思想,提高分析和解决实际问题的能力.3.鼓励学生通过“尝试——猜想——验证”的方法学习、理解知识,体会和经历科学发现的过程,在探索方程的解的过程中渗透变量和函数思想.1.经历根据具体问题中的数量关系列出方程的过程,体会并认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.在学习和探索一元一次方程的解法和应用的过程中,通过自主学习,提高学习能力,增强合作意识.1.方程和方程组是“数与代数”的主要内容之一,一元一次方程是最简单、最基本的代数方程,它不仅在实际生活中有广泛的应用,而且是学习二元一次方程组、一元二次方程、分式方程以及其他后继内容的基础.与一元一次方程有关的一些概念,如方程的解、解方程等又是代数方程中具有共性的重要概念,等式的基本性质是代数方程进行同解变形并最后求出原方程解的重要依据.所以本章内容无论从实践上还是从进一步学习上看,都是有重要地位的.列一元一次方程解应用题对培养学生的方程思想和建模能力,发展数感、符号感,提高分析问题、解决问题能力有不可替代的作用.2.以实际问题为主线引入方程和方程的解的概念,改变传统教材过于注重较为完整的概念体系而与实际脱节的现象,破除陈旧、烦琐的模式训练.在实际问题的应用中,强调对具体内容的分析,渗透数学建模思想,教材注重实际意义,选用贴近学生生活、具有现代气息的例题、习题,激发学生的学习兴趣,使学生体会方程在现实世界中的作用.3.淡化概念的形式化叙述,删繁就简.注意数学思想方法的渗透,重视学生能力的培养.让学生参与知识的形成过程,改变传统教材“给出法则,让学生模仿练习”的框架,在解方程的教学中打破常规,在学生理解方程的简单变形及其合理性的基础上,鼓励学生自行探索,掌握解一元一次方程的一般步骤.4.在体现“让不同的学生在数学上得到不同的发展”方面,教材注意留有较大的弹性,以适应不同学生的需要.除了在练习、习题和复习题中设置不同要求的问题外,对大多数例题和部分习题均有一定的拓展、探索余地,提出不同的问题供学生思考.【重点】1.理解和掌握一元一次方程的解法.2.能利用一元一次方程解应用题.【难点】1.能熟练地解一元一次方程.2.正确地找出应用题中的数量关系,正确地列方程并求解.1.在学习一元一次方程的定义的过程中,要注意联系实际,激发学生的学习兴趣,可以根据地方特点和学生情况,适当补充一些学生感兴趣的素材,并采用开放的教学方式,可以引导学生初步比较算术解法与方程解法在分析数量关系上的区别,体会设元以后在思维、列式上直接、明了的优点,但不要“注入式”地告诉学生.2.利用等式的基本性质,有目的、有根据地对等式进行变形是解一元一次方程的一般方法.教学时,可引导学生分析下一步应该对方程实施怎样的变形,变形的依据是什么.3.教学时要注意引导学生选择合理的步骤,鼓励解法的多样化,习题的数量以及难度应控制在与教材相当的水平.4.对于运用方程解决实际问题,要把教学重点放在引导学生分析和理解题意上,要使学生做到:借助图表整体把握和分析题意;从多角度思考问题,寻找等量关系;选择适当的未知数,列出方程;理解列方程所依据的等量关系以及会解释方程中每个代数式的意义,注意检验方程解的合理性.总之,教师应千方百计地通过各种方式、手段来激发学生的思维活动,使他们在学习的过程中积极思考、肯动脑筋、大胆探索.教师在教学中要把重点放在揭示知识形成的过程上,充分暴露知识的形成过程,让学生通过“感知——概括——应用”的思维过程去发现、掌握规律,使学生在学习数学的过程中发展思维,达到既增长知识,又培养能力的目的.3.1从算式到方程时3.1从算式到方程1.理解和掌握一元一次方程的定义.2.能判断一个数是否为方程的解.3.明确方程和等式的关系.4.理解和掌握等式的基本性质.5.能应用等式的基本性质解简单的一元一次方程.1.能根据问题的数量关系列方程.2.培养学生分析问题、解决问题的能力.1.体会一元一次方程作为从实际问题中抽象出的数学模型所带来的方便.2.感受数学源于生活,又应用于生活.【重点】1.能根据实际问题列简单的方程.2.能利用等式的基本性质解简单的一元一次方程.【难点】从应用题中找相等关系列方程.3.1.1一元一次方程1.初步学会寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念.2.理解一元一次方程、方程的解的概念.3.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.4.培养学生获取信息的能力.1.通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法的一种进步.2.培养学生根据问题寻找相等关系,根据相等关系列出方程的能力.1.培养学生热爱数学、热爱生活的乐观人生态度.2.培养学生求实的态度和良好的学习习惯.【重点】1.了解一元一次方程及相关概念.2.寻找相等关系,列出方程.【难点】寻找问题中的相等关系,正确地列出方程.【教师准备】多媒体课件(1,2,3,4,5).【学生准备】复习小学学过的方程.导入一:一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h 经过B地.A,B两地间的路程是多少?你会用算术方法解决这个问题吗?[设计意图]通过问题与生活情境的引入,激发学生的探究欲望与学习热情.导入二:变魔术好玩吗?那我们现在就来试一下:请同学们在练习本上写下一个数,不要说出来,按照老师说的继续做下去,将你刚才写出来的数乘2,再加上4,再除以2,再减去3.好了,现在将你的结果告诉我,我就能说出你开始的时候在练习本上写下的数,神奇吗?学习了本节课的内容之后,同学们一定就可以明白其中的奥秘了![设计意图]通过这个情境的设计,让学生感受到数学的神奇,从而激发学生的好奇心和求知欲,调节了课堂气氛.导入三:卡片显示,观察卡片上的式子,你能填上适当的数吗?卡片上式子分别为:3+□=8,○-2=7,5×?=1,△÷2=3,.学生先独立思考,然后同桌之间互相交流.[设计意图]由最简单的题目导入,消除学生的心理障碍,体现面向全体学生的课标意识,增加趣味性,调节课堂气氛.思路一【课件1】出示教材第78页问题,提出问题:【问题1】路程、时间、速度三者之间的关系如何?.在匀速运动过程中,时间、速度、路程之间的关系是时间=路程速度【问题2】用列表的方法找等量关系,如果设A,B两地间的路程为x km,请你完成下面的表格:【问题3】请找出等量关系,列出方程.设A,B两地间的路程是x km根据客车比卡车早1 h经过B地,可得方程-=1.【教师说明】我们知道方程是含有未知数的等式.通过本章的学习,我们将能够从上述的方程解出未知数的值x=420,从而求出A,B两地间的路程是420 km.通常情况下,用x,y,z等字母表示未知数,法国数学家笛卡儿是最早这样做的人,我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数.[知识拓展](1)方程中未知数的表示可以使用字母x,也可以使用其他一些字母,如y,z等.通常用字母a,b,c表示已知数.(2)方程中未知数可以有两个或两个以上,如x+y=12,2x-y=z+1等.(3)方程都是等式,但等式不一定是方程,如2+4=6.[设计意图]通过教师的引导和学生的讨论、交流,发现问题中的等量关系,培养学生分析问题、解决问题的能力.思路二1.定义方程,回顾举例.师:大家知道什么叫方程吗?生:含有未知数的等式叫做方程.师:你能举出一些方程的例子吗?学生举例,教师总结.【课件2】判断下列式子是不是方程.(1)1+2=3;(2)x+2>1;(3)1+2x=4;(4)x+y=2;(5)x2-1;(6)x2=x+2;(7) x+3-5;(8)x=8.2.根据题意列方程.【课件3】一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h 经过B地.A,B两地间的路程是多少?【师生活动】学生分组活动,讨论看能否用算术方法解,交流后考虑用方程如何解决,最后小组内同学交流.教师可以参与到学生中去,要关注学生解决问题的思路.在用算术法解时,是否遇到了麻烦?用方程可以轻松解决吗?让学生感受方程在解决实际问题时的优势.解:设A,B两地间的路程是x km,根据客车比卡车早1 h经过B地,可得方程- =1.【建议】在这一过程中,教师还应当注意培养学生的发散思维和创新能力,可以让他们进行小组间的交流,也可以根据题意画一个表格讨论,看一看各小组所列的方程是否一致,以开拓学生的思路,从而掌握更多的解题方法.【设计意图】通过对列方程解决问题的学习,使学生感受方程方法和算术方法之间的差异,为进一步学习方程做准备.活动2:归纳列方程的步骤(1)用字母表示问题中的未知数(通常用x,y,z等字母表示);(2)根据问题中的相等关系,列出方程.【比较】比较列算式和列方程两种方式的特点,建议用小组讨论的方式进行,可以把学生分成两部分分别归纳两种方法的优缺点,也可以每个小组同时讨论两种方法的优缺点,然后向全班汇报.列算式:只用已知数表示计算程序,依据是问题中的数量关系;列方程:可用未知数表示相等关系,依据是问题中的等量关系.【思考】对于上面的问题,你还能列出其他方程吗?如果能,你依据的是哪个等量关系?可考虑按以下的顺序进行:(1)学生独立思考;(2)小组合作交流;(3)全班交流.【试一试】【课件4】小雨、小思的年龄和是25岁.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁,小雨、小思的年龄各是几岁?如果设小雨的年龄为x岁,你能用不同的方法表示小思的年龄吗?在学生回答的基础上,教师加以引导:小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示,这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示,由于这两个不同的式子表示的是同一个量,因此我们又可以得到25-x=2x-8.这样就得到了一个方程.[设计意图]通过对问题解决方法的学习,进一步使学生感受列方程的一般步骤,即先找等量关系,再列方程.思路二【问题1】你能谈谈列方程过程中的思路和方法吗?你是怎样一步步列出方程的?学生讨论交流,然后回答.【问题2】算术法和方程法有什么不同?你能谈谈你的认识吗?两种方法的比较:从形式上看:算术法与方程法有什么不同的情况出现?从思路上看:刚才做题的想法有什么不同?(了怎样分析,并且决定了列式的不同特点.学生讨论交流后回答时,教师不必苛求学生回答得很全面,只要学生能谈出一两点体会,教师都应当加以鼓励.[设计意图]通过对思路的归纳、总结,使学生感受列方程的一般过程和思路,体验列方程的过程,培养学生分析、解决问题的能力.【课件5】(教材例1)根据下列问题,设未知数并列出方程:(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?(2)一台计算机已使用1700 h,预计每月再使用150 h,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h?(3)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?对于基础比较差的学生,教师可以做如下提示:(1)选择一个未知数,设为x.(2)对于这三个问题,分别考虑:用含x的式子表示正方形的周长;用含x的式子表示这台计算机x个月的使用时间;用含x的式子分别表示男生和女生的人数.(3)找到问题中的相等关系列出方程.让学生观察并讨论所列方程等号两边式子的关系,教师归纳:(1)方程等号两边表示的是同一个量;(2)左右两边表示的方法不同.简单地说:列方程就是用两种不同的方法表示同一个量.【问题1】以上各题,你能用两种不同的方法来表示另一个量,再列出方程吗?【师生活动】让学生小组讨论,然后分组汇报交流.解题过程略.[设计意图]通过学生的自主尝试,激发学生的学习热情和探究欲望,培养学生的创新能力和分析、解决问题的能力.【问题2】上述方程具有什么样的特点?【师生活动】在学生观察、讨论上述方程的基础上,教师进行归纳:各方程都只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.“一元”:一个未知数.“一次”:未知数的次数是1.[知识拓展]在判断一个方程是不是一元一次方程时,要注意:①必须含有一个未知数;②未知数的次数是1;③分母中不含有未知数.如果【师生活动】可以采用“尝试——发现——归纳”的方法:让学生尝试后发现,要求出答案必须用一些具体的数值代入,看方程是否成立,最后教师进行归纳.可以用列表的方法进行尝试,也可以像下面那样按程序进行尝试.在此基础上给出概念:解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.求方程解的过程,叫做解方程.一般地,要检验某个值是不是方程的解,可以用这个值代替未知数代入方程,看方程左右两边是否相等.[知识拓展](1)判断一个数是不是方程的解,可把这个数代入方程的两边,若方程的两边相等,则该数是方程的解;反之,则不是方程的解.(2)方程的解与解方程是两个不同的概念,方程的解是一个结果,是具体的数值,而解方程是一个变形的过程.[设计意图]通过学生的讨论、交流与归纳,得出一元一次方程的概念,使学生感受列方程的过程,树立建模思想.思路二【课件5】教师出示教材例1.【师生活动】学生分组交流讨论完成,教师巡视,教师在这一过程中应当关注学生能否恰当地设未知数,能否根据题意正确找出等量关系列出方程,必要时教师可参与到小组当中,和学生一起探讨交流,也可以给学生适当的提示与点拨.师:像上边这样的方程,你能给它起一个名字吗?你是从哪个角度给它命名的?学生阅读教材,体验方程的命名方式,并说一说什么是一元一次方程.教师进一步提出问题:想一想,以上几个问题你是怎样列出方程的?可以把你的思路过程表示出来吗?【归纳】分析实际问题中的等量关系,利用其中的相等关系列出.实际问题一元一次方程对于问题(1),我们已经列出方程,可以发现当x=6时,4x的值是24,这时方程4x=24的两边相等,则x=6叫做方程4x=24的解.师:解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.你能求出1700+150x= 2450的解吗?我们可以根据下面的流程图求解,给x一个值,代入方程,看一看方程两边是否相等,不相等再换一个试一试,依次进行下去,直到找到方程的解为止.【思考】这里是不是单纯盲目地去“碰”呢?师生讨论解决.[设计意图]通过对列方程的思路的进一步学习,使学生掌握列方程的一般步骤,培养学生分析、解决问题的能力,能够根据所列方程认识一元一次方程的有关概念.1.方程.准确把握方程的两个条件:一、必须含有未知数;二、必须是等式.两者缺一不可.2.一元一次方程.从三个方面理解一元一次方程的概念:一、一元一次方程首先属于整式方程,即方程两边不含分母,或虽含分母,但分母中不能有未知数.二、一元,即方程中只含有一个未知数,此未知数可以出现多次,但只能是同一未知数,同一个方程中不能出现两个不同的未知数.三、一次,未知数的次数是一次,指的是化为一般形式ax+b=0(a≠0)后,未知数的次数是一次.3.方程的解和解方程.这是两个不同的概念,方程的解是指使方程两边相等的未知数的值,具有名词性,而解方程是求方程解的过程,具有动词性.1.在下列式子:①2x-1;②2x+1=3x;③|π-3|=π-3;④t+1=3中,等式有,方程有.(填入式子的序号)解析:一元一次方程必须满足三个条件:(1)未知数的次数是1;(2)是整式方程;(3)只含有一个未知数.等式有②③④,方程有②④.答案:②③④②④2.根据“x的2倍与5的和比x的小10”可列方程为.解析:由题意列方程为2x+5=-10.故填2x+5=-10.3.x=2是下列方程的解吗?(1)3x+(10-x)=20;(2)2x2+6=7x.解析:把x=2代入上述方程,看等号左右两边是否相等.解:(1)x=2不是3x+(10-x)=20的解.(2)x=2是方程2x2+6=7x的解.3.1.1一元一次方程活动1:问题探究方程的定义活动2:归纳列方程的步骤活动3:学习一元一次方程的概念例1一元一次方程一元一次方程的解一、教材作业【必做题】教材第80页练习.【选做题】教材第83页习题3.1第1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列式子是方程的有()35+24=59;3x-18>33;2x-5=0;+15=0.A .1个 B.2个C.3个 D.4个2.小明准备为希望工程捐款,他现在有20元,以后每月打算存10元,若设x月后他能捐出100元,则下列方程中能正确计算出x的是()A.10x+20=100B.10x-20=100C.20-10x=100D.20x+10=1003.小悦买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张,设所用的1元纸币为x张,根据题意,下面所列方程正确的是()A.x+5(12-x)=48B.x+5(x-12)=48C.x+12(x-5)=48D.5x+(12-x)=484.检验下列各小题后面括号里的数是不是它前面方程的解.(1)3y-1=2y+1(y=2;y=4);(2)3(x+1)=2x-1(x=2;x=-4).【能力提升】5.希望中学九年级(1)班共有学生49人,当该班少一名男生时,男生的人数恰好为女生人数的一半.设该班有男生x人,则下列方程中正确的是()A.2(x-1)+x=49B.2(x+1)+x=49C.x-1+2x=49D.x+1+2x=496.甲、乙两数的和为10,且甲数比乙数大2,求甲、乙两数,正确的方程是()A.设乙数为x,则(x+2)+x=10B.设乙数为x,则(x-2)+x=10C.设甲数为x,则(x+2)+x=10D.设甲数为x,则x-2=107.为创建园林城市,某城市将对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔6米栽1棵,则树苗缺22棵;如果每隔7米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是 ()A.6(x+22)=7(x-1)B.6(x+22-1)=7(x-1)C.6(x+22-1)=7xD.6(x+22)=7x【拓展探究】8.在初中数学中,我们学习了各种各样的方程.以下给出了6个方程,请你把属于一元方程的序号填入圈(1)中,属于一次方程的序号填入圈(2)中,既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圈的公共部分.①3x+5=9;②x2+4x+4=0;③2x+3y=5;④x2+y=0;⑤x-y+z=8;⑥xy=-1 .【答案与解析】1.B(解析:35+24=59,是等式但不含未知数,所以不是方程;3x-18>33,含未知数但不是等式,所以不是方程;2x-5=0与+15=0都是含有未知数的等式,所以都是方程.故选B.)2.A(解析:由题意知x月存10x元,又现在有20元,因此可列方程10x+20=100.故选A.)3.A(解析:1元纸币为x张,那么5元纸币为(12-x)张,所以x+5(12-x)=48.故选A.)4.解析:把每个方程后面的两个数分别代入原方程,如果左右两边相等,那么这个数就是方程的解,反之则不是.解:(1)把y=2代入原方程的左、右两边,左边=3×2-1=5,右边=2×2+1=5,左边=右边,所以y=2是方程3y-1=2y+1的解;把y=4代入原方程的左、右两边,左边=3×4-1=11,右边=2×4+1=9,左边≠右边,所以y=4不是方程3y-1=2y+1的解. (2)把x=2代入原方程的左、右两边,左边=3×(2+1)=9,右边=2×2-1=3,左边≠右边,所以x=2不是方程3(x+1)=2x-1的解;把x=- 4代入原方程的左、右两边,左边=3×(- 4+1)=- 9,右边=2×(- 4) -1=- 9,左边=右边,所以x=- 4是方程3(x+1)=2x-1的解.5.A(解析:由题意得女生有2(x-1)人,根据题意得2(x-1)+x=49.故选A.)6.A(解析:设乙数为x,根据甲数比乙数大2,则甲数为x+2,根据题意得出(x+2)+x=10.故选A.)7.B(解析:根据首、尾两端均栽上树,每间隔6米栽一棵,则缺少22棵,可知这一段公路长为6(x+22-1);若每隔7米栽1棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表示为7(x-1),根据公路的长度不变列出方程即可.)8.解析:一元方程指的是含有一个未知数的方程;一次方程指的是未知数的次数是1的方程;而一元一次方程指的是含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程.解:如图所示.这节课在设计上重点体现学生的自主探索.首先在引入时,问题设计体现出教师的教学活动是建立在学生认识发展水平和已有的知识经验的基础上,探究过程在对教材例题的处理上,让学生探索方程解法与算术解法的优劣,从而让学生在自主探索中进行比较,自己得出结论,较传统的教学活动而言,体现了学生的主体地位,着重于学生的探索活动,强调了学生的自我发现在方程的解的概念这部分的处理上的重要性.1.在教学的过程中,教师只局限于教材中的问题和例题,限制了学生的思维.2.对于一元一次方程的概念的分析和实际问题中的等量关系的确定,教师没有重点指导.3.在探索方程的解的过程中,没有让学生主动去探索尝试.教师要能灵活地运用教材,并加以创造.可以设计一些其他的应用问题,让学生寻找等量关系.一元一次方程的概念学生第一次接触到,可以让学生通过判断、辨析等手段加以强化.明确一元一次方程的“一元”和“一次”两个重要的特点.在探索方程解的时候,一定要让学生自己去想、小组合作去探究方程的解,教师一定要相信学生,给学生自主思考的空间和时间,让学生自己得到答案.练习(教材第80页)1.解:设沿跑道跑x周可以跑3000 m,则400x=3000.2.解:设甲种铅笔买了x支,则乙种铅笔买了(20-x)支,所以0.3x+0.6(20-x)=9.3.解:设上底为x cm,则下底为(x+2)cm,所以=40,即=40.4.解:设小水杯的单价为x元,则大水杯的单价为(x+5)元,根据题意得10(x+5)=15x.下列各式中,是方程的为()A.3=5-2B.3+4xC.5a-6=3D.2x+3>4x-5〔解析〕本题考查方程的定义.A选项为一个等式,但等式中不含有未知数,故不是方程;B选项含有未知数,但不是一个等式,也不是方程;D选项含有未知数,但不是等式,故也不是方程.故选C.〔解题策略〕方程有两个条件:(1)式子中必须含有未知数;(2)式子必须是等式.检验0,1,2三个数是否为方程3(x+1)=2(2x+1)的解.〔解析〕判断一个数是不是原方程的解,必须用这个数替换方程中的未知数,并计算方程左、右两边的值是否相等.解:将x=2分别代入原方程左、右两边,左边=3×(2+1)=9,右边=2×(2×2+1)=10.左边≠右边,所以x=2不是原方程的解.将x=1分别代入原方程左、右两边,左边=3×(1+1)=6,右边=2×(2×1+1)=6.左边=右边,所以x=1是原方程的解.将x=0分别代入原方程左、右两边,左边=3×(0+1)=3,右边=2×(2×0+1)=2.左边≠右边,所以x=0不是原方程的解.〔解题策略〕使方程左、右两边相等的未知数的值称为方程的解.判断一个数是不是原方程的解,直接根据条件代入方程的两边进行计算即可.3.1.2等式的性质。
人教版数学七年级上册单元教案-第三章《一元一次方程》
第三章 一元一次方程3．1 从算式到方程3．1.1 一元一次方程01 教学目标1．能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系，再根据等量关系列出方程．2．理解方程、一元一次方程的定义及解的概念．3．掌握检验某个数值是不是方程的解的方法．02 预习反馈阅读教材P78～80，完成下列内容．1．含有未知数的等式叫方程．2．只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．3．解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．4．判断下列各题是不是一元一次方程，是打“√”，不是打“×”．(1)x ＋3＝4；(√)(2)42x ＋13＝6－y ；(×)(3)1x＝6；(×) (4)2x －8>－10.(×)5．根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：(1)练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元．问：小明买了几本练习本？解：设小明买了x 本，列方程得：0.8x ＝10－4.4．(2)长方形的周长为24 cm ，长比宽多2 cm ，求长和宽分别是多少．解：设长为x cm ，则宽为(x －2)cm ，依题意得方程：2(x ＋x －2)＝24．03 名校讲坛例1 (教材补充例题)下列方程是一元一次方程的是(B)A ．x 2＋x ＝5B ．x ＋x 3＝4C ．x ＋y ＝7 D.5x －9＝2 【点拨】 一元一次方程的四个组成要素：(1)含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是方程；(4)等号两边都是整式．【跟踪训练1】 (《名校课堂》3.1.1习题)已知式子：①3－4＝－1；②2x －5y ；③1＋2x ＝0；④6x ＋4y ＝2；⑤3x 2－2x ＋1＝0，其中是等式的有①③④⑤，是方程的有③④⑤.例2 (教材补充例题)检验下列方程后面括号内的数是不是方程的解．(1)3x －1＝2(x ＋1)－4；(x ＝－1)(2)6x －53＝3(x －2)．(x ＝13) 解：(1)把x ＝－1代入方程，左边＝－3－1＝－4，右边＝2(－1＋1)－4＝－4，则左边＝右边．故x ＝－1是方程的解．(2)把x ＝13代入方程，左边＝6×13－53＝2－53＝－1， 右边＝3(13－2)＝－5， 左边≠右边，则x ＝13不是方程的解. 【点拨】 判断一个数是不是某个方程的解的方法：根据方程的解的定义，只要用这个数代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等即可，如果左边＝右边，那么这个数就是方程的解；否则，这个数就不是方程的解．【跟踪训练2】 (《名校课堂》3.1.1习题)检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解：(1)2x －3＝5(x －3){x ＝6，x ＝4}；解：x ＝6不是方程的解，x ＝4是方程的解．(2)4x ＋5＝8x －3{x ＝3，x ＝2}．解：x ＝3不是方程的解，x ＝2是方程的解．例3 (教材P79例1)根据下列问题，设未知数并列出方程：(1)用一根长24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(2)一台计算机已使用1 700 h ，预计每月使用150 h ，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2 450 h?(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：(1)设正方形的边长为x cm.列方程 4x ＝24.(2)设x 月后这台计算机的使用时间达到2 450 h ，那么在x 月里这台计算机使用了150x h.列方程 1 700＋150x ＝2 450.(3)设这个学校的学生数为x ，那么女生数为0.52x ，男生数为(1－0.52)x.列方程 0.52x －(1－0.52)x ＝80.【点拨】 设未知数，找等量关系，用方程表示简单实际问题中的相等关系．【跟踪训练3】 (《名校课堂》3.1.1习题)根据题意列出方程：(1)《文摘报》每份0.5元，《信息报》每份0.4元，小刚用7元钱买了两种报纸共15份，他买的两种报纸各多少份？(2)水上公园某一天共售出门票128张，收入912元，门票价格为成人每张10元，学生可享受六折优惠．这一天出售的成人票与学生票各多少张？解：(1)设买《文摘报》x 份，则买《信息报》(15－x)份，根据题意列方程，得0．5x ＋0.4(15－x)＝7.(2)设出售成人票x 张，则出售学生票(128－x)张，根据题意列方程，得10x ＋60%×10×(128－x)＝912.04 巩固训练1．下列方程的解为x ＝2的是(C)A ．5－x ＝2B ．3x －1＝4－2xC ．3－(x －1)＝2x －2D ．x －4＝5x －22．在2＋1＝3，4＋x ＝1，y 2－2y ＝3x ，x 2－2x ＋1中，一元一次方程有(A)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．“一个数比它的相反数大－4”，若设这个数是x ，则可列出关于x 的方程为(B)A ．x ＝－x ＋4B ．x ＝－x ＋(－4)C ．x ＝－x －(－4)D ．x －(－x)＝44．小丁今年5岁，妈妈今年30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？设x 年后，妈妈的年龄是小丁的2倍，则x 年后小丁的年龄为(x ＋5)岁，妈妈的年龄为(x ＋30)岁．根据题意列出方程为2(x ＋5)＝(x ＋30)．05 课堂小结1．方程及一元一次方程的定义．2．如何列方程，什么是方程的解．3．1.2 等式的性质01 教学目标1．了解等式的两条性质．2．会用等式的性质解简单的一元一次方程．02 预习反馈阅读教材P81～82，完成下列内容．1．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a ＝b ，那么a±c ＝b±c ．2．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a＝b(c ≠0)，那么a c ＝b c． 3．已知a ＝b ，请用“＝”或“≠”填空：(1)3a ＝3b ； (2)a 4＝b 4； (3)－5a ＝－5b. 4．利用等式的性质解下列方程：(1)x －9＝6; (2)－0.2x ＝10.解：(1)x ＝15. (2)x ＝－50.03 名校讲坛例1 (教材补充例题)(1)若m ＋2n ＝p ＋2n ，则m ＝p ，依据等式的性质1等式两边都减去2n ；(2)若2a ＝2b ，则a ＝b ，根据等式的性质2，等式两边都除以2．【点拨】 利用等式的性质对等式进行恒等变形的“三点注意”：(1)等式性质1和等式性质2是等式恒等变形的重要依据；(2)利用等式的性质1，等式的两边必须同加或同减一个数(或式子)；(3)利用等式的性质2，等式两边必须同乘或同除以一个不为0的数．【跟踪训练1】 (《名校课堂》3.1.2习题)说出下列各等式变形的依据：(1)由x －5＝0，得x ＝5；解：根据等式的性质1，等式两边同时加5.(2)由－y 3＝10，得y ＝－30； 解：根据等式的性质2，等式两边同时乘－3.(3)由2＝x －3，得－x ＝－3－2.解：根据等式的性质1，等式两边同时减(x ＋2)．例2 (教材P82例2)利用等式的性质解下列方程：(1)x ＋7＝26；(2)－5x ＝20；(3)－13x －5＝4. 分析：要使方程x ＋7＝26转化为x ＝a(常数)的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出x 的值，你可以类似地考虑另两个方程如何转化为x ＝a 的形式．解：(1)两边减7，得x ＋7－7＝26－7.于是x ＝19.(2)两边除以－5，得－5x －5＝20－5. 于是x ＝－4.(3)两边加5，得－13x －5＋5＝4＋5. 化简，得－13x ＝9. 两边乘－3，得x ＝－27.【点拨】 利用等式的性质解一元一次方程ax ＋m ＝n 的步骤：(1)利用等式性质1将已知方程化为ax ＝b 的形式(即方程左边只含未知项，右边是常数)；(2)利用等式的性质2将方程ax ＝b(a ≠0)化为x ＝b a的形式(即方程左边未知数的系数是1，右边是常数)． 【跟踪训练2】 (《名校课堂》3.1.2习题)利用等式的性质解方程：(1)8＋x ＝－5；解：两边减8，得x ＝－13.(2)4x ＝16；解：两边除以4，得x ＝4.(3)3x －4＝11.解：两边加4，得3x ＝15.两边除以3，得x ＝5.04 巩固训练1．方程－6x ＝3的两边都除以－6，得(C)A ．x ＝－2B ．x ＝12C ．x ＝－12D ．x ＝2 2．下列结论中，正确的是(B)A ．在等式3a －6＝3b ＋5的两边都除以3，可得等式a －2＝b ＋5B ．如果2＝－x ，那么x ＝－2C ．在等式5＝0.1x 的两边都除以0.1，可得等式x ＝0.5D ．在等式7x ＝5x ＋3的两边都减去x －3，可得等式6x －3＝4x ＋63．如果am ＝an ，那么下列等式不一定成立的是(C)A ．am －3＝an －3B ．5＋am ＝5＋anC ．m ＝nD ．0.5am ＝0.5an4．利用等式的性质解下列方程：(1)－a 2－3＝5; (2)3x ＋6＝31＋2x. 解：(1) a ＝－16.(2)x ＝25.05 课堂小结1．等式有哪些性质？2．应用等式的性质对等式进行变形时的注意点：(1)等式两边都要参加运算，并且是做同一种运算；(2)等式两边加、减、乘、除的数或式子一定相同；(3)0不能作除数；(4)不能像算式那样写连贯的等号．3．2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项第1课时 利用合并同类项解一元一次方程01 教学目标经历把方程等号两边分别合并同类项的过程，能用合并同类项解一元一次方程．02 预习反馈阅读教材P86～87“问题1及例1”，完成下列内容．1．形如“ax ＋bx ＝c ”的方程，先合并同类项，再把未知数系数化为1．2．补全下列解方程的过程：(1)6x －x ＝4；解：合并同类项，得 5x ＝4.系数化为1，得x ＝45． (2)－4x ＋6x －0.5x ＝－0.3.解：合并同类项，得1.5x ＝－0.3.系数化为1，得x ＝－15． 03 名校讲坛例 (教材P87例1变式)解下列方程：(1)x 2＋x ＋2x ＝140; (2)3x －1.3x ＋5x －2.7x ＝－12×3－6×4.解：(1)x ＝40. (2)x ＝－15.【点拨】 用合并同类项解一元一次方程的步骤：(1)合并同类项，把原方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式；(2)系数化为1，若合并后未知数的系数是1，则没有这个步骤．系数化为1的技巧：①若未知数的系数是不等于0和1的整数，则方程两边除以这个整数；②若未知数的系数是分数m n ，则方程两边乘它的倒数，即乘n m； ③若未知数的系数是带分数(小数)，则先化为假分数(分数)，再按情形②处理．总之，不要一律地除以未知数的系数，要视具体情况灵活处理．【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第1课时习题)解下列方程：(1)6x －5x ＝3；解：合并同类项，得x ＝3.(2)－x ＋3x ＝7－1；解：合并同类项，得2x ＝6.系数化为1，得x ＝3.(3)x 2＋5x 2＝9； 解：合并同类项，得3x ＝9.系数化为1，得x ＝3.(4)6y ＋12y －9y ＝10＋2＋6.解：合并同类项，得9y ＝18.系数化为1，得y ＝2.04 巩固训练1．对于方程8x ＋6x －10x ＝6进行合并正确的是(C)A ．3x ＝6B ．2x ＝6C ．4x ＝6D ．8x ＝62．方程18x －3x ＋5x ＝11的解是(C)A ．x ＝2611B ．x ＝－2011C ．x ＝1120D ．x ＝11103．方程10x －2x ＝6＋1两边合并后的结果为8x ＝7，其解为x ＝78． 4．解下列方程：(1)－10x －6x ＝－7＋15; (2)23x －56x ＝－67； (3)14x －12x ＝－7－6; (4)－32y －3y ＝52－2. 解：(1)x ＝－12. (2)x ＝367. (3)x ＝52. (4)y ＝－19. 05 课堂小结1．你今天学习的解方程有哪些步骤？合并同类项，系数化为1(等式的性质2)．2．合并同类项即是将方程中含未知数的项和常数项分别合并，系数化为1的依据是等式的性质2.第2课时 利用合并同类项解一元一次方程的实际问题01 教学目标经历用“总量＝各部分量的和”这一基本关系列一元一次方程解决实际问题的过程，掌握一元一次方程的简单应用．02 预习反馈阅读教材P86“例1”，完成下列内容．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，求今年购置计算机的数量．解：设今年购置计算机x 台，则去年购置计算机13x 台．根据题意，得x ＋13x__＝100，解得x ＝75. 答：今年购置计算机75台．03 名校讲坛例 (教材P86例1变式)中国某明星与麦当劳公司签约，该明星作为麦当劳的形象代言人，三年获酬金1 400万美元，若前一年的酬金是后一年的一半，且不考虑税金，则他第一年应得酬金多少万美元？解：设该明星第一年的酬金为x 万美元，则第二年的酬金为2x 万美元，第三年的酬金为4x 万美元，由题意，得 x ＋2x ＋4x ＝1 400，即7x ＝1 400.等式两边都除以7，得x ＝200.答：该明星第一年应得酬金200万美元．【点拨】【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第2课时习题)麻商集团三个季度共销售冰箱2 800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍，第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台？解：设麻商集团第二个季度销售冰箱x 台，则第一个季度销售量为2x 台，第三个季度销售量为4x 台．根据总量等于各分量的和，得x ＋2x ＋4x ＝2 800.解得x ＝400.答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．04 巩固训练1．已知某数的3倍与这个数的2倍的和是30，求这个数．解：设这个数是x.根据题意，得3x ＋2x ＝30.解得x ＝6.答：这个数是6.2．据某统计数据显示，在我国的700座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数是严重缺水城市数的4倍，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水的城市有多少座？解：设严重缺水的城市有x 座．根据题意，得4x ＋2x ＋x ＝700.解得x ＝100.答：严重缺水的城市有100座．3．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍，蜘蛛、蜻蜓各有多少只？解：设蜘蛛有x 只，则蜻蜓有2x 只，根据题意，得8x ＋6×2x ＝120.解得x ＝6.所以蜻蜓有：6×2＝12(只)．答：蜘蛛有6只，蜻蜓有12只．05 课堂小结如何列方程？分哪些步骤？(1)设未知数；(2)分析题意找出等量关系；(3)根据等量关系列方程．第3课时 利用移项解一元一次方程01 教学目标1．经历利用等式的性质解一元一次方程的过程，通过观察、比较、归纳出移项的法则．2．能用移项解一元一次方程．02 预习反馈阅读教材P88～89“问题2及例3”，完成下列内容．1．把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．2．补全下列解方程的过程：(1)5x －8＝－3x －2;解：移项，得5x ＋3x ＝－2＋8．合并同类项，得8x ＝6.系数化为1，得x ＝34. (2)3x ＋7＝32－2x.解：移项，得3x ＋2x ＝32－7．合并同类项，得5x ＝25．系数化为1，得x ＝5．03 名校讲坛例1 (教材P89例3变式)解下列方程：(1)x －2＝3－x ；(2)－x ＝1－2x ；(3)x －2x ＝1－23x ； (4)x －3x －1.2＝4.8－5x.解：(1)x ＝52. (2)x ＝1. (3)x ＝－3. (4)x ＝2. 【点拨】 移项时要改变项的符号，通常把含未知数的项移到方程的左边，而常数项移到方程的右边．【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第3课时习题)解下列方程：(1)4x ＝9＋x ；解：移项，得4x －x ＝9.合并同类项，得3x ＝9.系数化为1，得x ＝3.(2)4－35m ＝7； 解：移项，得－35m ＝7－4. 合并同类项，得－35m ＝3. 系数化为1，得m ＝－5.(3)4x ＋5＝3x ＋3－2x ；解：移项，得4x －3x ＋2x ＝－5＋3.合并同类项，得3x ＝－2.系数化为1，得x ＝－23.(4)8y －3＝5y ＋3.解：移项，得8y －5y ＝3＋3.合并同类项，得3y ＝6.系数化为1，得y ＝2.04 巩固训练1．下列变形过程中，属于移项的是(C)A ．由3x ＝－1，得x ＝－13B ．由x 4＝1，得x ＝4 C ．由3x ＋5＝0，得3x ＝－5D ．由－3x ＋3＝0，得3－3x ＝02．对方程2x －3＋x ＝6进行移项，下列正确的是(C)A ．2x －x ＝6＋3B ．2x －x ＝6－3C ．2x ＋x ＝6＋3D ．2x ＋x ＝6－33．方程3x ＋1＝2x 的解是(A)A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－2D ．x ＝24．解下列方程：(1)5x ＝3x －12;(2)8x －5＝7x ＋2；(3)12x －7＝8x －3;(4)7y ＋8＝2y －5－3y.解：(1)x ＝－6.(2)x ＝7.(3)x ＝1.(4)y ＝－138. 05 课堂小结1．今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步骤？每一步的依据是什么？2．移项的“两注意”：(1)“两变”，即一变位置(从方程的一边移到另一边)，二变符号，不要只变位置而不变符号；(2)要与交换律加以区别，在方程的同一边交换项的位置时，符号不变.第4课时 利用移项解一元一次方程的实际问题01 教学目标经历用“表示同一个量的两个不同的式子相等”这一基本关系列一元一次方程解决实际问题的过程，掌握一元一次方程的简单应用．02 预习反馈阅读教材P90“例4”，完成下列内容．某果园12的面积种植了苹果树，14的面积种植了葡萄树，其余40 000 m 2的面积种植了桃树．求这个果园的面积． 解：设这个果园的面积是x m 2，根据题意，得12x ＋14x ＋40 000＝x ． 解得x ＝160__000．答：这个果园的面积是160__000__m 2．03 名校讲坛例 (教材P90例4变式)将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少12颗，这个班共有多少名小朋友？解：设这个班共有x 名小朋友．根据题意，得2x ＋8＝3x －12，解得x ＝20.答：这个班共有20名小朋友．【点拨】 用“表示同一个量的两个不同的式子相等”列一元一次方程解决实际问题的步骤：(1)设两个未知量中的一个为未知数x ；(2)用含x 的两个不同式子表示另一个未知量；(3)建立一元一次方程；(4)解方程；(5)检验，作答．【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第4课时习题)清明节期间，七(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人．该班共有多少名同学？解：设一共分为x 个小组．由题意，得7x ＋3＝8x －5.解得x ＝8.则7x ＋3＝7×8＋3＝59.答：该班共有59名同学．04 巩固训练1．用大小两台拖拉机耕地，每小时共耕地30亩．已知大拖拉机的效率是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？解：设小拖拉机每小时耕地x 亩．根据题意，得30－x ＝1.5x.解得x ＝12.答：小拖拉机每小时耕地12亩．2．学校举办秋季田径运动会，八年级(1)班班委会为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶，那么剩余16瓶；如果每人发3瓶，那么少24瓶．问该班有多少人参加比赛？解：设该班有x 人参加比赛．依题意，得2x ＋16＝3x －24.解得x ＝40.答：该班有40人参加比赛．3．根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．解：设梅花鹿现在高x m.根据题意，得3x ＋1＝x ＋4.解得x ＝1.5.所以x ＋4＝5.5.答：梅花鹿现在高1.5 m ，长颈鹿现在高5.5 m.05 课堂小结1．学生试述本节课学了哪些内容？2．本节课讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？3．3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母第1课时 利用去括号解一元一次方程01 教学目标1．经历从实际问题中抽象出一元一次方程，且用去括号法则化简、求解方程的过程．2．会解含有括号的一元一次方程．02 预习反馈阅读教材P93～94“问题1及例1”，完成下列内容．1．要去括号，就要根据去括号法则及乘法分配律，特别是当括号前是“－”号时，去括号时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号．2．补全下列解方程的过程：(1)2(x －2)＝－(x ＋3);解：去括号，得2x －4＝－x －3.移项，得2x ＋x ＝－3＋4.合并同类项，得3x ＝1.系数化为1，得x ＝13. (2)2(x －4)＋2x ＝7－(x －1)．解：去括号，得2x －8＋2x ＝7－x ＋1.移项，得2x ＋2x ＋x ＝7＋1＋8.合并同类项，得5x ＝16.系数化为1，得x ＝165. 03 名校讲坛例 (教材P94例1变式)解方程：(1)4x ＋2(x －2)＝12－(x ＋4)；(2)6(12x －4)＋2x ＝7－(13x －1)； (3)3(x －2)＋1＝x －(2x －1)．解：(1)x ＝127. (2)x ＝6. (3)x ＝32.【点拨】【跟踪训练】 (《名校课堂》3.3第1课时习题)解下列方程：(1)3(x －4)＝12；解：去括号，得3x －12＝12.移项，得3x ＝12＋12.合并同类项，得3x ＝24.系数化为1，得x ＝8.(2)2(3x －2)－5x ＝0；解：去括号，得6x －4－5x ＝0.移项，得6x －5x ＝4.合并同类项，得x ＝4.(3)5－(2x －1)＝x ；解：去括号，得5－2x ＋1＝x.移项，得－2x －x ＝－5－1.合并同类项，得－3x ＝－6.系数化为1，得x ＝2.(4)12(x －2)＝3－12(x －2)． 解：去括号，得12x －1＝3－12x ＋1. 移项，得12x ＋12x ＝3＋1＋1. 合并同类项，得x ＝5.04 巩固训练1．将方程3(x －1)＝6去括号，正确的是(D)A ．3x －1＝6B ．x －3＝6C ．3x ＋3＝6D ．3x －3＝62．方程2(x －1)＝x ＋2的解是(D)A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝43．解方程：3(3x ＋5)＝2(2x －1)．解：去括号，得9x ＋15＝4x －2．移项，得9x －4x ＝－2－15．合并同类项，得5x ＝－17．系数化为1，得x ＝－175． 4．解下列方程：(1)2－(1－x)＝－2; (2)4(2－x)－4(x ＋1)＝60.解：(1)x ＝－3. (2)x ＝－7.05 课堂小结用去括号解一元一次方程的步骤：(1)去括号；(2)移项；(3)合并同类项；(4)系数化为1.第2课时 利用去括号解一元一次方程的实际问题01 教学目标经历解决在水中航行的问题的过程，会列含括号的一元一次方程解决实际问题．02 预习反馈阅读教材P94“例2”，完成下列内容．学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一的同学每人搬6块，其他年级的同学每人搬8块，总共搬了400块，问初一的同学有多少人参加了搬砖？解：设初一的同学有x 人参加了搬砖．根据题意，得6x ＋8(65－x)＝400.去括号，得6x ＋520－8x ＝400.移项，得6x －8x ＝400－520．合并同类项，得－2x ＝－120．系数化为1，得x＝60．答：初一的同学有60人参加了搬砖．03名校讲坛例(教材P94例2变式)一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h．已知水流的速度是3 km/h，求甲、乙两码头之间的距离．解：设船在静水中的速度为x km/h，则，顺流速度为(x＋3)km/h，逆流速度为(x－3)km/h，依题意，得2(x＋3)＝2.5(x－3)，解得x＝27，2(x＋3)＝60.答：甲、乙两码头之间的距离为60 km.【点拨】解决水中航行问题的关键：(1)弄清以下数量关系：①路程＝速度×时间．②顺流行驶速度＝静水中的速度＋水的速度，即v顺＝v静＋v水；逆流行驶速度＝静水中的速度－水的流速，即v逆＝v静－v水．③v顺－v水＝v逆＋v水．(2)确定建立方程的根据：①求速度时，根据往返的路程相等列方程．②求两码头间的距离时，既可设间接未知数，也可设直接未知数，若是前者，则根据往返路程相等列方程；若是后者，则根据“表示静水中速度的两个不同的式子相等”列方程．【跟踪训练】(《名校课堂》3.3第2课时习题)丽水市为打造“浙江绿谷”品牌，决定在省城举办农副产品展销活动．某外贸公司推出品牌产品“山山牌”香菇、“奇尔”惠明茶共10吨前往参展，用6辆汽车装运，每辆汽车规定满载，且只能装运一种产品．因包装限制，每辆汽车满载时能装香菇1.5吨或茶叶2吨．问装运香菇、茶叶的汽车各需多少辆？解：设装运香菇的汽车需x辆．根据题意，得1．5x＋2(6－x)＝10.解得x＝4.所以6－x＝2.答：装运香菇、茶叶的汽车分别需要4辆和2辆．04巩固训练1．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h．已知船在静水中的平均速度为27 km/h，求水流的速度．解：设水流的速度为x km/h.根据题意，得2(27＋x)＝2.5(27－x)解得x＝3.答：水流的速度为3 km/h.2.甲粮仓存粮1 000吨，乙粮仓存粮798吨，现要从两个粮仓中共运走212吨粮食，使两仓库剩余的粮食数量相等，那么应从这两个粮仓各运出多少吨？解：设从甲粮仓运出x吨，则从乙粮仓运出(212－x)吨．由题意，得1000－x＝798－(212－x)．解得x＝207.212－207＝5(吨)．答：从甲仓库运出207吨，从乙仓库运出5吨．3．杭州新西湖建成后，某班40名同学去划船游湖，一共租了8条小船，其中有可坐4人的小船和可坐6人的小船，40名同学刚好坐满8条小船，问这两种小船各租了几条？解：设可坐4人的小船租了x条．根据题意，得4x＋6(8－x)＝40.解得x＝4，所以8－x＝4.答：可坐4人的小船租了4条，可坐6人的小船租了4条．05课堂小结通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又有哪些收获？第3课时利用去分母解一元一次方程01教学目标1．经历利用等式的性质2，将方程中系数都化为整数并求解的过程，会解含有分母的一元一次方程．2．经历用一元一次方程解决实际问题的过程，会列含分母的一元一次方程解决实际问题．02 预习反馈阅读教材P95～97“问题2及例3”，完成下列内容．1．解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．通过这些步骤可以使以x 为未知数的方程逐步向着x ＝a 的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等．2．解方程：3x ＋x －12＝x ＋14－2x －13. 解：两边都乘12，去分母，得12×3x ＋6(x －1)＝3(x ＋1)－4(2x －1)．去括号，得36x ＋6x －6＝3x ＋3－8x ＋4．移项，得36x ＋6x －3x ＋8x ＝3＋4＋6．合并同类项，得47x ＝13．系数化为1，得x ＝1347． 3．碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢”．请问这群大雁有多少只？ 解：设这群大雁有x 只．由题意，得2x ＋12x ＋14x ＋1＝100. 解得x ＝36．答：这群大雁有36只．03 名校讲坛例1 (教材P97例3变式)解方程：(1)5x －14＝3x ＋12－2－x 3； (2)2x ＋13－x ＋26＝1； (3)3x －2x －12＝2－x －25. 解：(1)x ＝－17. (2)x ＝2.(3)x ＝1922. 【点拨】 解含分母的一元一次方程的注意点：(1)去分母时，如果分子是一个多项式，要将分子作为一个整体加上括号；(2)去分母时，整数项不要漏乘各分母的最小公倍数；(3)去括号时容易出现漏乘现象和符号错误．【跟踪训练1】 (《名校课堂》3.3第3课时习题)解下列方程：(1)2x －13＝x ＋24； 解：去分母，得8x －4＝3x ＋6.移项，得8x －3x ＝4＋6.合并同类项，得5x ＝10.系数化为1，得x ＝2.(2)2x －12＝x ＋24－1； 解：去分母，得4x －2＝x ＋2－4.移项，得4x －x ＝2＋2－4.合并同类项，得3x ＝0.系数化为1，得x ＝0.(3)x －32－4x ＋15＝1； 解：去分母，得5(x －3)－2(4x ＋1)＝10.去括号，得5x －15－8x －2＝10.移项，得5x －8x ＝15＋2＋10.合并同类项，得－3x ＝27.系数化为1，得x ＝－9.(4)2x ＋13＝1－x －15. 解：去分母，得5(2x ＋1)＝15－3(x －1)．去括号，得10x ＋5＝15－3x ＋3.移项，得10x ＋3x ＝－5＋15＋3.合并同类项，得13x ＝13.系数化为1，得x ＝1.例2 (教材补充例题)书正和子轩两人登一座山，书正每分钟登高10米，并且先出发30分钟，子轩每分钟登高15米，两人同时登上山顶．这座山有多高？解：设这座山高x 米，依题意，有x －10×3010＝x 15，解得x ＝900. 答：这座山高900米．【跟踪训练2】 某船从A 地顺流而下到达B 地，然后逆流返回，到达A 、B 两地之间的C 地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时．A 、C 两地之间的距离为10千米，求A 、B 两地之间的距离．解：设A 、B 两地之间的距离为x 千米，则B 、C 两地之间的距离为(x －10)千米，由题意，得x 8＋2＋x －108－2＝7，解得x ＝32.5. 答：A 、B 两地之间的距离为32.5千米．04 巩固训练1．解方程3x －72－1＋x 3＝1，去分母后的方程为(D) A ．3(3x －7)－2＋2x ＝6 B ．3x －7－(1＋x)＝1C ．3(3x －7)－2(1－x)＝1D ．3(3x －7)－2(1＋x)＝62．如果式子1－2x 3的值等于5，那么x 的值是(B) A ．－5 B ．－7 C ．3 D ．53．解下列方程：(1)y －12＝y ＋25； (2)2x －23－2x －36＝1. 解：(1)y ＝3. (2)x ＝72. 4．一块金银合金重770克，金放在水中质量减轻119，银放在水中质量减轻110，这块合金放在水中质量一共减轻50克，这块合金中金、银各多少？解：设合金中含金x 克，则含银(770－x)克．根据题意，得119x ＋110×(770－x)＝50. 解得x ＝570.所以770－x＝770－570＝200.答：这块合金中含金570克，含银200克．05课堂小结1．去分母解一元一次方程时要注意什么？2．去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘各分母最小公倍数的目的是什么？3．4实际问题与一元一次方程第1课时和差倍分问题01教学目标能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列一元一次方程解决和差倍分问题．02预习反馈出青林场今年植树2 800棵，比去年植树的2倍还多400棵，去年植树多少棵？(1)这个题目中的已知量是今年植树棵树，未知量是去年植树棵树；(2)这个题目中的等量关系是今年植树棵树＝2×去年植树棵树＋400棵；(3)列出方程解答这个问题．解：设去年植树x棵．根据题意，得2 800＝2x＋400.解得x＝1 200.答：去年植树1 200棵．03名校讲坛例清池中学少年宫为鼓励阳光少年自尊自爱，勤奋学习，准备对五名表现相当优秀的阳光少年进行奖励．通过了解，好乐多超市每支钢笔的价格比每本笔记本高8元，用124元恰好可以买到3支钢笔和2本笔记本．每支钢笔和每本笔记本的价格各是多少元？【分析】设每支钢笔的价格为x元，则每本笔记本的价格为(x－8)元．根据用124元恰好可以买到3支钢笔和2本笔记本，列一元一次方程求解．【解答】设每支钢笔的价格为x元，则每本笔记本的价格为(x－8)元．根据题意，得3x＋2(x－8)＝124.解得x＝28.则x－8＝20(元)．答：每支钢笔的价格为28元，每本笔记本的价格为20元．【点拨】用“各分量之和等于总量”列一元一次方程．【跟踪训练】为促进教育均衡发展，A市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人．解：设女生有x人，根据题意，得x＋x＋3＝45.解得x＝21.则x＋3＝24.答：该班男生有24人，女生有21人．04巩固训练1．某市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，那么树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，那么树苗正好用完，设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是(A)A．5(x＋21－1)＝6(x－1) B．5(x＋21)＝6(x－1)C．5(x＋21－1)＝6x D．5(x＋21)＝6x【点拨】用表示同一个量的两个不同的式子相等列一元一次方程．2．把300个苹果按4∶5∶6分给幼儿园的小、中、大三个班．小班、中班、大班各分得多少个苹果？解：设一份为x个苹果，则小班、中班、大班分别为4x、5x、6x.根据题意，得4x＋5x＋6x＝300.解方程，得x＝20.则4x＝80，5x＝100，6x＝120.。
人教部编版七年级数学上册《三章 一元一次方程 数学活动》精品课教案_2
第三章一元一次方程--数学活动教学目标1．知识与技能运用一元一次方程解决现实生活中的问题，进一步体会“建模”思想方法．2．过程与方法（1）通过数学活动使学生进一步体会一元一次方程和实际问题中的关系. （2）通过动手试验与动脑分析相结合，积累学习公式推导的经验积累. 3．情感态度与价值观通过数学活动，激发学生学习数学兴趣，增强自信心，进一步发展学生合作交流的意识和能力，体会数学与现实的联系，培养学生求真的科学态度．重、难点与关键1.重点：经历探索具体情境中的数量关系，体会一元一次方程与实际问题之间的数量关系，会用方程解决实际问题．2.难点：以上重点也是难点．3.关键：明确问题中的已知量与未知量间的关系，寻找等量关系．教具准备：每组一根质地均匀的直尺，一些等重的小物体和一个支架．教学过程一、温故知新二、活动本活动，课前布置学生做好活动前的准备工作：请学生按照小组活动座位做好.1．准备一根质地均匀的直尺、一些等重的小物体和一个支架．2．分组．（6人一组，组成4组）3．探究活动：（1）在直尺中间处栓绳，将直尺吊起并使其左右平衡，吊绳处为直尺的支点. 注意：如果把直尺中点放在支点上，但直尺左右不平衡，说明直尺质地不均匀．（2）在直尺两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；注意：中点不要移动，还是在原来的支点上，棋子要放在直尺的末端，离中点位置相等．（3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a和b；（4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a和b；（5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录.根据统计记录能发现什么规律？以上活动数据可以填写在预先设计的记录表上．根据记录下的a、b值，探索a与b的关系，（目测可能有点误差，分析原因）展示各小组的活动数据观察思考，小组讨论，互相交流总结：从以上表格中我发现了杠杆平衡的条件动力×动力臂=阻力×阻力臂如右图，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂 n个重物，并使左右平衡.设木杆长为l cm，支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm，把n，l作为已知数，列出关于x的一元一次方程.解：杠杆平衡的条件动力×动力臂=阻力×阻力臂得xn l2总结语：给我一个支点，我就能撬起整个地球！---阿基米德同学们，人生总要遇到各种困难，当我们的力量不够，就要更加努力，付出比别人更多的时间，精力，加大自己的动力臂，战胜困难！。
第三章《一元一次方程》教学设计(人教版初中数学七年级上册)
新人教版七年级上学期数学第三章一元一次方程教学内容本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析和解决实际问题。
分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。
通过丰富实例，从算式到方程建立一元一次方程，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“移项”、“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
本教案对列方程解决实际问题的内容作了较集中的归类讨论。
教学目标〔知识与技能〕1、理解一元一次方程及有关概念和等式的基本性质；2、熟练掌握一元一次方程的解法（数字系数）并学会运用一元一次方程解决简单的实际问题。
〔过程与方法〕经历解一元一次方程和列一元一次方程解决实际问题的过程，明确解一元一次方程和列一元一次方程的基本步骤，初步树立数学建模思想和体会化归思想的运用。
〔情感、态度与价值观〕在解决实际问题中，体会数学的应用价值，激发学习数学的欲望，提高分析问题和解决问题的能力。
重点难点一元一次方程的解法和运用是重点，列一元一次方程解决实际问题是难点。
课时分配3.1 从算式到方程…………………………………………2课时3.2 解一元一次方程的讨论(一)…………………………3课时3.3 解一元一次方程的讨论(一)…………………………4课时3.4 实际问题与一元一次方程…………………………3课时本章小结………………………………………… 2课时3．1．1一元一次方程[教学目标]理解一元一次方程的概念，会识别一元一次方程；了解方程的解，会验证方程的解；知道怎样列方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
人教版七年级上册数学第三章一元一次方程应用题——销售问题训练
人教版七年级上册数学第三章一元一次方程应用题——销售问题训练1．某商场进行元旦促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证，不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？（2）小张要买一台标价为4000元的冰箱，他按合算的方案（买卡或不买卡），买下这台冰箱，如果该商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？2．商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为40%，乙种商品每件进价60元，售价90元．（1）甲种商品每件进价为元，每件乙种商品利润率为（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2700元，求购进甲种商品多少件？3．某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？4．某种自创品牌的服装打折销售．如果每件服装按标价的7.5折出售，可盈利60元；若每件服装按标价的5折出售，则亏损60元．（1）每件服装的标价为多少元？（2）若这种服装一共库存80件．按着标价8折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利2400元，求按8折出售的服装有多少件？5．一件商品先按成本价提高50%标价，再以8折销售，售价为180元．（1）这件商品的成本价是多少（用一元一次方程解答）？（2）求此件商品的利润率．6．某商场销售的一款空调机每台的标价是1375元，在一次促销活动中，按标价的八折销可盈利10%．（1）求这款空调每台的进价；（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？7．某商店为尽快卖出积压服装，准备进行大减价，若按定价的六五折出售将赔30元，按定价的八折出售将赚15元，这种商品的定价是多少元？8．某商场原计划以1500元出售甲、乙两种商品，通过调整价格，甲提升20%，乙降价30%后，实际以1600元售出，则甲乙商品的实际售价分别是多少元？9．某饮品店推出A、B两款新口味饮品，经统计发现上周两款饮品销量一致，本周A款饮品销量减少了10%，但总销量却增加了5%，则本周B款饮品销量比上周增加了多少？10．一家商场将某种商品按成本价提高50%后标价出售，元旦期间，为答谢新老顾客对商场的光顾，打八折销售，每件商品仍可获利40元，请问这件商品的成本价是多少元？（列一元一次方程求解）11．某商场购进一批服装，一件服装的标价为400元．（1）若按标价的6折销售，则实际售价是多少？（2）在（1）的条件下销售这件服装仍可获利20%，问这件服装每件的进价为多少元？12．一盒“二代”冬枣的标价为200元，按标价的五折销售仍可获利20元．（1）一盒“二代”冬枣的成本价是多少钱？（2）一盒“二代”冬枣几折销售可获得利润80元？13．某商场以每部500元的价格购进某品牌手机共100部，加价50%后标价销售．在国庆期间，商场计划降价销售．如果商场按降价后的价格售完这批手机，仍可盈利20%，求应按几折销售．14．一水果经营户花380元从水果批发市场批发了香蕉和哈密瓜共50kg，到市场去卖，已知香蕉和哈密瓜当天的批发价和零售价如下表所示：（1）该水果经营户批发的香蕉和哈密瓜各是多少千kg？（2）他当天卖完这些香蕉和哈密瓜可赚多少元？15．某商店将甲种商品降价30%，乙种商品降价20%开展优惠促销活动．已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2400元，顾客A参加此次活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1830元．（1）求甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？（2）若商店在这次与顾客A的交易中，甲种商品亏损25%，乙种商品盈利25%，求商店在这次与顾客A 的交易中总的盈亏情况．16．某商场从厂家购进了A、B两种品牌的运动裤共100件，已知购买B品牌运动裤比购买A品牌运动裤多花6000元，其中A品牌运动裤每件进价是150元，B品牌运动裤每件进价是200元．（1）求购进A、B两种品牌运动裤各多少件？（2）在销售过程中，A品牌运动裤每件售价是230元，很快全部售出；B品牌运动裤每件按进价加价100%销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打七折出售剩余的B品牌运动裤，两种品牌运动裤全部售出后共获利14000元，有多少件B品牌运动裤打七折出售？17．目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共600只，这两种节能灯的进价、售价如表：（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？18．某个体商人以10%的年利率向别人借了5万元，第一年末还款25000元，第二年末以某种货物50件还了一部分．第三年末还款11000元，全部还清．他第二年年末用来还款的货物每件价值多少元？19．某种商品零售价每件900元，为了适应市场的竞争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10%．（1）这种商品每件的进价为多少元？（2）商店销售了这种商品100件，获利多少元？20．甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售．在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价9折出售，这样商店共获利114元．（1）求甲、乙两个玩具的成本各是多少元？（2）商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每个玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？。
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解：设2000年我国农民人均收入x元
（1＋3%）x＝2320
解得：x≈2252
设1999年我国人圴收入y元
［1＋（3%－1%）］y＝2252
y≈2208
答：2000年我国农民人均收入约2252元，1999年约2208元。
把事先借的报刊、图书拿出来，再收集一些数据，分析其中的等量关系，编成问题，看看能不能用一元一次方程解决这些问题。
2．分组．（ 4人一组）
开始做下面的实验：
（1）把直尺的中点放在一个支点上，使直尺左右两边平衡；
（2）在直尺两端各放一枚棋子，看看左右两边是否保持平衡；
（3）支点不动，在直尺一端的棋子上再加放一枚棋子，然后把这两枚摞在一起的棋子向支点移动，使左右两边保持平衡，记录支点到左右两边棋子中心位置的距离a和b；
（4）在两枚摞在一起的棋子上再加放一枚棋子，然后把这三枚摞在一起的棋子向支点移动，使左右两边保持平衡，记录支点到左右两边棋子中心位置的距离a和b；
（5）在一摞棋子上继续加放棋子，并重复以上操作和记录. 根据统计记录能发现什么规律？
以上实验过程可以填写在预先设计的记录表上．
实验次数
棋子个数
a、b的值
a与b的关系
解：设2011年国有控股工业企业的工业总产值为x亿元
（1＋11.67%）x＝14652
x≈13121
设2011年全国其它行业的工业总产值为y亿元
［1+（11.67－2.37）%］y＝18895
y≈17287
二、活动2
本活动，课前布置学生做好活动前的准备工作：
1．准备一根质地均匀的直尺（20cm）、一些相同的棋子和一个支架．
2000年我国农民人均收入×（1＋3%）＝2001年我国农民人均收入
增幅提高约1个百分点即：2001年比2000年增长约3%
2000年比1999年增长的百分数比3%少1个百分点，即：3%－1%
1999年我国农民人均收入×（1＋2%）＝2000年我国农民人均收入
根据等量关系，列方程：
试用一元一次方程解决以下问题：
从2000年至2012年，虽然国有企业的户数减少了，但国有及国有控股工业企业完成的工业增加值在不断增长，到2012年底已经升到14652亿元，比上一年增长11.67%，比全国各行业的增加值年均增长高出2.37个百分点。
你能算出2011年国有控股工业企业的工业总产值吗？还能算出全国其它行业的工业产值的增长百分比吗？经调查，2012年全国其它行业的工业产值是18895亿元，你能计算出2011年的总产值吗？
解：设支点距离放n枚棋子的一端距离为x，根据实验所得结论，支点离一枚棋子的一端距离为nx，根据相等关系，列方程：
x+L．
合并（1+n）x=L（n为x的系数，这里1+n≠0）
系数化为1，得x= ．
三、总结拓展
1、师生共同小结归纳
（1）方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本课主要利用一元一次方程解决最优方案的选择等实际问题。
左
右
a
b
第1次
第2次
第3次
第4次
…
第n次
根据统计记录能发现什么规律？
根据记录下的a、b值，探索a与b的关系，由于目测可能有点误差．
根据实验得出a、b之间关系，猜想，当第n次实验时，a和b的关系如何？ （a=nb）
如果直尺一端放一枚棋子，另一端放n枚棋子，支点应在直尺的哪个位置？ 设直尺长为L，用一元一次方程求解．
教学内容
第3章 一元一次方程 数学活动
教学目标
1、通过现实生活中的例子，体会到方程知识就在我们的生活中，培养学生应用方程知识解决实际问题的能力。在分析题意的基础上列出有关表达式，知道其中有关字母的取值范围会产生不同的结果，有助于认识变化的量对数量关系有影响，也为今后学习函数写下伏笔。
2、通过师生对话，与同学合作，共同探究，提高自主学习的能力，合作学习的能力，科学探究的能力。创设问题情景，使学生更加关注生活，增强用数学的意识，激发学生学习数学的热情。
教学重点
历探索具体情境中的数量关系， 体会一元一次方程与实际问题之间的数量关系，会用方程解决实际问题。
教学难点
以上重点也是难点。
教 学 过 程
个性思考
一、活动1
根据国家统计局资料报告，2006年我国农村居民人均纯收入3587元，比上一年增长10.2%，扣除价格因素，实际增长7.4%．
大部分学生能够理解“增长约3%”，但对于“增幅提高约1个百分点”不太理解，给一点时间让他们互相讨论，经过讨论，归纳得出：
（2）用方程解决实际问题时不仅要注意解方程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。
四、作业布置
从报刊、图书、网络等再收集一些数据，分析其中的等量关系， 编成问题，看看能否用一元一次方程解决这些问题．