2018-2019学年高二数学上册同步练习题12

章末复习提升课平面向量的线性运算向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律．利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．(2)(2018·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC→.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________． [解析] (1)因为 λa ＋b 与a ＋2b 平行， 所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.(2)因为 AM →＝2MC →， 所以AM →＝23AC →. 因为 BN→＝NC →， 所以AN →＝12(AB →＋AC →)， 所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16. [答案] (1)12 (2)12 －16向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.向量的夹角及垂直问题(1)两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系．(2)两个向量的夹角公式：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(1)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m－n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)已知a 、b 都是非零向量，若－3a ＋b 与5a ＋7b 垂直，16a ＋11b 与2a －7b 垂直，试求a 与b 的夹角．[解] (1)选B ．因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.(2)因为－3a ＋b 与5a ＋7b 垂直， 所以(－3a ＋b )·(5a ＋7b )＝0， 所以－15a 2－16a ·b ＋7b 2＝0.① 同样由16a ＋11b 与2a －7b 垂直， 得32a 2－90a ·b －77b 2＝0.②由11×①＋②，得－133a 2－266a ·b ＝0. 所以a ·b ＝－12a 2.③ 将③代入①，得a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |.设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝a ·b a2＝－12. 又因为θ∈[0°，180°]， 所以θ＝120°.解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单.向量的长度(模)与距离的问题求向量的模主要有以下两种方法：①利用公式|a |2＝a 2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；②利用公式|a |＝x 21＋y 21将其转化为实数运算，使问题得以解决．(1)设向量a ＝(0，－1)，向量b ＝(cos x ，sin x )，则|a ＋b |的取值范围为________．(2)设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，则|3a ＋b |的值为________． [解析] (1)a ＝(0，－1)，b ＝(cos x ，sin x )， 所以a ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． 所以|a ＋b |＝cos 2x ＋（sin x －1）2＝2－2sin x ＝2（1－sin x ）.因为－1≤sin x ≤1，所以0≤|a ＋b |≤2. (2)法一：因为|3a －2b |＝3， 所以9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又因为|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝13. 所以|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2 ＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9＋6×13＋1＝12. 所以|3a ＋b |＝23.法二：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 因为|a |＝|b |＝1，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1.因为3a －2b ＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2)，所以|3a －2b |＝（3x 1－2x 2）2＋（3y 1－2y 2）2＝3. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝13.所以|3a ＋b |＝（3x 1＋x 2）2＋（3y 1＋y 2）2 ＝9＋1＋6×13＝23.[答案] (1)[0，2] (2)2 3数形结合思想已知向量OB→＝(2，0)，向量OC →＝(2，2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA→与向量OB →的夹角的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2 D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 [解析] 如图，向量CA →的终点A 在以点C (2，2)为圆心、半径为2的圆上，OA 1，OA 2是圆的两条切线，切点分别为A 1，A 2.在Rt △OCA 1中，|OC →|＝22，|CA 1→|＝2， 所以∠COA 1＝π6.所以∠COA 2＝∠COA 1＝π6. 因为∠COB ＝π4， 所以∠A 1OB ＝π4－π6＝π12， ∠A 2OB ＝π4＋π6＝5π12，所以向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.[答案] D向量本身既有大小，又有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质——坐标运算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的两方面特征．两条直线平行、垂直，三点共线等几何问题，可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题.1．(2018·高考福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k B ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32 B ．－53 C ．53D ．32解析：选A .c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.2．(2018·吉林实验中学质检)已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定解析：选A .因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＞π2，所以A ＞π2－B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 所以p·q ＝sin A －cos B ＞0，故p ，q 的夹角为锐角．3．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．解析：AB →＝(3，－4)，与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫35，－45 4．(2018·高考浙江卷)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ， 因为 e 1·e 2＝12， 所以|e 1||e 2|cos θ＝12， 所以θ＝60°.又因为 b ·e 1＝b ·e 2＝1>0，所以b 与e 1的夹角等于b 与e 2的夹角等于30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1， 所以|b |＝132＝233.答案：2335．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，点F 在BC 上，且BF＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM→与HF →； (2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋B ．HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－23b ＝a －16B ．(2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6，从而AM →·HF →＝⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎪⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.。