浅谈可逆矩阵的求法

浅谈可逆矩阵的求法逆矩阵是数学中重要的基本概念之一，在《高等代数》和《线性代数》都占有重要的地位，同时，它是工程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，虽然《高等代数》和《线性代数》均有介绍逆矩阵的一些求法，但知识点比较分散，对适用的题型并没有给出明确的说明，本文从逆矩阵的定义、逆矩阵的性质、矩阵可逆的条件、求逆矩阵的常用方法、逆矩阵在实际问题中的简单应用这五个方面来论述，以便更好更快地解决有关逆矩阵的问题.求解方程()0ax b a =≠可以归结为对于给定的a 求1a -使11a a -=.现在把这个想法用到,Ax B xA B ==上，那么问题就变为对于给定的A ，能否找到1A -使11A A AA E --==.为此引入如下的定义一、 逆矩阵的定义设A 是数域P 上的一个方阵，如果存在数域P 上的n 阶方阵B ,使得AB BA E ==,则称A 是可逆的，此时B 称为A 的逆矩阵。

当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1A -.二、 逆矩阵的性质（1） 可逆矩阵A 的逆是唯一的，且()11A A --=.（2） 设A 是可逆矩阵，则A '可逆，且()()11A A --''=.（3） 设A 是可逆矩阵，则*A 也可逆.（4） 设A 是可逆矩阵，则11A A--=.（5） 设A 是可逆矩阵，则k A 可逆，且()()11kkAA --=.（6） 设A 是可逆矩阵，若AB AC =,则B C =.（7） 设A 是可逆矩阵，数0k ≠，则kA 可逆，而且()111kA A k--=. （8） 如果A 是m n ⨯矩阵，P 是m 阶可逆矩阵，Q 是n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===.（9） A 、B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆，且()111AB B A ---=;一般地，m 个n 阶矩阵，()1i A i m ≤≤的积可逆，且()1111112121m m m A A A A A A A ------⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.三、矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠.（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换化为n 阶单位矩阵. （3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积. （4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行（列）向量组线性无关. （5）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是线性方程组0Ax =仅有零解.（6）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是对任一n 元列向量b ，方程组Ax b =均有唯一解. （7）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值不为零.（8）正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的.（9）任何可逆实方阵都可以分解为正交阵Q 和上三角阵R 的乘积，其中R 的主对角元均为正. （10）设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S 和正交阵P ，使A PS =.四、求逆矩阵的常用方法１、定义法A 是数域P 上的一个n 阶方阵，设如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB BA E ==，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵，当A 矩阵可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1A -.例1：求矩阵223110121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵.解：因为0A ≠，所以1A -存在，设1112131212223313233x x x A x x x x x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由定义1AA E -= 于是 111213212223313233223100110010121001x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦由矩阵乘法及矩阵相等得1112131,4,3x x x ==-=- 2122231,5,3x x x ==-=- 3132331,6,4x x x =-==1143153164A ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.２、伴随矩阵法由矩阵可逆的条件知，当0A ≠时，1*1AA A-=. 例2：证实矩阵a b A b a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦可逆，当且仅当A 不是零矩阵，并在当0A ≠时，求1A -. 证明：A 可逆，⇔220A a b =+≠⇔a 、b 中至少有一个不为零⇔0A ≠ 当0A ≠时，有0A ≠，故1*2211a b A A b a A a b--⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦. 注：伴随矩阵法求矩阵的逆，一般适用于矩阵的阶数较低时. ３、初等变换法初等行变换： )()(1||A E E A -−−−−→初等行变换初等列变换： 1A E E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换例3：用初等行变换求矩阵231013125A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解)(231100125001125001013010013010013010125001231100006112A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦11341006631250011250113013010013010010122019102111111001001663663⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦于是 1113410066313010122111001663A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦. ４、分块矩阵法常用分块矩阵求逆矩阵的类型如下：（1） 11111221s s A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2) 11121211s sA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (3) 111100A C A A CB B B ----⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (4) 111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. (其中(1,2,)i A i s =⋅⋅⋅均为可逆矩阵，A 、B 都为可逆矩阵)下面证明111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（其中A ,B 分别是k 级和r 级的可逆矩阵，C 是r k ⨯矩阵），其它可类似证明.证明：设111212122x x D x x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，于是11122122000kr x x E A x x E C B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，这里，k E ，r E 分别表示k 级和级r 单位矩阵，乘出并比较等式两边，得11121121122200k rAx E Ax Cx Bx Cx Bx E =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 由第一式得111112,00x A x A --===，代入第四式，得122x B -=,代入第三式，得111211121,Bx Cx CA x B CA ---=-==-因此 111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 例4：已知矩阵0052002112001100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦求1A -.解：将A 分块如下：12005200021012001100A A A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（其中 15221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21211A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦） 求得 1*11112125A A A --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 1*2221211113A A A -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ 于是 112111200331100033012002500A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 5、Hamilton Caley -定理法Hamilton Caley -定理：设A 是数域P 上的n 阶矩阵，()111n n n n f E A a a a λλλλλ--=-=++⋅⋅⋅++为A 的特征多项式，则()1110n n n n f A E A A a A a A a E λ--=-=++⋅⋅⋅++=.若0n a ≠，则()12111n n n nA A a A a E E a ----++⋅⋅⋅+= 所以()112111n n n nA A a A a E a ----=++⋅⋅⋅+. 例5：已知矩阵122131213A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求1A -.解:A 的特征多项式为：()327124fE A λλλλλ=-=-+- 由Hamilton Caley -定理知()3271240f A A A A E =-+-=所以 ()128441171251344735A A A E ---⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 6、拼接新矩阵法在可逆矩阵A 的右上方补加上一个单位矩阵E ，在A 的下方补加上一个负单位矩阵E -，在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵E -化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所得的矩阵就是所要求的逆矩阵1A -.例6：求矩阵013131122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解:01313150122A ==-≠ 所以A 可逆构造矩阵 0131001310101220010100000010000001000A E E⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦将第一行依次乘以-3、-2、1，分别加到第二行、第三行和第五行， 得013100108310104201100000003100001000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行 得0131010831000411100831000310001000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第三行依次乘以2、-3/4和1/4分别加到第四行、第五行和第六行 得01310010831000411100011213300044411100444⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以 1112133444111444A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 7、利用矩阵方程法例7：已知1310012621B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且AB A B =+ 证明：A E -可逆，并求()1A E --.证明：由AB A B =+ 得 AB B A E E --+=即 ()()A E B E E --= 故A E -可逆，且()10310002620A E B E --⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、逆矩阵在实际问题中的简单应用例8：命题1 若 A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，则当A 可逆时，1A BA D CABC D-=-,当D 可逆时，1A BD A BD C C D-=-.证明：当 A 可逆时，由1100nn A B A E A B C D C D CA B E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由Laplace 定理，得1A BA D CABC D-=-同理 当D 可逆时，1100nn E A B A BD C B D CE C D D --⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以1A BD A BD C C D-=-.特别地，当A 可逆时，且AC CA =时，1A BA D CAB AD CBC D-=-=-将命题1的结论加以推广，得到更一般的结论命题2 若 A 为 n 阶矩阵，D 为m 阶矩阵，则当 A 可逆时，1A BA D CABC D-=-当D 可逆时，1A BD A BD C C D-=-.证明方法同命题1.例9：设()m nij A a R ⨯=∈，证明()1,2ii ij j ia a i n ≠>=⋅⋅⋅∑，则A 为可逆矩阵，即0A ≠.证明：设()12,,n A ααα=⋅⋅⋅，其中i α为A 的列向量 （用反证法）若A 不可逆，则12,n ααα⋅⋅⋅线性相关，即存在一组不全为零的数12,n k k k ⋅⋅⋅ 使11220n n k k k ααα++⋅⋅⋅+= （ * ）令()12max ,,n k k k k =⋅⋅⋅ 显然0k >，不妨设 ik k =，那么由（ * ）式知，jjj i j ii ij ii ij ij j i j i j i j i i i i k k k a a a a a k k k αα≠≠≠≠⎛⎫⎛⎫=-⇒=-⇒≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 这与()1,2,ii ij j ia a i n ≠>=⋅⋅⋅∑的假设矛盾，所以0A ≠，即A 可逆.例10：设P 是数域，m n <，m nA P ⨯∈，()n m nB P-⨯∈，1V 和2V 分别是齐次线性方程组0Ax =和0Bx =的解空间，证明：12n P V V =⊕D 的充要条件是A B ⎛⎫⎪⎝⎭可逆. 证明：充分性：因n nA PB ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭，若A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆，则0,0A A x B B ⎛⎫≠= ⎪⎝⎭只有零解 且秩A m =， 秩B n m =-，012x V V ∀∈⋂则0000Ax Bx =⎧⎨=⎩ 即00A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以00x =即证 {}120V V ⋂= ①又12n V V P +⊆ 因而由①知，()()()()1212dim dim dim dim n V V V V n r B n r B n m m n P +=+=-+-=-+==所以 12n P V V =⊕.必要性：设12n P V V =⊕，用反证法，如果A B ⎛⎫⎪⎝⎭不可逆，则0A xB ⎛⎫= ⎪⎝⎭有非零解1x ，那么1100Ax Bx =⎧⎨=⎩ 即112x V V ∈⋂,这与12nP V V =⊕矛盾，从而0A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭只有零解，即0A B ≠ 因而A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆.参考文献［1］ 北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M ］.北京：高等教育出版社，1978:91-99,177-181.［2］ 方保镕，周继东，李医民.矩阵论［M ］北京：清华大学出版社，2004.11. ［3］ 钱吉林.高等代数解题精粹（第二版）.北京：中央民族大学出版社，2002.10. ［4］ 张禾瑞，郝炳新.高等代数［M ］.北京：人民教育出版社，1980:157-168.［5］ 武汉大学数学系数学专业.高等代数（修订本）［M ］.北京：人民教育出版社，1980:35.［6］高等代数与解析几何，同济大学数学系编［M］.北京：高等教育出版社，2005.5.［7］陆媛.求逆矩阵的几种常用方法［J］.林区教学，2011，（02）.［8］程云鹏.矩阵论［M］.西北工业大学出版社，1998.12.［9］赵礼峰.高等代数解题方法［M］.合肥：安徽大学出版社，2004.8.［10］许莉.试谈求逆矩阵的方法［J］.承德民族师专学报，1997.(02).［11］高明.逆矩阵的求法［J］.阴山学刊（自然科学版），2006.(02).［12］杜汉玲.求逆矩阵的方法与解析［J］.高等函授学报（自然科学版）.2004.(04).［13］胡淑娟，马宝艳.可逆矩阵及求逆矩阵的方法［J］.科技致富向导，2010.(11).［14］Pullman NP.Matrix Theory and its Applications.1976.［15］Lee W.Johnson,R.Dean Riess.An Introduction to Linear Algebra.China Machine Press.2002.［16］Householder A S. The Theory of Matrices in Number Analysis.Blaisdell Publishing Company,1960.。