【精品】2015-2016年广东省广州市培正中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

2015-2016学年广东省广州市培正中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，1）2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣84．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若向量，且，则的值为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知等于（）A．﹣7B．﹣C．D．76．（5分）若动点P（x，y）与两定点M（﹣a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是（）A．除M、N两点外的圆B．除M、N两点外的椭圆C．除M、N两点外的双曲线D．除M、N两点外的抛物线7．（5分）对于每个自然数n，抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于A n，B n两点，以|A n B n|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值是（）A．B．C．D．8．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A．B．2C．D．29．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=011．（5分）已知函数f（x）=（1﹣）e x（x＞0），其中e为自然对数的底数．当a=2时，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．e B．2e C．3e D．4e12．（5分）在R上可导的函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则命题￢P为：．14．（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程．当气温为﹣4°C时，预测用电量的度数约为．15．（5分）以y=±x为渐近线，且经过点P（2，2）的双曲线的方程为．16．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为．17．（5分）长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y2=2px（p＞0，a ＞2p）上滑动，则线段AB的中点M到y轴的最短距离为．18．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则的最小值是．19．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为．20．（5分）已知椭圆+=1，若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m 对称，则实数m的取值范围是．三.解答题：（共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc （1）求sinA的值；（2）若a=2，求b+c的最大值．22．（12分）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．23．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．24．（14分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．2015-2016学年广东省广州市培正中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，1）【解答】解：要使函数有意义，需即0≤x＜1故函数的定义域为[0，1）故选：D．2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，若“|x﹣1|＜2”成立，则有“﹣1＜x＜3”，所以“x（x﹣3）＜0”不一定成立；反之，若“x（x﹣3）＜0”成立，即0＜x＜3，一定有“|x﹣1|＜2”成立，所以“|x﹣1|＜2”是“x（x﹣3）＜0”的必要不充分条件，故选：A．3．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣8【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选：B．4．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若向量，且，则的值为（）A．B．C．2D．【解答】解：向量与向量的夹角为120°，且，，所以•=+•=+||×||cos120°=﹣×||×||=0；所以=．故选：A．5．（5分）已知等于（）A．﹣7B．﹣C．D．7【解答】解：∵α∈（﹣，0），s inα=﹣，∴cosα=，∴tanα=﹣．∴tan（α+）==﹣．故选：B．6．（5分）若动点P（x，y）与两定点M（﹣a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是（）A．除M、N两点外的圆B．除M、N两点外的椭圆C．除M、N两点外的双曲线D．除M、N两点外的抛物线【解答】解：依题意可知•=k，整理得y2﹣kx2=﹣ka2，当k＞0时，方程的轨迹为双曲线．当k＜0时，且k≠﹣1方程的轨迹为椭圆．当k=﹣1时，点P的轨迹为圆∴抛物线的标准方程中，x或y的指数必有一个是1，故P点的轨迹一定不可能是抛物线．故选：D．7．（5分）对于每个自然数n，抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于A n，B n两点，以|A n B n|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1，∴抛物线与x轴交点坐标为（，0），（，0），∴|A n B n|=﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故选：D．8．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且•=0，∴|+|=2||=||=2．故选：B．9．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．故选：C．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=0【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=（1﹣）e x（x＞0），其中e为自然对数的底数．当a=2时，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．e B．2e C．3e D．4e【解答】解：f（x）=（1﹣）e x的导数为f′（x）=e x（+1﹣），可得在（1，﹣e）处的切线的斜率为e，切线的方程为y+e=e（x﹣1），即为y=ex﹣2e，令x=0，可得y=﹣2e；令y=0，可得x=2．则切线与坐标轴围成的面积为×2×2e=2e．故选：B．12．（5分）在R上可导的函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=x2+ax+2b，设x2+ax+2b=（x﹣x1）（x﹣x2），（x1＜x2）则x1+x2=﹣a，x1x2=2b，因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜﹣a＜3，0＜2b＜2，﹣3＜a＜﹣1，0＜b＜1．∴﹣2＜b﹣2＜﹣1，﹣4＜a ﹣1＜﹣2，∴，故选：A．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则命题￢P为：∃x∈R，x2+x+1＜0．【解答】解：命题“：∀x∈R，x2+x+1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R变为∃x∈R，再将不等号≥变为＜即可．故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜014．（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程．当气温为﹣4°C时，预测用电量的度数约为68．【解答】解：由表格，可得，即为：（10，40），又在回归方程上，∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴．当x=﹣4°C时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．故答案为：68．15．（5分）以y=±x为渐近线，且经过点P（2，2）的双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由一条渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点（2，2），可得λ=4﹣×4=3，即有双曲线的方程为y2﹣x2=3，即为﹣=1．故答案为：﹣=1．16．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为8﹣4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=，b=2，c=1，由椭圆的定义可得|F1P|+|PF2|=2a=2，|F1F2|=2，由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2﹣2|F1P||PF2|cos30°，故4=（|F1P|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|cos30°﹣2|F1P||PF2|，即4=20﹣|F1P|•|PF2|（+2），故|F1P|•|PF2|=32﹣16，故△PF1F2的面积S=|F1P|•|PF2|•sin30°=8﹣4．故答案为：8﹣4．17．（5分）长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y2=2px（p＞0，a＞2p）上滑动，则线段AB的中点M到y轴的最短距离为（a﹣p）．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中MH=由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH==即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为故答案为18．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则的最小值是．【解答】解：=2⇒=4⇒a2+b2=4a2⇒3a2=b2，则==a+≥2=，当a=即a=时取最小值．答案：19．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为5．【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（﹣4，0）、F2（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，故|PM|﹣|PN|的最大值为（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+3=5．故答案为：5．20．（5分）已知椭圆+=1，若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m 对称，则实数m的取值范围是﹣＜m＜．【解答】解：∵椭圆+=1，即有3x2+4y2﹣12=0，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12=12，①3x22+4y22=12 ②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）=0，∴k AB==﹣•=﹣．∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=﹣m，y0=﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜．三.解答题：（共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc （1）求sinA的值；（2）若a=2，求b+c的最大值．【解答】解：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，结合余弦定理知，∴，∴．…（6分）（2）由a=2，结合正弦定理，得…（8分）=…（9分）=…（10分）=，…（11分）而，所以，所以当，即时，b+c的最大值为4．…（13分）22．（12分）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，∴MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=，MO∥AB，MO∥面ABC，M，O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，∴OH=OC•sin60°=，MH=，∵V A=V M﹣ABC，﹣MBC∴d=．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ，∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，BF=BC•sin60°=，tanθ=，sinθ=，所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．23．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为+=1由e=，得，b2=a2﹣c2=3c2，∴将A（2，3）代入，有，解得：c=2，∴椭圆E的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0），F2（2，0），所以直线AF1的方程为y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有=|x﹣2|若3x﹣4y+6=5x﹣10，得x+2y﹣8=0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x﹣4y+6=10﹣5x，即2x﹣y﹣1=0．所以，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x﹣y﹣1=024．（14分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【解答】（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．。