函数的零点
函数零点
一、 函数的零点1. 零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2. 函数零点的意义：方程f (x )=0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 3. 零点存在性判定定理：如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )＜0,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 就是方程f (x )=0的根． 4. 二次函数零点的判定（1）二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．（2① 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号． ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号．【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立． （3）二次函数的零点的应用① 利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图．② 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质．重难点【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042 如图所示：f【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042．如图所示：【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af ．如图所示：推论1 210x x <<⇔0<ac ． 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a ．【定理4】有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f如图所示：【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b如图所示：二、 二分法1. 对于在区间[],a b 上连续，且满足()()0f a f b <的函数()y f x =通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．2. 用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度． 第二步：求区间(),a b 的中点1x ． 第三步：计算()1f x○1若()10f x =，则1x 就是函数的零点； ○2若()()1.0f a f x <，则令1b x =； ○3若()()10f x f b <，则令1a x =．第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ），否则重复第二、三、四步．函数零点的性判定及求解：【例1】 判断下列函数在给定的区间上是否纯在零点．（1）()2318f x x x =--，[]1.8x ∈ （2）()331f x x x =--，[]1,2x ∈- （3）()()2log 2f x x x =+-，[]1,3x ∈．【解析】（1）方法一：()1200f =-<，()8220f =>，()()180f f ∴⋅<．故()2318f x x x =--在[]1,8上存在零点． 方法二：令23180x x --=，解得3x =-或6x =，()23180f x x x ∴=--=在[]1,8上存在零点． （2）()110f -=-<，()250f =>，()31f x x x ∴=--在[]1,2-上存在零点． （3）()()221log 121log 210f =+->-=，()()223log 323log 830f =+-<-=，()()130f f ∴⋅<．故()()2log 2f x x x =+-在[]1,3上存在零点．【例2】 设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像交点为()00,x y ，则0x 所在的区间（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,3D ．()3,4【答案】B【例3】 （天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2【答案】B【解析】解法1．因为()22260f --=-<，()11230f --=-<，()00200f =+>，所以函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是()1,0-．故选Ｂ． 解法2．()230x f x x =+=可化为23x x =-．画出函数2x y =和3y x =-的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且()00200f =+>，由此可排除Ａ，故选Ｂ．例题精讲【例4】 （2010宣武一模理4）设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】B【解析】 ()f x 在R 上单调增，(1)10f =-<，(2)70f =>，故零点所在区间(1,2)．【例5】 （合肥第三次质检）“14a =-”是“函数()21f x ax x =--只有一个零点”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“函数()21f x ax x =--只有一个零点”可得14a =-或0a =，故14a =-充分而不必要．【例6】 （2010浙江文）已知x 是函数()121x f x x=+-的一个零点．若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞，则 A ．()10f x <，()20f x < B ．()10f x <，()20f x > C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >【答案】B【例7】 （山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时,()3f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】因为当02x <≤时，()3f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且()00f =,所以()()()()6420f f f f ===,又因为()10f =,所以()30f =,()50f =,故函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为6个,选A ．【例8】 （2010福建文）函数()223,0-2+ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨>⎩≤的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ．二次函数的零点问题【例9】 方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围________． 【答案】(]5,4--【解析】令()()225f x x m x m =+-+-，要使()0f x =的两根都大于2，则()()()22450,20,22,2m m f m ⎧⎪=---⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩Δ≥ 54m -<<-．【例10】 关于x 的方程()234210m x mx m +-+-=的两根异号，且负的绝对值不正的绝对值大，那么实数m 的取值范围时（ ）A ．30m -<<B ．03m <<C ．3m <-或0m >D ．0m <或3m >【解析】由题意知()()2121216432104032103m m m m x x m m x x m ⎧=-+->⎪⎪⎪+=<⎨+⎪⎪-⋅=<⎪+⎩Δ得30m -<<，故选A ．【变式】（福建文6）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞．【答案】C【变式】（重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m k +的最小值为（ ）A ．-8B ．8C ．12D ． 13【答案】D【例11】 已知m ∈R ，函数()()21f x m x x a =-+-恒有零点，求实数a 的取值范围．【答案】当0m =时，a R ∈；当0m ≠时，11a -≤≤【解析】 (1)当0m =时，()0f x x a =-=解得x a =恒有解，此时a R ∈；．(2)当0m ≠时，∵ ()0f x =，即20mx x m a +--=恒有解，∴ 211440m am ∆=++≥恒成立，令()2441g m m am =++ ∵()0g m ≥恒成立，∴2α2∆=16-16≤0，解得11a -≤≤,综上所述知，当0m =时，a R ∈； 当0m ≠时，11a -≤≤．函数图象与方程【例12】 关于x 的方程10ax a +-=在区间()0,1内有实根，求实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．12a <C ．112a << D ．12a <或1a > 【解析】只需()()010f f <即可，解得112a <<．【例13】 （2010•上海理17）若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 属于区间（ ）【例14】 设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=，2log (2)x +22x x +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．【答案】231x x x <<【解析】 在同一坐标内作出函数2y x =-，12x12log y x=，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<【例15】 （山东理16）已知函数()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠），当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+，n N *∈，则N =_________ ．【答案】5【解析】方程()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠）=0的根为0x ,即函数log a y x =()23a <<的图象与函数()34y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且()0,1x n n ∈+，n N ∈*,结合图象,因为当()23x a a =<≤时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标()14,5x b =+∈;当2y =时, 对数函数()log 23a y x a =<<的图象上点的横坐标()4,9x ∈,直线()34y x b b =-<<的图象上点的横坐标()5,6x ∈,故所求的5=．【例16】 （2010广东深圳）已知函数()221f x x ex m =-++-，()()20e g x x x x=+>．（1）若()g x m =有零点，求m 的取值范围；（2）确定m 的取值范围，使得()()0g x f x -=有两个相异样的实根．【解析】（1）()22e g x x e x=+≥等号成立的条件是x e =故()g x 得值域是(]2,e +∞．故此只需2m e >，则()g x m =就有零点． （2）若()()0g x f x -=有两个相异实根，而()()g x f x =中()g x 与()f x 的图像有两个不同的交点．作出()2e g x x x=+()0x >的图像，如图()21f x x ex m =-++-=()221x e m e --+-+，其对称轴为x e =，开口向下，最大值为21m e -+故当212m e e -+>，即221m e e >-++时，()g x 与()f x 有两个交点，即()()0g x f x -=有两个实数根．∴m 的取值范围是()221,e e -+++∞．函数零点的应用【例17】 （辽宁文16）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【答案】(],2ln 22-∞-【例18】 （2011•湖南）已知函数()1x f x e =-，()243g x x x =-+-，若有()()f a f b =，则b 的取值范围为（ ）A．2⎡⎣B．(2+C ．[]1,3D ．()1,3【例19】 已知2()log f t t =，8t ⎤∈⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围．【解析】 ∵t ∈8]，∴ ()f t ∈[12，3]， ∴m ∈[12，3] ． 原题转化为：2(2)(2)m x x -+->0恒成立， 当2x =时，不等式不成立．∴2x ≠，令2()(2)(2)g m m x x =-+-，m ∈[12，3]， 则：2212()(2)022(3)3(2)(2)0x g x g x x -⎧=+->⎪⎨⎪=-+->⎩，解得：21x x ><-或． ∴x 的取值范围为(,1)(2,)-∞-+∞．【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【例20】 （2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25， 则()f x 可以是（ ）A ．()41f x x =-B ．()2(1)f x x =-C ．()1xf x e =- D ．()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】 A【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =，()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1xf x e =-的零点为0x =，()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23．现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因 为g(0)=-1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A ．【例21】 （2010西城一模文20）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 （1）设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；（2）2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x mx m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x =或2x m =-， 因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为1x =和2x =结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >． 因为0m <，所以120x x <<，并且1(2)2x m m --=+=4|2|4(2)1022m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．【例22】 设函数()32f x x ax bx a =+++，()232g x x x =-+，其中x R ∈，a ，b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点()2,0处有相同的切线1． (I) 求a ，b 的值，并写出切线1的方程；(II)若方程()()f x g x mx +=有三个互不相同的实根0，1x ，2x ，其中12x x <，且对任意的1,2x x x ⎡⎤∈⎣⎦，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围．判断函数()y f x =在某区间上是否有零点，有几个零点，常用以下方法： 解方程：方程根的个数即为零点的个数 定理法：利用函数零点存在性定理直接判断图像法：转化为求两个函数图像的交点个数问题进行判断课后总结【习题1】 （天津文4）函数()e 2xf x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2 【答案】C【解析】因为()11e 120f --=--<，()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选Ｃ．【习题2】 偶函数()f x 在区间[]0,a ()0a >是单调函数，且满足()()00f f a <，则函数()f x 在区间[],a a -内零点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C ．【习题4】 （2009安徽卷理）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）【答案】 C【解析】/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当课堂检测23a bx +=时y 取极小值且极小值为负．故选C ．【习题5】 方程2210(0ax x a --=>，且1)a ≠在区间[]1,1-上有且仅有一个实根，求函数23xxy a -+=的单调区间．【解析】 令2()21f x ax x =--，（1）由(1)20f a -==，得0a =，舍去； （2）由(1)220f a =-=，得1a =，舍去； （3）(1)(1)0f f -⋅<⇔20a a -<⇔01a << 综上：01a << 对于函数23xxy a -+=，令t y a =，221133()612t x x x =-+=--+则t y a =在R 上为减函数，t 在1(,]6-∞上为增函数，在1[,)6+∞上为减函数． ∴当1(,]6x ∈-∞时，23x x y a -+=是减函数；当1[,)6x ∈+∞时，23x x y a -+=是增函数．【答案】单调减区间1(,]6-∞单调增区间1[,)6+∞【习题6】 若函数()()01xf x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 _________．【答案】}1|{>a a【解析】 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是}1|{>a a ．。
函数的零点与函数像的关系
函数的零点与函数像的关系函数的零点与函数值的关系在数学中，函数的零点指的是使得函数的值为零的输入值。
而函数的像则是函数映射的结果，即函数的输出值。
函数的零点与函数值之间有着密切的关系，本文将探讨这种关系以及相关的数学概念。
一、零点的定义函数的零点，又称为函数的根，是指使得函数等于零的输入值。
对于一个函数f(x)，若存在一个实数a，使得f(a)=0，则称a为函数f(x)的零点。
二、零点与函数值的关系2.1 零点与函数图像的交点在函数的图像中，函数的零点对应于曲线与x轴的交点。
当函数在某一区间内的函数值由正数变为负数时，就意味着函数在该区间内存在一个零点。
同理，当函数的函数值由负数变为正数时，也意味着函数在该区间内存在一个零点。
2.2 零点与函数的性质函数的零点是函数的一个重要性质。
在函数的零点处，函数的值为零，因此零点是函数图像与x轴相交的点，也是函数曲线上的特殊点。
在函数图像中，零点将曲线分割成不同的区域，对于函数的增减性以及图像的凹凸性等有着重要的影响。
三、零点的求解方法3.1 图像法通过绘制函数的图像，可以直观地观察到函数的零点所在的位置。
根据图像的形状，可以初步估计函数的零点所在的区间，并使用逼近法等方法进一步求解。
3.2 利用方程求解对于给定的函数f(x)，可以将函数转化为方程，然后使用代数方法求解零点。
例如，对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以将方程f(x)=0转化为求解二次方程ax^2+bx+c=0的根的问题。
3.3 数值逼近法当函数的解析解难以求得或不存在时，可以使用数值逼近法求得函数的零点。
常用的数值逼近方法包括二分法、牛顿法和割线法等。
四、零点的应用领域函数的零点在数学和实际应用中具有广泛的应用。
在代数方程求解、物理学中的运动学问题、金融学中的根据收益率求解等领域都需要使用到零点的概念和求解方法。
五、总结函数的零点与函数的像有着密切的关系。
零点是使得函数的值为零的输入值，而函数值描述了函数映射的结果。
函数零点的判定定理
函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
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函数的单调性与零点
函数的单调性与零点函数是数学中的重要概念，描述了数值之间的特定关系。
在数学和应用数学领域中，研究函数的性质是一项基础性工作。
本文将讨论函数的单调性与零点，旨在解释它们的概念和重要性。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数x₁和x₂，若满足x₁<x₂，则函数x(x)单调递增意味着当x₁<x₂时，有x(x₁)≤x(x₂)；函数x(x)单调递减意味着当x₁<x₂时，有x(x₁)≥x(x₂)。
函数的单调性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以利用函数的单调性来研究商品价格和需求之间的关系；在物理学中，函数的单调性有助于描述物体的运动状态。
因此，研究函数的单调性对于理解和解决实际问题具有重要意义。
二、函数的零点函数的零点是指函数取零值的点。
对于函数x(x)而言，x=x₀称为函数的零点，如果x(x₀)=0。
函数的零点通常表示函数在定义域内与坐标轴的交点，也就是函数图像与坐标轴的交点。
在数学和应用数学中，研究函数的零点有助于解方程、求解问题和优化等方面的工作。
函数的零点在解决实际问题时具有重要意义。
例如，在物理学中，零点可以用来计算物体的平衡位置；在工程学中，零点可以用来确定系统的稳定状态。
因此，准确找到函数的零点对于解决实际问题非常关键。
三、函数单调性与零点的联系函数的单调性和零点有着密切的联系。
特别是在实数域上连续的函数中，函数的单调性会影响到函数的零点。
具体来说：1. 如果函数x(x)在某个区间内是单调递增的，那么在该区间内函数可能存在唯一的零点。
这是因为函数递增意味着函数的图像在该区间上是从下向上升的，与坐标轴相交的点可能只有一个。
2. 如果函数x(x)在某个区间内是单调递减的，那么在该区间内函数可能存在唯一的零点。
同样地，函数递减意味着函数的图像在该区间上是从上向下降的，与坐标轴相交的点可能只有一个。
4. 当函数在某个区间内既有递增又有递减的情况时，函数可能在该区间内有多个零点。
函数的零点是什么意思
函数的零点是什么意思
答：函数的零点就是当f（x）=0时对应的自变量x的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与X轴交点的横坐标。
一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点。
即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。
函数的零点不是一个点，而是一个实数。
得某系统的传递函数G(s)为0的s的值(注意s为复数)，该值在复平面上的点，就是零点。
若该系统的输入为U(s)，当s取值为零点处的值，则G(s)=0。
又因为系统输出Y(s)=G(s)·U(s)，而s的特殊取值使得G(s)=0，所以此时无论输入信号为何种形式，最终输出Y(s)都是0，这也是零点的实际意义。
也可以这样说，若某系统工作在零点上，那么此时任何输入经过该系统后，输出都是0。
初中 数学零点
有关初中数学“零点”的概念有关初中数学“零点”的概念如下：在数学中，函数的零点或根是指使得函数值为零的点。
对于一元函数，如果存在某个数x0使得f(x0)=0，那么x0就是函数f(x)的一个零点。
在初中数学中，经常要解的是一元二次方程的零点。
一元二次方程形如ax2+bx+c=0，其中a,b,c是常数，且a=0。
1.求解一元二次方程的零点●公式法：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其解为x=2a−b±b2−4ac。
当b2−4ac≥0时，方程有两个实数解；当b2−4ac<0时，方程无实数解。
●因式分解法：如果方程可以因式分解为(x−x1)(x−x2)=0的形式，那么x1和x2就是方程的解。
2.零点与图像的关系对于一元二次函数y=ax2+bx+c，其零点与函数图像与x轴的交点相对应。
零点的个数和位置可以通过函数的判别式Δ=b2−4ac来判断：●如果Δ>0，则函数有两个不相等的实数零点，即图像与x轴有两个交点。
●如果Δ=0，则函数有两个相等的实数零点（即一个重根），即图像与x轴有一个交点。
●如果Δ<0，则函数没有实数零点，即图像与x轴没有交点。
3.应用了解函数的零点对于解决实际问题很有帮助。
例如，在物理和工程领域，经常需要找到使得某个物理量（如位移、速度、加速度等）为零的点，这通常涉及到求解函数的零点。
4.练习●求方程x2−4x+3=0的零点。
●对于函数y=x2−6x+9，判断其与x轴的交点个数，并求出交点坐标。
●如果函数y=2x2−4x+c的图像与x轴没有交点，求c的取值范围。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数零点的概念
函数零点的概念
函数零点是指在函数图像上的一个点，虽然它看起来很小，但它
却具有重要的数学意义。
它的特殊性在于，它代表了一个位置，在这
个位置上，函数的值为零，这意味着函数在零点处的曲线图是水平的
而不是斜的。
当我们考虑一个函数时，试图理解函数零点是非常重要的，因为
它可以为我们提供有关函数的额外信息，以此来确定函数的行为特征。
特别是，我们可以利用函数零点来确定函数的奇偶性，即零点可以帮
助我们确定函数是否对称。
对称函数是具有对称性的函数，它具有相
同的形式，无论在任一方向上做出的变化（例如，左或右移动）都是
不变的。
函数零点的另一重要特征是，它可以帮助我们了解函数的单调性。
显然，除了零点之外，函数的曲线是单调的，即曲线在该点的一侧始
终是上升的，而在另一侧始终下降。
总之，函数零点是一个非常重要的概念，它允许我们在数学上测
量函数的行为，以确定它的特征和性质。
函数零点可以为我们提供宝
贵的信息，允许我们确定函数的奇偶性和单调性，从而使我们能够更
好地理解和解释函数的行为。
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探究点一 ：函数零点的定义
思考 1 考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程 x2－2x－3＝0 与函数 y＝x2－2x－3； (2)方程 x2－2x＋1＝0 与函数 y＝x2－2x＋1; (3)方程 x2－2x＋3＝0 与函数 y＝x2－2x＋3. 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与 x 轴交点的坐标吗？
第 3 章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 3.4.1 第1课时 函数的应用 函数与方程 函数的零点
本节知识目录
明目标、知重点
函 数 的 零 点
填要点、记疑点 探究点一 探要点、究所然 探究点二 当堂测、查疑缺 函数零点存在性定理 函数零点的定义
明目标、知重点
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系. 2.掌握函数零点存在性判定定理. 3.能结合图象求解零点问题．
探究点二 ：函数零点存在性定理
方法二 如图所示，因为 f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，而二次函数 f(x)＝x2－2x－1 在
区间(2,3)上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2,3)上一定穿过 x 轴，即 函数在区间(2,3)上存在零点．
探要点、究所然
探究点二 ：函数零点存在性定理
例2 判断函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间[2,3]上是否存在零点．
解
方法一
根据求根公式可得方程 x2－2x－1＝0 的两个根分别为 x1＝1＋ 2，
x2＝1－ 2.
因为 1< 2<2，所以 2<1＋ 2<3，因此，函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间(2,3)上存在 零点．
探要点、究所然
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)也成立吗？你能根据判别式的不同情况也用列表的形式加 以说明吗？
答 思考 2 中得出的结论在一般二次函数与一元二次方程间仍然成立， 如下表所
示：
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 没有实数根
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个不相等的 有两个相等的 的根 函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0) 的图象 函数的图象与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 实数根 x1、x2 实数根 x1＝x2
没有交点
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
所以二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根．
思考 4
我们把使函数 f(x)＝x2－2x－3 的值等于零的实数－1,3 叫做函数
f(x)＝x2－2x－3 的零点．那么你能给函数 y＝f(x)的零点下个定义吗？
答 一般地，我们把使函数 y＝f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y＝f(x)的零点．
思考 1
答
你能归纳出判断函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的一般方法吗？
函数零点存在性定理：若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的
曲线，且 f(a)· f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
思考 2
答
从你所列的表中你能得出什么结论？
方程根的个数与对应函数与 x 轴交点的个数相同， 方程的根是函数与 x 轴交
点的横坐标．
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
思考 3 思考 2 得出的结论对二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)和相应一元二次方程
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
思考 5 函数 y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？
答 函数 y＝f(x)有零点⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔方程 f(x)＝0 有实数根．
思考 6 你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg(x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2 的零点吗？
答
①y＝lg x 的零点是 x＝1；②y＝lg(x＋1)的零点是 x＝0；③y＝2x 没有零点；
④y＝2x－2 的零点是 x＝1.
探要点、二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个不同的零点．
证明
考察二次方程 2x2＋3x－7＝0.
因为 Δ＝32－4×2×(－7)＝65>0，
所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根．
因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个不同的零点．
填要点、记疑点
1．函数的零点 一般地，我们把使
函数y＝f(x)的值为0
的实数 x 称为函数 y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x) 有零点 ． ⇔函数 y＝f(x)的图象 与x轴有交点 ⇔
3．函数零点的存在性定理
f(b)<0， 一般地， 若函数 y＝f(x)在区间[a， b]上的图象是一条不间断的曲线， 且 f(a)·
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
答 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根 函数的图象与 x 轴的交点
x1＝－1，x2＝3 (－1,0)、(3,0)
x1＝x2＝1 (1,0)
无实数根 无交点
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
反思与感悟
函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根， 也就是函数 y＝f(x)
的图象与 x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函 数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
探要点、究所然
探究点一 ：函数零点的定义
若函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为 2，那么函数 g(x)＝bx2－ax 的 1 0，－2 零点是________． 跟踪训练 1
解析
2
1 a ∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，b＝－2.
1 a 令 bx －ax＝0，得 x＝0 或 x＝b＝－2.
探要点、究所然
探究点二 ：函数零点存在性定理
则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
探要点、究所然
[情境导学] 下图是某地气象局测得当地一天的一个气温变化模拟函数图 (即一个连续不间断的 函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天 7 时到 11 时之 间有无可能出现温度是 0 摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？
探要点、究所然