15.2.3_整数指数幂(第1课时)
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15.2.3整数指数幂（第一课时）一、学习目标1.知道负整数幂的意义，能说出负整数幂的规定及此规定的前提条件 .2.知道幂的运算规则可以推广整数指数幂，并会做有关幂指数的运算.二、温故互查：（二人小组完成）1.二人小组互述分式混合运算法则.2.回忆正整数指数幂的运算性质：（其中m, n 是正整数且a0 ，m＞n）① a m a n_______② (a m ) n_______③ab n _________④a m a n__________ _⑤( a) n ___________b⑥ a 0___________三、设问导读：阅读课本P142-144回答下列问题1.带着课本 P142的思考回答下列问题：① a 3 a 5 a3 a 3_____ (a 0) a5 a3 a 2这是由分式的 ______得到的② a3 a5 a3 5 ______ 这是由正整数指数幂的运算性质a m a n ______ （a 0, m、 n 是正整数）得到的.（在这里把 m ＞ n 这个条件去掉）所以，数学中规定：一般地，当 n 是正整数时，a n__________，这就是说，a n (a0) 是 a n的_______引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数 .2.带着课本 P143的思考我们继续回答下列问题：通过课本对a m a n a m n（ m、 n 是任意整数）的验证，类似的我们来验证正整数幂的运算性质(a m) n a mn对于m、 n 是任意整数是否成立.例如( a3 ) 5 1 _______ a3 ( 5)(a3 )5( a 3) 5 (1)5 1 ____ a3 ( 5)a3(1 5a 3)( a0 ) 5 1 _______ a0 ( 5)(a0 )5归纳： (a m )n a mn这条性质对于 m、 n 是任意整数的情形仍然适用.3.整数指数幂的运算性质可以归纳为：① a m a n ________ ( m、 n 是整数)② (a m) n _________ ( m、 n 是整数)③ ( ab) n _______( n是整数 )四、自学检测：1.填空：（1） 2_____，10 2 010 ____，10 _____ （2）( 10)2 ____ ，( 10) 2 _____ ，( 10)0 ______（3）a 2 ________，a0 __________2. 下列运算中，正确的是（）、A. ( 0.1) 2 100B. 10 3 11000C. 1 1D. 2a 3 15 2 25 2a33.计算：（1）(3)0 ( 1)3 ( 1)22 3（2）(a2b3) ( 3a1b2) (6a4b2)五、巩固训练：1. 若 2x 1 ，则 x ______.322. 下列计算正确的是（）A. a3 a a2B. ( 2a)2 4a2C. x3 x 2 x 6D. x6 x2 x33. 若 ( x 2) x 1 ，则 x 只能取（）A. x ≥2B. x 0C. x 2D. x 0 或 x 34.计算：（1）( a2b3)3( 2ab1)1（2）( 2 1)0 (1)1 2 22 2六、拓展探究：1.观察：10 1 1 ，10 1 1 ，10 1010 3 1 1103 100031 3， 32 9 ，33 27， 34 81结论：当一个幂的底数大于 1 时，其指数越大，幂越 ____：当一个幂的底数大于 1 小于 0 时，指数越大，幂反而越 _______：如果两个同底数的幂相等时，其指数必____.（1）已知a＞0，比较(1)1,(1)0,1a a a的大小 .（ 2）已知：22x 3 22 x 1 192 ，求 x 的值答案：自我检测：1. （1）100， 1，1100（ 2）100， 1，11001（3）a 2，12. Aab 3. （1）17（2）2巩固训练：1.x 52. B3. B4. （ 1） 2a 7b 10 （ 2） 3拓展探究：1. 大小相等2. （1）①若 0 ＜ a ＜ 1则 (1) 1＜ (1)0＜ 1a a a ②若 a 1则 (1) 1=(1)0= 1aa a③若 a ＞ 1则 (1) 1＞ (1)0＞1 aaa（ 2）∵ 22x 3 22 x 1 22 x 1 (22 1) 192∴ 22x 1 64∴ 2x1 65∴ x2。
人教版数学八上 15.2.3整数指数幂(第1课时)教案设计
15.2.3 整数指数幂（第1课时）课标要求：结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质.教学目标：1.会用整数指数幂的运算性质进行计算；2.类比正整数指数幂，探究负整数指数幂的运算性质，经历数学算理的扩充与发展，体会特殊到一般的思想.教学重点：负整数指数幂的运算.教学难点：负整数指数幂运算性质的理解. 教学方法：启发式、探讨式、合作式学习. 教学准备：多媒体课件. 教学过程： 一、复习旧知1.填空: （1）mna a •= （m,n 是正整数）；（2）()nm a = （m,n 是正整数）；（3）()nab = （n 是正整数）； （4）na b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）；（5）m na a ÷= （a ≠0，m ,n 是正整数，且m ＞n ）； （6）0a = （a ≠0）. 学生口答，教师展示答案.（从学生已有的数学经验出发，回忆学过的有关整数指数幂的运算性质，为学生经历探究负整数指数幂做准备.）二、探究新知探究一 负整数指数幂的意义2.计算:（1）3a a ÷（0≠a ）； （2）63b b ÷ (0≠b )； （3）72x x ÷（0≠x ）.（1）解：方法一、由分式的约分可知 3a a ÷= = ①；方法二、若将上题（5）中的条件“m ＞n ”去掉，我们发现3a a ÷= ②.学生独立思考并作答，教师提问学生不同的算法，并提出以下问题: 问题1 对比①、②两式，你发现了什么？对比①②两式，等号左边都是3a a ÷，等号右边一个是21a，另一个是2-a ，两种方法的若按以往的算理都是正确的，如果我们规定221aa=-(0≠a )，就能使nm n m a a a -=÷也适用于像3a a ÷这样的情形.为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以简便地表示分式，数学中规定：一般地，当n 是正整数时，n a -=1na （a ≠0）.也就是说，n a -（a ≠0）是na 的倒数.问题2 从以上性质中，你还能得出哪些结论？ 如由na-=1n a 可知，n a -形式上像整式，但实质上是分式；1=•-n n a a ；nna a -=1； p p nmm n )()(=-等. 3.填空：32-= ； 2)31(- = ； 2)3(--= ； =-3)1.0( .学生独立思考并作答，教师展示答案.（通过学生自己的观察、思考、计算，教师提问学生不同的算法，师生共同对比两种算法，得出数学规定，体会规定的合理性和数学算理的扩充，培养学生的观察、思辨能力. 在此过程中渗透“一般到特殊”的数学思想方法.）探究二 负整数指数幂的运算性质引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数，那么正指数幂的运算性质是否适合负整数呢？问题1 验证同底数幂的运算性质nm nmaa a +=•对于任意整数的情形仍适用.)4(22242421-+--====•a a aa a aa （0≠a ）,即)4(242-+-=•a a a . 仿照上式，验证（1）)4()2(42-+---=•a a a（0≠a ）；（2）)4(040-+-=•a a a （0≠a ）.问题2 类似地，试着用负整数指数幂或0指数幂验证其他的正整数指数幂的运算性质，小组成员分工完成.归纳：随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质就推广到整数指数幂.4.计算（要求：一般情况下，当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数.）:（1）53a a÷- ； （2）232)(-ab ； （3）342)(b a -.问题3 我们知道，除法和乘法互为逆运算，能否将同底数幂的除法性质n m n m a a a -=÷ 归结到同底数幂的乘法性质n m n m a a a +=•中呢？根据整数指数幂的运算性质，当m 、n 为整数时，nm n m aa a -=÷，n m n m n m a a a a --+-==•)(，因此，n m n m a a a a -•=÷，即同底数幂的除法n m a a ÷ 可以转化为同底数幂的乘法nmaa -•.试着说明商的乘方能否转化为积的乘方？ 因此，整数指数幂的运算性质可以归结为： （1）nm n m a a a +=•（m 、n 为整数）；（2）mnnm aa =)(（m 、n 为整数）；（3）nnn b a ab =)(( n 为整数).教师提出以上问题，学生以小组分工合作的形式完成问题一、二、三，师生归纳得出结论.（通过学生自己的观察、思考、师生共同探究负整数指数幂的运算性质，加深学生对负整数指数幂的理解，体会数学算理的扩充与整合，培养学生的观察、思辨、小组合作的能力, 体会化归思想.） 三、学以致用例1 计算：（1）3223)(---•b a b a ；（2）22321)()2(b a bc a ---÷-.分析：计算中，根据运算顺序“先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号内的”计算，结果要化为正整数指数幂.解：（1）3223)(---•b a b a （2）22321)()2(b a bc a ---÷-.)()()(966960636603ab b a b b a a b a b a =•=•••=•=----- .88181)()2(657657623)4(3246333cb ac b a c b a b a c b a -=-=-=÷-=-----------先由学生独立思考，教师提问个别学生，说出每一步的依据及过程，教师板书过程. （本部分例题帮助学生理解整数指数幂的运算性质，学生体会代数运算中每一步都要依据算理，细心计算，边做边检查，才可以得出正确的答案.） 四、反馈练习1. 下列计算正确的是( ) A.100)1.0(2=-- B.10001103=-- C.251512-=- D.33212a a =- 答案:A.2.计算(1)2)(-+b a ；（2）3)2(-ba ； (3) ()22322ab a b ---•；（4）22232)(---÷b a b a . 答案:（1）2221bab a ++；（2）338a b ； （3）67a b ；（4）b a 2. （在此设置了比较简单的基础练习题，重在考察学生对基础知识的掌握情况，完成后展示学生的成果，让学生在学习的过程中感受学习的乐趣和成功的喜悦，激发学生的学习兴趣.）五、课堂小结1.本节课我们学习了什么？2.你还有哪些收获？学生小结，教师适当点拨补充，师生共同完成.（学生归纳总结本节课的主要内容，交流在探索负整数指数幂的过程中的心得体会，不断积累数学活动经验.）六、作业布置课本147页习题15.2第7题. 补充：1.下列各式正确的有（ ）A. 1个B.2个C. 3个D. 4个 2.计算： （1）2023)1.0(14.3)301()101(----+⨯+-； （2）232221)()3(---•n m n m . 3.若2312---=÷y y ym ，求2-m 的值.答案: 1. A.2. (1) 0 ； (2)1069nm .()()01111(1)1,(2)(0),3(),4(0)m mn n m n m n a a aa a a a a a a----+==-≠==≠3.41.。
15.2.3整数指数幂课件
间隙忽略不计）？
1018是一个非常大的数，它
是1亿（即108）的100亿
（即1010）倍.
解： 1mm 103 m,1nm 109 m.
3 3
9 3
9
(10 ) (10 ) 10 10
27
10
A．14×104
B．1.4×105
C．1.4×106
D．0.14×106
课堂练习
4．若
A．9
用科学记数法表示为1.8×10﹣10，则n的值是（ A ）
B．10
C．11
D．12
5．我国北斗公司在2022年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该
芯片的制造工艺达到了
A．2×10﹣5
米，用科学记数法表示
- 0 +1
-1
10
0.1= =10
10
1
- 1+1
10-2 10
1
0.01 =
- m+1
观察小数点后至第一个非0
100
10
0.000 001 =
10 0
1
数字前0的个数与指数关系.
- 2 +1
m个
-3
10 10
m1
0.001 =
1000
1
10-4 10-3+1
(4) 1.08×10－3 .
2.用科学记数法表示0.000031，结果是( B )
A．3.1×10－4
B．3.1×10－5
C．0.31×104
D．3.1×104
课堂练习
人教版 15.2.3整数指数幂(1)
②
感受数学之美 整数指数幂有如下运算性质：
a a a
m n
m n (m,n是整数.)
(a ) a
m n
n
mn (m,n是整数.)
n
③ ( ab) m ④
a b
n
(n是整数.)
(m,n是整数,a≠0.)
a n a ⑤( ) n b b
a a a
n
n
m n
(n是整数.)
a 1
n
(n是正整数.)
(m,n是正整数,m>n,a≠0.)
a n a ⑤( ) n b b
a a a
n
n
m n
(n是正整数.)
a 1
0
(a≠0.)
探究
5
交流合作,探索发现
7
做一做， 你能发现什么？
a a ?
a
5
a
7
a 1 7 2 a a
5 7
5
a a a
5 7
a
2
3
1
3 2 3
(2)
(2ab c ) (a b)
1
4. 若 a a 3 ，则 a a 的值是多少？
2
25 27
212
小结
①
②
梳理总结,形成体系 整数指数幂有如下运算性质：
a a a
m n
m n (m,n是整数.)
(a ) an是整数.)
n
a 1 a n n n a a b , n n b b b a n n a b . b
n n n
m
a n n a b b
n
教学设计1：15.2.3整数指数幂（1）
15.2.3整数指数幂（1）一、教学目标：1．知道负整数指数幂=（a ≠0，n 是正整数）. 2．掌握整数指数幂的运算性质.二、重点、难点1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.2．难点：掌握整数指数幂的运算性质.三、例、习题的意图分析1． P 142思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.2． P 143思考是为了引出同底数的幂的乘法：，这条性质适用于m ,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.3． P 144例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.四、课堂引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：(m ,n 是正整数)；（2）幂的乘方：(m ,n 是正整数)； （3）积的乘方：(n 是正整数)；（4）同底数的幂的除法：( a ≠0，m ,n 是正整数，m ＞n )； （5）商的乘方：(n 是正整数)； 2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，.3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？ 4．计算当a ≠0时，===，再假设正整数指数幂的运算性质(a ≠0，m ,n 是正整数，m ＞n )中的m ＞n 这个条件去掉，那么==.于是得到=（a ≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n 是正整数时，=（a ≠0）. n a -n a1n m n m a a a +=⋅n m n m a a a +=⋅mn n m aa =)(n nn b a ab =)(n m n m a a a -=÷n nn ba b a =)(10=a 910153a a ÷53a a 233aa a ⋅21a n m n m a a a -=÷53a a ÷53-a 2-a 2-a 21a n a -na 1五、例题讲解（P144）例9.计算[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.六、随堂练习1.填空（1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0=（4）20= (5）2-3= (6）(-2)-3=2.计算(1) (x3y-2)2（2）x2y-2 ·(x-2y)3 (3)(3x2y-2) 2 ÷(x-2y)3课后反思：参考答案：六、1.（1）-4 （2）4 （3）1 （4）1（5） （6） 2.（1） （2） （3） 8181 46y x 4x y 7109y x。
15.2.3 整数指数幂 第1课时
4.计算:
+
×3.140-(-3)3×0.3-1+(-0.1)-2. +100
解:原式=(-10)3+302×1-(-27)× =-1 000+900+90+100 =90.
-2 1. (-2) 等于 (
)
D
B.4 2 =-1 . C.D.
A.-4 2.计算:2 01303.计算:(1) (2)a-2b2·
第十五章 分
15.2 15.2.3 ห้องสมุดไป่ตู้数指数幂
式
第一课时
分式的运算
学习目标
1.知道负指数幂的意义,能正确熟练地运用负指数幂公
式进行计算. 2.能说出整数指数幂的意义和基本性质,并能运用它进 行计算.
学习重点
整数指数幂的性质及运算.
古时候,在某个王国有一位聪明的大臣,他发明了一种象棋,献 给了国王,国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢,国 王答应满足这个大臣的一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放一 些米粒吧,第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,然后是8 粒米,16粒米……以此类推一直放到64格.”“你真傻!就要这么一 点米!”国王哈哈大笑.大臣说:“就怕你的国库没有那么多米!”你 知道这位大臣是利用了什么知识吗?
(a≠0).
(2)当n是正整数时,a-n=
2.在幂的运算性质中,当指数扩大为所有整数时,各个幂的运
算性质依然适用.
1.负整数指数幂如何转化为正整数指数幂运算?
利用负整数指数幂的意义,a-n(a≠0)是an的倒数. 2.同底数幂的乘法、分式(商)的乘方与同底数幂的乘法、积
的乘方有什么关系? 同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法,分式(商)的乘
15.2.3整数指数幂(第1课时) 公开课
(2) a
(m, n是正整数)
m n
a (m, n是正整数)
mn
一般地，am中指数m可以是负整 数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？
a a a
m n
m n
(a 0, m, n是正整数, m n)
3 3
a a ? 3 5 当m ＜n时, a a ?
【解析】∵a+a-1=3,∴(a+a-1)2=9. 即a2+2+a-2=9. ∴a2+a-2=7, 即a2+
1 2 =7. a
答案：7
归纳
（1）a
m
a a （m、n是整数）
n
m n
(a （ 2）
（4）a
m n
) a （m、n是整数）
mn n
（3）(ab)
m
a b （n是整数）
n n
n mn
a a （a≠0，m、n是整数） n a n a （5）( ) n （b≠0，n是整数） b b
例题
．
计算：
（4）a
m n
) a （m、n是整数）
mn n
（3）(ab)
m
a b （n是整数）
n n
n mn
a a （a≠0，m、n是整数） n a n a （5）( ) n （b≠0，n是整数） b b
巩固练习P145
a b (3a b ) . （3） 2 3 9a b
3 2
（1）a
2
a ；
5
b 2 （2）( 2 ) ； a
（4）a b (a b )
2 4
3
15.2.3 整数指数幂(第1课时)八年级上册人教版
课堂检测
能力提升题
计算:
( 2)
1
(1) 2
3
2016 π
0
1
π 3.14
0
9
3
27 2
1
2
9 1 ;
2
2
2
解：(1)原式 2 3 1 3 1 4
1
1
(2)原式 1 3 3
探究新知
归纳总结
(1) a m a n a m n
(m，n 是整数)；
(2) （a m）n a mn
(m，n 是整数)；
(3) （ab）n a nb n
(n 是整数)；
(4) a m a n a m n (m，n 是整数)；
a n
an
(5) （ ） n
b
b
(n 是整数)．
探究新知
3
5
问题3 根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 a a ？
a3÷a5=
a
3
a3 a2
=
1
a2
(1)
问题4 如果把正整数指数幂的运算性质 a m a n a m n
(a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，即假
设这个性质对于像 a 3 a 5 的情形也能使用，如何计算？
x 1 y）3；
解：(1)原式=x2y-3·x-3y3
=x2-3·y-3+3
=x-1
1
=
x
（2）（2ab 2c 3）2 （a 2b）3．
-2 -4 6
(2)原式= a b c ÷a-6b3
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(2) (4ab2c-3)-2÷(a-2b)3
基础题：
1.计算： (1)(a+b)m+1· (a+b)n-1; (2) (-a2b)2· (-a2b3)3÷(-ab4)5
(3) (x3)2÷(x2)4· x0 (4) (-1.8x4y2z3) ÷(-0.2x2y4z) ÷(-1/3xyz)
提高题：
n
n
n
（ b≠0 ，n是正整数）
当a≠0时，a0=1。（0指数幂的运算） （ 6）
分
a5÷a3=a2
a3÷a5=a3-5=a-2 a3÷a5=
a3 a5 a3 1 = 3 2 2 a a a
析
a3÷a5=？
am÷an=am-n (a≠0 m、n为整数 )
1 2 a a2
n是正整数时, a-n属于分式。并且
a a （5）( b ) b
n
n
n
（b≠0）
当a≠0时，a0=1。 （ 6）
a ( ) b
2
例题： (1)(a-1b2)4;
b 2 (3)( 2 ) a
3
(2) a-2b3 (a2b-2)-3
●
跟踪练习： (1) x2y-3(x-2y)3；
x 3 2 (3)( ) ( xy) y
归
a3 a-5 = a-2
●
纳
1 a2
a-3 a-5 =
●
1 a-8 a 8
am an=am+n，这条性质对
●
于m，n是任意整数的情形 仍然适用。
a0
-5 ●a
=
a-5
1 5 a
整数指数幂有以下运算性质： （1）am· an=am+n (a≠0) a-3· a-9= （2）(am)n=amn (a≠0) （3）(ab)n=anbn (a,b≠0) （4）am÷an=am-n (a≠0) (a-3)2= (ab)-3= a-3÷a-5=
课堂达标测试
2.已知 b 2
(a b 1) 0，
2
求a50÷a9的值；
3.计算：xn+2· xn-2÷(x2)3n-3; 4.已知：10m=5,10n=4,求102m-3n.
小
结
n是正整数时, a-n属于分式。并且
1 n a n a
(a≠0)
1 n a n (a≠0) a
a 5 1 a5
1 例如: a1 a
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。
1 a n (a 0) a
n
这就是说：a－n（a≠__， 30=___， 3-2=_____; （2）(-3)3=____，(-3)0=___，(-3)-2=_____； （3）b2=_____, b0=____, b-2=____(b≠0).
15.2.3整数指数幂（1）
正整数指数幂有哪些运算性质? （1）am· an=am+n (a≠0 m、n为正整数)
（2）(am)n=amn (a≠0 m、n为正整数) （3）(ab)n=anbn (a，b≠0 m、n为正整数)
（4）am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
a a （5）( b ) b