2018版高中数学平面解析几何初步章末分层突破学案苏教版
18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学案苏教版必修21707221110
2.1.2 第1课时直线的点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础²初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1²(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝4－12－ －1＝1，l的方程为y－1＝1²(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(³) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.【答案】3x －y －2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0³(x ＋1)， 即y ＝－1.(3)∵直线的斜率k ＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y －3＝2³(x －2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k.由题意，得12³(1－4k )³⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【解】 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12²|b |²|－6b |＝3， 即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －13．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＋1＝0.【答案】2x －y ＋2＋1＝04．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－15．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 第2课时 圆的一般方程学业分层测评 苏教版必修2
2.2.1 第2课时 圆的一般方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为________． 【解析】 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 2．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________． 【解析】 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.【答案】1143．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是____________． 【解析】 圆的半径r ＝124＋k 2－2k ＋＝k 2－2k ＋3＝k －2＋2≥ 2.【答案】 [2，＋∞)4．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2. 【答案】 25．圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为________．【解析】 圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3.AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1，∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0. 【答案】 x ＋y －4＝06．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最小值是________．【解析】 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×AB ×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2. 【答案】 3－ 27．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为__________.【导学号：41292103】【解析】 ∵l 1，l 2过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.【答案】 48．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．【解析】 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14二、解答题9．设A (－c,0)，B (c,0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹.【导学号：41292104】【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得x ＋c 2＋y 2x －c2＋y2＝a 2， 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)·y 2＝0. 当a ＝1时， 方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆．10．已知过点A (0,1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且O M →·O N →＝12，求k 的值．【解】 (1)∵直线l 过点A (0,1)且方向向量a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由|2k －3＋1|k 2＋1<1，得4－73<k <4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴O M →·O N →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k ＋k1＋k2＋8＝12， ∴4k＋k1＋k2＝4，解得k ＝1. [能力提升]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是________．【解析】 设P (x ，y )，则PM ⊥PN .又k PM ＝y －0x －－＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝y x －2(x ≠2)，∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1， 即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形，因此不成立，同理当x ＝－2时，也不成立．故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．【答案】 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)2．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝__________.【导学号：41292105】【解析】 若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆，则有k 2＋4－4k 2>0，解得0≤k 2<43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4.要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k＝0时，r 取得最大值为1，此时直线方程为y ＝－x ＋2，由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1，又因为0°≤α<180°，所以α＝135°.【答案】 135°3．若光线从点A (1,1)出发，则经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(x －7)2＝4的最短路程等于________．【解析】 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为A ′C －2，A ′C ＝62＋62＝62， ∴所求的最短路程为62－2. 【答案】 62－24．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．【解】 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知，r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学案苏教版
2.1.2 第1课时直线的点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝4－12－－＝1，l的方程为y－1＝1·(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(×) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.【答案】3x －y －2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0×(x ＋1)， 即y ＝－1.(3)∵直线的斜率k ＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y －3＝2×(x －2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k.由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【解】 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3， 即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －13．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＋1＝0.【答案】2x －y ＋2＋1＝04．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－15．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。
18版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1空间直角坐标系学案苏教版必修21707221100
2．3.1 空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 空间直角坐标系阅读教材P118，完成下列问题．1．空间直角坐标系的概念从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如图2－3－1，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠C＝90°，试在图中建立一个空间直角坐标系．图2－3－1【解】以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图．教材整理2 空间点的坐标表示阅读教材P119，完成下列问题．对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(×)(2)在空间直角坐标系中，xOz平面上点的坐标满足z＝0.(×)(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√)(4)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于z轴的对称点为P′(－x，－y，z)．(√)2．在空间直角坐标系中，点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为____________．【解析】点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为(－2，－4，－6)．【答案】(－2，－4，－6)[小组合作型]空间中点的坐标的确定如图2－3－2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF ＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．图2－3－2【精彩点拨】可选取A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．【自主解答】 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，则CF ＝AB ＝1，CE ＝12AB ＝12， 所以BE ＝BC －CE ＝2－12＝32. 所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点M 的坐标的方法过点M 分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A ，B ，C 三点，确定x ，y ，z .具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点(落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征．[再练一题]1．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是BB ′，D ′B ′的中点，棱长为1，求E ，F 点的坐标．【解】 建立如图空间直角坐标系，E 点在xDy 面上的射影为B ，B (1,1,0)，竖坐标为12，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1. [探究共研型]空间中点的对称问题探究1 在空间坐标系中，点(1,1,1)关于原点对称的坐标是什么？【提示】 (－1，－1，－1)．探究2 在空间坐标系中，点(a ，b ，c )关于x 轴对称的点的坐标是什么？【提示】 (a ，－b ，－c )．探究3 在空间坐标系中，点(a ，b ，c )关于xOy 平面对称的点的坐标是什么？【提示】 (a ，b ，－c )．求点M (2，－1,3)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．【精彩点拨】 结合图形，利用图象对称的思想找准对称点．【自主解答】 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(2，－1，－3)，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(2,1,3)，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－2，－1,3)，关于x 轴的对称点M 4的坐标为(2,1，－3)，关于y 轴的对称点M 5的坐标为(－2，－1，－3)，关于z 轴的对称点M 6的坐标为(－2,1,3)，关于原点的对称点M 7的坐标为(－2,1，－3)．平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中．在空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1(－x ，－y ，－z )；②关于x 轴(横轴)对称的点的坐标是P 2(x ，－y ，－z )；③关于y 轴(纵轴)对称的点的坐标是P 3(－x ，y ，－z )；④关于z 轴(竖轴)对称的点的坐标是P 4(－x ，－y ，z )；⑤关于xOy 平面对称的点的坐标是P 5(x ，y ，－z )；⑥关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．[再练一题]2．在空间直角坐标系中，点P(－1,1,2)关于y轴对称的点的坐标为________，关于坐标平面yOz对称的点的坐标为________．【解析】由对称知识可知，P关于y轴对称的点为(1,1，－2)，关于平面yOz对称的点为(1,1,2)．【答案】(1,1，－2) (1,1,2)1．点P(－1,0,4)位于________平面内．【解析】点P(－1,0,4)的y坐标为0，∴点P(－1,0,4)在xOz平面内．【答案】xOz2．点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.【解析】点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足B(0,2，－1)，故x＋y＋z＝1.【答案】 13．在空间直角坐标系中，点P(－2,4,4)关于x轴的对称点的坐标是________.【解析】因为点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P′的坐标为(－2，－4，－4)．【答案】(－2，－4，－4)4．设x，y为任意实数，相应的所有点P(x，y,3)的集合是________．【答案】过z轴上的点(0,0,3)且与z轴垂直的平面5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的坐标系，求点C，B1，P的坐标．(写出符合题意的一种情况即可)【解】如图，分别以AD，AB和AA1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系．∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，从而C(4,5,0)，B1(0,5,4)．又D1(4,0,4)，P 为B 1D 1的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，4.。
2017-2018学年高三数学苏教版必修4学案：第1章 章末分层突破
章末分层突破[自我校对]①正角、负角和零角②弧长③扇形面积④正弦⑤余弦⑥正切(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．(2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________．【精彩点拨】 (1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解． 【规范解答】 (1)r ＝|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0，得⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 【答案】 (1)25或－25(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z [再练一题]1．若θ是第四象限角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号． 【解】 ∵θ为第四象限角，∴0＜cos θ＜1＜π2，－π2＜－1＜sin θ＜0. ∴sin(cos θ)＞0，cos(sin θ)＞0. ∴sin(cos θ)·cos(sin θ)＞0.方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ、tan θ的值． 【精彩点拨】 以角θ的终边所在位置为依据分别讨论求解．【规范解答】 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m 2m .(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m 2m .[再练一题] 2．已知sin (2π＋θ)tan (π＋θ)tan (3π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan (－π－θ)＝1，则sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是________．【解析】 由已知得sin θ·tan θ·(－tan θ)sin θ·(－tan θ)＝1，即tan θ＝1，于是sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋3tan θ＋2tan 2θ＋1＝3. 【答案】 3现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)已知函数图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．【精彩点拨】 利用公式T ＝2π|ω|求周期→ 整体代换求单调区间→由最值求a【规范解答】 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.[再练一题]3．如图1-1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的部分图象．图1-1(1)求此函数的解析式；(2)分析该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的．【解】 (1)由图象知，A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴所求函数的解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，最后把函数y ＝12sin2x＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．求参数范围等题目中．本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图1-2所示，求函数g (x )＝f (x )－lg x 零点的个数．图1-2【精彩点拨】 识图→求A ，ω，φ→ 画出f (x )及y ＝lg x 的图象→下结论 【规范解答】 显然A ＝2. 由图象过(0,1)点，则f (0)＝1， 即sin φ＝12， 又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.在同一坐标系中作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图如图所示：∵f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z )，得k ≤30(k ∈Z )，而1112π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k∈Z,0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1112π上还有1个交点，∴方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个，∴函数g (x )＝f (x )－lg x 共有63个零点． [再练一题] 4．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝θ⎪⎪⎪ cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N . 【解】 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象，如图①②.结合图象得集合M ，N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π.1．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.【解析】 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425. 【答案】 64252．(2014·大纲全国卷改编)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________.【解析】 因为角α的终边经过点(－4,3)， 所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45. 【答案】 －453．(2016·全国卷Ⅱ改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【解析】 将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝kx ＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．【答案】 x ＝k π2＋π6(k ∈Z )4．(2015·福建高考改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α 的值等于________．【解析】 方法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 方法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.【答案】 －5125．(2015·全国卷Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图1-3所示，则f (x )的单调递减区间为________．图1-3【解析】 由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z6．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．【解析】 (方法一)函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，y ＝cos x 的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.(方法二)联立两曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin 2x ，y ＝cos x ，两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2x ＝cos x 解的个数．方程可化为2sin x cos x ＝cos x ，即cos x (2sin x －1)＝0，∴cos x ＝0或sin x ＝12.①当cos x ＝0时，x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵x ∈[0,3π]，∴x ＝π2，32π，52π，共3个； ②当sin x ＝12时，∵x ∈[0,3π]，∴x ＝π6，56π，136π，176π，共4个．综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点． 【答案】 77．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．【解析】 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6. 【答案】 π6章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是第________象限角． 【解析】 ∵sin α＜0，tan α＞0， ∴α是第三象限角． 【答案】 三2．已知圆的半径是 6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________．【解析】 15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ， 则l ＝6×π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π2.【答案】 3π23．cos 675°＝________.【解析】 cos 675°＝cos(675°－720°)＝cos(－45°) ＝cos 45°＝22. 【答案】 224．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________． 【解析】 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的． 【答案】 －3π45．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.【解析】 画出图形，可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z .【答案】 －30°＋k ·360°，k ∈Z6．(2016·南通高一检测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．【解析】 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3， ∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，327．设α是第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1等于________． 【解析】 因为α是第二象限角， 所以sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α| ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 【答案】 －18．(2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin 12×π6＋π6＝sin π4＝22. 【答案】 229．(2016·如皋高一检测)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为________．【解析】 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13， ∴1cos 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103. 【答案】 10310．(2016·南京高一检测)已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是________．【解析】 ∵点P 在第一象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＞0，①sin α－cos α＞0，②由①知0＜α＜π2或π＜α＜3π2， ③ 由②知sin α＞cos α.作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sin α＞cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4. ④由③，④得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π411．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图1所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝________.图1【解析】 由图象知32T ＝π， ∴T ＝2π3，A ＝2， 又∵T ＝2πω，∴ω＝3，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0代入y ＝2sin(3x ＋φ)得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π4＋φ＝0，取φ＝－34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12－3π4＝2sin π＝0. 【答案】 012．化简：1－2sin 200°cos 160°＝________. 【解析】 原式＝1－2sin (180°＋20°)cos (180°－20°)＝1－2sin 20°cos 20°＝(sin 20°－cos 20°)2＝cos 20°－sin 20°. 【答案】 cos 20°－sin 20°13.如图2为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则ω＝________，A ＝________.图2【解析】 由题意知，半径即是振幅，A ＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T ＝604＝15 s ，所以ω＝2πT ＝2π15.【答案】 2π15 314．(2016·泰州高一检测)关于函数f (x )＝2sin3x －34π，有下列命题： ①其最小正周期为23π；②其图象由y ＝2sin 3x 向左平移π4个单位而得到； ③其表达式可以写成f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π；④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π为单调递增函数．则其中真命题为________．(需写出所有真命题的序号)【解析】 ①由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π得T ＝2π3，故①正确．②y ＝2sin 3x 向左平移π4个单位得y ＝2sin3x ＋34π，故②不正确． ③由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4－3π2 ＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π，故③正确．④由2k π－π2≤3x －34π≤2k π＋π2(k ∈Z )得23k π＋π12≤x ≤23k π＋512π(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π12，23k π＋512π(k ∈Z )． 当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12，故④正确． 【答案】 ①③④二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．【解】 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. (2)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25； 当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25. 16．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 【解】 由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2＝4＋2×(－2)－14＋1＋2＝95.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；图3(2)写出f (x )的值域、周期、对称轴、单调区间． 【解】 (1)列表如下：描点画图如图所示．(2)由上图可知：值域为[－3,3]，周期为2π，对称轴为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π4＋k π，k ∈Z， 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． 18．(本小题满分16分)(2016·天津十二区联考二)函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图4所示．图4(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．【解】 (1)由题图得f (0)＝32， 所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x 0＜2. 故7π6＜πx 0＋π6＜13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，解得x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2 ＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.19．(本小题满分16分)(2016·宿迁高一检测)已知函数y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值． 【解】 由题意知a ≠0.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.当a ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.当a ＜0时，⎩⎨⎧－12a ＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.综上，a ＝4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝－1.20．(本小题满分16分)(2016·南通高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【解】 (1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π.由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1， 令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋2k π，k ∈Z . 又|φ|＜π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，恰有两个不同的解的条件是m ∈[)3＋1，3，即实数m 的取值范围是[3＋1,3).。
18版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学案苏教版必修21707221103
2.2.1 第2课时 圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 圆的一般方程的定义 阅读教材P 109，完成下列问题． 1．圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F . (2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则其位置关系如下表：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)(2)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×) (3)方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆应满足的条件是①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4F >0.(√)2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0化为标准形式为_____________________． 【解析】 由x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 故圆的标准形式为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋2)2＝23．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是______________． 【解析】 由题意可知，16＋(－2)2－20m ＞0，解得m ＜1. 【答案】 (－∞，1)[小组合作型]二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径． (1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0； (2)x 2－2xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－4y ＝0；(5)ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0(a ≠0)．【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断． 【自主解答】 (1)∵A ≠B ，∴不能表示圆． (2)∵xy 前的系数不等于0，∴不能表示圆． (3)∵D 2＋E 2－4F ＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0， ∴不能表示圆．(4)方程变形为x 2＋y 2－2y ＝0. 配方得x 2＋(y －1)2＝1，故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1. (5)法一：∵a ≠0，∴原方程可化为x 2＋y 2－a －ax ＋4a y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －a －a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2a 2＝a －2＋1]a 2.∵a －2＋1]a 2>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a －a，－2a ，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.法二：∵a ≠0，∴原方程可化为x 2＋y 2－a －ax ＋4a y ＝0. ∵D 2＋E 2－4F ＝a －2a 2＋16a2＝a －2＋16a 2>0，∴原方程表示圆， 此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a －a，－2a ，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．[再练一题]1．讨论方程x 2＋y 2＋2ay ＋1＝0(a ∈R )表示曲线的形状．【解】 当a <－1或a >1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a )，半径为a 2－1的圆；当a ＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a )； 当－1<a <1时，此方程不表示任何曲线．圆的一般方程的求法已知△ABC 三个顶点的坐标为A (1,3)，B (－1，－1)，C (－3,5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M (1,2)，N (4,5)，Q (2,3)与圆的位置关系．【精彩点拨】 解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．【自主解答】 (1)法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．∵此圆过A ，B ，C 三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋32＋D ＋3E ＋F ＝0，－2＋－2－D －E ＋F ＝0，－2＋52－3D ＋5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝4，E ＝－4，F ＝－2.∴圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2， ①－1－a 2＋－1－b 2＝r 2， ②－3－a 2＋－b 2＝r 2， ③②－①，③－①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －2＝0，2a －b ＋6＝0，解得a ＝－2，b ＝2. ∴r 2＝10.∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法三：AB 的中垂线方程为y －1＝－12(x －0)，BC 的中垂线方程为y －2＝13(x ＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆的半径为r ，则r 2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10， 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法四：由于k AB ＝－1－3－1－1＝2，k AC ＝5－3－3－1＝－12，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC 的中点，即(－2,2)， 半径r ＝12|BC |＝10，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. (2)∵M (1,2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0， ∴点M (1,2)在圆内． ∵N (4,5)，∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0， ∴点N (4,5)在圆外． ∵Q (2,3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0， ∴点Q (2,3)在圆外．本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可以直接看出圆心坐标(a ，b )和半径r ，圆的几何特征明显．(2)由圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．(3)[再练一题]2．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．【解】 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D2<0，即D >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.[探究共研型]轨迹问题探究1 若|AB |＝2，C 为AB 的中点，动点P 满足|PC |＝2，那么P 点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？【提示】 以AB 所在直线为x 轴，以C 为原点建立直角坐标系，则C (0,0)，P 点的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆的方程为x 2＋y 2＝4.探究2 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A (0,2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．【提示】 设点M (x ，y )是曲线上任意一点，根据题意，有：x 2＋y －2＝2.两边平方，得x 2＋(y －2)2＝4. 因为曲线在x 轴上方，y >0，所以曲线方程应是x 2＋(y －2)2＝4(y >0)．曲线是圆心为(0,2)，半径为2的圆在x 轴上方的部分．(1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． (2)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .若点P 的轨迹为曲线C ，则此曲线的方程为__________.【精彩点拨】 (1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．(2)设出点P 的坐标，利用PA ＝2PB 得点P 坐标的关系，化简即可．【自主解答】 (1)设圆上任意一点为(x 1，y 1)，它与点P 连线的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，所以x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2， 又(x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．【答案】 (1)(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 (2)(x －5)2＋y 2＝16求与圆有关的轨迹问题常用的方法1．直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例(2)．2．定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． 3．相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)的运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．如上例(1)．[再练一题]3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．【解】 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心C (3,3)．∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)．1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 【答案】 (2，－3)2．经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程为__________．【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝03．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为________.【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 (－a ，－b )4．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 【解析】 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.【答案】 35．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【解】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )，依题意，得AC ＝AB .由两点间距离公式，得x －2＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．。
【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：章末分层突破3 Word版含解析
章末分层突破[自我校对]①分式不等式的解法②选点法③一正、二定、三相等_________________________________________________ _________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.(1)一化：化二次项系数为正数．(2)二判：判断对应方程的根．(3)三求：求对应方程的根．(4)四画：画出对应函数的图象．(5)五解集：根据图象写出不等式的解集．2．含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a(x－x1)(x－x2)的形成时，往往需要对其根分x1>x2，x1＝x2，x1<x2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．解不等式：a(x－1)x－2>1(a≠1)．【精彩点拨】先化分式不等式为整式不等式，再就a的取值讨论不等式的解法．【规范解答】 原不等式可化为a (x －1)x －2－1>0， 即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0，(*) 当a >1时，(*)即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0， 而a －2a －1－2＝－1a －1－1<0. ∴a －2a －1<2，此时，x >2或x <a －2a －1. 当a <1时，(*)即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)<0， 而2－a －2a －1＝aa －1. 若0<a <1，则a －2a －1>2，此时2<x <a －2a －1； 若a ＝0，则(x －2)2<0，此时无解； 若a <0，则a －2a －1<2，此时a －2a －1<x <2.综上所述：当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a －2a －1或x >2； 当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x <a －2a －1； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1<x <2. [再练一题]1．解不等式x 2－2ax ＋2≤0.【解】 对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a <2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a>2或a<－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a ＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.1.(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一族平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数，可得到的利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【精彩点拨】 先用二元一次不等式组表示约束条件，并画出可行域，再利用图解法求最优解．【规范解答】(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.[再练一题]2．实数x ，y满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是________.【导学号：91730074】【解析】 连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W <1.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22解“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等方法，构造定值成立的条件，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．【精彩点拨】 (1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解．【规范解答】 (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋a x ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1. ∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时，f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋a x ＋1－1，若x ＋1＋a x ＋1≥2a ， 则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号， 此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到． 设x 1>x 2≥0， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2≥0，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>1，而0<a <1， ∴a(x 1＋1)(x 2＋1)<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (0)＝a . [再练一题]3．东海水晶制品厂去年的年产量10万件，每件水晶产品的销售价为100元，从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本投入n 关系g (n )＝80n ＋1，若水晶产品销售价格不变，第n 次投入后的平均利润为f (n )万元．(1)求f (n )；(2)从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解】 (1)第n 次投入后，产量10＋n 万件，售价100元，固定成本80n ＋1元，科技成本投入100n 万元，∴f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)， 当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润520万元． 答：从今年算起第8年利润最高为520万元.的取值范围，经常采用分离参数的方法，转化为字母参数与函数的最值关系问题．对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种： 1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ； 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．若x 2－2ax ＋2≥a 在x ∈[－1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．【精彩点拨】 可联系二次函数，利用对称轴与所给区间的关系讨论a ，也可结合二次函数的图象构造a 的不等式组．【规范解答】 法一：设f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .(1)当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝(－2a )2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ>0，a ≤－1，g (－1)≥0，解得－3≤a ≤1. [再练一题]4．若关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意的x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 法一：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋mx 2－2x ＋3<2等价于2x 2－8x ＋6－m >0，要使2x 2－8x ＋6－m >0恒成立，则只需要Δ<0， 即64－8(6－m )<0，∴m <－2， ∴m 的取值范围是m <－2.法二：结合法一，不等式2x 2－8x ＋6－m >0对任意的x 恒成立，则只需m <2x 2－8x ＋6对任意的x 恒成立，∵2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴2x 2－8x ＋6在x ∈R 上的最小值为－2，∴m <－2.1．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______． 【解析】 ∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 【答案】 {x |－1＜x ＜2}()或(－1，2)2．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.【答案】 323．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．【解析】 因为x y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y x ＝4y 2－x 22xy .又x >0.y >0，故x y ＋(2y x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．【答案】24．(2016·浙江高考改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.【解析】 作出可行域，如图所示．由⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y ＝0 得A ′(2，－2)． 由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －3y ＋4＝0 得B ′(－1,1)．由于直线x ＋y ＝0与直线x ＋y －2＝0平行，所以可行域中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影AB 的长度|AB |＝|A ′B ′|＝32＋(－3)2＝3 2.【答案】 3 25．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．【解析】 根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，那么a ＋b ＝________.【解析】 因为x 2－2x －3<0的解集为A ＝{x |－1<x <3}，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ＝{x |－3<x <2}，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ＝{x |－1<x <2}，所以x 2＋ax ＋b ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝2.由根与系数的关系，得a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.【答案】 －32．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】 216 0003．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是________． ①y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0；②y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)；③已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2ab ·b a ＝2；④y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4.【解析】 ①错，右侧不为定值；②错，sin x ＝4sin x ，则sin x ＝2>1；③错，a b 与ba 为负时不成立．【答案】 ④4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b .这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b2的大小关系为________.【导学号：91730075】【解析】 由题意可知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a ＋b 22，∴x ≤a ＋b 2. 【答案】 x ≤a ＋b25．(2016·南京高二检测)若0≤x ≤1,0≤y ≤2，且2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为________．【解析】由已知作出可行域(如图)， 由z ＝2y －2x ＋4，得y ＝x －2＋z 2， 当x ＝1，y ＝1时，z min ＝4. 【答案】 46．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116，x ∈R ，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4， 此时a －2＝1，a ＝3， 而2<a <3，则M >4，N ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116≤log 12116＝4，∴M >N . 【答案】 M >N7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是________．图1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.【答案】 －38．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．(1)6.5 m ；(2)6.8 m ；(3)7 m ；(4)7.2 m.【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．【答案】 (3)9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是________．【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得⎩⎨⎧m 2≥16，m >－5，⇒－5<m ≤－4，m <－2故答案为(－5，－4]． 【答案】 (－5，－4]10．已知等比数列{a n }各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 2＋a 92，Q ＝a 4a 7，则P 与Q 的大小关系是________．【解析】 ∵{a n }是等比数列， ∴a 2·a 9＝a 4·a 7， ∴a 2＋a 92≥a 2a 9＝a 4a 7. 又q ≠1，∴a 2≠a 9， ∴a 2＋a 92>a 4a 7， ∴P >Q . 【答案】 P >Q11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．【解析】 f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.【答案】 (－1,3)12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．【解析】 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz＋32＝32＋32＝3，当且仅当x 2＝9z 2时等号成立， 所以y 2xz 的最小值为3.【答案】 313．(2016·苏州高二检测)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是________.【导学号：91730076】【解析】 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)， 则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5，即|x ＋2|2－4|x ＋2|<5， (|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)<5的解集是(－7,3)． 【答案】 (－7,3)14．设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y ＝－15x ＋z 5，显然当y ＝－15x ＋z5过点A 时取到最大值．此时z ＝4，即y ＝－15x ＋45. 由⎩⎨⎧x ＋5y ＝4，y ＝x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23代入y ＝mx 得，23m ＝23，∴m ＝1. 【答案】 1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)解关于x 的不等式：x －ax －a 2<0(a ∈R )． 【解】 原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0. (1)当a ＝0时，原不等式为x 2<0， ∴x ∈∅.(2)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2<0， ∴x ∈∅.(3)当0<a <1时，a >a 2，∴原不等式的解集为{x |a 2<x <a }． (4)当a <0或a >1时，a 2>a ， ∴原不等式的解集为{x |a <x <a 2}．综上，当a ＝0或a ＝1时，不等式解集为∅； 当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }； 当a <0或a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}．16．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．【解】 (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧k <0，k >66或k <－66，所以k <－66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．(本小题满分14分)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求z ＝x －2y 的最大值．【解】 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集点，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)平移直线y ＝12x －z2，所以当直线过点()3，－3时z 值最大．所以z max ＝3－2×(－3)＝9.18．(本小题满分16分)(2016·江苏高考改编)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，求tan A tan B tan C 的最小值．【解】 在锐角三角形ABC 中， ∵sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①∵A ，B ，C 均为锐角，∴tan B tan C －1>0，∴tan B tan C >1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C >1得tan Atan A －2>1，∴tan A >2.∴tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝(tan A －2)2＋4(tan A －2)＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8.19．(本小题满分16分)规定：max(a ，b ，c )与min(a ，b ，c )分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f (1)； (2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．【证明】 由题意知a ，b ，c >0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0. (1)若b ≥49f (1)，结论显然成立； 下面证明当b <49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d .，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24<481d 2，而a ＋c ＝d －b >59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a (a ＋c )>59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －49d >0，解得a <19d 或 a >49d .若a <19d ，则a ＋c >59d ，c >49d . 因此，必有a >49f (1)或b >49f (1)或c >49f (1)，于是max(a ，b ，c )≥49f (1)． (2)若a ≤14f (1)，结论显然成立； 下面证明当a >14f (1)时，结论也成立． 因为b ＋c ＝d －a <34d 且b 2≥4ac >cd ， 所以c ＋cd <c ＋b <34d ， 整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d <0，解得c <14d .因此，必有a ≤14f (1)或c <14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．20．(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由． (2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元，(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？【解】 (1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13，由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)>a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n (n ＋1)20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥232 000n ×n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26， ∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy ≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立． 【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________． 【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1. 【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝4n n ＋1. 【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域[0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14，∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17，令q n＝(2)n＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)，∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)． ∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1 ＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x [y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25) ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，.当且仅当x＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。
2018版高中数学第一章立体几何初步章末分层突破学案苏教版必修220170722186
第一章立体几何初步[自我校对]①球②斜二测画法③公理3④平行⑤相交⑥[0°，90°]⑦[0°，180°]__________________________________________________________ __________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空间几何体的体积及表面积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．如图1－1，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图1－1(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM的体积．【精彩点拨】(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N到平面BCM的距离及△BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解．【规范解答】2(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.3如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，1TN＝BC＝2.2又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，1 所以N到平面ABCD的距离为PA.2如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝ 5.由AM∥BC得M到BC的距离为5，1故S△BCM＝×4× 5＝2 5.21 PA 4 5所以四面体N－BCM的体积V N－BCM＝×S△BCM×＝.3 2 3[再练一题]1．如图1－2，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图1－2(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．【解】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.11 1∵M是AD的中点，∴S△ABM＝S△ABD＝.2 4由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积1 1V A－MBC＝V C－ABM＝S△ABM·h＝.3 12(2)法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，1 1则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝，2 21又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝，2∴三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V A－BCD－V M－BCD1 1 1＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝.3 3 12直线、平面平行的判定和性质1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒α∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．如图1－3，E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，图1－3求证：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【精彩点拨】(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．(2)证B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.【规范解答】(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，1 1 易证OG綊B1C1，BE綊B1C1，2 2∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1 是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.[再练一题]2.如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图1－4求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.5【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.直线、平面垂直的判定和性质空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．如图1－5所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点．6图1－5求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩点拨】取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.(1)证△DFE≌△ABD，(2)证BN⊥ECA，(3)证DM⊥平面ECA.【规范解答】(1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，1∵EF＝EC＝BD，2FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.1(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MN綊EC，2∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.[再练一题]3．如图1－6，四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.【导学号：41292056】图1－6【解】(1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD⊂平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.平面图形的翻折问题空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．1如图1－7，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的中点，2E，F分别为PC，PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P－ABCD.图1－7(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.【精彩点拨】(1)转化为证EF⊥平面PAD；(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.【规范解答】(1)在直角梯形ABCP中．1∵BC∥AP，BC＝AP，D为AP的中点，2∴BC綊AD，又AB⊥AP，AB＝BC.∴四边形ABCD为正方形．∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱锥P－ABCD中，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)法一∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP，∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，∴GF∥平面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二取AD中点H(略)，连结GH，HE.由(1)知四边形ABCD为平行四边形．又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四点E，F，G，H共面．∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA.∵PA⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.[再练一题]4．如图1－8(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图1－8(2)所示．(1)(2)图1－8(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F－BCE的体积．1【解】(1)证明：法一取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝DF，2∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB，∴四边形ABEG为平行四边形，∴BE∥AG.∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)法一∵V F－BCE＝V B－CEF，由图(1)可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.1 1 由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝CE×DC＝，2 21 1∴V F－BCE＝V B－CEF＝×BC×S△CEF＝.3 6法二由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1 1 1 11，S△BCE＝BC×CE＝，∴V F－BCE＝×CD×S△BCE＝.2 23 6法三过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH⊂平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝DC2＋DF2＝5，1 5 1 1S△BCF＝BC×CF＝，在△CEF中，由等面积法可得EH＝，∴V F－BCE＝V E－BCF＝×EH×S△2 2 5 31BCF＝.61．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为________.【导学号：41292057】【解析】如图，设球的半径为R，1∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.2∵V O－ABC＝V C－AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，V O－ABC最大，1 1∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积V O－ABC最大为×R2×R＝36，3 2∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.11【答案】144π2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．【解析】①α，β可能相交，故错误；②直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；③若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；④假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故④正确．【答案】④3．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1－9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.图1－9【解】(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，12所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.4.如图1－10，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；6(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．3图1－10【解】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.3 x(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.2 23因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.22由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.21 1 6 6 由已知得，三棱锥E－ACD的体积V三棱锥E－ACD＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.3 2 24 3从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2 5.5.如图1－11，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．13图1－11(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．【解】(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S △VAB＝3.又因为OC⊥平面VAB，1 3所以三棱锥C－VAB的体积等于OC·S△VAB＝.又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－3 33VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为.36．如图1－12，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．【解】(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.14因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点．(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G2 是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.32 1由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.3 3由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，1 1 4所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.3 2 315。
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第二章 平面解析几何初步[自我校对] ①y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) ②点斜式 ③两点式 ④一般式 ⑤|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________直线方程及两直线的位置关系 1.直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．2．两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：的绝对值为1，求这两条直线的方程.【精彩点拨】 考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k .【规范解答】 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.则直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. [再练一题]1．求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x －y －1＝0平行的直线l 的方程．【解】 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵直线l 和直线3x －y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝3，∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35.即所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.法二 ∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴可设直线l 的方程为：2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.∵直线l 与直线3x －y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－3－1≠2λ－3－1，解得λ＝74. 从而所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题．如图2－1所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.图2－1(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【精彩点拨】 (1)设出方程，求出弦心距，由点到直线的距离公式求k .(2)设出方程，由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数．【规范解答】 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝ 1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k－a －b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件． [再练一题]2．如图2－2，平面直角坐标系中，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，图2－2(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程．【解】 (1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设MN 的中点为Q ，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1， 则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f (x ，y )＝0，求yx，y －x ，x 2＋y 2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x ，y )是圆上任意一点，分别把给定的式子y x，y －x ，x 2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．已知实数x ，y 满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，点P (x ，y )，A (－1,0)，B (1,0)．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x －y 的最大值和最小值；(3)求PA 2＋PB 2的最大值和最小值．【精彩点拨】 (1)转化为过圆上的点(x ，y )和原点(0,0)的直线的斜率问题．(2)令m ＝x －y ，转化为直线与圆相切的问题．(3)令PA 2＋PB 2＝m 2，化简后转化为两圆相切问题．【规范解答】 根据题意，设圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝1，圆心C (3,2)．(1)设y x ＝k ，则当直线y ＝kx 与圆C 相切时，y x 取得最值．此时|3k －2|1＋k 2＝1，k ＝3±34， ∴y x 的最大值为3＋34，最小值为3－34. (2)设x －y ＝m ，则当直线y ＝x －m 与圆C 相切时，x －y 取得最值． 此时|3－2－m |2＝1，∴m ＝1±2，∴x －y 的最大值为1＋2，最小值为1－ 2. (3)设PA 2＋PB 2＝m 2，则有x 2＋y 2＝m 2－22，m 2≥2.当圆x 2＋y 2＝m 2－22与圆C 相切时，PA 2＋PB 2取得最值，此时m 2－22±1＝13，解得m 2＝30±413.∴PA 2＋PB 2的最大值为30＋413，最小值为30－413. [再练一题]3．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求： (1)yx的最大值与最小值； (2)x ＋y 的最大值与最小值．【解】 (1)设方程(x －3)2＋(y －3)2＝6所表示的圆C 上的任意一点P (x ，y ).y x的几何意义就是直线OP 的斜率，设y x＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx .由图(1)可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k 2＋1，所以当|3k －3|k 2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切．所以y x的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.(1) (2)(2)设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，由图②知，当直线与圆C 相切时，截距b 取最值．而圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为d ＝|6－b |2.因为当|6－b |2＝6，即b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，所以x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法．本章中求直线和圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： ①选择圆的方程的某一形式；②由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)； ③解出a ，b ，r (或D ，E ，F )； ④代入所设方程．求直线方程时一般有以下几类：①知过定点，设点斜式(注意斜率不存在的情况)； ②知斜率，设斜截式； ③与截距有关设截距式；④知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截式、点斜式)．如图2－3，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．图2－3【精彩点拨】 (1)求出圆心C ，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，结合待定系数法求解．(2)设出圆的方程，化简条件MA ＝2MO ，将问题转化为两圆相交问题．【规范解答】 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5a 2－12a ＋8≥0，5a 2－12a ≤0，由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.[再练一题]4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 【解】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 在曲线y2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.1．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________. 【解析】 将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，由圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1可知|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.【答案】 －432．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．【解析】 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.【答案】 x －y ＋3＝03．如图2－4，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图2－4(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 【解析】 (1)取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB . 由题意|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C 的坐标为(1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令(x －1)2＋(y －2)2＝2中的x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x ＋2＋1.令y ＝0，解得x＝－2－1，故所求截距为－2－1.【答案】 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－14．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为__________．【解析】 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.【答案】 65．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．【解析】 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝46．如图2－5，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图2－5(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．【解】 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．7．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解】 (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1→·MO →＝0.又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧． (3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3， 化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3. 若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件． 当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． ③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是－257≤k ≤257或k ＝±34.。