人教版高二数学选修2-3二项式定理
人教版高中数学选修2-3《1.3 二项式定理》
) C.30 D.35
1 6 【例 2】 (2017 课标Ⅰ高考) (1 2 )(1 x) 展开 x 2 式中 x 的系数为( C )
A.15 B.20 C.30 D.35
1 1 6 6 解： (1 2 )(1 x) (1 x) 2 (1 x) 6 x x
6
2
65 15 (1 x) 的展开式中的 x 的系数为 C 2 1 1 2 6 4 (1 x ) 的展开式中的 x 的系数为 C6 15 2 x
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
D
) C.74 D.-121
【例 1】 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的 3 展开式中,含 x 的项的系数是( D ) A.121 B.-74 C.74 D.-121
9
4
4 9
5 126 121
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
得 k 0, r 0 或 k 2, r 1
2 1 所以展开式中的常数项为 (2)3 C3 (2)C2 20
1 3 【例 3】 (2017 浙江高考冲刺卷) ( x 2) x
D 展开式中的常数项为( )
高中数学选修2-3：第四讲二项式定理 含解析 精品
第四讲 二项式定理【教材扫描】 一、二项式定理 （1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有）n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k n k n ∈L 叫做二项式系数. 说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x ==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x+=++++++L L . （2）二项展开式的通项二项展开式中的C k n k k n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第k+1项：1C k n k k k n T a b -+=. 2．“杨辉三角”与二项式系数的性质 （1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()n a b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n m n n-=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C,Cn n nn-+相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n=++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n 【知识运用】题型一 二项式定理的正用与逆用【例1】(1)求(3x ＋1x)4的展开式；(2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． 【解析】 (1)法一：(3x ＋1x)4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·(1x)2＋C 34(3x )·(1x)3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝?3x ＋1?4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. (2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1. 【变式】1.求(1＋1x)4的展开式．【解】 (1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋C 44(1x)4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.2．设n 为自然数，化简C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋…＋(－1)k ·C k n ·2n －k＋…＋(－1)n ·C nn ＝________．解：原式＝C 0n ·2n ·(－1)0＋C 1n 2n －1·(－1)1＋…＋(－1)k ·C k n 2n －k＋…＋(－1)n·C nn ·20＝(2－1)n＝1．答案：1题型二 二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式(2x －1x)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求(x －1x)9的展开式中x 3的系数．【解析】 由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r·(－1x)r∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84. 【拓展】本例条件不变，问题(1)改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”． 问题(2)改为“求展开式中x 5的系数”，该如何求解． 【解】 (1)由通项T r ＋1＝C r6·(2x )6－r·(－1x)r知第四项的二项式系数为C 36＝20， 第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160. (2)设展开式中第r ＋1项为含x 5的项，则T r ＋1＝C r 9·x9－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝5， ∴r ＝2.即展开式中的第3项含x 5， 且系数为C 29＝36.【变式】1.已知在的展开式中，第6项为常数项. （1）求含错误！未找到引用源。
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案
二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r所表示的规律叫做二项式定理．2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3)展开式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数：共有n＋1项；(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，C r n，…，C n n；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项是第r＋1项．[例1](1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)r C r n(x＋1)n－r＋…＋(－1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[答案](1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C r n(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C n n(－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．求(3x＋1x)4的展开式．解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 2．求C 26＋9C 36＋92C 46＋93C 56＋94C 66的值．解：原式＝192(92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66) ＝192(C 06＋91C 16＋92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66)－192(C 06＋91C 16) ＝192(1＋9)6－192(1＋6×9)＝192(106－55)＝12 345. [例2] (1)(x ＋12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． [答案] (1)二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r (12 x)r ＝C r 8(12)r x 4－r. 当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为 C 48(12)4＝358.故选B. (2)由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x)r ＝(－a )r C r 6x 36-2r， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46.又∵B ＝4A ，∴(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a 2＝4.又∵a >0，∴a ＝2. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )4．A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r .当r ＝3时含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.4．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！ ＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，解得n ＝7.5．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r与20r 32-均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． 故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.引入：nb)＋(a 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C n n ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n －mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为Sn ，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[答案] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an ＝2n －1.答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！.解得n ＝34. [例2] 设)(2x )－(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值． (2)求2011531a a a a ++++ 的值． (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．[答案] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2 012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012 ＝32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A ．12+n B ．12-n C ．121-+nD ．221-+n解析：令x ＝1，则222222132-=+++++n n答案：D4．已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解：(1)令x ＝1，则1413210a a a a a +++++ ＝72＝128. ①(2)令x ＝－1，则14133210a a a a a a +-+-+- ＝7)2(-＝－128.②①－②得2(13531a a a a ++++ )＝256，∴13531a a a a ++++ ＝128.[例3] (10分)已知(23x＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[答案] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5. (2分)(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T 3＝C 25(23x)3(3x 2)2＝90x 6，(4分) T 4＝C 35(23x)2(3x 2)3＝270223x.(5分)(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(23x)5－k (3x 2)k ＝3k C k51043k x+，(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， (8分)即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(23x)(3x 2)4＝405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．变式训练5．若(x 3＋1x 2)n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( )A ．210B ．120C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x3(10－r )(1x2)r ＝C r 10x 30－5r . ∴30－5r ＝0.∴r ＝6.常数项为C 610＝210. 答案：A 5．已知()nx 31+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n＋n(n－1)2＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是（）A.84B. -84C.126D. -1263.设，则=（）A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为（）A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中，含x4 的项的系数是（）A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.－1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x-2项的系数为（）A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= （）A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240 ，则n ＝________.17.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ，有，则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:（1）求展开式中含x3项的系数；（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.23.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．24.已知，且．（1）求n的值；（2）求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m和n的值；（2）求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A．【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3• ,故答案为B．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为，所以，故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，二项式的展开式通项为：，令，得，则的项的系数为：.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，展开式中最后一项含x4，其系数为1，令x=1得，此二项展开式的各项系数和为，故不含x4项的系数和为1-1=0，故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4，即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9( ×98－×97＋…＋)－2.∴ ×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是，∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项，当5-2r=3 时，r=1，系数，解得a=2，答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知：，解得：，所以答案应填：4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，，解得：,所以的展开式中常数项为：所以答案应填：40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有解得，故填：．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开三、解答题21.【答案】【解答】解：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.22.【答案】（1）【解答】解：展开式第r+1项:令，解得r=2，∴展开式中含x3项的系数为（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．23.【答案】（1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，n＝5∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53 ( )2(3x2)3＝（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，∴ ,则，∴r＝4，即展开式中第5项系数最大，T5＝C54 ( )(3x2)4＝405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.24.【答案】（1）【解答】解：由已知得：，由于, 所以（2）【解答】解：当x=1时，当x=0时，所以，【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求，所以首先令x=1,得；然后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得，从而得结果25.【答案】（1）【解答】解：由题意,，则n=5，由通项公式，则r=3，所以，所以m=2（2）【解答】解：=，所以展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求展开式中求特定项（含x2项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.5B.16C.80D.2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.或4.设，那么的值为（）A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.8.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.10.在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）11.二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．三、解答题12.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．13.已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，则当时，其展开式中的的系数为.故答案为：C．【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为，令，则，则含的项的系数为.故答案为：D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令，可得各项系数的之和为，则，解得，中间一项的系数最大，则，故答案为：A.【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时，；时，，∴ ，，∴ ，故答案为：B.【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ，故展开式中含项的系数为．故答案为：A.【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，系数为.故答案为：C．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．7.【答案】B【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为，常数项为，中常数项为，故展开式中常数项为，故答案为：B.【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得，所以，所以.展开式的通项为，令可得，常数项为，故答案为：B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解得. 的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】，令，得，，的展开式的通项为，则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．11.【答案】3【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列，即，化简可得，解得n=8，或n=1（舍去）．二项式的展开式的通项公式为，为整数，可得r=0，4，8，故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．12.【答案】（1）解：的展开式的通项为= ，又第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，可得n=10.（2）解：由（1）可得，，令，可得r=2，所以含x2项的系数为（3）解：由（1）可得，，若T r+1为有理项，则，且0≤r≤10，所以r=2，5，8，则展开式中的有理项分别为，，【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．13.【答案】（1）解：，通项为.①二项式系数最大的项为第项，.② ，则展开式中系数最大的项为第项，（2）解：，转化为被除的余数，，即余数为【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．14.【答案】（1）解：由题意得，解得．通项为，令，得，于是系数为（2）解：设第项系数的绝对值最大，则解得，于是只能为6，所以系数绝对值最大的项为（3）解：原式【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，（3）利用二项式定理求得结果．。
高中数学选修2-3 二项式
1、二项式定理: nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)( 2、通项公式： 3、特例： (1)对称性： 二项式系数的性质与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.因此，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等且同时取得最大值(3)各二项式系数的和例1：在二项式（2x-3y ）9的展开式中，求： （1）二项式系数之和； （2）各项系数之和； （3）所有奇数项系数之和； （4）系数绝对值的和。
解：设（2x-3y ）9=a 0x 9+a 1x 8y+a 2x 7y 2+…+a 9y 9，1(0,1,2,)r n r rr n T C a br n -+==L n n n r r n n n n xC x C x C x C x ++++++=+ΛΛ22111）（m n mn nC C -=0122r nnn n n n n C C C C C ++++++=L L 131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C（1）二项式系数之和为；（2）各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9，令x=1，y=1，∴a0+a1+a2+…+a9=（2-3）9=-1；（3）由（2）知a0+a1+a2+…+a9=-1，令x=1，y=-1，可得：a0-a1+a2-…-a9=59，将两式相加除以2可得：a0+a2+a4+a6+a8=，即为所有奇数项系数之和；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9，令x=1，y=-1，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9=59。
1、已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值答案 ：1结论：3.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ） C (A)第六项 (B)第七项 （C ）第八项 (D)第九项求n的值。
人教版高中数学选修2-3第一章1.3.1二项式定理
导入新课先看下面的问题若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？10108=(7+1)01019910=C7+C7+...+C7+C10101010观察在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b 3对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(a+b)100又怎么办？ (a+b)n (n∈N+)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律. 这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性.1.3.1二项式定理教学目标知识目标1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；求余数或证明某些整除或余数的问题等；2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题.能力目标1.培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力；2.培养学生运算能力，分析能力和综合能力.情感目标通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心.教学重难点重点二项式定理的推导及证明.难点二项式定理的证明.规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a•a+a•b+b•a+b•b=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+ 3ab2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数?(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4；(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b；(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2；(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3；(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4.1 二项式定理知识要点 n 0n 1n-11n n (a +b)=C a +C a b +...+ kn-k k nn *n n C a b +...+C b (n N ).如何证明上述猜想呢？证明：由于(a+b)n是（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个（a+b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前， (a+b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是a n-k b k（k=0，1，…，n）的形式.对于某个k （ ），对应的项a n-k b k 是由n-k 个（a+b ）中选a ，k 个（a+b ）中选b 得到的. 由于b 选定后，a 的选法也随之确定.因此， a n-k b k 出现的次数相当于从n 个(a+b)中取k 个b 的组合数 . 这样，(a+b)n 的展开式中， a n-k b k 共有 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：{}∈k 0,1,2,...,n k n C k n C n 0n1n-1k n-k k n n n n n n(a+b)=C a +C a b+...+C a b +...+C b .对二项式定理的理解（1）它有n+1项;（2）各项的次数都等于二项式的次数n;（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n.知识要点2 二项式系数我们看到的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数 ( )叫做二项式系数（binomial coefficient ）. {}k 0,1,2,...,n ∈k n C3 通项式中的 叫做二项展开式的通项，用 T k+1 表示，即通项为展开式的第k+1项：k n-k k n C a bk n-kkk+1n T=C a b对通项的理解（1）它是(a+b)n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，2，…，n;（2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项式的形式就可以用定理写出展开式;（3）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形.例题1用二项式定理展开下列各式：64)x1x (2(2))x 1(x (1)-+思考（1）如何求展开式中的第三项？ （2）如何求展开式中第三项的系数？ 方法（1）用定理展开，再找指定项；（2）用通项公式.解: 313444411+C x ()+C ()x x 422411=x +4x +6+4()+()x x 404131222444111(1)(x +)=C x +C x ()+C x ()x x x（2）先将原式化简，再展开，得666312x -11(2x -)=()=(2x -1)x x x6152433425666666631=(2x)-C (2x)+C (2x)-C (2x)+C (2x)-C (2x)+C x⎡⎤⎣⎦6543231=(64x -6*32x +15*16x -20*8x +15*4x -6*2x +1)x322360121=64x -192x +240x -160+-+.x x x例题2 1. 的展开式中，第五项是……（） A. B. C. D. 2. 的展开式中，不含a 的项是第（）A.7 项B.8 项C.9 项D.6项 62)x a a x(-x 15-32a 6x -x 20x 15153)a 1a (-要解答上题必须熟记二项式定理上题答案：(1) B(2) A例题3求近似值（精确到0.001）（1）(0.997)3 （2）(1.002)6分析：（1）(0.997)3=(1-0.003)3（2）(1.002)6=(1+0.002)6类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.例题44.求二项式 的展开式中的有理项.73)213( 分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用）答案：4105课堂小结1.二项式定理二项式定理(a+b)n=C n0a n+C n1a n-1b+…+ C n r a n-r b r+…+C n n b n是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明.2.二项式定理的特点(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式(2)系数(3)指数：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.1. （2004年安徽、河北卷）在 的展开式中，常数项是______.A.14B.－14C.42D. －42高考链接73)x 1(2x解析：,x 21)(C )x 1()(2x C k 2721k 7k k 7k k 73k 71k T ---+⋅⋅-=-⋅⋅=0,k 2721=-1421)(C 667=⋅- 则k=6，故展开式中的常数项是,选答案A . 令2.（2005年全国高考上海卷）在(x-a)10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a 的值为_______. -1/2.21a 15,a C ,x 1)(a C a)(x C T 33107333103731013-=∴=⋅-∴⋅-⋅⋅=-⋅⋅=+ 解析：3. （2002年北京春季高考题）一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元（含28.8万元关税税款）.某人在2001年将33万元存入银行，若该银行扣利息税后的年利率是1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆A型进口汽车？)0.0180.018C 0.018C 33(10.018)33(15225155++⋅+⋅+=+ ()0.003240.090133++41⨯解：33万元存入银行，到2006年得到的本息和为，× =36.07692(万元). 到2006年A 型进口汽车的价格为，28.8+28.8 =36（万元）.因36.07692>36，故五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆A 型进口汽车.课堂练习1.填空（1）(x+2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为_____. （2）在(x-1)11的展开式中，x 的偶次幂的所有项的系数的和为______ . 1.179-2102.选择（1）( i)12展开式中所有奇数项的和是( )A.-1B.1C.0D.i（2） 数11100-1的末尾连续的零的个数是( )A.0B.3C.5D.7√ √ 13+22)r ＝C 12r 3.解答题（1）求( + )12展开式中所有的有理数项. 33r 42 2r3解：通项为T r+1＝C 12r ( )12-r ( (r ＝0,1,2，…，12)，为得有理数项，只需r 是6的倍数，即r ＝0,6,12，即有理数项为T 1＝C 120·24＝16，T 7＝C 126·22·33＝99792，T 13＝C 1212·36＝729.32332（2）二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.分析：由第三项系数比第二项系数大44先求n ， 再由通项求第四项系数.答案：165n 4)x 1x (x(3) 某班有男、女学生各n人，现在按照男生至少一人，女生至多n人选法，将选出的学生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的选法共有2n(2n-1)种.证：依题意，这些小组中女生人数分别是Cn 0，Cn1,Cn2,…,C n n个.对于上述女生人数的每种情况，男生人数可以有Cn0，C n1,C n2,…,C n n个。
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
人教版高中数学选修2-3《1.3二项式定理》
探究2 2 探究
仿照上述过程,推导 (a b) 的展开式.
4
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ 4 3 3 2 2aBiblioteka abababb
4
恰有0个取b的情况有C40种， 则 a4
前的系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种， 则 a3b 前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则 a2b2 前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则 ab3 前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44 种，则 b4 前的系数为C44
n 1 n 2 2 n r n r
n n n
一、尝试二项式定理的应用：
类型1：求二项式的展开式
例1：求
解法一：
2
x
1 x
4
的展开式.
．
1 4 1 4 1 3 (2 x ) （2 x） C4 (2 x ) （ ） x x 1 2 1 3 1 4 2 2 3 4 C4 (2 x ) （ ） C4 (2 x )（ ） C4 ( ) x x x
（a b) (a b)(a b)(a b) （a b)
4
＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
探究2 2 探究
仿照上述过程,推导 (a b) 的展开式.
n
2
2 2 (a b) C a C ab C 2 b 0 2 2
探究1
2
多项式乘法的再认识
2 2
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 ( a b)( a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 100 4 (a b) ？ (a b) ？
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典例剖析
1 4 例1.(1)求(1 ) 的展开式； x 1 6 (2)求(2 x ) 的展开式. x
4 2 3
1 1 1 2 1 3 1 4 1 解 : (1)1 1 C4 C4 C4 C4 x x x x x
b C b (n N )
k n n n *
①项数： 展开式共有n＋1项. ②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 ,
字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
k C ③二项式系数: n (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项:
k nk k Tk 1 Cn a b
解：①展开式中的第3项的系数为240
2 ②展开式中的第3项的二项式的系数为 C6
15
1 2 ) ③ T3 C ( 2 x ) ( x 240 x 展开式的第3项是240 x
2 6 4
典例剖析
1 6 例1.(2)求(2 x ) 的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？ 2 x ④你能直接求展开式中 的系数吗？
宁乡六中
罗卫明
探究1
(a b) a ? 2ab b
2
2
2
(a b) ? ( a b ) ( a b )
3 2
a b ) ( a b ) (a b) ( ?
4 3
(a b)
(a b) ?
…
100
?
…
多项式乘法的再认识
问题1 : (a1 a2 )(b1 b2 )的展开式有几项？每一 项是怎样构成的？
5 6
典例剖析
1 6 2x 1 6 1 解法二（ : 2 x ) ( ) 3 (2 x 1) 6 x x x 1 0 6 1 5 2 4 3 3 3 [C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x
C (2 x) C (2 x) C ]
4 6
3
1 4 例1.(1)求(1 ) 的展开式； x 1 6 (2)求(2 x ) 的展开式. x
2
5 6
6 6
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
2
典例剖析
1 6 例1.(2)求(2 x ) 的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？ 2 ④你能直接求展开式中 x 的系数吗？
b b
C
n n n
k
n
n n
系数
n
0 n
k n
C
n k
k n
(a b) C a C a
0 n n
b C a
b C b (n N )
k *
6
二项式定理
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n 1 n
b C a
k n
n k
)
1 2 1 3 1 4 3 3 4 2 C (2 x ) ( ) C6 ( 2 x ) ( ) C6 ( 2 x ) ( ) x x x
1 5 1 6 6 C (2 x )( ) C6 ( ) x x 60 12 1 3 2 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3 1.解 : T4 C6 163 (3 x) 3
540 x 3
所以展开式中第4项的系数为 540
巩固练习
1.求(1 3 x) 6的展开式中第4项的系数. 1 7 2.求( x ) 的展开式中x 3的系数. x
2.解 : Tk 1 C x
k 7
k
7k
2 k ( ) x
问题2 : (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )的展开式有几项？ 每一项是怎样构成的？
探究4 项
a b)(a b) (a b) ( a b) ( ?
n
a
C
n
a b a
C
1 n 1 n
n 1
1 n
n个
nk
1 n 1 n
k n k k n
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
1 15
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
0 1 k n 二项式系数Cn , Cn , , Cn , , Cn 有何性质?
4
4 6 4 1 1 2 3 4 x x x x
典例剖析
解法一： (2 x （2）
2 6 4
1 4 例1.(1)求(1 ) 的展开式； x 1 6 (2)求(2 x ) 的展开式. x 1 6 1 0 6 1 5
x ) C6 ( 2 x ) C6 ( 2 x ) ( x
2 C x
k 7
72k
依题意, 得 : 7 2k 3
k 2
所以展开式中x 3的系数是2 2 C72 84
二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b ( n N )
n 0 n n n n n *
k C (1)二项式系数： n (k 0,1,2,, n) k nk k T C (2)二项展开式的通项： k 1 n a b
1 k ④ Tk 1 C ( 2 x ) ( ) 解： x k 6 k k 3 k (1) 2 C6 x
k 6 6 k
依题意, 得 : 3 k 2
k 1
x 的系数是(1) 2 C 192
2 1 5 1 6
巩固练习
1.求(1 3 x) 6的展开式中第4项的系数. 1 7 2.求( x ) 的展开式中x 3的系数. x