概率论与数理统计(第三章第2节)-18页精选文档
概率论与数理统计第三章
二维离散型随机变量的边缘分布密度
设（X,Y）为离散型随机变量，
P( X ai , Y b j ) pij ,
条件分布是一种概率分布，它具有概率 分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率， 具有概率的一切性质.
例如：P ( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P( X x
i 1
i
|Y yj) 1
例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在 X=1和X=0条件下，Y的分布密度。 Y 1 0 X
若对于不同的(ai,bj)，Z ( X , Y ) 有相同的值，则应取这些相同值对应的概率之和。
例1：设（X,Y）联合概率分布为： X Y -1 2
-1
0
1
2
1/5 3/20 1/10 3/10 1/10 0 1/10 1/20
求X+Y,XY的概率分布。
例2：设（X,Y）相互独立，其分布密度为
常见的二维随机变量的分布
◆均匀分布 设G为平面区域， G的面积为A(0 A ), 若( X , Y )的分布密度为
1 ( x, y ) G A f ( x, y ) 其它 0 则称( X , Y )在G上服从均匀分布。
例2：设（X,Y）在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2)上 服从均匀分布，求 (1)（X,Y）的分布密度、分布函数。 (2)概率P(Y>X2)
一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随 机向量.
高等教育出版社《概率论与数理统计统计》第3章
pi j 0, p 1 i j ij
Y X y1 y2
1 11 12
分布列 X 和Y 的 联合分布列 可表示为 表格形式
… yj p1j p2j . . . pij . . .
P ( X xj ) p j
pj 0; p 1 . j j
y
规范性) 0 F( x, y)1 且 ) (, ) 0lim (, y ) 20 (非负性) 即,对任意固定的 y,F(,x, y F是单调不减函数F ( x ,) 1; x, F 对任意固定的 x,F( x, x,)F ( x,) 0, y, F (, y ) 0. y 是单调不减函数, 30 (右连续性)
2. 二维随机变量的分布函数 定义1设(X, Y)是二维随机变量,
x , y R , 二元函数
F ( x,) y ) P{ ( X x ) (Y y ) } P ( X x ,)Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，也称为随机变量 X 与 Y 的 联合分布.
0.375 0.3875 0.2000
3
pi
0.0375
0.3750
0
0.3875
0
0.2000
0
0.0375
0.0375
三、二维连续型随机变量
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y) 随机变量X 的分布函数F(x) 类比 若 f ( x ) 0 若 f ( x, y ) 0 x (-, +) 实数 x, y P87 定义4
xi x y j y { X {iX i }j {Y{ j )i } {Y j } P( , Y } X } P( Y j X i ) P( X i ) F(2, 2) pij
概率论与数理统计(第三版)第三章2方差及其运算法则-精选文档
0
0
2、D(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
展开
利用期望 性质
请自己用此公式计算常见分布的方差.
2 指数分布的期望和方差 分别为 θ和 θ .
例5 设随机变量 X具有概率密度
1 x , 1 x 0 , f(x ) x ,0 x 1 , 1 0 其他 . ,
求D (X).
解
E( X) ( 1 x ) d x x ( 1 x ) d x x
反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X);
2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 3. 若C是常数,则D(X+C)= D(X);
1 . D ( C ) 0
2 证明： D () CE { [ C E () C ] }0
2. D(CX ) C 2 D( X )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D ( X YD ) () X D () Y
设Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ相互独立且方差都存在，则
D ( X X X ) 1 2 n D ( X ) D ( X ) D ( X ) 1 2 n
方差 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点 距目标的位置如图：
中心
中心
乙炮射击结果 乙炮
甲炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
概率论与数理统计(第3章)
F(x ，y) P{(X 剟x) I (Y y)} P{X 剟x ，Y y}
（3-1）
为二维随机变量 (X ，Y) 的联合分布函数，简称分布函数．
如果将二维随机变量 (X ，Y) 视为 xOy 平面上随机点的坐标，那
么分布函数 F(x ，y) 在点 (x ，y) 处的函数值 二维随机变量函数的分布
第3章 多维随机变量及其分布
在第2章，我们主要讨论了一维随机 变量及其分布问题．但在实际问题中，有 许多随机试验的结果，仅用一个随机变量 是无法表示出来的．研究这些随机试验， 需要引入多维随机变量的概念．因此，本 章将重点讨论二维随机变量及其分布，对 于三维及更多维的随机变量可依此类推．
arctan
y
．
因此，两个边缘分布函数分别为
FX
(x)
F(x
，
)
lim
y
F(x
，y)
1 π
π 2
arctan
x
，
FY
( y)
F( ，y)
lim
x
F(x ，y)
1 π
π 2
arctan
y
．
第3章 多维随机变量及其分布
3.2 二维离散型随机变量
3.2.1 二维离散型随机变量的概念与分布律
定义 1 若二维随机变量 (X ，Y) 所有可能取的值为有限对或可列无限 多对，则称 (X ，Y) 为二维离散型随机 变量．
解 由二维随机变量的分布函数的性质得
lim
x
y
F(x
，y)
lim
x y
A(B
arctan
x)(C
arctan
y)
A
B
π 2
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
3概率论与数理统计第三章2
fY y
f x, ydx
-1
1 f x, ydx f x, ydx
1
1
0dx 0dx 0 0 0
1
y 1 x2
x 1 y2 x
1
y 1 x2
f
x,
y
1
,
x2 y2 1
定义3-9（X与Y相互独立）P73
定义3-9（X与Y相互独立）的数学表达
联合分
P73 X分量的边缘
布函数
分布函数
Fx, y FX x FY y
Y分量的边缘 分布函数
PX x,Y y PX x PY y
例3-14 P67
证明:
2
1
2
4
y
2
2
2
2 1 4y2
,
y
f x, y
1
2
1 1 x2
2 1 4y2
fX x
1
1
x
2
,
fY
y
2 1 4
y2
,
x y
44
.解：∵
f (x, y)
2F x, y
xy
y
F x,
x
y
y
x2 y2 x
y
y
2
x2 x
概率论与数理统计-第三章
显然，其中每个分量均为离散型随机变量.
chapter 3
9
二、联合概率函数
定义3.4
设离散型二维随机向量（X，Y）的可能值 i 1,2,...,j 1,2, i, j 为(xi , yj)，其概率记为 p 即
P {( X , Y ) ( x , y )} p , i 1 , 2 ,..., j 1 , 2 ,.. i j ij
二、随机向量的联合分布函数 1.二维随机向量的联合分布函数
定义3.2
设有二维随机向量(X,Y),对于任意实数x, y,记二元函数
F ( x , y ) P { X x , Y y }( x , y ) R
2
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布函数。
chapter 3
同理
F ( , y) lim F (x , y) F ), Y (y
x
yR
由联合分布函数可 求出边缘分布函数
chapter 3 8
§3.2 离散型二维随机向量
一、离散型二维随机向量的概念
定义3.3 如果二维随机向量(X,Y)的全部取值(数对)为有限
个或至多可列个,且以确定的概率取这些值，则称随机向量
n 元函数 F ( x ,x , ,x ) P X x x X x 1 2 n 1 1 ,X 2 2 ,..., n n
n ( x x ..., x ) R 1 , 2 , n
称为 n 维随机向量(X1，X2，„,Xn)的联合分布函数。 下面主要讨论二维随机向量.
chapter 3 2
则 X ， Y 就 是 一 个 二 维 随 机 向 量 ．
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22
X (x )Y (y)
所以, X、Y 相互独立。
13
（必要性）当X、Y 相互独立时, 由于
联合概率密度 (x, y) 处处连续, 故有 (x, y) = X(x)Y(y)处处成立;
取 x = 1, y = 2, 得到
2 1211221 12
因此有 = 0 。 本题的结论很重要
问: X、Y 是否相互独立？
分析: f (x, y) 在 y
如图所示区域内不等 1
于 0, 在其余区域均等
于 0。
o
1
x
9
因为
fX (x ) f(x ,y )d,y x
当 x≤0 或 x≥1时,
在整个积分路径上
y
被积函数 f (x, y) 始
1
终为 0; 因此
y=x
的区域
12
例2. 设二维随机变量 ( X, Y ) 服从正态
分布 N (1, 12; 2, 22; ) , 则有
X, Y 相互独立
=0
证明:（充分性）当 = 0 时,
(x,y) 1 e (x 2 1 1 2)2
1 e (y 2 2 2 2)2
2 1
f (x0, y0) ≠ fX (x0) fY ( y0)
一般说来, 前者更容易找到一些。
7
分析上述结果, 我们得到 ◆ 判断随机变量独立性的一般步骤
联合 分布
边缘 分布
判断 是否 独立
8
例1. 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合概 率密度
f(x ,y) 0 2
0x 1 ,0yx 其他
fX(x)0dy0
o
1
x
当 0< x <1 时,
x
fX(x)02dy 2x
10
类似地,
fY (y ) f(x ,y )d,x y
y
y = x 当y≤0 或 y≥1时,
1
o
1
fY(y)0dx 0
x 当 0< y <1 时,
1
fY(y)y2d x2(1y)
11
于是,
fX(x)20x
0x1 其他
fY(y) 2(10y)
0y1 其他
故当 0< x <1 且 0< y < x 时, f (x, y) = 2≠fx(x) fy(y) = 4x(1-y) 因此, X 与 Y 不相互独立。
找出一个 面积不为0
15
◆若 ( X1, X2, ···, Xn ) 是 n 维连续型随 机变量, 且联合概率密度 f ( x1, x2, ···, xn ) 处处连续, 则 X1, X2, ···, Xn 相互独立等价 于 f ( x 1 , x 2 , , x n ) f X 1 ( x 1 ) f X 2 ( x 2 ) f X n ( x n )
第二节 随机变量的独立性
随机变量取一个或某范围的值, 是随 机事件, 利用随机事件的独立性, 可定义 随机变量的独立性。
1
1. 两个随机变量的独立性
定义1. 设 ( X, Y ) 是二维随机变量, 若 对任意的实数 x、y, 都有事件 { X≤x } 与 { Y≤y } 相互独立, 则称随机变量 X与 Y 相 互独立。
f (x, y) = fX (x) fY ( y) 对任意的实数 x、y 成立。
◇ 如果 f (x, y) 存在一些孤立的或总面积 为 0 的不连续点, 可不予理会!
6
注: 否定连续型随机变量的独立性时, 需要找到一个面积不为 0 的区域, 在该区 域上
f (x, y) ≠ fX (x) fY ( y) 或者找出 f (x, y) 的一个连续点 (x0, y0), 使 得
以后可以直接引用
14
2. n 个随机变量的独立性 定义 2. 设 n维随机变量 ( X1, X2, ···, Xn ) 的联合分布函数 F( x1, x2, ···, xn ), 对任意 的实数 x1, x2, ···, xn 都有如下等式成立: F ( x 1 , x 2 , , x n ) F X 1 ( x 1 ) F X 2 ( x 2 ) F X n ( x n ) 则称随机变量组 X1, X2, ···, Xn 相互独立。
4
注: 判断离散型随机变量是否独立, 如
果是下肯定的结论, 必须对所有的 i 和 j 判
断
？ pij = pi·p·j
而如果是下否定的结论, 只需找到一个 pij ≠ pi·p·j 即可。
5
(2) 设连续型随机变量 ( X, Y ) 的联 合概率密度 f (x, y) 处处连续, 则 X与 Y 相互独立等价于
对任意的实数 x1, x2, ···, xn 成立。
16
◆ n 个随机变量的独立性的一个结论
定理: 若 n 个随机变量 X1, X2, ···, Xn 相互 独立, 则有
(1) X1, X2, ···, Xn 中的任意几个随机变量 也相互独立;
(2) 如果随机变量的函数 g1(X1), g2(X2), ···, gn(Xn) 也是随机变量, 则它们相互独立;
本质上就是, 两个随机变量取任意的 值都独立的话, 就说这两个随机变量相互 独立。
2
因为事件{ X≤x } 与 { Y≤y } 相互独立, 等价于
P{ X≤x , Y≤y } = P{ X≤x } P{ Y≤y }
而上式又等价于 F( x, y ) = FX(x) FY( y) 。
因此, 随机变量 X与 Y 相互独立的充 分必要条件是
F( x, y ) = FX (x) FY ( y) 对任意的ห้องสมุดไป่ตู้数 x、y 成立。
3
◆离散型和连续型随机变量独立性的判定
(1) 离散型随机变量 X与 Y 相互独立 等价于 对 ( X, Y ) 的所有可能取值 (xi , yj) , 都有
P{ X = xi , Y = yj} = P{ X = xi } P{Y = yj} 即是 pij = pi·p·j 对所有的 i 和 j 成立。
(3) 对多元连续函数g(·), h(·), 有 g( X1, ···, Xm ) 与 h( Xm+1, ···, Xn )相互独立。
17