山西省忻州市2016_2017学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系平行与垂直课堂练习
高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与
2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质疱丁巧解牛知识·巧学一、线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言：l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.证明：如图2-2-11,∵l∥α，∴l和α没有公共点.图2-2-11又∵m⊂α，∴l和m没有公共点.即l和m都在β内，且没有公共点.∴l∥m.方法点拨直线与平面平行的性质定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.线面平行的性质定理简记为“若线面平行，则线线平行”.它与判定定理经常混合使用，这反映了线面平行、线线平行间的相互转化、相互联系，也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.二、线面平行性质定理的应用应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线不仅起到本身与已知直线平行的作用，而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行.这里的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线，这个定理用符号语言来表示，即a∥α，a⊂β，α∩β=b，则a∥b.在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误.一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行.“无数条”可以是同一方向的平行线，而“任意一条”则可以是任意方向的一条直线.“一切直线”自然包括了不同方向的直线，一条直线平行于一个平面，虽然它与平面内一切直线都没有公共点，但它与这些直线的位置关系，可能是平行，也可能是异面.三、面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.上面的定理告诉我们，可以由平面与平面间的平行得出直线与直线平行.方法点拨面面平行性质定理可用于证明线线平行．四、面面平行的性质(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号表示为α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a∥b.此性质由面面平行得到线线平行，这为证明两直线平行增加了一个新的方法.(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.用符号表示为α∥β，a⊂α⇒a∥β.此性质由面面平行得到线面平行，这也是线面平行的一个判定方法.(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.用符号表示为α∥β，l⊥α⇒l⊥β.此性质为证明线面垂直又开辟了一条途径.(4)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.(5)经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.方法点拨面面平行的性质较多，在理解的基础上记忆各个性质，逐步达到灵活运用的目的.当然，重点性质应重点记忆. 面面平行的性质判定也是诸如线线平行、线面平行的判定方法，应加强对方法的理解掌握.五、线线平行、线面平行、面面平行间的关系问题·探究问题1 线面平行性质定理应用时，关键之处在哪儿？探究:应用线面平行性质定理，要作出或证明过已知直线的平面，其中可能有一些平面只是作为辅助平面出现，辅助平面的作用就是将空间几何平面化.和平面几何添加辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确定这个平面是否存在.问题2 利用平面与平面平行性质定理解题时需注意的地方有哪些？探究:两个平面平行性质定理应用时关键之处在于第三个平面的构造，以及第三个平面与这两个平面的交线的构造，这是特别需要注意的地方.典题·热题例1 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.已知：α∩β=l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.思路解析：已知条件有线面平行关系，可利用线面平行的性质定理转化为线线平行，注意性质定理的应用.证法一：如图2-2-12，过a作平面γ交α于b.图2-2-12∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c.∴b∥c.又b⊄β且c⊂β，∴b∥β.又平面α过b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.证法二：如图2-2-13，在l上任取一点A，过A和a作平面与α相交于l1，与β相交于l2，则由线面平行的性质定理可知a∥l1，a∥l2.图2-2-13又过一点只能作一条直线与另一条直线平行，∴l1与l2重合.又l1⊂α，l2⊂β，∴l1、l2重合于l.∴a∥l.方法归纳应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面.证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用.例2 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD的中点，过E、F作平面α∥AB.求证：CD∥α.思路解析：条件中有AB∥α，要利用线面平行，必须找到或作出过AB的平面与α相交，这样想到连结AD.证明：连结AD交平面α于G，连结GF，图2-2-14∵AB∥α，平面ADB∩α=GF，AB⊂平面ADB，∴AB∥GF.又∵F为BD中点，∴G为AD中点.又∵AC与AD是相交直线，确定的平面ACD∩α=EG，E为AC中点，G为AD中点，∴EG为△ACD的中位线.∴EG∥CD.∵EG⊂α，CD⊄α，EG∥CD，∴CD∥平面α.深化升华已知线面平行一般要推线线平行，关键是要找(或作)出过已知直线的平面.例3 如图2-2-15所示，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，(1)求证：CD∥平面EFGH；(2)求异面直线AB、CD所成的角.图2-2-15思路解析：矩形条件要用好对边平行这一性质，而线线平行与线面平行有密切联系.(1)证明：∵截面EFGH是一个矩形，∴EF∥GH.又GH⊂面BCD，∴EF∥面BCD.而EF⊂面ACD，面ACD∩面BCD=CD，∴EF∥CD.∴CD∥面EFGH.(2)解：由(1)知CD∥EF，同理,AB∥FG.由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求. ∴AB、CD 所成的角为90°.深化升华 由线线平行可得线面平行，而线面平行又可推回线线平行.例4 如图2-2-16所示，ABCD 和ABEF 是两个全等的正方形，M 、N 分别是对角线AC 、BF 上的点，且AM=FN.求证：MN∥平面BCE.图2-2-16思路解析：要证线面平行，可以通过线线平行或者面面平行推出.证法一：过点M 、N 分别在平面AC 、FB 内作MQ∥AB、NP∥AB，它们分别交BC 、EB 于Q 、P 点，则MQ∥NP.∵MQ∥AB， ∴ACMC AB MQ =. ∵NP∥AB∥EF， ∴BF BN EF NP =. ∵四边形ABCD 和ABEF 是两个全等的正方形，且AM=FN ，∴AC=BF，AB=EF.∴CM=NB.∴MQ=NP.又∵MQ∥NP，∴四边形MNPQ 是平行四边形.∴MN∥PQ.∵PQ ⊂面BCE ，MN ⊄面BCE ，∴MN∥面BCE.证法二：如图2-2-17所示，过M 作MP∥BC 交AB 于P ，连结PN ，图2-2-17则AB AC AP AM =.∵AM=FN，AC=BF ，∴ABFB AP FN =. ∴NP∥AF.又AF∥BE，∴PN∥BE.又∵MP∩NP=P，MP ⊂面PMN ，NP ⊂面PMN ，∴面MNP∥面BCE.又MN ⊂面PMN ，∴MN∥面BCE.深化升华 线线平行、线面平行、面面平行可相互转化，相互利用，要证线面平行，可通过线线平行或者面面平行推出.例5 如图2-2-18，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)对角线A 1C 被平面AB 1D 1和平面C 1BD 三等分.图2-2-18思路解析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB 1D 1∥平面C 1BD 的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定方法.证明：(1)连结AC ，∵BD⊥AC，AC 是A 1C 在底面上的射影，由三垂线定理得A 1C⊥BD. 同理,可证A 1C⊥BC 1.∴A 1C⊥平面C 1BD ，同理,也能证得A 1C⊥平面AB 1D 1.∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD.(2)设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，正方体的棱长为a ，则有222131)2(4331a a a h ∙=∙.图2-2-19 ∴h=a 33.同理,C 到平面C 1BD 的距离也为a 33，而A 1C=a 3.故A 1C 被两平行平面三等分. 方法归纳 论证A 1C 被两平行平面三等分，关键是求A 1到平面AB 1D 1的距离，C 到平面C 1BD 的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A 1ACC 1中考虑. 连结A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，AC∩BD=O，如图,连结AO 1，C 1O ，AC 1，设AC 1∩A 1C=K.A 1C∩AO 1=M ，C 1O∩A 1C=N.可证M 为△A 1AC 1的重心，N 为△ACC 1的重心，则可推知MN=NC=A 1M.图2-2-20另外值得说明的是：A 1C 是面AB 1D 1和面BC 1D 的公垂线.异面直线AD 1和C 1D 的距离也等于MN.例6 如图2-2-21,B 为△ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心，(1)求证：平面MNG∥平面ACD ；(2)求S △MNG ∶S △ADC .图2-2-21思路解析：(1)要证明平面MNG∥平面ACD ，由于M 、N 、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线.(2)因为△MNG 所在的平面与△ACD 所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比. 解：(1)连结BM 、BN 、BG,并延长分别交AC 、AD 、CD 于P 、F 、H.∵M、N 、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心，则有2===GHBG NF BN MP BM . 连结PF 、FH 、PH,有MN∥PF，又PF ⊂平面ACD ，∴MN∥平面ACD.同理,MG∥平面ACD ，MG∩MN=M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知32==BH BG PH MG ， ∴MG=PH 32.图2-2-22又PH=AD 21，∴MG=AD 31. 同理,NG=AC 31，MN=CD 31， ∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3，∴S △MNG ∶S △ADC =1∶9.方法归纳 立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何.比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形的重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.。
[K12学习]山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 平行
![[K12学习]山西省忻州市2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 平行](https://img.taocdn.com/s3/m/8c39f77a69eae009581bec76.png)
平行与垂直【典型范例】1.如图所示，已知矩形ABCD ，过A 作SA⊥平面AC ，再过A 作AE⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF⊥SC 交SC 于F ．(1)求证：平面SBC⊥平面SBA. (2)求证：AF ⊥SC .(3)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG⊥SD .2.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=60 ,PA=AC =a ，PB=PD=2a ,点E 是PD 的中点。
①证明PA ⊥平面ABCD;②在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论。
【课堂练习】在棱长为a 的正方体ABCD--A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF 与BD 交于点G ，M 为棱BB 1上的一点问：当M 在什么位置时，能使D 1M ⊥平面EFB 1？请给出证明BC D A S GEF ACFD A 1D 1 C 1B 1M G EB【典型范例】1.如图，∆ABC 是边长为2的正三角形，在∆ABC 所在平面外有一点P ，PB ＝PC ＝72，PA ＝32，延长BP 到D ，使BD ＝7，E 是BC 的中点，求AE 和CD 所成的角．2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1中点， ①求证：BC 1⊥平面A 1B 1CD②求AE 与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值.3.如图所示,已知Rt ΔABC,斜边BC 在平面α内,点A 不在α内,AB 、AC 分别与平面α成30º角、45º角,AD 是斜边BC 上的高。
求平面ABC 与平面α所成的角.【课堂练习】已知E,F,G,H,M,N 分别为正方体A BCD-A 1B 1C 1D 1的棱AA 1,AD,A 1B 1,DC,BB 1,B 1C 1的中点. ①求证四边形EFHG 为等腰梯形； ②求异面直线EF 和MN 所成的角； ③求GH 与底面ABCD 所成的角的大小3.ABCDA 1B 1C 1D 1E FGHM NA 11【典型例题】例1. 光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线方程.例2. 在直线l:3x-y-1=0上求一点P，使其满足下列条件（1）P到A（4,1）和B（0,4）的距离之差最大;（2）P到A（4,1）和C（3,4）的距离之和最小;【课堂练习】1. .求直线x-y-2=0关于直线3x-y+3=0对称的直线方程.2. 已知△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B、∠C的平分线的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0，求BC所在直线的方程。
山西省忻州市高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面(一)【典型例题】例1.证明两两相交且不过同一点的三条直线共面．例2.空间四点可以确定几个平面？【课堂练习】1.判断下列命题是否正确？请说明理由.①一条直线和直线外一点确定一个平面.②两条平行直线确定一个平面.③两条相交直线确定一个平面.2．下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．四边形§2.1.1 平面(二)【典型例题】例1．已知△ABC 在平面α外,它的三条边所在的直线分别与平面α相交于P,Q,R 三点,判断P 、Q 、R 三点是否共线?并说明理由.例2．如下图左，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，画出由A 1、C 1、P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线，并作出平面α与平面ABCD 的交线.例3．如上图中，已知平面α，平面β，平面γ两两相交于直线l 1, l 2, l 3且l 1, l 2, l 3互不平行． 求证：l 1, l 2, l 3交于一点．【课堂练习】1.空间的两个平面能把空间分成几部分？三个呢？A γ α β l 3l 1 l 22．正方体ABCD A1B1C1D1中，对角线CA1与平面DBC1交于一点O，AC、BD交于点M，求证：C1，O，M共线．【典型例题】例1.点P ∉α,直线a ⊂α,A ∈α,A ∉a,判断直线PA 与a 的位置关系.并说出理由例2.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．【课堂练习】1．在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为30º，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成的角为_________．2．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值为( )A ．105B ．155C ．45D ．23AB CD A 1 B 1 C 1 D 1EF O【典型例题】例1．下列命题：①直线l平行于平面α内无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α;④若直线a∥b，直线b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线;⑤若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行;⑥已知两条相交直线a,b，a∥α,则b与α平行.其中真命题的命题序号为 .例2．解答下列各题：约定：四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．解答下列问题：（1）在空间四边形PQRS中，异面的边有几对？（2）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.【课堂练习】1．以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，若直线b⊂平面β，则“a与b相交”等价于“α与β相交”；③若α∩β=L，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b=P。
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2直线平面平行的判定及其性质2.2.3直线与平面平行的性质
易证 A′E∥AF，A′E＝AF. 易知 A′，E，F，A 共面于平面 A′EFA， 因为 A′E∥平面 DBC′，A′E⊂平面 A′EFA， 且平面 DBC′∩平面 A′EFA＝DO， 所以 A′E∥DO. 在平行四边形 A′EFA 中， 因为 O 是 EF 的中点(因为 EC′∥BF，且 EC′＝BF)， 所以 D 点为 AA′的中点．
直线 l，m 的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或异面
解析：由直线与平面平行的性质定理知 l∥m.
答案：B
3．设 m，n 表示不同直线，α，β表示不同平面， 则下列结论中正确的是( )
A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α B．若 m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则 α∥β C．若 α∥β，m∥α，m∥n，则 n∥β D．若 α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则 n∥β
解析：由于点 A 不在直线 a 上，则直线 a 和点 A 确 定一个平面 β，所以 α∩β＝EF.
因为 a∥平面 α，a⊂平面 β，所以 EF∥a. 所以EBFC＝AAFC.所以 EF＝AFA·CBC＝35×＋43＝32. 答案：32
类型 1 线面平行性质定理的应用(自主研析)
[典例 1] 如图所示，点 P 为平行四边形 ABCD 外一 点，设面 PAB∩面 PCD＝l，试判断直线 l 与 AB 之间的 关系．
类型 2 平行性质定理在探索性问题中的应用 [典例 2] 已知正三棱柱 ABC-A′B′C′中，D 是 AA′上 的点，E 是 B′C′的中点，且 A′E∥平面 DBC′.试判断 D 点 在 AA′上的位置，并给出证明． 证明：D 点为 AA′的中点．证明如下：
取 BC 的中点 F，连接 AF，EF， 设 EF 与 BC′交于点 O，连接 OD，
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与
六、教学过程
（一）创设问题情景，引入新课
基于新课程的理念和本节课的教学目标，使学生体会到数学知识发生在现实背景只需按为此结合一道习题即回归了上节课直线与平面的判定也引出了本节课的内容，自然流畅，更让学生了解到本节课学习的必要性。
探索二：需要几条直线？需要什么样的直线？
思考：（1）上表面有一条直线与下表面平行，两平面平行吗？
（2）上表面有两条直线与下表面平行，两平面平行吗？
借助几何画板和长方体模型，很容易观察出问题（1）不能保证平行。
对于问题（2）分两种情况讨论（依据平面内两条直线的位置关系：平行和相交）
当两条直线平行时，如何？（观察模型有不成立的情况）
（1：根据同学们日常生活的观察，你们能举出平面与平面平行的具体事例吗？
生1：教室的天花板与地面给人平行的感觉。
生2：，前后两块黑板也是平行的，然后教师用多媒体动画演示。
思考2：两个平面满足什么条件时，就可以说它们是平行的？下面我们来探索结论。
[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况]
四、教学策略选择与设计
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出平面与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
当两条直线相交时，如何？（多次操作，直观感知）
学生上黑板板演，其他同学下面做，
师生共同评价点明，对旧知识复习，又有深入，
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1-2.2.2 直线、平面平行的判定课件 新
1．直线与平面平行的判定定理 文字 _平__面__外__一条直线与_此__平__面__内__的一条直线_平__行__，则
语言
该直线与此平面平行
符号 语言
____a_⊄_α__，__b_⊂_α_且__a_∥__b_____⇒a∥α
图形
语言
2.平面与平面平行的判定定理 文字 一个平面内的_两__条__相__交__直__线___与另一个平面平 语言 行，则这两个平面平行 符号 __a_⊂_β_，__b_⊂__β_，__a_∩_b_＝__P__，__a_∥__α_，__b_∥__α__________
连接 DE，同理，EB1 BD， 所以四边形 EDBB1 为平行四边形，则 ED B1B. 因为 B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以 ED A1A，则四边形 EDAA1 为平行四边形， 所以 A1E∥AD，又 A1E ⊄平面 ADC1，AD⊂平面 ADC1， 所以 A1E∥平面 ADC1. 由 A1E∥平面 ADC1，EB∥平面 ADC1， A1E⊂平面 A1EB，EB⊂平面 A1EB， 且 A1E∩EB＝E，所以平面 A1EB∥平面 ADC1.
[解] (1)由题意可知 OM 是△BPD 的中位线，所以 OM∥PD， ①正确；由线面平行的判定定理可知②③都正确．OM 与平面 PBA 及平面 PCB 都相交，故④⑤不正确．故填①②③.
(2)证明：如图所示，取 AB 的中点 G，连接 FG，CG， 因为 F，G 分别是 BE，AB 的中点， 所以 FG∥AE，FG＝12AE. 又因为 AE＝2a，CD＝a， 所以 CD＝12AE.又 AE∥CD，所以 CD∥FG，CD＝FG， 所以四边形 CDFG 为平行四边形， 所以 DF∥CG.又 CG⊂平面 ABC，DF⊄ 平面 ABC， 所以 DF∥平面 ABC.
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2 2
2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质目标定位 1.证明并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.2.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.3.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.自主预习线面平行的性质定理面面平行的性质定理文字一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b 图形作用线面平行⇒线线平行面面平行⇒线线平行1.判断题(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行.(√)(2)如果直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b平行.(×)(3)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(√)(4)过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行.(×)提示(2)a与b平行或异面.(4)过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行.2.如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，则BB1与EE1的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.不确定解析BB1∥平面CDD1C1，平面BB1E1E∩平面CDD1C1＝E1E，BB1⊂平面BB1E1E，由线面平行的性质定理知，BB1∥EE1.答案 A3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行C.存在无数多条直线与a平行D.存在唯一一条直线与a平行解析设点B与直线a确定一平面为γ，γ∩β＝b，∴a∥b.答案 D4.已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________. 解析由直线与平面平行的性质定理知l∥m.答案平行类型一线面平行性质定理的应用【例1】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行. 解已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.规律方法在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.【训练1】若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行. 解已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.类型二面面平行性质定理的应用【例2】已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明(1)若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.(2)若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，又MP⊄平面α，BE⊂平面α，∴MP∥平面α，∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.规律方法 1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.【训练2】如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.(1)证明 ∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD . (2)解 由(1)得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PC CD ，∴45＝3CD， ∴CD ＝154(cm)，∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).类型三 平行关系的综合应用(互动探究)【例3】 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：GH ∥平面PAD . [思路探究]探究点一 证明平行关系的基本思路是什么？提示 证明平行关系时，应综合应用线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化. 探究点二 解本题的关键是什么？提示 关键是连接AC 交BD 于O ，结合PC 中点M ，利用中位线，进行平行转化，进而作出判断.证明 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点， ∴PA ∥MO ，而AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴PA ∥平面BMD ，又∵PA ⊂平面PAHG ， 平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，∴PA ∥GH .又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.规律方法 1.本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行⇒线面平行⇒线线平行⇒线面平行.2.在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是否是性质定理中符合条件的平面. 【训练3】在长方体ABCD－A1B1C1D1，E为棱DD1上的点，试确定点E的位置，使B1D∥平面A1C1E.解如图，连接B1D1，设A1C1∩B1D1＝M，连接ME.若B1D∥平面A1C1E，则B1D平行于过B1D的平面与平面A1C1E的交线.由于B1D⊂平面B1DD1，平面B1DD1∩平面A1C1E＝ME，所以B1D∥ME.又因为M为B1D1的中点，所以E为DD1的中点.[课堂小结]1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.1.已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是( )A.a∥bB.a⊥bC.a，b相交但不垂直D.a，b异面解析利用结论：若一直线与两个相交平面平行则此直线与交线平行.答案 A2.已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是( )A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b解析由面面平行的性质定理知D正确.答案 D3.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________. 解析 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.答案 124.如图，已知E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、CC 1的中点，过D 1、E 、F 作平面D 1EGF 交BB 1于G .求证：EG ∥D 1F .证明 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，平面D 1EGF ∩平面ABB 1A 1＝EG ，平面D 1EGF ∩平面DCC 1D 1＝D 1F ，∴EG ∥D 1F .基 础 过 关1.a ∥α，b ∥β，α∥β，则a 与b 位置关系是( ) A.平行 B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析 如图(1)，(2)，(3)所示，a 与b 的关系分别是平行、异面或相交.答案 D2.已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线( ) A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，在平面α内 C.有两条，不一定都在平面α内 D.有无数条，不一定都在平面α内 解析 如图所示，∵l ∥平面α，P ∈α，∴直线l 与点P 确定一个平面β，α∩β＝m ，∴P ∈m ，∴l ∥m 且m 是唯一的.答案 B3.如图，四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，则( )A.MN ∥PDB.MN ∥PAC.MN ∥ADD.以上均有可能解析 ∵MN ∥平面PAD ，MN ⊂平面PAC ， 平面PAD ∩平面PAC ＝PA ，∴MN ∥PA . 答案 B4.过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________.解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的. 答案 平行5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 ∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.答案26.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1，B ，C 1的平面与平面ABC 的交线为l ，试判断l 与直线A 1C 1的位置关系，并给以证明.解 l ∥A 1C 1证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC .又∵A 1C 1⊂平面A 1BC 1，且平面A 1BC 1∩平面ABC ＝l ， ∴A 1C 1∥l .7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP . ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB.∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB， ∴CP PB ＝DN NB，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B . ∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .能 力 提 升8.下列说法正确的是( )A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D.若三直线a ，b ，c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有一个平面与b ，c 均平行 解析 平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A 错；B 正确；C 中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D 不正确，因为过直线a 的平面中，只要b ，c 不在其平面内，则与b ，c 均平行. 答案 B9.过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( ) A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析 ∵l ⊄α，∴l ∥α或l 与α相交.(1)若l ∥α，则由线面平行的性质可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，… ∴a ，b ，c ，…这些交线都平行.(2)若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A .综上可知D 正确. 答案 D10.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′， 由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， ∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′， 从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝425. 答案42511.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.法一(1)证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)解平行.证明如下：取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形.所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.法二(1)证明由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD，l∥BC.(2)解平行.证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.探究创新12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.11解 能.取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1， ∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，A 1N 綉MC ， ∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形. 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，∴A 1H ＝ 3. ∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质...》728PPT课件
课时作业（点此链接） Nhomakorabea[点评] 1.证明点 P 在平面 ABC 内，可以用A→P＝xA→B＋yA→C， 也可以用O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C，若用O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 则必须满足 x＋y＋z＝1.
2．判定三个向量共面一般用 p＝xa＋yb，证明点线共面常 用A→P＝xA→B＋yA→C，证明四点共面常用O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C (其中 x＋y＋z＝1)．
O→An＝O→A1＋A→1A2＋…＋An－1An＝_____________________. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量等于__________．
3．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连接终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b. 也可以由向量的加法来定义：减去一个向量就等于加上这 个向量的相反向量．由此可以推出向量等式的移项方法，即将 其中任意一项__________后，从等式一端移到另一端． 4．加法的交换律，结合律在空间向量中__________． 5．实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是一个向量，λ____0 时，λa 与 a 方向相同，λ____0 时，λa 与 a 方向相反，λ____0 时，λa ＝______，其方向是任意的，|λa|＝________.
6．设 λ、μ 是实数，则有 (1)分配律：λ(a＋b)＝___________ (2)结合律：λ(μa)＝__________ 7．表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做__________或__________． 8．对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件 是存在实数 λ 使____________.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行与垂直
【典型范例】
1.如图所示，已知矩形ABCD ，过A 作SA⊥平面AC ，再过A 作AE⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF⊥SC 交SC 于F ．
(1)求证：平面SBC⊥平面SBA. (2)求证：AF ⊥SC .
(3)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG⊥SD .
2.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=60 ,PA=AC =a ，PB=PD=2a ,点E 是PD 的中点。
①证明PA ⊥平面ABCD;②在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论。
【课堂练习】
在棱长为a 的正方体ABCD--A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF 与BD 交于点G ，M 为棱BB 1上的一点
问：当M 在什么位置时，能使D 1M ⊥平面EFB 1？请给出
证明
B
C D A S G
E
F A
C
F
D A 1
D 1 C 1
B 1
M G E
【典型范例】
1.如图，∆ABC 是边长为2的正三角形，在∆ABC 所在平面外有一点P ，PB ＝PC ＝72，PA ＝3
2
，延长BP 到D ，使BD ＝7，E 是BC 的中点，求AE 和CD 所成的角．
2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1中点， ①求证：BC 1⊥平面A 1B 1CD
②求AE 与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值.
3.如图所示,已知Rt ΔABC,斜边BC 在平面α内,点A 不在α内,AB 、AC 分别与平面α成30º角、45º角,AD 是斜边BC 上的高。
求平面ABC 与平面α所成的角.
【课堂练习】
已知E,F,G,H,M,N 分别为正方体A BCD-A 1B 1C 1D 1的棱AA 1,AD,A 1B 1,DC,BB 1,B 1C 1的中点. ①求证四边形EFHG 为等腰梯形； ②求异面直线EF 和MN 所成的角； ③求GH 与底面ABCD 所成的角的大小
3.
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E F
G
H
M N
A 11
【典型例题】
例1. 光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线方程.
例2. 在直线l:3x-y-1=0上求一点P，使其满足下列条件
（1）P到A（4,1）和B（0,4）的距离之差最大;
（2）P到A（4,1）和C（3,4）的距离之和最小;
【课堂练习】
1. .求直线x-y-2=0关于直线3x-y+3=0对称的直线方程.
2. 已知△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B、∠C的平分线的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0，
求BC所在直线的方程。