江苏省如皋中学高三数学暑期学情检测

高三数学第一学期期初检测 第1页江苏省如皋中学高三数学第一学期期初学情检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置 1.集合{}N y N x y x x A ∈∈+-==,,62的真子集的个数为________．2.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．3.设a ＝52535252,52,53⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛c b ，则a ，b ，c 的大小关系是________．4.下列命题正确的是________. A ．若为假命题，则、均为假命题 B ．函数的零点是或C ．对于命题：，使得，则：，均有D ．命题“若，则”的否命题为“若，则”5.设函数2log ,0,()4,0x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，则((1))f f -的值为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知角()π4α+的终边经过点(1P ，则tan α的值为 ．7. 已知变量x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则31x y u x +=+的取值范围是 ．8.︒++︒︒︒︒81tan 39tan 240tan 81tan 39tan = ．9.已知函数)10(1log )(<<+-=a xb xx f a(0<a <1)为奇函数，当(]a x ,1-∈时，函数)(x f 的值域是(]1,∞-，则b a +的值为________．10.设定义域为的函数,函数的零点共有 个．11.设函数⎩⎨⎧≥<-=1,2,1,13)(x x x x f x ，则满足)(2))((a f a f f =的a 的取值范围是 ．12.已知+∈R y x ,，满足114=-yx ，不等式()0322≥-+-a a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13.设函数()f x 在区间D 上有定义，若对其中任意1212,()x x x x ≠恒有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()f x 是D 上的“凹函数”.若()|4|(0)f x x ax a =-≠在[2,3]上为“凹函数”，则a 的取值范围是 .14.在△ABC 中，已知C B A C B A cos cos 13cos ,sin sin 13sin ==，则C B A tan tan tan ++的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．15.（理科做）设x 为实数．若矩阵M 152x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为不可逆矩阵，求2M ． （文科做）已知集合()(){}2310A x x x a =---<，函数()()22lg 11a xy a x a -=≠-+的定义域为集合B ，若A B =，求实数a 的值．16.设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的取值范围.高三数学第一学期期初检测 第2页17.在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对边的长．若2sin ,1cos ==A b B a ，且 4π=-B A ． （1）求a 的值； （2）求tan A 的值．18.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．19.设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值； （2）求证:函数)(x f y =存在极小值；（3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立，求实数m 的取值范围．20.已知函数()e x f x cx c =--(c 为常数,e 是自然对数的底)，()f x '是函数()y f x =的导函数．（1）求()f x 的单调区间； （2）当1c >时，试证明：①对任意的0x >，(ln )(ln )f c x f c x +>-恒成立； ②函数()y f x =有两个相异的零点．高三数学第一学期期初检测 第3页暑期学情检测1.集合{}N y N x y x x A ∈∈+-==,,62的真子集的个数为________．解析：当y ＝0时，x ＝6；当y ＝1时，x ＝5；当y ＝2时，x ＝2；当y ≥3时，x ∉N ，故集合A ＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.答案：72．若函数()()ππ()sin 3sin 44f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3-；将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.3.设a ＝52535252,52,53⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛c b ，则a ，b ，c 的大小关系是________．∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，∴c >b ，∴a >c >b . 答案：(1)c <a <b (2)a >c >b4．下列命题正确的是（ ） A ．若为假命题，则、均为假命题 B ．函数的零点是或C ．对于命题：，使得，则：，均有D ．命题“若，则”的否命题为“若，则”考点：全称量词与存在性量词简单的逻辑联结词 答案：C试题解析：对A ：若为假命题，则p,q 至少有一个是假命题，故错； 对B ：函数的零点是数，不是点，故错；对D ：命题“若，则”的否命题为“若，则”，故错。

故答案为：C5.设函数2log ,0,()4,0x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，则((1))f f -的值为 ．2-6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角()π4α+的终边经过点()1 3P ，，则tan α的值为 ▲ ． 【答案】23-7. 已知变量x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则31x y u x +=+的取值范围是( ) 8. 设向量a ()cos 25sin 25=，，b ()sin 20cos 20=，，若t 是实数，且t =+u a b ，则u 的最小值为▲ ．2【解析】因为()22222221212sin 45212t t t t t t t =+=++⋅=++=++≥u a b a b a b ，所以u 的最小2．︒++︒︒︒︒81tan 39tan 240tan 81tan 39tan = ． 9．已知，，若的值域为，的值域为，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：一次函数与二次函数 答案：C 试题解析：若的值域为，即在对称轴处的函数值为2.所以 的值域为中的即可。

故答案为：C已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2.1高三数学第一学期期初检测 第4页答案： 2 10.设定义域为的函数,函数的零点共有 个．考点：分段函数，抽象函数与复合函数零点与方程答案：试题解析：由题知：令，所以 的根为：t=0或t=-2或t=1. 又令得：或x=0或x=-2;令得：;令得：或或.;所以函数的零点共有个。

故答案为：11.设函数⎩⎨⎧≥<-=1,2,1,13)(x x x x f x，则满足)(2))((a f a f f =的a 的取值范围是[，+∞）．【分析】令f （a ）=t ，则f （t ）=2t，讨论t ＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a ＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f （a ）=t ，则f （t ）=2t ，当t ＜1时，3t ﹣1=2t，由g （t ）=3t ﹣1﹣2t 的导数为g′（t ）=3﹣2tln2， 在t ＜1时，g′（t ）＞0，g （t ）在（﹣∞，1）递增，即有g （t ）＜g （1）=0，则方程3t ﹣1=2t无解；当t≥1时，2t =2t成立，由f （a ）≥1，即3a ﹣1≥1，解得a≥，且a ＜1； 或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a 的范围是a ≥．故答案为：[，+∞） 12.已知+∈R y x ,，满足114=-yx ，不等式()0322≥-+-a a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案：3(,]2-∞-13.设函数()f x 在区间D 上有定义，若对其中任意1212,()x x x x ≠恒有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()f x 是D 上的“凹函数”.若()|4|(0)f x x ax a =-≠在[2,3]上为“凹函数”，则a 的取值范围是 .(,0)[2,)-∞+∞ 14．在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ▲ ． 【答案】196【解析】依题意cos A -sin A ＝13cos B cos C -13sin B sin C ，即cos A -sin A ＝13cos ()B C +，即cos A -sin A ＝-13cos A ，所以tan A 14=，又易得tan A ＝tan B tan C ，而tan A ＋tan B ＋tan C =tan A tan B tan C ，所以tan A ＋tan B ＋tan C =tan 2A 196=．15.设x 为实数．若矩阵M 152x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为不可逆矩阵，求2M ． 解：依题意，10x =-，（4分）所以2M 15159452102101890---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（10分） 已知集合()(){}2310A x x x a =---<，函数()()22lg11a xy a x a -=≠-+的定义域为集合B ，若A B =，求实数a 的值．15.解：由()2201a x x a ->-+且1a ≠得：221a x a <<+，即2(2,1)B a a =+. -3分 当312a +=即13a =时，A =∅，不满足A B =； --6分当312a +>即13a >时，(2,31)A a =+，由A B =得，222,131,a a a =⎧⎨+=+⎩此时无解；---------9分当312a +<即13a <时，(31,2)A a =+，由A B =得，2231,12,a a a =+⎧⎨+=⎩解得1a =-.故所求实数a 的值为1-. --14分16.设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的0不合，舍去；17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B＝π4．（1）求a 的值；（2）求tan A 的值． 解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①（2分） 又a cos B ＝1， ② ①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3，（4分）高三数学第一学期期初检测 第5页因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以a ＝3（负值已舍）；（6分）（2），由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B ＝2，即tan B ＝2，（8分） 因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．18.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T=4v -，即2004T v =-，4v >；（4分）（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =，当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．（14分） 19. 设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值；（3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xmx x e x成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵()xaf x e x'=-，∴()1f e a '=-， 由题设得：()()110e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩，∴10a b =⎧⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．2分（2）由（1）得()ln 1x f x e x =--，∴()1(0)xf x e x x'=->，∴()()210xf x e x''=+>，∴函数()f x '在()0,+∞是增函数，．．．．．．．4分∵()120,1102f f e ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭，且函数()f x '图像在()0,+∞上不间断，∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，．．．．．．．．．．．．．．6分结合函数()f x '在()0,+∞是增函数有：∴函数f x 存在极小值)0f x ．．．．．．．．．．．8分（3）1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立， 1,2x ⎡⎫⇔∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln x m e x x ≥-成立（*）．．．．．．．．．．．10分令()1ln ,,2xh x e x x x ⎡⎫=-∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()ln 1xh x e x f x '=--=，∴结合（2）得：()()000min ln 1xh x f x e x '⎡⎤==--⎣⎦，．．．．．．．．．．12分 其中01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()00f x '=，即0010x e x -=，∴00001,ln xe x x x ==-， ∴()000min01ln 11110x h x e x x x '=--=+->=>⎡⎤⎣⎦， ∴()1,,02x h x ⎡⎫'∈+∞>⎪⎢⎣⎭，∴()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增． ．．．．．．．．．．．．．．．．14分高三数学第一学期期初检测 第6页∴()1122min1111ln ln 22222h x h e e ⎛⎫==-=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 结合（*）有121ln 22m e ≥+，即实数m 的取值范围为121ln 2,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．16分20. 已知函数()e x f x cx c =--(c 为常数,e 是自然对数的底)，()f x '是函数()y f x =的导函数．（1）求()f x 的单调区间； （2）当1c >时，试证明：①对任意的0x >，(ln )(ln )f c x f c x +>-恒成立； ②函数()y f x =有两个相异的零点． ．解：（1）()e x f x c '=-，若0c ≤，则()e 0x f x c '=->恒成立，此时函数()f x 的增区间为(,)-??若0c >，令()0f x '=，得ln x c =， …（2）①令()(ln )(ln )(e e )2x x g x f c x f c x c cx -=+--=--．则()(e e )2220x x g x c c c c ≥-'=+--=，且()0g x '=仅在0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增． 所以当0x >时,()(0)0g x g >=，即(ln )(ln )f c x f c x +>-．②因为1c >，所以(ln )f c =ln 0c c -<．而1(1)e 0f --=>,所以(ln )(1)0f c f ⋅-<，所以()f x 在(1,ln )c -内存在一个零点， 取2(2ln 1)e 2ln 2(e 2ln 2)f c c c c c c c c +=--=--(1c >)，设()e 2ln 2c c c ϕ=--(1c >),2()e 0c cϕ'=->， 所以()c ϕ在(1,)+∞上单调递增,所以()(1)e 20c ϕϕ>=->． 从而(2ln 1)()0f c c c ϕ+=⋅>，所以(ln )(2ln 1)0f c f c ⋅+<,所以()f x 在(ln ,2ln 1)c c +内存在一个零点． ……16分 （注：也可以取(2)f c 等．）已知奇函数()x f 的定义域为[]1,1-,当[)0,1-∈x 时,()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛-=21.(1) 求函数()x f 在[]1,0上的值域；(2) 若(]1,0∈x ,y=()()12412+-x f x f λ的最小值为2-,求实数λ的值.解:(1) 设(]1,0∈x ,则[)0,1-∈-x 时,所以()x xx f 221-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--又因为()x f 为奇函数,所以有()()x f x f -=- 所以当(]1,0∈x 时,()()xx f x f 2=--=, 所以()(]2,1∈x f ,又()00=f 所以,当[]1,0∈x 时函数()x f 的值域为(]}0{2,1⋃.………7分(2)由(1)知当(]1,0∈x 时()x f (]2,1∈,所以()x f 21⎥⎦⎤⎝⎛∈1,21 令()x f t 21=,则121≤<t , ()=t g ()()12412+-x f x f λ12+-=t t λ41222λλ-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t ………9分①当212≤λ,即1≤λ时,()⎪⎭⎫⎝⎛>21g t g ,无最小值,②当1221≤<λ,即21≤<λ时,()24122min -=-=⎪⎭⎫⎝⎛=λλg t g , 解得32±=λ舍去 ③当12>λ,即2>λ时,()()21min -==g t g ,解得4=λ ………15分综上所述,4=λ ………16分。