利用二分法求方程近似解(上课实用课件)
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《用二分法求方程的近似解》PPT执教课件 人教版2
《用二分法求方程的近似解》PPT执教 课件 人教版2
函数未命名.gsp图象
《用二分法求方程的近似解》PPT执教 课件 人教版2
因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在 （x所11，=以12.x5）0，∈内f（(有11.零5，)=点10.5x.3）0,3取，（因1为，f2(）1)·的f(1中.5点)<0
三、自行探究 解： f(x) 设 2xx4
区间端点函数值 符号
根所在区间
中点值
中点函数值 符号
f(1)<0,f(2)>0
(1 , 2)
1.5
f(1.5)>0
f(1)<0, f(1.5)>0
(1 , 1.5)
1.25
f(1.25)<0
f(1.25)<0 , f(1.5)>0
(1.25 , 1.5)
1.375
它是求一元方程近似解的常用方法。运用二分法的 前提是要先判断某根所在的区间。
《用二分法求方程的近似解》PPT执教 课件 人教版2
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对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法 （bisection )
2 2.5
《用二分法求方程的近似解》PPT执教 课件 人教版2
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二、方法探究
-
+
2
3
-
+
2
2.5
3
用二分法求方程的近似解课件PPT
1
第二步：取2与3的平均数2.5
f2.5 = 0.25
f (2) 0, f (2.5) 0 x1 (2,2.5)
2.25
o
1
2
2.5
3
x
第三步：取2与2.5的平均数2.25
ff22..2255==--00..443475
f (2.25) 0, f (2.5) 0 x1 (2.25,2.5)
第四步 重复步骤2～3,直至所得区间的两端点差的绝对值小于要求的精确值， 则零点的近似值为所得区间内的任一数。
一般取其中点为近似值。
口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
二分法的应用 例2. 从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需 及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至多需要检查接点的个数为 几个？
第二步：取2与3的平均数2.5
f (2) 0, f (2.5) 0 x1 (2,2.5)
o
1
2 2.5 3 第x 三步：取2与2.5的平均数2.25
fx = x 2 -2x-1
探究求零点近似值的方法
例1.求方程 x2 2x 1 0 的一个正的近似 x) 的简x图2， 2x 1
如此继续取下去得：
fx = x 2 -2x-1
探究求零点近似值的方法
例1.求方程 x2 2x 1 0 的一个正的近似 解？
y （精确到0.1）
1 分析：先画出函数
f (x) 的简x图2， 2x 1
第一步：得到初始区间（2,3）
f2.5 = 0.25
2.375
f (2) 0, f (3) 0 x1 (2,3)
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
4.5.2 用二分法求方程的近似解课件(人教版)
(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点； ②若 f(a)f(c)＜0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c. (4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；
端点(中点)
x0＝－12－2＝－1.5 x1＝－1.25－2＝－1.75 x2＝－1.275－2＝－1.875
端点或中点的函数值 f(－1)>0，f(－2)<0
f(x0)＝4.375>0
18
取值区间 (－2，－1) (－2，－1.5)
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
f(x2)≈0.736>0
(－1.937 5，－ 1.906 25)
(－1.937 5，－ 1.921 875)
20
x6＝－1.937
5－1.921 2
875＝
－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－ 1.929 687 5)
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
28
当堂达标 固双基
29
1．思考辨析
[答案]
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( ) (1)× (2)×
(2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
利用二分法求方程的近似解ppt课件
因为f(6.8125)·f(6.75)<0，所以x0∈(6.75，6.8125).
因为|6.75-6.8125|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=lo x+x-4最大零点的近似值可取6.8125.
03
题型突破
解题通法
利用二分法求函数零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
因此，区间 0.5，1 内任意一个数都是满足精确度的近似解．
02
探索新知
如果要获得方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的近似解，如何逐步缩小区间？
通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的
存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可
因为f(6.75)·f(7)<0，所以x0∈(6.75，7).
再取区间(6.75，7)的中点x3=6.875，算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)<0，所以x0∈(6.75，6.875).
再取区间(6.75，6.875)的中点x4=6.8125，算得f(6.8125)≈0.044，
端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 = 至少有
一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
求解公式，如2 3 + 3 − 3 = 0，那么如何确定方程2 3 + 3 − 3 = 0的解呢？
间 0，1 内存在零点，
因为|6.75-6.8125|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=lo x+x-4最大零点的近似值可取6.8125.
03
题型突破
解题通法
利用二分法求函数零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
因此，区间 0.5，1 内任意一个数都是满足精确度的近似解．
02
探索新知
如果要获得方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的近似解，如何逐步缩小区间？
通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的
存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可
因为f(6.75)·f(7)<0，所以x0∈(6.75，7).
再取区间(6.75，7)的中点x3=6.875，算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)<0，所以x0∈(6.75，6.875).
再取区间(6.75，6.875)的中点x4=6.8125，算得f(6.8125)≈0.044，
端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 = 至少有
一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
求解公式，如2 3 + 3 − 3 = 0，那么如何确定方程2 3 + 3 − 3 = 0的解呢？
间 0，1 内存在零点，
用二分法求解方程的近似解ppt课件
（4）判断是否达到精确度 ：若| a b | ，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤（2）~（4）.
例1 借助信息技术，用二分法求方程2x 3x 7 的近似解（精确度为0.1）.
解：
原方程即 2x 3x 7 ，令 f (x) 2x 3x 7 ，用信息技术画出函数 y f (x) 的图象如 图，并列出它的对应值表如下.
f (0.5) 20.53 30.5 3 0 , f (x) 在 (0, 0.5) 内有零点,
f (0.75) 20.753 30.75 3 0 f (x) 在 (0.5, 0.75) 内有零点, 方程 2x3 3x 3 0 根可以是 0.635. 故选：B.
4.用二分法研究函数 f x x3 2x 1的零点时，第一次经计算 f 0 0 ，f 0.5 0 ，
x012345678 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表，可知 f (1) f (2) 0 ，说明该函数在区间(1，2) 内存在零点 x0 . 取区间 (1，2) 的中点 x1 1.5 ，用信息技术算得 f (1.5) 0.33 . 因为 f (1) f (1.5) 0 ，所以 x0 (1，1.5) .
6.已知函数 f (x) 3x x 4 在区间[1, 2] 上存在一个零点，用二分法求该零点的近似 值，其参考数据如下： f (1.6000) 0.200 ， f (1.5875) 0.133 ， f (1.5750) 0.067 ， f (1.5625) 0.003 ， f (1.5562) 0.029 ， f (1.5500) 0.060 ，据此可得该零点的近
结论
可使用二分法：设电线两端分别为A、B,他首先从中点C查,用随身
带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中
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得:图像交点有一个，所以方程有一个解 解x0 ∈(0,4)
y
4
y=2x
y=4-x 1 0 1 2 4
x
提问：确定方程根的个数什么方法？确定根所在的区间？ /
巩固提高
1、找出方程2 3 x 7实根所在区间为
x
A.(0,1) B.(2,3) C.(3,4) D 4,5
2 3
f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625) f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)
模拟实验室
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
哦，找到 了啊！
通过这个小实验，你能想到什么 样的方法缩小零点所在的范围呢？
• 例1：求方程lnx＝－2x＋6的近似解(精确度为0.0 1)。
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪 指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长 的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每 查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200 多根电线杆子呢。 想一想，维修线路的工人师傅至少经过几次查找 使故障范围缩小到50~100m左右？
数y
f x ,通过不断地把函数 f x 的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
给定精确度，用二分法求函数零点x0的步骤：
1：确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0
ab 2：求区间[a,b]的中点x1＝ 2
答
案：
口 诀 定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 零点落在异号间. 精确度上来判断.
自行探究 1、求方程2x=4-x的近似解 （精确度0.1）
怎样找到它的解个数，并找出它 们所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数y=2x 与y=4-x的图象，如图： 如果画得很准确，可得x0 ∈(1,2) 如何准确确定根的区间呢？
2.5390625 2.53125 0.078125 0.01
所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似 值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。
y
二分法概念
0
a b x
对于在区间 a , b 上连续不断且 f a f b 0 的函
利用二分法 求方程近似解
高一数学组 付学文
复习思考：
1.函数的零点
方程f ( x ) 0有实数根
• 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
函数y f ( x )的图象与x轴有交点 函数y f ( x )有零点
2.零点存在的判定
如果函数y=f ( x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
• 解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐 标就是方程lnx＝－2x＋6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解， 记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。
设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得： f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3) f(2.5)<0, f(3)>0 ∈(2.5,3) x1 f(2.5)<0, f(2.75)>0 ∈(2.5,2.75) x1
思考问题：
请同学们观察下面的两个方程，说一说你 会用什么方法来求解方程.
(1) x 2 2 x 6 0
(2)ln x 2 x 6 0
对于方程（1），可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于(2)的方程，我们却没有公式 可用来求解.
看生活中的问题
模拟实验室
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
2、用二分法求出方程3x-5=0的近似解（精确度0.1）
/
练习：
小结
方程
用二分法求 方程的近似解
数学 源于生活
函数
1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 算法思想 二分法 数形结合
数学 用于生活
逼近思想
转化思想
生活中也常常会用到二分法思想：
3：计算：f(x1)判断： (1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止; (2)如果f(a)f(x1)<0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
(3)如果f(a)f(x1)>0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
4：判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值 是(a,b)区间内的一点；否则重复2～4步骤。
y
4
y=2x
y=4-x 1 0 1 2 4
x
提问：确定方程根的个数什么方法？确定根所在的区间？ /
巩固提高
1、找出方程2 3 x 7实根所在区间为
x
A.(0,1) B.(2,3) C.(3,4) D 4,5
2 3
f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625) f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)
模拟实验室
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
哦，找到 了啊！
通过这个小实验，你能想到什么 样的方法缩小零点所在的范围呢？
• 例1：求方程lnx＝－2x＋6的近似解(精确度为0.0 1)。
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪 指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长 的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每 查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200 多根电线杆子呢。 想一想，维修线路的工人师傅至少经过几次查找 使故障范围缩小到50~100m左右？
数y
f x ,通过不断地把函数 f x 的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
给定精确度，用二分法求函数零点x0的步骤：
1：确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0
ab 2：求区间[a,b]的中点x1＝ 2
答
案：
口 诀 定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 零点落在异号间. 精确度上来判断.
自行探究 1、求方程2x=4-x的近似解 （精确度0.1）
怎样找到它的解个数，并找出它 们所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数y=2x 与y=4-x的图象，如图： 如果画得很准确，可得x0 ∈(1,2) 如何准确确定根的区间呢？
2.5390625 2.53125 0.078125 0.01
所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似 值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。
y
二分法概念
0
a b x
对于在区间 a , b 上连续不断且 f a f b 0 的函
利用二分法 求方程近似解
高一数学组 付学文
复习思考：
1.函数的零点
方程f ( x ) 0有实数根
• 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
函数y f ( x )的图象与x轴有交点 函数y f ( x )有零点
2.零点存在的判定
如果函数y=f ( x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
• 解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐 标就是方程lnx＝－2x＋6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解， 记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。
设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得： f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3) f(2.5)<0, f(3)>0 ∈(2.5,3) x1 f(2.5)<0, f(2.75)>0 ∈(2.5,2.75) x1
思考问题：
请同学们观察下面的两个方程，说一说你 会用什么方法来求解方程.
(1) x 2 2 x 6 0
(2)ln x 2 x 6 0
对于方程（1），可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于(2)的方程，我们却没有公式 可用来求解.
看生活中的问题
模拟实验室
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
2、用二分法求出方程3x-5=0的近似解（精确度0.1）
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练习：
小结
方程
用二分法求 方程的近似解
数学 源于生活
函数
1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 算法思想 二分法 数形结合
数学 用于生活
逼近思想
转化思想
生活中也常常会用到二分法思想：
3：计算：f(x1)判断： (1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止; (2)如果f(a)f(x1)<0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
(3)如果f(a)f(x1)>0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
4：判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值 是(a,b)区间内的一点；否则重复2～4步骤。