2019-2020年高考数学大一轮复习 第2章 第9节 函数模型及其应用课时提升练 文 新人教版

2019-2020年高考数学大一轮复习 第2章 第9节 函数模型及其应用课时提升练 文 新人教版一、选择题1．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12【解析】 设隔墙的长为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ·24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．【答案】 A2．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的45，当剩余的物质为原来的64125时，需要经过( )A ．5年B ．4年C ．3年D ．2年【解析】 由指数函数模型知，⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＝64125，解得x ＝3.【答案】 C3．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( )A.12B.14 C ．2D.18【解析】 由题意知加密密钥y ＝kx 3是幂函数模型，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k ×43，∴k ＝132，故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，则1256＝132x 3，即x 3＝18，∴x ＝12.【答案】 A4．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(元)f (n )＝k (n )(n －500)(n 为年销售额)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n，＜n ＜，n，若一员工获得400元的奖励，那么该员工一年的销售额为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500【解析】 根据题意，奖励金额f (n )可以看成年销售额n 的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n 值的问题，由题中所给函数关系式可算得n ＝1 500，故选D.【答案】 D5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停止，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )【解析】 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．【答案】 A6．(xx·陕西高考)如图2­9­4，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )图2­9­4A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x【解析】 A 选项中，y ′＝f ′(x )＝32x 2－x －1，f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3.曲线在(0,0)和(2,0)处分别与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋73上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1＋73，2上单调递增，符合题意．对B 、C 、D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切．故选A.【答案】 A7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．【解析】 由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≥512－2x 2＋8x＝21.5(x ＞0) 当x 2＝8x，即x ＝4时，L 取得最大值21.5. 【答案】 48．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】 由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则M ＝lg A －lg A 0＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y ，9＝lg x ＋3,5＝lg y ＋3，解得x ＝106，y ＝102.所以x y ＝106102＝10 000.【答案】 6 10 0009．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．【解析】 设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ N ＋40M ＝40K ，N ＋15M ＝15K ×2，N ＋8M ≤8Kx .①②③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧K ＝2.5M ，N ＝60M ，代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4. 故至少同时开放4个窗口才能满足要求． 【答案】 410．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图2­9­5所示；③每月需各种开支2 000元．图2­9­5(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 【解】 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P －－5 600，14≤P ≤20，⎝⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －－5 600，20<P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．11．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【解】 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30， ∵0<x <150，∴150－x >0， ∴P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋100150－x ＋120，又(150－x )＋100150－x≥2－x100150－x＝2×10＝20， 当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，∴P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．12．如图2­9­6，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，图2­9­6(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【解】 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为110×|v －c |×32＋12＝320|v －c |＋12， 故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v(3c －3v ＋10)＝c ＋v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝－3cv＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧c ＋v－15，0<v ≤c ，－3cv＋15，c <v ≤10，①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，总淋雨量y 最少，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数，在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，总淋雨量y 最少，y min ＝50c.2019-2020年高考数学大一轮复习 第2节 参数方程课时提升练 新人教版选修4-4一、选择题1．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)的轨迹必过点( ) A ．(2,0) B ．(2,3)C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2【解析】 由题意可知，动点P 的轨迹方程为x 24＋y 29＝1，结合四个选项可知A 正确． 【答案】 A 2．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t sin 20°，y ＝5＋t cos 20°(t 为参数)的倾斜角为( ) A ．20°B ．70°C ．160°D ．120°【解析】 法一：将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t sin 20°，y ＝5＋t cos 20°(t 为参数)化为参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 70°，y ＝5＋t sin 70°(t 为参数)，故直线的倾斜角为70°.法二：将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t sin 20°，y ＝5＋t cos 20°(t 为参数)化为直角坐标方程为y －5＝cos 20°sin 20°(x ＋2)，即y －5＝sin 70°cos 70°(x ＋2)，∴y －5＝tan 70°(x ＋2)，∴直线的倾斜角为70°. 【答案】 B3．(xx·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上【解析】 消去参数θ，将参数方程化为普通方程．曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.【答案】 B4．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x＋y 的取值范围为( )A ．[5，5]B ．[－5，5]C ．[－5，－5]D ．[－5，5]【解析】 因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ＜2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5⎝⎛⎭⎪⎫25cos φ＋35sin φ＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]，故选D.【答案】 D5．(xx·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2【解析】 将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.故选D.【答案】 D 6．已知圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13 B.15 C ．－13D ．－15【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15.【答案】 D 二、填空题7．(xx·咸阳模拟)已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的位置关系不可能是________．【解析】 把直线l 1的方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)化为直角坐标方程为x tanα－y －tan α＝0，把圆C 2的方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为直角坐标方程为x2＋y 2＝1，圆心到直线的距离d ＝|－tan α|tan 2α＋1＝|tan α|tan 2α＋1≤1＝r ，所以直线与圆相交或相切，故填相离．【答案】 相离8．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)9．(xx·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，消去参数得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径，故直线过圆的圆心(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，即ρ(cos θ－sin θ)＝1.【答案】 ρ(cos θ－sin θ)＝1 三、解答题10．(xx·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.11．(xx·长春模拟)长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BA →＝3PA →，点P 的轨迹为曲线C .(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值． 【解】 (1)设P (x ，y )，由题设可知， 则x ＝23|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α(α为参数，π2＜α＜π)．(2)由(1)得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3⎝⎛⎭⎪⎫sin α－232＋283. 当sin α＝23时，|PD |取得最大值2213.12．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.。