江西省宜春市上高二中2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)试题(PDF版含答案)
2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三(下)开学数学(文科)试题Word版含解析
2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学数学（文科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（0，2] D．[2，+∞）2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣i B．1 C．﹣iD．﹣i3．在数列{an }中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn4．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）A．i＞3？B．i≤5？C．i＜4？D．i≤4？6．定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．67．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．9．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A． B．C．D．10．如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）A．B．C．D．11．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足||=||，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣112．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分）13．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是．14．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是．15．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC 的体积为，其外接球的表面积为．16．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．18．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且1，an，Sn是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =log2an，设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn．19．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC 的面积．20．（12分）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．21．（12分）如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上．（1）证明：AA1⊥面ABCD．（2）当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学数学（文科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（0，2] D．[2，+∞）【分析】先化简集合A，再由条件A∪B=B得到A⊆B，即可求出c的取值范围．【解答】解：∵A={x|log2x＜1}，∴A={x|0＜x＜2}，由已知若A∪B=B，得A⊆B，∴c≥2．故选D．【点评】本题考查了集合之间的关系，其关键是由A∪B=B得到得A⊆B．2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣i B．1 C．﹣iD．﹣i【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，z===1﹣．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．在数列{an }中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵，，…∴=故选：A．【点评】数列的通项an 或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．4．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据△PBC的面积小于时，可得点P所在区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率．【解答】解：设P到BC的距离为h∵矩形ABCD的面积为S，∴△PBC的面积小于时，h≤∴点P所在区域的面积为矩形面积的一半，∴△PBC的面积小于的概率是故选D．【点评】本题考查几何概型，解题的关键是根据△PBC的面积小于时，确定点P所在区域的面积为矩形面积的一半5．如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）A．i＞3？B．i≤5？C．i＜4？D．i≤4？【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：①S=2，i=2，②S=2+22=6，i=3，③S=6+23=14，i=4，④S=14+24=30，i=5＞4，故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．6．定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．6【分析】利用向量数量积运算和新定义即可得出．【解答】解：由数量积可得=10cosθ，解得，∵0≤θ≤π，∴．∴|×|===8．故选A．【点评】正确理解向量数量积运算和新定义是解题的关键．7．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d 由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an =a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A•ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A•ω=．故选C．【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．9．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A． B．C．D．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．10．如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，分析出各个面的形状，求出各个面的面积后，相加可得答案．【解答】解：该多面体为一个三棱锥D﹣ABC，如图1所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，S表面积=S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD==，故选A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．11．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足||=||，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1），x12+y12=1，且﹣1≤y1＜1．根据=2y12﹣2y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值．再利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1．∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），x12+y12=1．∴•=﹣x12+y12﹣2y1+1=﹣（1﹣y12）+y12﹣2y1+1=2y12﹣2y1，∴当y1=时，取得最小值为﹣，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=±1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=±1}，集合是两条平行线，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．【点评】本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，得到圆心坐标为（1，2），半径r=2，∵圆心到直线x﹣my﹣1=0的距离d=，又|AB|=2，∴r2=d2+（）2，即4=+3，整理后得到3m2=1，解得：m=±．故答案为：±【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而再由弦心距，圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理解决问题．14．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）．【分析】由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围．【解答】解：由题意作出其平面区域，当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形，当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则0＜k＜1；故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题．15．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC 的体积为，其外接球的表面积为12π．【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO﹣r|，利用勾股定理列方程解出r．【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V==．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO==．∴SO==，设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴+（）2=r2，解得r=．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：，12π．【点评】本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．16．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，（x+2）=0（a＞1）0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（，2）．【分析】由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则对于函数y=loga（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即loga 4＜3，且loga8＞3，由此解得：＜a＜2，故答案为：（，2）．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（共70分）17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．【分析】（1）由可得，结合角A为锐角，即可解得A的值．（2）在△ABC中，已知A，B的三角函数值，可求得sinC的值，再由正弦定理可得a的值．【解答】解：（1）∵，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），∴（cosA+2sinA）（cosA﹣2sinA）=﹣3sin2A，∴解得：．又∵角A为锐角，∴．（2）在△ABC中，，则．∴，∴，∴由正弦定理得，解得a=5．【点评】本题主要考查了正弦定理，平行向量和共线向量的性质，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且1，an，Sn是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =log2an，设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和为Tn．【分析】（1）由2an =1+Sn，当n=1时，a1=1，当n≥2时，2an﹣2an﹣1=an，an=2an﹣1，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得数列{an}的通项公式；（2）由，采用“错位相减法”即可求得数列{cn }的前n项和为Tn．【解答】解：（1）由1，an ，Sn是等差数列知：2an=1+Sn…①，当n=1时，2a1=1+a1，则a1=1；…（2分）当n≥2时，2an﹣1=1+Sn﹣1…②，①﹣②得2an ﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1；…（4分）故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{an}的通项公式：；…6分（2）由bn =log2an=n﹣1，，…（8分），…③∴，…④③﹣④得，=，=（2﹣n）•2n﹣2，∴，数列{c}的前n项和为：．…（12分）n【点评】本题考查等比数列通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC 的面积．【分析】（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为===所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）（Ⅱ）因为f（A）=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．故bc=1从而S△ABC=【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考查计算能力，注意A的求法，容易出错．常考题型．20．（12分）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．【分析】（1）利用列举法能求出取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合．（2）红绿卡片所有可能组合对共有16个，满足当X≤3或≥6的红绿卡片组合对9对．由此能求出甲同学取得展示才艺资格的概率．【解答】解：（1）取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合为：卡片组合绿色卡片1 2 3 4红色卡片 1（红1，绿1）（红1，绿2）（红1，绿3）（红1，绿4）2（红2，绿1）（红2，绿2）（红2，绿3）（红2，绿4）3（红3，绿1）（红3，绿2）（红3，绿3）（红3，绿4）4（红4，绿1）（红4，绿2）（红4，绿3）（红4，绿4）x 值 绿色卡片12 3 4 红色卡片 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 45678（2）从（1）中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个． 满足当X ≤3或≥6的红绿卡片组合对有：（红1，绿1），（红1，绿2），（红2，绿1），（红2，绿2）， （红2，绿4），（红4，绿2），（红4，绿3），（红4，绿4）共9对． 所以甲同学取得展示才艺资格的概率为．【点评】本题考查古典概型等知识点，解题的关键是列出所有可能的组合，再去根据相关的定义和公式进行求解和计算．21．（12分）如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠ABC=60°，AA 1=AC=2，A 1B=A 1D=2，点E 在A 1D 上．（1）证明：AA 1⊥面ABCD ． （2）当为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时直线A 1B 与平面EAC 之间的距离．【分析】（I ）利用勾股定理的逆定理可得：A 1A ⊥AB ；A 1A ⊥AD ．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论． （II ）①当=1时，A 1B ∥平面EAC ．下面给出证明：连接BD ，交AC 于点O ．利用三角形中位线定理可得：A 1B ∥OE ，再利用线面平行的判定定理即可证明A 1B ∥平面EAC ．②由OE 是△A 1BD 的中位线，可得求出点D 到平面EAC 的距离即直线A 1B 与平面EAC 之间的距离．利用VE﹣ACD =VD﹣ACE，即=，解出即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1=2，A1B=A1D=2，∴=8=，可得∠A1AB=90°，∴A1A⊥AB；同理可得：A1A⊥AD．又AB∩AD=A，∴AA1⊥面ABCD．（II）①当=1时，A1B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．连接OE，则OE是△A1BD的中位线，∴A1B∥OE．又A1B⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，∴A1B∥平面EAC．②∵OE是△A1BD的中位线，∴求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离．点E到平面ACD的距h=AA1=1．S△ACD==．EC==2=AC，AE=．∴S△ACE==．∵VE﹣ACD =VD﹣ACE，∴=，∴d==．【点评】本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直平行判定与性质定理、等边三角形的性质、等体积法、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；（3）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，φ′（t）=，t＞0，可知，φ（t ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t ）≥φ（1）=1，所以（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1，解得x 1+x 2≥或x 1+x 2≤，又因为x 1＞0，x 2＞0，因此x 1+x 2≥成立． 【点评】本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型．。
2019-2020学年江西省宜春市重点高中高二下学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年江西省宜春市重点高中高二下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】解一元二次不等式求集合A ，求出A B ，即可得结果. 【详解】 ∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}0B x x =>， ∴{}1,2,3A B =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算以及子集的个数，属于基础题. 2．若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A ．513- B ．513 C ．113 D ．113【答案】C 【解析】根据已知求出2511313z i =-，即得复数2z 的虚部. 【详解】由题意12+3z i =，由121z z i ⋅=+得21(1)(23)3512+3(2+3)(2)1313i i i z i i i i ++-===--， ∴复数2z 的虚部为113， 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．“ln ln a b >”是“11a b <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由对数函数的性质可得“ln ln a b >”的充要条件是“0a b >>”，利用不等式的性质，即可判定，得到答案．【详解】由对数函数的性质可得“ln ln a b >”的充要条件是“0a b >>”，当0a b >>时，则11a b <是成立的，例如：0a b <<，此时11a b<也成立， 所以“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件．故选A ． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及不等式的性质和充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用对数函数的性质，以及不等式的性质，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，则9S =（ ）A ．18B ．8C ．9D ．36 【答案】A【解析】根据根与系数关系求得28a a +，结合等差数列的性质求得19a a +，由此求得9S .【详解】∵2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，∴284a a +=．由等差数列的性质可得：194a a +=．则()1999941822a a S +⨯===． 故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列下标和的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 5．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ）A ．11x y x y ->-B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．ln x +ln y >0【答案】A【解析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】 结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确；对于选项C ，110y x x y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确.故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.6．执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )A ．(]21,28B ．[)21,28C ．(]28,36D ．[)28,36【答案】A 【解析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围.【详解】1k =，0s =，①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =；③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =；⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =；⑦条件不满足，28s =，8k ；满足条件，退出循环.2128a ∴<≤.故选：A .【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题.7．下列命题中是真命题的个数是（ ）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假.详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为A点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例. 8．若函数()x f x e cosx =在点()()0,0f 处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】求出函数()x f x e cosx =的导数，切线斜率为(0)k f '=，根据切线与直线210x ay -+=互相垂直即可求出a .【详解】因为()xf x e cosx =，所以()(cos sin )x f x e x x '=-，(0)1k f '==，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，所以21a=-，解得2a =-， 故选A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，直线垂直斜率之间的关系，属于中档题. 9．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则14x y+的最小值为（ ）A ．6+22B ．9C ．9D ．6+42【答案】D【解析】【详解】 因为D 是AB 中点，故2AF xa yb x AD y AC =+=+且x ＞0，y ＞0因为C 、F 、D 三点共线，故2x ＋y ＝1 于是14148()(2)662y x x y x y x y x y +=++=++≥+当且仅当822y x x y ==21,222x y -==-时，等号成立. 选D【考点】平面向量，基本不等式 10．已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F 23，P 为双曲线右支上一点，且满足2212415PF PF -=12PF F △的周长为（ ） A ．5B ．252 C ．254+ D ．234【答案】C 【解析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得,a c ，结合双曲线的定义求得12PF PF +，由此求得12PF F △的周长. 【详解】 由题意可得1b =，21c a =+， 即有2123a e +==， 可得3a =，2c =，P 为双曲线右支上一点，可得12223PF PF a -==，又()()22121212415PF PF PF PF PF PF -=-+=⋅，可得1225PF PF +=，则12PF F △的周长为252425c +=+，故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题.11．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，512BC AC -=，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A ．125-B ．35+C ．15+D ．45+【答案】C【解析】利用正弦定理求出cos36︒==. 【详解】 由正弦定理得sin sin A BC ABC AC =∠，即sin36sin36sin 722sin36cos36︒︒==︒︒︒，得cos36︒==则sin 234=sin(27036)cos36︒︒-︒=-︒=， 故选C ．【点睛】本题主要考查正弦定理以及诱导公式的应用，属于中档题.12．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,25⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤， 令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,1)a =-，(4,3)b =，(1,)c λ=-，若()//a b c +，则λ=__________．【答案】2-【解析】先求得a b +，然后根据向量平行的坐标表示列方程，解方程求得λ的值.【详解】由题，(2,4)a b +=，(1,)c λ=-，∵()//a b c +，∴()241λ⨯=⨯-，∴2λ=-．故答案为：2-【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题.14．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的取值范围是 ．【答案】[4,6]【解析】设点P 的坐标为(),x y ，可得出点P 的轨迹方程为222x y m +=，进而可知圆222x y m +=与圆C 有公共点，可得出关于正数m 的不等式，由此可求得正数m 的取值范围.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，90APB ∠=，且坐标原点O 为AB 的中点， 所以，12OP AB m ==，则点P 的轨迹方程为222x y m +=， 由题意可知，圆222x y m +=与圆C 有公共点，且圆心()3,4C ， 则11m OC m -≤≤+，即151m m -≤≤+，0m >，解得46m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]4,6.故答案为：[]4,6.【点晴】本题主要考查利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，由90APB ∠=求得点P 的轨迹方程是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.15．设1m >-，函数22()321()f x x mx m x m =-++<，若存在4k πθπ≠+，使得()()sin cos f f θθ=，则m 的取值范围是______.【答案】03m -<< 【解析】由()()sin cos f f θθ=，可知sin θ与cos θ的关于二次函数的轴对称，解出m 与θ的关系，进而求出m 的取值范围即可.【详解】 由题意可知323cos sin m m m θθ⎧<⎪⎨⎪=+⎩ ， 因为4k πθπ≠+，解得0cos 34m m πθ<⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得03m -<<，故答案为：03m -<< 【点睛】本题考查了余弦函数的值域、二次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，2b =，2A B =，则c =______． 【答案】52【解析】根据题意，先由正弦定理，以及二倍角公式，求出cos A ，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】因为3a =，2b =，2A B =， 由正弦定理可知sin sin a b A B=，即32sin 2sin B B =，所以3cos 4B =， 因此21cos 2cos 18A B =-=， 由余弦定理可得：2221cos 28b c a A bc +-==，即25148c c -=，即22100c c --=， 解得：2c =-（舍）或52c =. 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形，涉及二倍角公式，属于常考题型.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足510a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n +．【解析】（1）根据已知条件求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式. （2）先求得n S ，然后利用裂项求和法求得n T . 【详解】（1）由题意，设公差为d ，所以5231910a a a a =⎧⎨=⎩，则()()1211141028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩， ∴12141044a d d a d +=⎧⎨=⎩∵0d ≠，∴12a =，2d =， ∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）由（1）知，2(22)2n n n S n n +==+， ∴211111n S n n n n ==-++， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前n 项和公式，考查裂项求和法，属于中档题.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若16AB =，求四棱锥11A BB C C -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）连接11,AC CB ，取1CC 中点O ，连接OA ，1OB ，根据等边三角形的性质得到1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，由此证得1CC ⊥平面1OAB ，进而证得11AB CC ⊥. （2）先证得OA ⊥平面11BB C C ，求得四边形11BB C C 的面积，由此求得四棱锥11A BB C C -的体积.【详解】（1）连接11,AC CB ，则1ACC △和11B CC 皆为正三角形． 取1CC 中点O ，连接OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，又1AOB O O =，∴1CC ⊥平面1OAB ， ∴11AB CC ⊥．（2）由（1）知，13OA OB ==，又16AB =，∴22211OA OB AB +=∴1OA OB ⊥． 又1OA CC ⊥，11OB CC O =，∴OA ⊥平面11BB C C ．111sin 6023BB C CSBC BB =⨯︒=⨯，故1111123A BBC C BB C CV S OA -=⨯=．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查锥体体积的求法，属于中档题.19．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早､晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）125分.（2）2×2列联表答案见解析，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【解析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论； （2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论. 【详解】解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=， 由表中数据知，优秀分数线应定为125分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有500.315⨯=.人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有501535-=人，其中“赞成的”有22人； 填写2×2列联表如下：计算()22501013522250.066 2.70632181535378K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，属于基础题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若三直线OM ．l 、ON 的斜率与1k ，k ，2k 点成等比数列，求直线l 的斜率及22||||OM ON +的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）221,||52OM ON ±+=． 【解析】（1）由题得关于a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程； （2）设直线l 的方程为y kx m =+，(0)m ≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，根据2121212y y k k k x x ==和韦达定理求出k 的值．再根据2222221122||||OM ON x y x y +=+++和韦达定理求出22||||5OM ON +=． 【详解】解：（1）依题意得c =2c a =，得2a =，又223a b -=得1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为y kx m =+，(0)m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴122814km x x k -+=+，()21224114m x x k-=+．由题设知21212121212()()y y kx m kx m k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =，12k =±，此时()2221228414km x x m k -⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，()()22122412114m x x m k-==-+， 则2222221122||||OM ON x y x y +=+++22221122111144x x x x =+-++- ()2212324x x =⨯++()212123224x x x x x ⎡⎤=+-+⎣⎦ ()223441254m m ⎡⎤=⨯--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为12k =±，22||||5OM ON +=．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的计算和简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属于中档题． 21．设函数()()11xxf x xe a e=+-+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,∞+有零点，证明：2a >.【答案】（1）增区间()1,a -+∞，减区间(),1a -∞-；（2）证明见解析.【解析】（1）求得()()1xf x x a e '=--⎡⎤⎣⎦，分析导数的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）令()0f x =可得11x x a x e +=+-，令()11x x g x x e +=+-，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，并求得函数()y g x =的极值的取值范围，进而可证得2a >成立. 【详解】 （1）()()11x x f x xe a e =+-+，该函数的定义域为R ，()()()11x x xf x x e ae x a e ∴'⎡⎤=+-=--⎣⎦，当1x a >-时，()0f x '>；当1x a <-时，()0f x '<.所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞； （2）函数()y f x =在()0,∞+有零点，可得方程()0f x =有解，()1111111xx x x x x e x xe x a x e e e -++++∴===+---有解， 令()11x x g x x e +=+-，则()()()()()22211111x x x xxxe e xe x e g x ee'----+=+=--，设函数()2xh x e x =--，()0,x ∈+∞，()10xh x e '=->，∴函数()y h x =在()0,∞+上单调递增，又()130h e =-<，()2240h e =->，函数()y h x =在()0,∞+上单调递增，∴存在()01,2x ∈，当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴函数()y g x =存在唯一最小值()0g x ，满足002x e x =+，()()00000112,31x x g x x x e +∴=+=+∈-， 11xx a x e +=+-有解，()02a g x ∴≥>，2a ∴>，得证. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数的零点问题，考查参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足2MON π∠=，求MON ∆面积的最大值.【答案】（1）4sin()3πρθ=+；（2）4【解析】（1）利用22cos sin 1ϕϕ+=消掉参数ϕ，求得曲线C 的直角坐标方程，在利用极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得曲线C 的极坐标.（2）设出,M N 两点的极坐标，写出三角形面积的表达式，并利用三角函数性质求得面积的最大值. 【详解】（1）可知曲线C 的普通方程为(()2214x y -+-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， 即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，12(0,0)ρρ>>， 121122MON S OM ON ρρ∆=== 8sin sin 323πππθθ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24sin 243πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，所以MON ∆面积的最大值为4. 【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题.属于中档题.23．已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ． （Ⅰ）求+a b 的值；（Ⅱ）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（1）根据13x <-，123x -≤≤，2x >进行分类讨论，求出不等式2315x x -++≤的解集，由此能求出a+b ．（2）由x ＞0，y ＞0，41x y +=，知()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭414x yy x=+++，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x +y ≥9xy ． 【详解】（Ⅰ）原不等式等价于13415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩或123325x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≤⎩或2415x x >⎧⎨-≤⎩， 解得113x -≤<或113x ≤≤，即11x -≤≤ ∴1a =-，1b =， ∴0a b +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >，∴()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭41459x y y x =+++≥=， 当且仅当16x =，13y =时取“=”,∴9x y xy +≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查了基本不等式求最值，运用了推理论证能力、运算求解能力，是中档题．。
江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文科)试题(wd无答案)
江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文科）试题一、单选题(★★) 1. 设 i是虚数单位，若复数（）是实数，则 a的值为（）A．B．C．1D．2(★★) 2. 用反证法证明命题“已知，如果可被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时,假设的内容应为（）A．都不能被3整除B．都能被3整除C．不都能被3整除D．不能被3整除(★★) 3. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（）A．128.5米B．132.5米C．136.5米D．110.5米(★★) 4. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（）A．“输出”B．“输出”C．“输出”D．“输出”(★★) 5. 已知某企业2020年4之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如表：由此所得回归方程为，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（）月份1112123广告投入（x万8.27.887.98.1元）利润（y万元）9289898793A．101万元B．102万元C．103万元D．104万元(★★) 6. 已知为正数，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要(★★★) 7. 已知函数 f( x)＝ e x－( x＋1) 2( e为2.718 28…)，则 f( x)的大致图象是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 将曲线围成的区域记为Ⅰ,曲线围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（）A．B．1C．3D．5(★★★★) 11. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，，，，平面与平面间的距离为，则该刍童外接球的体积为( )A．B．C．D．(★★★) 12. 若函数有最大值，则实数的取值范围是（）A．B．C．，D．二、填空题(★) 13. 在一组样本数据为，，…，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数_______．(★★★)14. 为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.(★★★) 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若∠ ，则的内切圆半径为______.三、双空题(★★) 16. 已知直线与圆交于 A， B两点，过 A， B分别作 l的垂线与 x轴交于 C， D两点，若，则________，________．四、解答题(★★★) 17. 已知函数．（1）解不等式：（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．(★★) 18. 某工厂新购置甲、乙两种设备，分别生产，两种产品，为了解这两种产品的质量，随机抽取了200件进行质量检测，得到质量指标值的频数统计表如下：质量指标，，，，，，合计值产品频数2632201080产品频数122427156 Array产品质量列联表产品质量高产品质量一般合计产品产品合计附：．0.050.010.0013.841 6.63510.828（1）求，，的值，并估计产品质量指标值的平均数；（2）若质量指标值大于50，则说明该产品质量高，否则说明该产品质量一般．请根据频数表完成列联表，并判断是否有的把握认为质量高低与引入甲、乙设备有关．(★★★) 19.在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形．（Ⅰ）若，证明：直线平面；（Ⅱ）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论．(★★★) 20. 在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（）， M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求 M点的极坐标；（2）将射线 OM绕原点 O逆时针旋转与该曲线相交于点 N，求的最大值.(★★★) 21. 已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点．（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．(★★★) 22. 已知函数，其中为常数且，在处取得极值. （1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值.。
江西省宜春市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学复习检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过两点()1,A m ，()2,0B 的直线的倾斜角为π4，则实数m =（ ） A ．-1B ．1C ．22-D ．222．若函数cos 0()(1)10x x f x f x x π-⎧=⎨++≤⎩，＞，，则4()3f -的值为（ ） A ．12- B ．12 C ．32 D ．523．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A ．12倍 B ．2倍 C ．24倍 D ．22倍 4．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A ．85B ．1311C ．2113D ．1385．下列正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则2b a a b+≥ B ．若x<0，则x ＋4x ≥－4·x x4 C ．若ab≠0，则22b a a b a b+≥+ D ．若x<0，则2x ＋2－x >26．设函数21(0)()lg (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2()()20f x af x -+=恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,22B ．()22,3C ．()3,4D ．()22,47．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.39．已知函数2()(0)=++>f x ax bx c a ，其中,,a b c 为整数，若()f x 在(0,1]上有两个不相等的零点，则b 的最大值为( )A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-10．若集合{}2123A =-，，，，{}2B x x n n N ==∈，，则A B =（ ） A ．{}2- B ．{}2 C ．{}22-，D ．∅ 11．已知下列各命题：①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 有公共点：③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线：④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.则其中正确的命题共有（ ）个A ．4B ．3C ．2D ．112．如图2所示，程序框图的输出结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．8二、填空题：本题共4小题13．1和4的等差中项为__________．14．将无限循环小数0.45化为分数，则所得最简分数为______；15．一组数据2，4，5，x ，7，9的众数是2，则这组数据的中位数是_________.16．已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019学年江西上高二中高一下期末文科数学试卷【含答案及解析】
2019学年江西上高二中高一下期末文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 如图，正方形中，点是的中点，点是的一个靠近的三等分点，那么等于（）A．________________________B．________________________C．____________________D．2. 设等差数列的前项和为，已知，则（） A．-27 B． 27_________ C． -54________ D． 543. 以下函数中，最小值为2的是（）A．________B．________C．________D．4. 函数的递减区间是（）A．_________________________________ B．____________________________ C．____________________________D．5. 已知数列，则其前项和等于（） A． B． C． D．6. 如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东，方向走 10米到位置，测得，则塔的高度为（）A．10米 B．米 C．米D．米7. 若满足约束条件，则的最大值为（）8. 已知，若，则直线的倾斜角为（）A．_________ B．________ C． D．9. 在中，已知，如果三角形有两解，则的取值范围是（）A．___________________________________ B．___________________________________ C．____________________________ D．10. 在中，，则的形状一定是（） A．等边三角形____________________________ B．等腰三角形______________________________C．直角三角形____________________________ D．等腰直角三角形11. 已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有跟之和为（）A． B． C．D．12. 设，，，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（）A．______________________________ B．______________________________ C．___________________________________ D．以上均不正确二、填空题13. 已知向量的夹角为，，则____________________ ．14. 已知等比数列的公比为正数，且，则公比____________________ ．15. 若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是____________________ ．16. 给出四个命题：（ 1 ）若，则为等腰三角形；（ 2 ）若，则为直角三角形；（ 3 ）若，则为钝角三角形；（ 4 ）若，则为正三角形；以上正确命题的是____________________ ．三、解答题17. 已知直线和 .（ 1 ）若，求实数的值；（ 2 ）若，求实数的值.18. 已知公差不为零的等差数列，若，且成等比数列.（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）设，求数列的前项和 .19. 在中，角的对边分别为，且 . （ 1 ）求角的值；（ 2 ）若角，边上的中线，求的面积.20. 若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为 .（ 1 ）设，求的取值范围；（ 2 ）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程.21. 已知向量， .（ 1 ）若，求的值；（ 2 ）记在中角的对边分别为，且满足，求的取值范围.22. 已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有，函数，数列的首项， .（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）令，求证：是等比数列并通项公式.（ 3 ）令，，求数列的前项和 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019-2020学年江西省宜春市高一下学期期末质量监测数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】由题意结合平面向量数量积的运算可得 ，进而可得 、 ，代入投影表达式即可得解.
【详解】
因为 ， 为单位向量，所以 ，
又 ，所以
所以 ，即 ，
所以 ，则 ， ，
所以 在 上的投影为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.
2019-2020学年江西省宜春市高一下学期期末质量监测数学试题
一、单选题
1．在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】根据平面向量基本定理列出方程组，然后判断方程组是否有解即可.
【详解】
解：根据平面向量基本定理，
选项A， ，则 ，方程组无解，故选项A不能；
②当 时， .
由 ， ，
得 ， ，
即函数 的单调递减区间为 ， ，
当 ， 时，函数 单调递减区间分别为 ， ，
不符合题意，故舍去.
综上所述， .
故选：A.
【点睛】
本题考查根据根据正切型函数的性质求解析式，根据正切型函数的单调性和周期性求参数的值，属于中档题.
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
7．已知函数 在一个周期内的图象如图所示.则 的图象，可由函数 的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）
A．先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位
B．先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位
2019-2020学年江西省宜春市重点高中高二下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江西省宜春市重点高中高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．6D．82．若复数z1对应复平面内的点（2，3），且z1•z2＝1+i，则复数z2的虚部为（）A．B．C．D．3．“lna＞lnb”是“＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a8是方程x2﹣4x﹣3＝0的两根，则S9＝（）A．18B．8C．9D．365．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＜0C．D．lnx+lny＞06．执行如图的程序框图，最后输出结果为8．若判断框填入的条件是s≥a，则实数a的取值范围是（）A．（21，28]B．[21，28）C．（28，36]D．[28，36）7．下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A．0B．1C．2D．38．若函数f（x）＝e x cos x在点（0，f（0））处的切线与直线2x﹣ay+1＝0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．29．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设＝，＝，＝x+y，则+的最小值为（）A．6+2B．9C．9D．6+410．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2C．2+4D．2+411．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，，根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知函数f（x）＝2sinωx cos2（）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．[]C．（]D．（）二、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省宜春市高一下学期期末数学试卷
江西省宜春市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·广东月考) 设等差数列前项和为，若，，则（）A . 18B . 16C . 14D . 122. （2分） (2020高二上·合肥开学考) 已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（）A . 或B .C . 或D .3. （2分） (2019高二上·兰州期中) 已知△ 的两边长分别为2,3，这两边的夹角的余弦值为，则△ 的外接圆的直径为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一下·邢台期末) 设Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=2Sn﹣1+n﹣2（n≥2），则a2017等于（）A . 22016﹣1B . 22016+1C . 22017﹣1D . 22017+15. （2分） (2018高二上·湖南月考) 已知，则下列结论错误的是（）A .B .C .D .6. （2分）甲、乙两人在3次测评中的成绩由右边茎叶图表示(均为整数)，其中有一个数字无法看清，现用字母代替，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）.A .B .C .D .7. （2分）等比数列{an}的各项均为正数，且a2a9=9，数列{bn}满足bn=log3an ，则数列{bn}前10项和为（）A . 10B . 12C . 8D . 2+log358. （2分）(2019高二上·分宜月考) 设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（）A .B .C .D . 49. （2分）(2017·厦门模拟) 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A . 4.5B . 6C . 7.5D . 910. （2分） (2016高一上·新疆期中) 已知f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为（）A . 6B . 22C . ﹣3D . 1311. （2分） (2019高二上·榆林期中) 已知关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集是（2，3），则a+b的值是（）A . -11B . 11C . -1D . 112. （2分）(2020·海南模拟) 圆周率是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现可以用一列有规律的数相加得到： .若将上式看作数列的各项求和，则的通项公式可以是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2020高一下·永年期中) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最大角的大小是________.14. （1分）(2020·茂名模拟) 已知实数，满足，则的最小值为________.15. （1分） (2019高二上·钦州期末) 某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表：广告费用（万元）2356销售利润（万元）57911由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为________．其中：， .16. （2分） (2019高二上·苏州期中) 已知，为正实数，定义 .对于正实数，，若，则 ________；当取最小值时， ________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2015高三下·武邑期中) 根据题意解答（1）若f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若g（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）且∃x∈R使得f（x）≤4成立，求a的取值范围．18. （10分） (2017高二上·阳朔月考) 已知等比数列中，，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .19. （10分） (2020高二下·化州月考) 自2017年2月底,90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章,某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象,对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表:准备参加不准备参加待定男生30615女生15925（1）在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流,则在“准备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?（2）在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,从这6人中任意抽取2人,求至少有一名女生的概率.20. （10分） (2019高三上·抚州月考) 的内角、、所对的边长分别为、、，已知 .（1）求的值；（2）若，点在线段上，，，求的面积.21. （10分） (2019高一下·佛山月考) 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段，某公路段的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为： .（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围？22. （15分）(2020·泰兴模拟) 在等比数列中，已知设数列的前n项和为，且（1）求数列通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。