高二数学(人教版)选修44教案：第7节 常用曲线的极坐标方程
人教版数学选修4-4课件1.3 简单曲线的极坐标方程
理得 sin
O∠MO AM＝sin
∠1 OMA，
即 sin
ρ
34π＝sin
1π4－θ，化简得 ρ(cos θ－sin
θ)＝1，
经检验，点 A(1,0)也适合上述方程．则直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
方法二 先求过点 A 且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为 y－0＝tan π4(x－1)，
【例题 2】 求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． 思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系 式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．
解析：方法一 由题意，设 M(ρ，θ)为直线上任意一点，则△OAM 中，由正弦定
的任意一点． • (2)由曲线上的点所合适的条件，列出曲线上
任意一点的极径ρ与极角θ之间的关系式． • (3)将(2)所得方程进行整理与化简，得出曲线
• 【例题4】 (202X·河南郑州高二检测)从极点 O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M， 在OM上任取一点P，使OM·OP＝12.
• (1)求点P的轨迹方程；
• (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； • (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线
C上． • 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对
应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程 的曲线．
•要点二 曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上 的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标满足方程f(ρ，θ)＝0的 点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲 线C的____极__坐_标__方_程______．
高中数学极坐标方程教案
高中数学极坐标方程教案
教学内容：极坐标方程
一、教学目标：
1. 理解极坐标的概念，掌握极坐标系的基本概念和用法；
2. 掌握极坐标系下的点、曲线、面积等的表示方法；
3. 能够根据题目要求，求解相关的极坐标方程。
二、教学重点和难点：
1. 极坐标系的基本概念和用法；
2. 极坐标方程的求解方法。
三、教学内容及步骤：
1. 极坐标系的概念和表示方法（5分钟）：
- 介绍极坐标系的定义和基本概念；
- 讲解极坐标系下点的表示方法；
- 演示极坐标系下点的坐标计算方法。
2. 极坐标方程的表示和求解（15分钟）：
- 解释极坐标方程的含义和表示方法；
- 示范如何根据题目要求，列出相应的极坐标方程；
- 练习相关题目，让学生熟练掌握求解极坐标方程的方法。
3. 极坐标方程的应用（10分钟）：
- 讲解极坐标方程在求解曲线、面积等问题中的应用；
- 练习相关题目，让学生掌握如何应用极坐标方程解决实际问题。
四、课堂练习及作业布置（10分钟）：
- 布置相关的课堂练习题，并进行答疑；
- 完成相关作业，并提醒及时复习和巩固知识点。
五、教学反思：
本节课主要围绕极坐标系及极坐标方程展开教学，通过理论讲解和实例演练，使学生掌握极坐标系的基本概念和应用方法。
在课堂练习及作业布置方面，应该注意引导学生运用所学知识解决实际问题，巩固和深化对极坐标方程的理解和应用能力。
新人教选修4-4教案极坐标系--简单曲线的极坐标方程
三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
1． 直线与圆的极坐标方程① 过极点，与极轴成α角的直线极坐标议程为αθραθtan tan )(=∈=或R②以极点为圆心半径等于r 的圆的极坐标方程为 r =ρ【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4,2(πA 平行于极轴的直线。
（2）过点)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线。
解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4,2(πA ，所以|MH|=224sin=⋅π在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4,2(πA 平行于极轴的直线为2sin =θρ。
（2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。
)3,3(πA ， OA =3，3π=∠AOBx由已知43π=∠MBx ，所以125343πππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=-=∠OAM 又θπθ-=-∠=∠43MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 127sin)43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin+=+=πππ 将)43sin(θπ-展开化简可得23233)cos (sin +=+θθρ 所以过)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。
将它用坐标表示。
再通过代数变换进行化简。
例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。
（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。
解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。
圆C 交极轴于另一点A 。
由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。
2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。
二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。
2. 极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 圆的极坐标方程。
4. 直线的极坐标方程。
5. 椭圆的极坐标方程。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。
2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。
4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。
六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 极坐标系的图示或模型。
3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。
4. 练习题。
七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程。
以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。
将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。
利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。
3. 讲解直线的极坐标方程。
以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 1.3 曲线的极坐标方程》07
直线的极坐标方程
学习目标：掌握直线的极坐标方程
重点：直线的极坐标方程
难点：直线的极坐标方程的应用
一．了解感知：
复习回顾：M 为平面内任一点，
二：探究学习
探究1：如图，直线经过极点，从极轴到直线的角是α，求直线的极坐标方
程。
探究2：过点a,0,且与极轴垂直的直线
探究3：过点
(a )2 ，， 且与极轴平行
三：迁移应用
例1 把下列直角坐标方程化为极坐标方程： 点M
直角坐标, 极坐标ρ,θ 互化公式
（1）=4 22=0
例2 把下列极坐标方程化为直角坐标方程：
1ρinθ=2 2 ρ2coθ5inθ-4=0
例3：求下列直线的极坐标方程：
（1）极轴所在直线；
（2）过极点,倾斜角为；
（3）过点1,0,倾斜角为
四：当堂达标
1 直线上的点的极坐标ρ,θ满足ρ∈R,inθcoθ=0,则直线的倾斜角为A
B C3?
"4D2? "3
2在极坐标系中,过点,N分别为曲线C与轴,轴的交点1写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标
2设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程
9在极坐标系中,已知点P为圆ρ22ρinθ-7=θρinθ-7=0的距离的最小值与最大值。
曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，点的位置由半径和角度来确定，而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。
在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。
二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示关于θ的函数。
这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。
2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=a其中a为圆的半径。
这种极坐标方程非常简单，它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。
3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为：r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离，α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。
4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离，e表示椭圆的离心率，α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。
三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。
例如，当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时，对应的曲线也具有相应的对称性。
另外，极坐标方程中的极角θ满足周期性，即一个周期内的曲线形状是相同的。
2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
通过一定的公式，我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标，或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。
四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线，它的极坐标方程为：r=aθ其中a为常数。
螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。
螺线是许多自然界中的现象的数学描述，例如螺旋形的贝壳、旋涡等。
选修4-4曲线极坐标方程-教案
简单曲线的极坐标方程【教学目标】1.掌握极坐标方程的意义2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美【重难点分析】;教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解【教学方法】引导发现、讲授【教学过程】1.导入问题设置1、直角坐标系中怎样描述点的位置#2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求曲线方程2、极坐标方程的概念引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件:[解] 设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有，OM=OAcosθ，所以，ρ＝2acosθ.[思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程),(=θρf,并且坐标适合0),(=θρf的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。
[注] 1.定义中的所涉及到的两个方面.2.极坐标系下求曲线方程的步骤：Step1找到曲线上点满足的几何条件；Step2 几何条件坐标化；$Step3 化简.例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单[分析]建系；设点M（ρ，θ）；列式OM＝r，即：ρ＝r.)[思考] 和直角坐标方程222ryx=+相比较，此方程有哪些优点[变式练习] 求下列圆的极坐标方程(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；(２)中心在(a,/2)，半径为a；答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0822=-+yyx为极坐标方程，&（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-=为直角坐标方程。
高二数学 4-4第一章坐标系全部教案
表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。
变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3， ）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角 的取值范围是[0,2 )时,平面上的 点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极 径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以去任意的正角 或负角，当 ＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的 面积。（O 为极点）
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第7节：常用曲线的极坐标方程（2）
教学目的：
知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程
能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程
教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式
教学难点：方程中字母的几何意义
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？
情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？
学生回顾：
1．求曲线方程的方程的步骤
2．两种坐标互化前提和公式
3．圆锥曲线统一定义
二、讲解新课：
1、圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系
②设点
③列出等式
④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：⑴为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。
⑵e表示离心率，P表示焦点到准线距离。
2、例题讲解
例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。
若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运
行的椭圆轨道的极坐标方程。
例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。
变式训练
设P 、Q 是双曲线)0(122
22b a b
y a x <<=-上的两点，若OQ OP ⊥。
求证：2
2||1||1OQ OP +为定值；
三、巩固与练习
已知抛物线x y 42=的焦点为F 。
（1）以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
（2）过取F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角。
四、小 结：
本节课学习了以下内容：圆锥曲线极坐标方程的统一形式。
五、课后作业：。