初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.3.1 相似三角形D卷
【专题突破训练】华东师大版九年级数学上册《第23章图形的相似》单元检测试卷附参考答案
段，你认为这个旋转中心的坐标是________．
20.如图，三角板 ABC 的两直角边 AC，BC 的长分别是 40cm 和 30cm，点 G 在斜边 AB 上，且 BG=30cm，将这 个三角板以 G 为中心按逆时针旋转 90°，至△A′B′C′的位置，那么旋转后两个三角板重叠部分（四边形 EFGD）
A. AB
CD
B. AB
CD
C. AB
AD
D. AC
BD
A. ൌ
B.
C. ൌ
D. ൌ
二、填空题（共 10 题；共 30 分）
11.如图， 已知 示长是 是线段 t 、宽是 t 的矩形的面积，则 t 的黄金分割点， 且 ________ t .若 表示以 为一边的正方形的面积， 表 .(填“>”“＝”或“<”)
2.如图，若 D、E 分别为△ABC 中 AB、AC 边上的点，且∠AED=∠B
（
）
A.
B.
C. t h ，已知 t
D. 4 ൌ t ，则 △ t h 与 △ th
3.如图，以点 O 为位似中心，将 △ th 缩小后得到 △ 的面积的比为( )
A.1：3 体 AB 长的（
B.1：4 ）
C.1：5
D.1：9
24.如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF⊥AE 于 F，试说明：△ABF∽△EAD．
25.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD，交 DC 的延长线于点 E，AB=3，EF=0.8，AF=2.4．求 AD
的长．
26.如图是一个常见铁夹的侧面示意图， OA ， OB 表示铁夹的两个面， C 是轴， CD DA 的距离． mm ， DO mm ， DC
华东师大版九年级数学上册第23章 (23.1～23.3.1) 同步练习题(含答案,教师版)
华东师大版九年级数学上册第23章 (23.1～23.3.1) 同步练习题(时间：100分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分) 1．观察下列每组图形，相似图形是(D)2．下列各组中的四条线段不是成比例线段的是(C) A ．a ＝1，b ＝1，c ＝1，d ＝1 B ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝8 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝153．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3，则下列结论正确的是(A) A ．AB 是A ′B ′的3倍 B ．A ′B ′是AB 的3倍 C ．∠A 是∠A ′的3倍D ．∠A ′是∠A 的3倍4．若x －y 13＝y 7，则x ＋y y ＝(C)A.137B.207C.277D ．无法确定5．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，AO ∶DO ＝1∶2，那么下列式子正确的是(B) A ．BO ∶BC ＝1∶2 B ．CD ∶AB ＝2∶1 C ．CO ∶BC ＝1∶2D ．AD ∶DO ＝3∶16．如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的三等分点，AE ＝23AD ，连结BE 交AC 于点F ，AC ＝12，则AF为(B) A ．4B ．4.8C ．5.2D ．67．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步：分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于M ，N 两点；第二步：连结MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ； 第三步：连结DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是(D) A ．2B ．4C ．6D ．88．【动手操作】宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(D)A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH二、填空题(每小题4分，共20分)9．在比例尺为1∶8 000的地图上，两地的距离为25 cm ，它的实际距离约为2_000m. 10．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，d ＝4 cm ，那么a ＝3cm. 11．一个五边形的各边长分别是2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边是8，则该五边形的周长是803．12．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，DE ∶EB ＝2∶3，EF ＝6，那么BC 的长为10．13．如图，菱形ABCD 的周长为12，∠DAB ＝60°，对角线AC 上有两点E 和F(点E 在点F的左侧)，且要使四边形DEBF 与菱形ABCD 相似，则AE三、解答题(共48分)14．(8分)已知P 为线段AB 上一点，且AB 被点P 分为AP ∶PB ＝3∶5.如果AB ＝160 cm ，试求PB 的长．解：设AP ＝3x ，则PB ＝5x ，AB ＝8x ，其中x ≠0， ∴AB PB ＝85. 当AB ＝160 cm 时，160PB ＝85，∴PB ＝100 cm.15．(8分)若x 3＝y 4＝z5，x ＋y ＋z ＝36，求x ，y ，z 的值．解：设x 3＝y 4＝z5＝k(k ≠0)，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k. ∵x ＋y ＋z ＝36， ∴3k ＋4k ＋5k ＝36. 解得k ＝3.∴x ＝9，y ＝12，z ＝15.16．(10分)如图，已知AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，∠B ＝30°，∠D ＝115°，△ABC ∽△DAC. (1)求CD 的长； (2)求∠BAD 的大小．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC CD ＝BC AC ，即5CD ＝105. ∴CD ＝2.5 cm. (2)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠BAC ＝∠D ＝115°，∠CAD ＝∠B ＝30°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝115°＋30°＝145°.17．(10分)如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连结AE 并延长交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ，DF FC ＝32.(1)若BD ＝20，求BG 的长； (2)求CMCD的值．解：(1)∵GF ∥BC ， ∴DF FC ＝DG BG ＝32. ∵BD ＝20， ∴32＝20－BG BG . ∴BG ＝8.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴DM AB ＝DG BG ＝32. ∴DM CD ＝32.∴CM CD ＝12.18．(12分)如图，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点．若△PAD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长．解：∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠PAD ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC.设AP 的长为x ，则BP 的长为8－x.如果AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况： ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x)＝3∶4， 解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x)， 解得x ＝2或x ＝6. ∴AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.。
华师大版数学九年级上册第23章2331相似三角形课时作业.doc
华师大版数学九年级上掰 23章第3 23. 3. 1相似三角形课睢业两边的和是（4. 在宋BC 中，AB=12, BC=18, CA=24,另一个和它相似的 ①EF 最长的一边是 36,则4DEF最短的一边是（A. 72B. 18 C ・ 12 D ・ 2015. 平面直角坐标中，已知点 0（0, 0） , A （0, 2） , B （1, 0）,点P 是反比例函数 y=- 一2. 一个三角形三边的长删AB3, 5, 7, 另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它A. 19B. 17 C ・ 24D. 213. 女口图，^ADE-AA BC,若 AD=1, BD=2,则 來DE 与 來BC 的相似比是（D. 3： 2AB ,來BC 的周长为15cm,则來B 的0妫（x图象上的一个动点，过点P 作PQ 丄x 轴，垂足为Q.若以点0、P 、Q 为顶点的三角形与 9AB 相似，则相应的点 P 共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. △ABC-A ABC ；且z A=68°,贝贬 X(=)A. 22。
B ・ 44。
C ・ 68° D ・ 80°7•如图，若 ABC, 以下4个等式错误的是（A.AC = ABCD BCB.CD C ・CD2=AD?DBD ・ AC 2=AD?ABAD AC28. A ABC和££卩相似，且相似比为一，那么'已们的周长比是（32349A.-B.—C.—D. —32949•点D、E分别在宋BC的祖B、AC上，AD=2, DB=8, AC=5・若SDE与^ABC相似,则AE的长为（）A. 1.25B. 1 C・ 4 D・ 1 或4D、E三点组成的三角形与△ ABC相似，贝I] AE的长为（）A. 16 B・ 14 C・ 16 或14 D・ 16 或9"・如图，RtSBORtQEF, N A二35。
华师大版初中数学九年级上册《23.3 相似三角形》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《23.3 相似三角形》同步练习卷一．填空题（共10小题）1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为．2．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，则=．3．若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=．4．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B 点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．6．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是，△A′B′C′的周长是．7．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标．8．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有．9．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=．二．解答题（共30小题）11．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q 每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？13．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F．求+的值．14．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y=（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E 是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD 上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．16．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．19．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG 在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．22．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．24．如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．25．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的长是宽的2倍，求矩形的长和宽．26．有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm（1）写出y与x的函数关系式．（2）当x取多少时，EFGH是正方形？27．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．28．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．30．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．31．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF 并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF=BG；（2）若AB=4，求DC的长．32．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF•DA．33．如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：△CDF∽△BFE；（2）若EF∥CD，求证：2CF2=AC•CD．34．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．35．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=12cm，AB=6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么：（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？36．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF请在三角形②～⑥中，找出与①相似的三角形的序号是（把你认为正确的一个三角形的序号填上）并证明你的结论．37．如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？38．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．（1）写出图中所有与△ABD相似的三角形；（2）探索：设，是否存在这样的t值，使得△ADF∽△EDB？说明理由．39．如图所示，D在△ABC的AB边上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2=AF•AB．求证：△AEF∽△ACD．40．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D．已知AC=6，AD=2，求AB？华师大新版九年级上学期《23.3 相似三角形》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为3：2．【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故答案为：3：2【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．2．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，则=．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．=4，S△DEF=9，【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC∴．故答案为【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．3．若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=15．【分析】根据△ADE∽△ACB，得到=，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∴=，又=，DE=10，∴BC=15．故答案为：15．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键．4．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x．【分析】设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．【解答】解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，∴=，∴=2k2，∴a4=4k2，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B 点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12，∴t=3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．6．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是2：5，△A′B′C′的周长是37.5．【分析】根据相似三角形的性质及已知求得相似比，再根据周长比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周长．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′∴相似比是6：15=2：5∵△ABC的周长是15∴△A′B′C′的周长是37.5．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．7．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标（，）．【分析】如图作C1H⊥x轴于H．由△C1OB∽△C1A1O，推出==，由tan∠C1A1H===，设C1H=m，则A1H=2m，OH=2m﹣4，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作C1H⊥x轴于H．∵△C1OB∽△C1A1O，∴==，∵tan∠C1A1H===，设C1H=m，则A1H=2m，OH=2m﹣4，∴A1C1=m，OC1=，∴m=2，解得m=或（舍弃），∴C1（，）．【点评】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形的旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有（3）（4）．【分析】首先延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，易得四边形BPCM是平行四边形，然后由平行线分线段成比例定理，证得AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，继而证得EF∥BC；然后由相似三角形的性质，证得结论．【解答】解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，∵AD是中线，∴BD=CD，∴四边形BPCM是平行四边形，∴BP∥MC，CP∥BM，即PE∥MC，PF∥BM，∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，∴AF：AB=AE：AC，∴EF∥BC；∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，∴FQ：BD=EQ：CD，∴FQ=EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；∵△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；∵△PFQ∽△PCD，∴FQ：CD=PQ：PD，∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；∵EF∥BC，∴S△FPQ ：S△DCP=（）2，S△PEF：S△PBC=（）2，∴S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．故（4）正确．故答案为：（3）（4）．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是8．【分析】首先连接DF，由四边形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分别是AB，BC的中点，可得===2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根据相似三角形的性质与勾股定理，可求得AN，MN的长，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面积关系，求得△DMN的面积．【解答】解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴△BFN∽△DAN，∴==，∵F是BC的中点，∴BF=BC=AD=，∴AN=2NF，∴AN=AF，在Rt△ABF中，AF==5，∴cos∠BAF===，∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，∴AE=BF=，∵∠DAE=∠ABF=90°，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠AED=∠AFB，∴∠AME=180°﹣∠BAF﹣∠AED=180°﹣∠BAF﹣∠AFB=90°．∴AM=AE•cos∠BAF=×=2，∴MN=AN﹣AM=AF﹣AM=×5﹣2=，∴．=AD•CD=×2×2=30，又∵S△AFD∴S=S△AFD=×30=8．△MND故答案为：8．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握三角形面积的求解方法，注意辅助线的作法．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=6．【分析】根据射影定理得到等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴CD2=BD•AD=36，∴CD=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．二．解答题（共30小题）11．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q 每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△CDA或△QBP∽△CDA，从而解得所需的时间．【解答】解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90°，当=时，即=，解得x=5；②设经x秒后，△QBP∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90°，当=时，即=，解得x=2．故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似．【点评】此题考查了相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用，注意分情况讨论求解．13．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F．求+的值．【分析】先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AB交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．【解答】解：作EG∥BC交AD于G，则有=，即=，得EG=BD=CD，∴==作DH∥AB交CE于H，则DH=BE=AE，∴==1，∴+=+1=．【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．14．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y=（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E 是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．【分析】（1）先求出点E的坐标，求出双曲线的解析式，再求出CD=1，即可得出点D的坐标；（2）分两种情况：①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，，求出CF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；②当BD与CF是对应边时，=，求出CF、OF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA=BC，AB=OC，∵B（2，3），E为AB的中点，∴AB=OC=3，OA=BC=2，AE=BE=AB=，∴E（2，），∴k=2×=3，∴双曲线解析式为：y=；∵点D在双曲线y=（x＞0）上，∴OC•CD=3，∴CD=1，∴点D的坐标为：（1，3）；（2）∵BC=2，CD=1，∴BD=1，分两种情况：①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，，即=，∴CF=3，∴F（0，0），即F与O重合，设直线BF的解析式为：y=kx，把点B（2，3）代入得：k=，∴直线BF的解析式为：y=x；②△FBC和△DEB相似，当BD与CF是对应边时，=，即=，∴CF=，∴OF=3﹣=，∴F（0，），设直线BF的解析式为：y=ax+c，把B（2，3），F（0，）代入得：，解得：a=，c=，∴直线BF的解析式为：y=x+；综上所述：若△FBC和△DEB相似，BF的解析式为：y=x，或y=x+；【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的性质、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用相似三角形的性质求出点的坐标才能得出结果．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD 上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）过点A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中运用三角函数即可求得AF 的长，再在直角△ACF中，根据勾股定理即可求解；（2）过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，应分为，AE=AB，BE=AB，AB=AE（根据∠BAE 是直角，可得这种情况不可能）几种情况讨论．【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神16．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解答】解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）【点评】此题考查了平行线的性质与判定．此题难度适中，解此题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．【分析】（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出结论．（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF．【解答】（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DAC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：方法一：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•PA∴4•（4+2）=OB•3OB∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，在Rt△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB，∴∠FDA=∠CBA，又∵∠AFD=∠ACB=90°，∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在Rt△APF中有，，求得DF=．方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，易证△PCO∽△PDA，可得=，△PGO∽△PFA，可得=，可得，=，由方法一中PC=4代入，即可得出DF=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG 在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．22．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【分析】（1）根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．【解答】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x=48．答：正方形零件的边长为48mm．（3）设EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC∴，∴=∴y=80﹣x∴矩形面积S=xy=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】方法一：解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，∴即解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米．方法二：解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF=xm，则MN∥AB，AB=MN=1.25m，MF=AC，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴∠EMA=∠MDF=45°∴DF=MF=AC=xm，DC=DF+AM=x+1.75m，∵MF∥AC∴==，即=，解得：x=4.375m，∴DC=4.375+1.75=6.125m≈6.1m，∴路灯高CD约为6.1米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．24．如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴=，∴=，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故树高DC为5.28米．【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．25．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的长是宽的2倍，求矩形的长和宽．【分析】根据矩形性质得PN∥BC，PQ=DE，则可证明△APN∽△ABC，根据相似。
华东师大版九年级数学上册 第23章 图形的相似 单元检测试卷及解析
华东师大版九年级数学上册 第23章 图形的相似 单元检测试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（-2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（ ）A. （3，6）B. （1，3）C. （1，6）D. （3，3）2.已知△ABC 平移后得到△A 1B 1C 1，且A 1（﹣2，3），B 1（﹣4，﹣1），C 1（m ，n ），C （m+5，n+3），则A ，B 两点的坐标为（ ）A. （3，6），（1，2）B. （-7，0），（-9，-4）C. （1，8），（-1，4）D. （-7，-2），（0，-9）3.点P （x ，y ），且xy ＜0，则点P 在（ ）A. 第一象限或第二象限B. 第一象限或第三象限C. 第一象限或第四象限D. 第二象限或第四象限4.把点A （2，5）向下平移3个单位长度后，再向右平移2个单位长度，它的坐标是（ ）A. （﹣1，5）B. （2，2）C. （4，2）D. （﹣1，7）5.点M （3，-2）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.一次函数24y x =+交y 轴于点A ，则点A 的坐标为 （ ）A. （0，4）B. （4，0）C. （-2，0）D. （0，-2）7.点P 位于x 轴下方，距离x 轴5个单位，位于y 轴右方，距离y 轴3个单位，那么P 点的坐标是（ ）A ．（5，－3）B ．（3，－5）C ．（－5，3）D ．（－3，5） 8.下列说法正确的是（ ）A. 相似两个五边形一定是位似图形B. 两个大小不同的正三角形一定是位似图形C. 两个位似图形一定是相似图形D. 所有的正方形都是位似图形9.下列说法中，不正确的是（ ）A. 直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似B. 底角为40°的两个等腰三角形相似C. 一个锐角为30°的两个直角三角形相似D. 有个角为30°的两个等腰三角形相似10.已知点A 的坐标为(a ，b)，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得OA 1，则点A 1的坐标为（ ）A (−a ，b)A. (a ，−b) B. (−b ，a) C. (b ，−a)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题（题型注释）1的正方形，△ABC 与△A′B′C′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O ，并直接写出△ABC 与△A′B′C′的位似比．12.如图，是一块三角形土地，它的底边BC 长为100米，高AH 为80米，某单位要沿着底边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，D 、G 分别在边AB 、AC 上，若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积。
九年级数学上第23章图形的相似单元测试题(华师大版有答案)
九年级数学上第23章图形的相似单元测试题（华师大版有答案）图形的相似试题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1.已知四条线段是成比例线段，即＝，下列说法错误的是（） A． B．＝ C．＝ D．＝ 2.在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则这两地的实际距离（） A． B. C.D. 3.若，且，则的值是（） A.14 B. 42 C.7 D. 4.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及，那么的值（） A.只有 1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个 5.如图，在△ 中，点分别是的中点，则下列结论：① ；②△ ∽△ ；③ 其中正确的有（） A. 3个 B.2个 C.1个 D.0个6.如图， // ， // ，分别交于点，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C. 6对D.7对 7.已知△ 如图所示，则下列4个三角形中，与△ 相似的是（）8.如图，在△ 中，∠ 的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（） A. B. C. D. 9如图，是△ 的边上任一点，已知∠ ∠ .若△ 的面积为，则△ 的面积为（） A. B. C. D. 10．如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共18分） 11.已知，且，则 _______.12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________． 13.如图，在△ 中，∥ ，，则 ______． 14.若，则=__________； 15如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，，那么窗户的高为________.16.五边形∽五边形，∠ 三、解答题（共78分） 19.（9分）已知：如图，是上一点，∥ ，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由20.（9分）梯形中，∥ ，点在上，连结并延长与的延长线交于点．（1）求证：△ ∽△ ；（2）当点是的中点时，过点作∥ 交于点，若，求的长．21.（8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′（在位似中心的同侧）和△ABC位似，且位似比为1 2；（2）连结（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.22.（9分）已知：如图，在△ 中，∥ ，点在边上，与相交于点，且∠ ．求证：（1）△ ∽△ ；（2）23．（9分）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．24.（11分）已知：如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．（１）求证：四边形是菱形. （２）若，△ 的面积为，求△ 的周长. （３）在线段上是否存在一点，使得？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．25.（9分）如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接 . （1）求证：；（2）若，求证：四边形为正方形.26.（8分)如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．第24章图形的相似检测题参考答案 1.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项都为相似图形，D项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形. 2.C 解析：由比例的基本性质知A、B、D项都正确，C项不正确. 3.D 解析： 4.D 解析：设，则所以所以 . 5.A 解析：因为点分别是的中点，所以是△ 的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确. 6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .7.C 解析：由对照四个选项知，C项中的三角形与△ 相似. 8. B 解析：在△ 中，∠ 由勾股定理得因为所以 .又因为所以△ ∽△ 所以，所以所以 9.D 解析：A项的点在第一象限；B项的点在第二象限；C项的点在第三象限；D项的点在第四象限.笑脸在第四象限，所以选D. 10.B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B正确. 11.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的三角形的两直角边长为3,4时，的值为5；当一个直角三角形的一直角边长为6，斜边长为8，另一直角边长为，且另一个与它相似的三角形的一直角边长为3,斜边长为4时，的值为 .故的值可以为5或 . 12.C 解析：因为所以所以即所以所以 . 13.4 解析：因为，所以设，所以所以 14.90，270 解析：设另一个三角形的其他两边为由题意得，所以又因为所以三角形是直角三角形，所以周长为 15.9 解析：在△ 中，因为∥ ，所以∠ ∠ ∠ ∠ ，所以△ ∽△ ，所以，所以，所以 16. 解析：由，得，，，所以 17. 解析：∵ ∥ ，∴ △ ∽△ ，∴ ，即，且，，，∴ 18. 解析：因为五边形∽五边形所以又因为五边形的内角和为所以 . 19.解： . 理由：∵ ∥ ∴ ∠ ∠ .又∴ . 又∵ ∴ △ ∽△ ，∴ 即 . 2 0.（1）证明：∵ 在梯形中，∥ ，∴ ∴ △ ∽△ ．（2）解：由（1）知，△ ∽△ ，又是的中点，∴ ∴ △ ≌△ ∴ 又∵ ∥ ∥ ，∴ ∥ ，得．∴ ∴ ． 21.解：（1）如图. （2）四边形的周长=4+6 .22.证明：（1）∵ ，∴ ∠ ．∵ ∥ ，∴ ，．∴ ．∵ ，∴ △ ∽△ ．（2）由△ ∽△ ，得，∴ ．由△ ∽△ ，得．∵∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．∴ ．∴ ．∴ ． 23.（1）证明：在正方形中，， . ∵ ∴ ，∴ ，∴ . （2）解：∵ ∴ ，∴ ，，∴ . 由∥ ，得，∴ △ ∽△ ，∴ ，∴ . 24.（１）证明：由题意可知∵ ∥ ∴ ∠ ∠ ，∠ ＝∠ ∴ △ ≌△ ∵ ，又∥ ∴ 四边形是平行四边形. ∵ ，∴ 四边形是菱形. （2）解：∵ 四边形是菱形，∴ . 设，∵ △ 的面积为24，，∴ ∴ △ 的周长为 . （３）解：存在，过点作的垂线，交于点，点就是符合条件的点. 证明如下：∵ ∠ ∠ 90°，∠ ∠ ∴ △ ∽△ ，∴ ，∴ . ∵ 四边形是菱形，∴ ∴ ∴ 25.证明：（1）∵ ，∴ . 在与中，∵ ，∴ ，∴ . 又，∴ ，∴ ，∴ . （2）∵ ，∴ ，又，∴ ，∴ . 又，∴ 四边形是矩形. 又，∴ 四边形是正方形. 26.解：∵ 四边形为平行四边形，∴ ∠ ∠ ，∠∠ ，∴ △ ∽△ ，∴ ，即，∴ ，∴ ．。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质练习华东师大版(20
2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.3 相似三角形的性质同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.3 相似三角形的性质同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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23。
3。
3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.错误!∶错误!2．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ）A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2,BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝________,则错误!＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB,AC上的点，且DE∥BC。
若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________.图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5,它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B.错误!∶错误! C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39,D，E分别为△ABC的边AB,AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( ）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911。
华东师大版 初三数学23章 相似三角形典型例题(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
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初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.1 相似三角形D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）下列命题中，正确的是（）
A . 所有的矩形都相似；
B . 所有的直角三角形都相似；
C . 有一个角是100°的所有等腰三角形都相似；
D . 有一个角是50°的所有等腰三角形都相似．
2. （2分）下面两个图形一定相似的是（）
A . 两个等腰三角形
B . 矩形
C . 菱形
D . 正方形
3. （2分）如图，视力表对我们来说并不陌生．右图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）
A . 平移变换
B . 旋转变换
C . 对称变换
D . 相似变换
4. （2分）下列3个矩形中，相似的是（）
①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cm
A . ①②和③
B . ①和②
C . ①和③
D . ②和③
二、填空题 (共2题；共2分)
5. （1分）仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有________(填序号)．
6. （1分）找找学校里、教室里、课桌上的相似图形，它们是________ ．
三、综合题 (共2题；共25分)
7. （15分）(2017·和县模拟) 如图，在△ABC中，点D在△ABC的内部且DB=DC，点E，F在△ABC的外部，FB=FA，EA=EC，∠FBA=∠DBC=∠ECA．
（1）
①填空：△ACE∽________∽________；
（2）
求证：△CDE∽△CBA；
（3）
求证：△FBD≌△EDC；
（4）
若点D在∠BAC的平分线上，判断四边形AFDE的形状，并说明理由．
8. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．
（1）
求证：△DOB∽△ACB；
（2）
求证：△DOB∽△ACB；
（3）
若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（4）
若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（5）
当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．（6）
当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
参考答案
一、单选题 (共4题；共8分)
1、答案：略
2、答案：略
3、答案：略
4、答案：略
二、填空题 (共2题；共2分)
5、答案：略
6、答案：略
三、综合题 (共2题；共25分)
7、答案：略
8、答案：略。