1.1.1 正弦定理 课件(人教A版必修5) (4)

π π 由锐角△ABC 知， －B<A< ， 2 2 π π ∴ <A< .(8 分) 3 2
π 3 2π π 5π 1 ∵ <A＋ < ，∴ <sinA＋ < ， 3 2 3 3 6 2 π 3 3 3 3 ∴ < 3sinA＋ < ，即 <y< .(10 分) 3 2 2 2 2
解 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180° ，
所以 A＝180° －(B＋C)＝180° －(45° ＋105° )＝30° . a c 由正弦定理 ＝ ， sin A sin C ＋45° sin C sin 105° sin60° 得 c＝a· ＝5· ＝5· sin A sin 30° sin 30° sin 60° cos 45° ＋cos 60° sin 45° 5 ＝5· ＝ ( 6＋ 2)． sin 30° 2
误区警示 忽视等价转化而致误
【示例】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若(a2＋b2)· sin(A－B)＝(a2－b2)· sin(A＋B)，试判断三角形 的形状． [错解] 由已知得(a2＋b2)· (sin Acos B－cos Asin B)＝ (a2－b2)· (sin Acos B＋cos Asin B)， 化简得a2cos Asin B＝b2sin Acos B， 由正弦定理得sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 即sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B， 所以2A＝2B，即A＝B，故三角形是等腰三角形．
提示： 先由内角和定理求角 C＝180° －(A＋B)，再由正 asin B asin C 弦定理求边 b，c，其中 b＝ ，c＝ . sin A sin A
名师点睛
1． 正弦定理的常见变形 (1)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. (2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C. a (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝ ， 2R
asin B 8×sin 60° b a 由正弦定理 ＝ ，得 b＝ ＝ ＝4 6， sin B sin A sin A sin 45° 2＋ 6 8× 4 asin C 8×sin 75° a c 由 ＝ ，得 c＝ ＝ ＝ ＝ sin A sin C sin A sin 45° 2 2 4( 3＋1)．
b c sin B＝ ，sin C＝ (R 为△ABC 外接圆的半径)． 2R 2R a＋b＋c a b c (4) ＝ ＝ ＝ . sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C
2． 利用正弦定理解三角形常见的两种类型
(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，从而 求出其他的边和角． 如在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：
bsin C 3sin 30° c＝ ＝ ＝1. sin B sin 120° bsin A sin 60° 1 (2)根据正弦定理，sin B＝ ＝ ＝ . a 2 3 ∵b<a，∴B<A＝60° ，∴B＝30° . ∴C＝180° －(A＋B)＝180° －(60° ＋30° )＝90° . 1 b ∴c＝ ＝ ＝2. sin B 1 2 asin B 3sin 120° 3 (3)根据正弦定理，sin A＝ ＝ ＝ >1. b 1 2 因为 sin A≤1.所以 A 不存在，即无解．
∴cos A＋sin C
的取值范围是
3 3 ， .(12 分) 2 2
【题后反思】 在三角形中解决三角函数的取值范围或最 值问题的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某 些量． (2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三 角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题．
A为锐角 A为钝角或直角
图 形
A为锐角
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b
A为钝角或直角
a≥b a＞b
解的个 数
一解
两解
一解
一解
题型一
已知三角形的两角及一边解三角形
【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. [思路探索] 先求角A，再用正弦定理求b和c.
解 A＝180° －(B＋C)＝180° －(60° ＋75° )＝45° ，
【题后反思】 依据条件中的边角关系判断三角形的形状 时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分 解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关 系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出 三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结 论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因 式，应移项提取公因式，以免漏解．
a b ＝ ＝ c ＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)． sin A sin B sin C
：尝试用向量方法证明正弦定理．
提示：当△ABC 为锐角三角形时，如图 1，过 A 作单位向 → → → → 量 i 垂直于AC，又AC＋CB＝AB，两边同乘以单位向量 i， → → → i· (AC＋CB)＝ i· AB， → → → 则：i· AC＋i· CB＝i· AB， → → ∴ |i||AC|cos 90° ＋ |i||CB|cos(90° －C)＝ → |i||AB|cos(90° －A)， a c ∴asin C＝csin A，∴ ＝ . sin A sin C
c 若 C＝2B， 求 的取值范围． 【变式4】在△ABC 中， b 解 因为 A＋B＋C＝π，C＝2B，
π 1 所以 A＝π－3B>0，所以 0<B< ，所以 <cos B<1. 3 2 c sin C sin 2B 因为 ＝ ＝ ＝2cos B， b sin B sin B c 所以 1<2cos B<2，故 1< <2. b
2． 解三角形 三个角A，B，C 和它们的____________ 对边a，b，c ， (1)把三角形的_______________ 叫做三角形的元素． 其他元素 的过程叫做解三角 (2)已知三角形的几个元素求_________ 形．
：在△ABC中，已知角A，B和边a，利用正弦定 理，你能求角C和边b，c吗？
∵b>a，∴B>A＝30° ，∴B＝60° 或 120° . 当 B＝60° 时，C＝180° －(A＋B)＝180° －(30° ＋60° )＝90° ， 3 b ∴c＝ ＝ ＝2； sin B sin 60° 当 B＝120° 时， C＝180° －(A＋B)＝180° －(30° ＋120° )＝30° ，
【变式3】在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状． a b 解 在△ABC 中，由正弦定理得 ＝ ， sin A sin B
a2 sin2A a sin A ∴ ＝ ，∴ 2＝ 2 . b sin B b sin B
2 a tan A 2 2 又∵a tan B＝b tan A，∴ 2＝ ， b tan B
利用正弦定理解决“已知三角形的任意 两边与其中一边的对角求其他边与角”的问题时， 可能出现一解、两解或无解的情况，应结合“三角 形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍．
【变式2】 满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为 ( )． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个
2 3× 2 3 2 bsin A sin B＝ a ＝ ＝ <1. 4 8
2 ∵B 是锐角，∴sin B＝ ，∴B＝45° ，C＝45° . 2
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二 a b 在△ABC 中，根据正弦定理：sin A＝ ，sin B＝ ， 2R 2R
c sin C＝ . 2R
∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且A＝90°. ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C. ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C. ∴△ABC是等腰直角三角形．
已知三角形的两角和任一边解三角形， 基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另 一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个 角． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角 和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
【变式1】在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
解析
∵b<a，∴B有一解，故△ABC的个数为1个． 答案 B
题型三 利用正弦定理判断三角形的形状
【例3】在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋ sin2C，试判断△ABC的形状． [思路探索] 首先利用正弦定理将sin2A＝sin2B＋sin2C中的 角的关系转化为边的关系，再利用内角和A＋B＋C＝π及 三角函数的知识判断形状． a b c 解 法一 在△ABC 中，根据正弦定理： ＝ ＝ sin A sin B sin C
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
【课标要求】 1．了解正弦定理的推导过程． 2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形问题． 【核心扫描】 1．利用正弦定理进行边角转化解决三角形问题．(重点) 2．已知两边和其中一边的对角判断三角形解的情况．(难点)
自学导引
1． 正弦定理 正弦的比 相等，即： 在一个三角形中，各边和它所对角的_________