最新中考数学专题复习--与轴对称有关的最短路径问题及解析
中考专题复习——最短路径问题(有答案)
B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。
请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。
四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
最新中考数学专题复习--与轴对称有关的最短路径问题及解析
与轴对称有关的最短路径问题及解析问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？解析：将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线。
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C 。
则点C 即为所求。
BAlB• ·A l B·lA ·BC证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′。
由轴对称的性质知， BC =B ′C ，BC ′=B ′C ′． ∴ AC +BC = AC +B ′C = AB ′，AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′． 在△AB ′C ′中， AB ′＜AC ′+B ′C ′，∴ AC +BC ＜AC ′+BC ′． 即 AC +BC 最短． 若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A ，B两点的距离和都大于AC +BC ，就说明AC + BC 最小．问题2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径。
解析：考点：作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题专题：分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．解答： 解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ ；（2）作P 关于BC 的对称点P1，连接QP1，交BC 于M ，再连接MP ．最短路线P--Q--M--P ．点评：本题考查了作图--应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．问题3 如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在 B · lA ·BC C何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解析：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．问题4已知△ABC中，D、E是边AB、AC边上的点，在边BC上找一点M，使△DEM的周长最小。
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。
根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。
2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。
3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。
4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。
5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。
7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)
初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。
轴对称与最短路径问题
ND E
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
B
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了 方便灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到A、 B两地，问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短 ，试在图中确定该点。
作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D ，则点D为建抽水站的位置。
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为：
A·
MC
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
根据：两点之间线段最短.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线 最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上 求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
如图所示，从A地到B地有三条路可供选
择，你会选走哪条路最近？你的理由是
什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一 点P，使得PA+PB最小。
初中数学轴对称最短路径问题
在直线 l1 、 l2 上分别求 点 M 、N ，使四边形 PQMN 的周⻓长最小小。
分别作点 Q 、P 关于直线 l1 、l2 的 对称点 Q＇和 P＇ 连 Q＇P＇，与两直 线交点即为 M，N．
两点之间线段最短 四边形 PQMN 周⻓长的 最小小值为线段 Q＇P＇的 ⻓长。
【问题 5】“造桥选址” 作法
使 AM+MN+NB 的值最
小小．
【问题 9】
作法
作图
连 AB，作 AB 的 中垂线与直线 l 在直线 l 上求一一点 P，使 的交点即为 P．
的值最小小 .
【问题 10】
作法
作图
2
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值 为 A＇B+MN．
原理理
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值 为 A＇＇B+MN．
4．如图，在锐⻆角△ABC 中，AB＝4 ，∠ BAC＝45°，∠ BAC＝45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于 点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小小值是__________。
5．如图，Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边 上（不不与点 B、C 重合），且 ED＝AE，则线段 AE 的取值范围是__________。 6．如图，∠ AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分 别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小小值是_________．（注“勾股定理理”：直⻆角三⻆角 形中两直⻆角边的平方方和等于斜边的平方方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2） 7．如图，三⻆角形△ABC 中，∠ OAB＝∠ AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 ， 0)．OC 平分∠ AOB,点 M 在 OC 的延⻓长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最 小小值__________。 8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周⻓长最小小值 为__________。
初中数学_中考专题复习——最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思
中考专题复习教学目标知识与技能1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。
2.借助特殊四边形、一次函数、反比例函数以及二次函数的图像等这些基本图形，运用对称变换的方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。
3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、“桥梁”作用，感悟转化思想，一题多解，一题多变的思想。
过程与方法经历探索最短路径过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，培养学生的解题技能技巧。
情感态度与价值观体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会异侧直接连，同侧找对称点，提高学生的学习兴趣。
重点利用轴对称数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。
掌握解决问题的方法和技巧。
难点综合运用轴对称数学知识，将同侧的两定点通过轴对称变换转化到已侧，从而借助两点之间线段最短解决线段和（周长）最小值问题。
活动一：旧知回顾师生行为设计意图问题1 A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站C。
使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？问题2相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？师生集体宣誓师：提出问题。
生：讨论交流，板书作图过程师：提出问题导入课题。
师：请思考问题1和问题2的相同点是解决的那类问题？不同点是什么？解决问题的方法和技巧是什么？1、活跃课堂气氛，使学生在轻松愉快的环境中学习。
2、复习两点之间线段最短，从而引出课题3、渗透转化思想，了解解题方法和解题技巧。
4、建立数学模型：将军饮马问题5、探究解题方法：异侧直接连，同侧找对称点6、发现解题技巧活动二：典题赏析类型一：四边形中的最短路径问题培养学生善于思考、善于观察的良好习惯例1 生：一生读题一生解答师：配合学生完成审题过程师：提出新问题若本题其它条件不变。
2023年中考数学重难点复习：轴对称之最短路径(附答案解析)
第1页共7页2023年中考数学重难点复习：《轴对称之最短路径》破解策略
用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的题型有：
1．已知：在直线l 同恻有A．B 两点，在l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小．
作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P
2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小作法：如图，连结AB ，作线段AB 的垂甫平分线．与直线l 的交点就是点P
3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大
作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P
A B
l
B A
P
l
A '
A
B
l A B
l P
A B
l
l A B
P。
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与轴对称有关的最短路径问题及解析
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
解析：将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线。
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′； （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C 。
则点C 即为所求。
B
A
l
B • ·
A l
B ·
l
A ·
B C
证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′。
由轴对称的性质知， BC =B ′C ，BC ′=B ′C ′．
∴ AC +BC = AC +B ′C = AB ′，
AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′． 在△AB ′C ′中，
AB ′＜AC ′+B ′C ′，
∴ AC +BC ＜AC ′+BC ′． 即 AC +BC 最短．
若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A ，B 两点的距离 和都大于AC +BC ，就说明AC + BC 最小．
问题2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径。
解析：考点：作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题 专题：
分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．
B ·
l
A ·
B C
C
解答：解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．
最短路线P--Q--M--P．
点评：本题考查了作图--应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．
问题3 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
解析：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，
连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，
则MN∥BB′且MN=BB′，
于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
问题4已知△ABC中，D、E是边AB、AC边上的点，在边BC上找一点M，使△DEM的周长最小。
解答：如图作D点的对称点D′，连接D′E，角BC与P，
△PDE的周长最小．
问题5 如图，如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC的中点D处发出的球，能否依次经BC,AB两边反射后回到D处？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球的运动路线。
解析：能，如上图。
E，F分别为AB，BC中点
证明：因为等边△ABC，D，E，F为三边中点
所以，△DEF也是等边△（中位线）。
又因为CE⊥AB，DF∥AB，
所以，CE⊥DF
所以EC平分∠DEF（三线合一）
所以，球沿DE方向入射至AB，出射方向一定是EF，即图中的两个α角。
同理可证沿着EF方向入射至BC，出射方向一定是FD，所以最终回到了D点。
问题6 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
问题7 已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．
解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．
(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略．
问题8 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.。