轴对称——最短路径问题
《最短路径问题》轴对称
轴对称与最短路径问题
轴对称是指图形关于某一直线或平面对称的现 象。
在最短路径问题中，如果图是轴对称的，那么 两个顶点之间的最短路径必然是对称的。
例如，在有向图和无向图中，如果两个顶点之 间的所有边都具有相同的权重，那么这两个顶 点之间的最短路径就是对称的。
最短路径问题的数学模型
01
最短路径问题的数学模型通常包括一个有向图G=(V,E)和两个顶点s和t，表示要 找到从s到t的最短路径。
02
最短路径问题与轴对称
最短路径问题简介
1
最短路径问题是一种经典的图论问题，旨在寻找 图中两个顶点之间的最短路径。
2
最短路径问题在交通网络设计、通信网络优化、 生产计划制定等领域都有广泛应用。
3
最短路径问题通常可以使用动态规划、Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法等算法进行求解。
《最短路径问题》轴对称
2023-11-09
目 录
• 轴对称简介 • 最短路径问题与轴对称 • 轴对称算法实现 • 实验结果与分析 • 总结与展望
01
轴对称简介
轴对称定义
轴对称是指一个物体关于某一直线（称为对称轴）对称，也就是说，物体在这条 直线的两边呈现出镜像状态。
在图形中，如果一个图形关于某一直线对称，那么它的对称轴是从图形的一侧到 另一侧的最短距离。
02
在最短路径问题中，通常使用权重来表示每条边的长度或成本。权重可以是有 向的或无向的，可以是正值或负值。
03
最短路径问题的数学模型还包括一个求解算法，用于在图中找到从s到t的最短 路径。常用的求解算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
03
轴对称算法实现
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。
根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。
2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。
3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。
4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。
5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。
7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
轴对称—最短路径 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
布置作业
教科书 66 页 12 题。
1 分钟
板书设计
利用轴对称解决简单的最短路径问题
教学反思
我对本节课的讲授结果满意，学生能逐渐由简单到复杂，逐步深入地理解了两点在 直线同侧的情况，如何找最短路径。
学生能正确做图，找到要找的点，解决了最短路径问题的作图。这是本节课的一个 目标，学生实现的很好。
在别的关于最短路径问题中，学生大部分能根据轴对称找到最短路径。不足的地方 就是学生对运用轴对称解决最短路径问题不灵活。有的不知如何下手分析。是对关键点： 做轴对称掌握不熟练。
作法：
（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
（2）连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所 求．
问题 3 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′（与点 C 不重 合），连接 AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
培养 学生 动手 能力 学生 在下 边作 图
三．运用新知
练习 1：
尝试 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居 用 学
民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 过 的
到它的距离之和最短．
知识 解决 新问 题
检验 学生 学习 的程
度
课堂小结 2 分钟
同学们谈谈这节课运用了哪些数学知识，你们学到了什么？ 1、利用轴对称解决两点之间最短路径问题 2、轴对称知识在生活中的运用
短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知 识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问 题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
（将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直
轴对称—最短路径问题-完整版课件
人教版数学学科中考复习专题
轴对称—最短路径问题
情境引入
王二小在A处放牛，要把牛牵到河边喝水，喝完水后还要牵 回B处关在牛棚里面。河边任何地方都可以让牛喝水。王二小牵 牛在河边哪个位置喝水，再牵到B处走的总路程最短？
B A
合作探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当 点P 在l 的什么位置时，AP 与BP的和最小？
上的一动点，求BN+MN的最小值。
解:因为四边形ABCD为正方形，所以点B 与点D关于直线AC对称。
连结DM交直线AC于点N，即点N为所求作点
。 则BN+MN=DN+MN=DM,因为两点之间
A ，线段最短，所以BN+MN=DM为最小值。
B
M
N
N
D
C
即BN+MN的最小值为10.
变中思本
本节课你印象化最折深为的直是什么地方？
A MP
数学模型：两点在一条直线同侧
B
化折为直
┌
l
B/
小试牛刀
2
分析：
（1）求PB+PC的最小值
关键是找到点P位于直 线MN的什么位置.
（2）PB+PC=PA+PB=AB.
（4）PB+PC =AB =2.
M
P P A 30
N
化折为直
B
1
C
小试牛刀
2.如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2，N为AC
轴对称——最短路径问题
名师堂校区地址：南充咨询电话：优学小班——提分更快、针对更强、时效更高名师堂学校优学小班讲义轴对称——最短路径问题现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活•数学”, “活动•思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。
下面就对上述类型做一个简单的归纳。
例1．如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．A′B=1000米．故最短距离是1000米．例2．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B，动点P所在有直线作为对称轴相当于例1中的小河。
故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD 成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位置例3．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．分析：此题的出题背景就是角。
本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．例４．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．这就是“造桥选址问题”解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥．证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB 最短．例５．（2008•内江）如图，当四边形PABN 的周长最小时，a= 。
轴对称—最短路线问题
3．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线 交AB于点N，交AC于点M，连接MB．若AB=8cm，△MBC的 周长是14cm． ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的 最小值．
4、如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出
轴对称——最短路线问题
1、唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日
登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学
问题﹣﹣将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之
后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营，请问 怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由
2、如图2，点P，Q是△ABC的边AB、AC上的两个定点，
两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小．
5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点， 若E，F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边 形CGEF的周长小时，请你在图中确定点E，F的位置
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PPT课件
3
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
PPT课件
4
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
PPT课件
5
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接CB′。
B
A
C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最
点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?
A’
l1
M A
N
l2
A’’
PPT课件
10
走A-M- N 路线最短.
A’
l1 M
A
N
l2
A’’
Hale Waihona Puke PPT课件11变式练习2
如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草， 再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天 的最短路线。
N
P
Q
A
Ml1
B
PPT课件
l2
12
A’
P
A
l1
PPT课件
Q
B
B’
l2 13
归纳小结 1.学了三种情况下的最短路径问题
(1)两点在一条直线同侧
(2)一点在两相交直线内部
l1
(3)两点在两相交直线内部 l1
2.关键：
l2
l2
作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，
从而利用“两点之间，线段最短”来解决
PPT课件
14
（1）如图所示，A，B两点在直线l的 一侧，在l上找一点C，使点C到点A、 B的距离之差最大．
问题1 归纳
转化为数学问题
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作AP点PT课关件 于直线l的对称点
8
变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
小
河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
PPT课件
9
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
轴对称
最短路径问题
PPT课件
1
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然 后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使 所走的路径最短？
B B
AA l
l
PPT课件
2
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
短？
PPT课件
6
根据前面的分析，我们认为的
最短路径是AC+CB=AC+C B′= AB′
B
略证：
在直线 l 上取一个与 C点不重合的点C′ 新路径= A C′ + C′B
A
l
C′ C
=A C′ + C′B′
B′
试比较新路径与AB′的大小
结论： AC+CB这条路径最短．
PPT课件
7
B A
l
解决实 际问题
（2）若A，B两点在直线l的两侧，在l 上找一点C，使点C到点A、B的距离之 差最大．
A
B
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