利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转第4 讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。

2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。

二、基础知识•轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。

另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。

（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。

）三、重难疑点•轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。

“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.（1）AB与AP+PB相等吗为什么（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.解析：(1)T 点B'是点B 关于m 的对称点，••• PB=PB ,••• AB =AP+PB , ••• AB =AP+PB(2)如图：连接 AN, BN B ' N,TAB' =AP+PB• AN+NB=AN+NB> AB', • AN+N > AP+PB点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想,利用两点之间的线段最短得出结果。

这类题主考实际问题转化为数学问题的能力， 关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等.变式1需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场 到A , B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.(2) “两点两线(平行)”问题例2如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河 流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短解析：虽然A 、B 两点在河两侧，但连接AB 的线段不垂直于河岸. 关 键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办法 使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.如图，作BB'垂直于河岸GH 使BB 等于河宽， 连接AB ，与河岸 EF 相交于P,作PD 丄GH贝U PD// BB'且PD=BB ，于是PDBB 为平行四边形，故PD=BB .根据“两点之间线段最短”，AB '最短，即AP+BD 最短.故桥建立在PD 处符合题意.点评：此题考查了轴对称——最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”， 解决“造桥选址”的简单的实际问题.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代， 从而转化成两点之间线段最短的问题. 此类题往往需要利用 对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.变式2如图，两个村庄 A 和B 被一条河隔开，现要在河• A上架设一座桥 CD •请你为两村设计桥址， 使由A 村到B 村的距 ________________________________________________________________________________________把两条线段的和变为一条线段来研究,公路■H离最小（假定两河岸 m n 是平行的，且桥要与河垂直）•要求写出作法，并说明理由.（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题例3 :如图所示，/ ABC 内有一点P ,在BA BC 边上各取一 点P i 、P 2，使△ PRR 的周长最小.解析：依据两点之间线段最短，可分别作点 P 关于AB AC的对称点，如图，以 BC 为对称轴作P 的对称点M,以BA 为对称轴作出 P 的对称点N, 连MN 交BA BC 于点P i 、P 2•••△ PPP 2为所求作三角形.点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题） ，其核心是化折为直（两点之间线段最短）的 思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题.变式3城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如 图中的AOBC ）, A0桌面上摆满了桔子，0B 桌面上摆满了糖果， 站 在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到C 处，请你在下图 帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（4）“一线异侧两点” “差最大”问题例4在定直线XY 异侧有两点A 、B,在直线XY 上求作 一点P,使PA 与PB 之差的绝对值最大.解析：作法：作点 B 关于直线XY 的对称点B',=XY作直线AB 交XY 于P 点，则点P 为所求点（如图）；若B' A// XY （即卩B'、A 到直 线XY 的距离相等），则点P 不存在.证明：连接BP,在XY 上任意取点P', 连接 P' A 、P' B,贝U PB=PB , P' B=P 因为 |P ' B- P' A|=|P ' B'— P' A| v ABPA|=|PB - PA|,所以，此时点P 使|PA - PB|最大.NAC点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形, 再由两点之间线段最短的知识求解.变式4.如图，在△ ABC 中，AB=AC AB 的垂直平分线交 AB 于N,交AC 于M 连接 MB若 AB= 8 cm,A MBC 的周长是 14 cm ,(1) 求BC 的长(2) 在直线 MN 上是否存在点 P,使丨PA- CP|的值最大，若存在, 画出点P 的位置，并求最大值，若不存在，说明理由。

(5) “两点一线+线段”/ MEB=Z NEC .由轴对称还可得，/ NEC = Z NEC .又对顶角 / MEB=Z N EC ，故可得到/ MEB= / NEC .本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直， 对应点所连的线段被对称轴垂 直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.例5直线L 的同侧有两点 A 、B ,在直线L 上求两点 D,使得 AC CD DB 的和最小,且CD 的长为定值a ,点D 在点C 的右侧。

作法：①将点A 向右平移a 个单位到A i ②作点 B 关于直线L 的对称点B ③连结 A i B i 交直线L 于点D④过点 A 作AC// A1D 交直线L 于点C,连结BD, 则线段 AC CD DB 的和最小。

点 C 、D 即为所求。

变式5长方形 OACB , OA=3 , OB=4 , D 为边OB 的中点.(1)若E 为边OA 上的一个动点，当△ CDE 的周长最小时，画出 点E 的位置;(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF的周长最小时，画出点 (6)台球击点问题 F 的位置; 例6如图，在台球桌面 两点处，问：怎样撞击白球 击中黑球N ABCD 上，有白和黑两球分别位于 M , N M ，使白球先撞击台边 BC ,反弹后再去 解析：作N 关于BC 的对称点N 连接MN 交BC 于点E,连接EN.按 ME 方向撞击白球 M ，白球M 反弹后必沿EN 方向击中黑球 N . 点评：要使白球M 撞击台边BC 反弹后再去击中黑球 N ，必须使变式6如图，甲乙丙丁四人做接力游戏•开始时，甲站在长方形操场ABCD内部的E点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB、CD边上.游A戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲•如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短（请画出路线，并保留作图痕迹，作法不用写）四、课时作业•轻松练A.基础题组1.如图，直线I是一条河，P, Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P, Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）OQA C、, DQ D、:4-2.已知，如图△ ABC为等边三角形，高AH=10cm P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB勺最小值为 ______ cm.第2题第3题3.如图，MN是正方形ABCD勺一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，/ PCD= __________4.为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO OB A0桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C 处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，/ AOB小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短.请作出路线图，并用字母表示所走路线. （保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）B.中档题组5•如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置.6.如图，一牧民从A点出发，至悼地出发，至悼地MN去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水（MN PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短（简要说明作图步骤，并在图上画出）C•挑战题组7.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米, 从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的， A B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B的路程最短，画出路程图五、我的错题本参考答案变式练习变式1解：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A',连接A B,与公路的交点就是点P的位置.变式2解：如图，过点B作BC丄n,且使BC等于河宽，连接AC交直线m与M作MN// BC即可. 理由：两点之间线段最短.变式3解析：本题意思是在0A上找一点D,在0B上找一点E,使△ CDE的周长最小.如果作点C关于0A的对称点是M关于0B的对称J--------------- *点是N,当点D E在MN上时，△ CDE的周长为CD+DE+EC=MNt匕时周八'长最小. ，变式4解：（1）因MN垂直平分AB,所以MB= MA又因△ MBC勺周长是14 cm,故AC+BC=14 cm，所以BC= 6 cm.（2）当点P位于直线MN与BC延长线的交点时，PA- CP的值最大，最大值是6cm理由：因A、B关于直线MN对称，所以AP=BP当点P位于MN（直线MN与BC延长线的交点除外）上时，根据三角形三边关系始终有丨PA CP| <BC,当点P位于直线MN与BC延长线的交点P时，即B、C、P三点成线时，存在| PA- CP|= BC= 6 cm为最大值，变式5解：(1)如图，作点D关于OA的对称点D'，连接CD'与OA交于点E,连接DE .若在边OA上任取点E与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E'由DE'+CE'=D'E'+CE' > CD'=D'E+CE=DE+CE ,可知△ CDE的周长最小.(2)如图，作点D关于0A的对称点D',在CB边上截取CG=2,连接D'G 与0A交于点E,在EA上截取EF=2 ,••• GC// EF , GC=EF ,•••四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF ,又GC、EF的长为定值，•此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.变式6解：作点G关于CD的对称点G',作E关于AB的对称点E'连接G' E'交CD于点F、交AB于点H，故比赛最短的路线为：iHRG^F 课堂作业A.基础题组Jf1 [r fJ i [111.D解析：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.作点P关于直线L的对称点P',连接QP交直线L于M.根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短•故选 D.2.10解析：连接PC,根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BPPD+PB要取最小值，应使D P、C三点一线.连接PC, •/△ ABC为等边三角形，D为AB的中点，• PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm3. 45°解析：•••当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出/PCD=45，•/ PCD=45 .4.解析：要求小华所走路程最短路线，如图，可作点C关于OA的对称点M作点C关于OB的对称点N.连接MN交OA于点F,交OB于点E, 最短路线CEFB•中档题组5解：作出点A关于11的对称点E,点B适于12的对称点F,连接EF, 交于11,|2于点C,点B,则AC , CD, BD是他走的最短路线.6.解：如图，分别作A点关于直线MN的对称点A、B点关于直线PQ 的对称点B', 连接A B',分别交MN于点C,交PQ于点D,连接AC BD, •••路C•挑战题组7.解：作AF丄CD且AF=H宽，作BGLCE且BG^宽，连接GF与河岸相交于E'、D' •作DD、EE即为桥.证明：由作图法可知，AF// DD , AF=DD，则四边形AFD D 为平行四边形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD E EB 最短. AC+CD+B最短.・■:I。