初中数学九年级中考复习《操作设计型问题》专题讲解导学教案

中考二轮专题复习：操作设计型问题
第一部分讲解部分
一．专题诠释
操作设计型中考题是指与设计几何图案有关的问题，它把代数计算与几何作图融为一体，新颖独特，是中考试题中一道亮丽的风景．这类问题格调清新，不但有利于考查学生的识图能力、计算能力、动手操作能力和空间想象能力，而且能够充分体现义务教育阶段《数学课程标准（修订稿）》倡导的“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”新课程理念．
二．解题策略和解法精讲
平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识是解决图案设计型问题的重要理论工具．因此，要想圆满地解答这类问题，必须要掌握几种图形变换的相关知识。

解决图案设计类问题，关键是要学会自觉地运用平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，使实际问题转化为我们熟悉的数学问题，从而达到问题的解决．
三．考点精讲
纵览2011年全国各地中考题，图案设计型问题主要是通过两种形式来表现的，一是给出设计好的图案，让考生指出图案的特征或求出图案的性质；二是让考生利用图形的变换知识设计出和谐、丰富、美观的几何图形．
考点一：辨别图案的对称类型
这类中考题，给出设计好的图案，让考生辨别它是平移变换图形、轴对称图形、中心对称图形和位似变换图形中的哪一种图形或哪几种图形．这类题通常以选择题的形式出现，属于基础题．
例1 （2011·浙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.
解析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，图案1是轴对称图形，但不是中心对称图形；图案2和图案3是中心对称图形，不是轴对称图形；图案4是轴对称图形，又是中心对称图形．因此本题选择D．
【评析】这道中考题取材于现实生活中的图案，这一极富现实情景的几何图形，对学生来说并不陌生，但他们能否有一双慧眼来发现生活中的数学问题，是解决问题的关键．因此，
教师的教学应该密切联系蕴涵丰富数学思想的现实生活，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力．
考点二：判断图案变换后的位置
这类中考题，题面提供一个图案，给出变换的条件，要求考生根据心智操作活动来变换图案，并判断出图案的最终位置．这类题在中考试卷中通常是以选择题和填空题的形式出现，属于中等题．
例2 (2011·内蒙古乌兰察布)将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．2
解析：根据骰子的变换规则，骰子每次变换后朝上一面的点数的变化是这样的：3（开始）→ 5→ 6→ 3→ 5→ 6→ 3 ……这就是说，连续变换3次后，朝上一面的点数就会重复出现，而13310⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，所以10次变换后骰子朝上一面的点数是5．
【评析】这道中考题设计新颖、独特，以骰子的翻转、旋转为载体，将变换的规律（三次变换为一周期）蕴含其中．当然学生在解答问题时，不可能在考场上实际操作实物来完成，只能通过心智操作活动来进行图形的变换操作，从中发现规律，得出结论．本题考查了学生的阅读理解能力和空间想象能力，具有很强的探索性和创造性，能较好地激发学生的探究欲望．这道新颖而不怪癖的中考题，为我们编制试题提供了一种切实可行的方案．
考点三：探求设计的图案性质
这一类中考题，通常是先描述一个图案的设计过程，然后让我们根据图案的设计过程来探求它蕴涵的数学性质．这类试题一般难度不太大，但具有一定的综合性，属于中等难度题．
例3 （2011·山东聊城）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC ＝∠B ′A ′C ＝30°）按图①方式放置，固定三角板A ′B ′C ，然后将三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB 与A ′C 交于点E ，AC 与A ′B ′交于点F ，AB 与A ′B ′相交于点O ．
（1）求证：△BCE ≌△B ′CF ；
（2）当旋转角等于30°时，AB 与A ′B ′垂直吗？请说明理由．
图1 图2
解析：（1）因∠B ＝∠B /，BC ＝B /C ，∠BCE ＝∠B /CF ，所以△BCE ≌△B ′CF ； （2）AB 与A ′B ′垂直，理由如下：
旋转角等于30°，即∠ECF ＝30°，所以∠FCB /＝60°，又∠B ＝∠B /＝60°，根据四边形的内角和可知∠BOB /的度数为360°－60°－60°－150°＝90°，所以AB 与A ′B ′垂直。

【评析】解决此类问题首先要弄清图案设计的过程，明白它是经过怎样的图形变换得到的，然后根据变换前后图形的形状、大小、位置关系及发生变化的规律来解决问题．
在操作活动中展开探究，是一种基本的、也是重要的研究问题的方法，它越来越受到中考命题者的青睐．
考点四：利用变换设计图案
所谓设计图案，就是让考生利用图形的平移、对称、旋转、位似等变换知识来设计和谐、丰富、美观的组合图形．这类试题综合性较强，题型以作图题为主，具有一定的开放性和灵活性，此类问题近年来倍受中考命题者的崇拜．
例4 （2011·浙江温州）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图1）经过平移、旋转拼成图形。

（1）拼成矩形，在图2中画出示意图。

（2）拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图。

注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上。

的
20、（本题8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F 。

已知OA=3，AE=2，
（1）求CD 的长；（2）求BF 的长。

解析：可剪出类似于形状的三块纸片，通过实际拼图后在图中画出示意图。

（答案不唯一） 【评析】本题融阅读理解、几何作图、方案设计于一身，具有一定的综合性、开放性和灵活性．同时，七巧板中隐含着丰富的数学艺术之美，所以学生解答这类问题，可以让学生在赏心悦目的气氛中轻松答题．另外，这类作图题不同于传统的尺规作图，它具有一定的开
图1
图2
图3
①
②
放性和灵活性，是近年来中考试题中考查几何作图知识的热点之一．
四．真题演练
题目1（2011·四川重庆）下列图形中，是中心对称图形的是( ).
A．B．C．D．
题目2（2011·广东广州）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右
．．对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）
A．B．C．D．题目3（2011·山东菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，
BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB
的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为
（）
A．6 B．3
C．3
2D．
【答案】
题目一：B；题目二：D；题目三：C
第二部分练习部分
练习1（2011·河北）将图2—1围成图2—2的正方体，则图2—1中的“ 红心”
标志所在
A
C
D
的正方形是正方体中的（ ）
A ．面CDHE
B ．面BCEF
C ．面ABFG
D ．面ADHG
练习2（2011·浙江义乌）下列图形中，中心对称图形有（ ）
.
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 练习3（2011·四川宜宾）如图，在△ABC 中，AB=BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点
E ，A 1C 1分别交AC 、BC 于点D 、
F ，下列结论：①∠CDF=α，②A 1E=CF ，③DF=FC ，④AD=CE ，⑤A 1F=CE ．其中正确的是___________________（写出正确结论的序号）．
练习4（2011·浙江杭州）在平面上，七个边长均为1的等边三角形，分别用①至⑦表示(如图)．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次．．平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形．
(1)你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离； (2)将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面上，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于
5
2
?请说明理由． 练习5（2011·安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2：
(1)将△ABC 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A 1B 1C 1；
(2)以图中的点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A 2B 2C 2．
图2—2
图2—1
C
D
B
E A
F G H
【答案】
练习1：A ； 练习2：B ； 练习3：①②⑤；
练习4：（1）当取出的是⑦时，将剩下的图形向上平移1（如图1）；当取出的是⑤时，将⑥⑦向上平移2（如图1）
（2，正六边52<<5
2
．
练习5：如图：
A
A 1
B
C
B 1
C 1
A 2
B 2
C 2
· O。