16.1.2二次根式性质
2014年新人教版八年级下16.1二次根式(2)
4 2
2
= 4 = 2
1 3 =
2
1 3
2
0
2
2
=
0
一般地，
a
a(a 0)
例2：计算
2
1.5 =1.5 解： ab （2） 2 5 ; 积的乘方运算性质： 解： 2 5 =2 5 =4 （ 1） 3 2 2 3 （2） 2 11 3 5
2、在实数范围内进行因式分解： （1）x -5
2
（2）2a -6
2
3、 (1)已知 18 n是整数，求自然数n的 所有可能的值。
(2)已知 24n是整数，求正整数n的最小值。
2 (4)把5 根号外的因数移到根号里边。 5 2 2 2 2 2 2 解： 5 =5 = 5 = 5 = 10 5 5 5 5 依据上面的例子，将根号外的因数移 到根号里边。 1 （1） 3 3 （2）-2 2
16.1
二次根式（2）
一、知识回顾 1、二次根式的定义： 一般地，代数式形如 a (a 0 ) 的 式子做叫二次根式。 2、二次根式的性质：
a (a 0）是一个非负数,即 a 0.
3、算术平方根的定义： 若对于正数x有x2=a，则x叫做a的 算术平方根，记作 a
二、探究（1）：
根据算术平方根的意义填空：
2 2 2 2 2
（1） 1.5 ;
2
a b
2 2
练习：（1） 3
2
（2）3 2
2
（3） 5
2
2 （4） 0.2 （5） 7
2
2
（6）5 5
16.1.2二次根式的性质1
16.1.1二次根式的性质
汉沽八中：陈玉莲
/yhwz/
学习目标：
1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次 根式的概念. 2. 掌握二次根式的性质 3.熟练应用二次根式性质求二次根式的值. 4.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里 被开方数中字母的取值范围.
2
2.化简： ( a 3 ) (3 a)
2
2
3. ( 2 ) 2, 。。。
由
2
你可以将下列多项式在实数范围
内分解吗？
(1) x 2
2
(2) 3x 4
2
(3) 2 x 5
2
(4) x x 20
4 2
/bcgs/
/bcw/
做一做
2 2 2 2 1 1 1 _____, 2 ______, 3 5 5
1 4 13
2
1 1 2 4 6 _____, 3 5 4 ____,
3 _____,
2
2
3
/amyhxsyl/
口答：
1 2 (1)( ) 3
1 3
63
. .
(2)(3 7)
2
/amyhgfwz/
8 =8
2
练习 计算：
3 =3
2
2 3 =12
2
x
xy
3
2 =6 3 3
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看, 2 2 a 先开方,后平方 a a≥0
/dbwz/
a
2
a
16.1 二次根式(第二课时)
2
2
2
2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
0
2
0
观察上述等式的两边,你能得到什么启示?
二次根式的性质3：
a a
2
2、计算：
(a≥0)
2 （ 2） 3
2
（1） 0.8
4 （ 3） 5
2
2
（4） 7
2
3、计算：
1
人教版八年级上册
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质1：
非负数的算术平方根仍然是非 负数。
a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
例1：已知
a 2 3b 9 (4 c) 0 ，
2
求2a-b+c的值。
解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0， 又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
2
a≥0,
a ≥0
(a≥0) (a≥0)
(双重非负性)
a a
2
1 2
2
2
2 1
2 x 1
2
x 1
2
3
x 2 xy y y x
yx
4、数a在数轴上的位置如图,则
a a _____ .
2
a
-2 -1 0 1
5、实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1 p)
人教版八年级数学下册课件 16-1-2 二次根式的性质(1)
B
)
A.
2
1 2
2
C.
2
1 2
2
B.
17 2 4
17 2 D. 4
随堂练习
3．化简 |a－3|＋( 1 a )2 的结果为( D )
A．－2
B．2
C．2a－4
D．4－2a
随堂练习
4． 计算：（1）( 3 )2；
（2）(3 2 )2.
解：（1）( 3 )2＝3; （2）(3 2)2＝32×( 2 )2＝9×2＝18.
规律方法：二次根式具有双重非负性，即对于二次根式 a 来说， a≥0，且 a≥0．它常与 a2，| a | 等一起进行考查.
随堂练习
1．下列计算正确的是( A ) A．－( 6 )2＝－6 C．( 16 )2＝±16
B．( 3 )2＝9
2
D．
16 25
16 25
随堂练习
2．把
4
1 4
写成一个正数的平方的形式是(
典例精析
例 2 若 a 2 (b 3)2 0 ， 则 (a b)2 022 ____1____.
解析：∵ a 2≥0 ， (b 3)2≥0 ， a 2 (b 3)2 0 ， ∴ a 2 0 ， (b 3)2 0 ， 解得 a 2 ， b 3 ， ∴ (a b)2 022 (1)2 022 1.
被开方数大于或等于零.
合作探究
思考：二次根式 a 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 a 的取值范围是 什么？ 当 a＞0 的时候， a 表示 a 的算术平方根，则 a ＞0；
当 a＝0 的时候， a 表示 0 的算术平方根，则 a ＝0.
当 a≥0 时， a 是非负数，即 a ≥0.
二次根式的性质与化简(分层作业)(解析版)
人教版初中数学八年级下册16.1.2二次根式的性质与化简同步练习夯实基础篇一、单选题：1）．A．3B．6C．9D．－32．下列各式中正确的是（）A7B． 22 C a D43得()A ．3B ．3C ．3D ．34a ，则（）A ．a 是整数B ．a 是正实数C ．a 是负数D ．a 是负实数或零5．若6x 10 ，且0x y ，则x y 的值是（）A ．16B ．16或16C ．4或16D ．4或16【答案】D【分析】根据绝对值和二次根式的性质结合0x y 可得x ＝6，y ＝－10或x ＝－6，y ＝－10，然后计算x y6．实数a在数轴上的位置如图所示，化简2a ）A．1B．﹣1C．2a﹣3D．3﹣2aa＜，则点M在第（）象限．7．已知2A．一B．二C．三D．四二、填空题：8．填空：( ___________，（1 ___________，2___________ ___________．（2）数a ___________．，然后根据二次根式性质进行化简即可．的值最大．9．当x取______时，4102m ，则m的取值范围是________．a ．11．已知1＜a＜2，化简：112．已知m ___________．三、解答题：13．计算：(1)2(2) 2214．计算：(1)2( (2)2(3)20)a ．15．实数a 、b 、c 2a c ab ．【答案】2b +2ab【分析】直接利用数轴判断得出：00020a b a c c b ab ＜，＜，＜，＞，进而化简即可．【详解】解：由题意可得：c <a <0<b ，∴00020a b a c c b ab ＜，＜，＜，＞，原式＝()()(2)a b a c c b ab（）＝2b +2ab ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，正确得出各部分符号是解题关键．能力提升篇一、单选题：12，那么（）A ．3x B ．1x C ．13x D ．1x 或者3x和分类讨论是解题的关键．223x ，则x 取值范围为（）A ．2233xB ．203xC ．203xD ．23x 或23x3．如果关于x 的不等式组0,2223x mx x的解集为2x 数m 的个数是（）．A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题:．4．已知a、b、c a b b c5．已知a 、b 是实数，下列四条命题：①如果||||a b ，那么a b ；a b ；③如果||||a b||||a b ．其中真命题的是________．（填写所有真命题的序号）子______．三、解答题:7．当23m 34m ．【点睛】本题主要考查了二次根式的双重非负性，绝对值的意义以及分式的化简，熟练地掌握各个知识点8．先阅读材料，然后回答问题：(1)…①②③…④上述化简过程中，第______步出现了错误，正确的化简结果为______；(2)。
16.1.2 二次根式的化简
12 1 3) ＝3；(
52 5 2 2 ) ＝ ； ( 0.01) ＝ 0.01 ； ( 0) ＝0. 2 2
所以归纳出：( a)2＝a(a≥0)．
【例 1】教材第 3 页例 2 活动 2： (多媒体展示)填空： 22＝________； 0.12＝________； 1 2 （3） ＝________； 3 2 （7） ＝________；
1．注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学 内容．按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度． 2．在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让 学生在交流活动中体会成功．
16．1 二次根式 第2课时 二次根式的化简
1．理解( a)2＝a(a≥0)，并能利用它进行计算和化简． 2．通过具体数据的解答，探究 a2＝a(a≥0)，并利用这个结论解 决具体问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
重点 理解并掌握( a)2＝a(a≥0)， a2＝a(a≥0)以及它们的运用． 难点 探究结论．
一、复习导入 教师复习口述上节课的重要内容，并板书： 1．形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式． 2. a(a≥0)是一个非负数． 那么，当 a≥0 时，( a)2 等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题．
二、新课教授 活动 1： (多媒体演示)根据算术平方根的意义填空： ( 4)2＝________；( 2)2＝________； ( 12 3) ＝________；( 52 2) ＝________；
( 0.01)2＝________；( 0)2＝________． 由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评． 老师点评： 4是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4是一个平方等于 4 的非 负数，因此( 4)2＝4. 同理：( 2) ＝2；(
16.1.2 二次根式的性质
学习目标：1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
重点：二次根式的性质
难点：综合运用性质 进行化简和计算。
学习环节
一．前置作业：
1、什么是二次根式，它有哪些性质？
2、二次根式 有意义，则x。
3、在实数范围内因式分解：
( )2=（x+）(y-)
主备人：郭海ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ审核人：姜瑞风时间：编号1602
（四）拓展提升
1、化简下列各式
（1） (2)
2、化简下列各式
（1）
（2） （x＜-2）
（五）达标测试：
A组
1、填空
（1）、 - =_________.
（2）、 =
（3）a、b、c为三角形的三条边，则
________.
2、已知2＜x＜3，化简：
B组
3 已知0＜x＜1，化简： －
（二）自主学习
1、计算： ，
，
，
。
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当
当
当
（三）合作交流
归纳总结：将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
巩固训练：1、化简下列各式：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、 =（ ）
2、教材P4练习2、P5复习巩固2
3、总结你在计算过程中需要提醒大家注意的事项：
4 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
5、把 的根号外的 适当变形后移入根号内，得（ ）
A、 B、
C、 D、
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16.1.2 姓名
1.算术平方根来源：已知正方形面积求边长。
a 含义是
()
=2
a 其中a 的条件是
2. a 的平方的算术平方根，等于a 的绝对值 =2a 其中a 的条件是
3.填空
（4）2=______ （2）2=_______ 4.（
32
）2
= （35）2 =
5.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
5= 3.4= x （x ≥0）= 6.已知1x y -++3x -=0，求x y 的值
7.在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-2=
（2）x 4-9=
8.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是_____
9.若2a =a ，则a 可以是什么数？
10.若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2
(3)x ++21025x x -+
16.1.2 姓名
1.算术平方根来源：已知正方形面积求边长。
a 含义是
()
=2
a 其中a 的条件是
2. a 的平方的算术平方根，等于a 的绝对值 =2a 其中a 的条件是
3.填空
（4）2=______ （2）2=_______
4.（
32
）2
= （35）2 =
5.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
5= 3.4= x （x ≥0）= 6.已知1x y -++3x -=0，求x y 的值
7.在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-2=
（2）x 4-9=
8.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是_____
9.若2a =a ，则a 可以是什么数？
10.若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2
(3)x ++21025x x -+。