高三数学上学期开学考试试题 文(扫描版,无答案)
2020高三数学上学期开学考试试题 文(应届班,无答案)-精装版
教学资料范本2020高三数学上学期开学考试试题文（应届班，无答案）-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高三数学上学期开学考试试题文（应届班，无答案）数学（文）试卷第I卷（选择题）一、选择题（本题共13道小题，每小题0分，共0分）1.已知集合，那么P∩Q（）{}{}14,2 P x x Q x x=-<<=<A．[2,4) B．(－1,+∞) C．[2,+∞) D．(－1,2)2.幂函数的图象经过点，则=()f x x=α122(,)()3fA． B． C．3 D．－31 33.“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列四种说法正确的是（）①函数的定义域是，则“”是“函数为增函数”的充要条件；()f x②命题“”的否定是“”；1,03xx R⎛⎫∀∈>⎪⎝⎭1,03xx R⎛⎫∃∈<⎪⎝⎭③命题“若x=2，则”的逆否命题是真命题；④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数，则为真命题．A.①②③④B. ②③C.③④D.③5.与表示同一函数的是（ ）()f x ()g xA. ，B. ，()2f x x =()2g x x =()1f x =()()1g x x =-C. ，D.，()293x f x x -=+()3g x x =-()()2x f x x=()()2xg x x =6.已知三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7.函数f （x ）=，x ∈[—，2]的最小值是（ ）112++x xA ．B ．—C ．0D ． －1 8.函数f （x ）=ax2+x （a ≠0）与在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（ ）)(x f R0>x 0)2(=f {}0)2(<-x f xA ．B ．{}420><<x x x 或{}40><x x x 或C ．D ．{}220><<x x x 或{}4220<<<<x x x 或10.若函数f （x ）=|4x ﹣x2|+a 有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，0]B ．（﹣4，0）C ．[0，4]D ．（0，4）11.已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）0a >1a ≠A ．(2,3)B ．(2,3] C. D ．7(2,)37(2,]3 12.若对于任意a[－1,1], 函数 f(x)=x2+(a －4)x+4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )∈A.(-∞‚1)∪(3,+∞)B. (-∞‚1]C. (3,+ ∞)D. (-∞‚1]∪[3,+ ∞)第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共5道小题，每小题0分，共0分）13.函数的定义域为__________．1x y x +=14.设函数，则____________．()()2,055,5x x f x f x x ⎧≤<⎪=⎨-≥⎪⎩()13f = 15.若函数在区间上是减函数，则的取值范围为 ．()212log (3)f x x ax a =-+(2,)+∞a16.已知函数f （x ）=x2﹣2x ，g （x ）=ax+2（a ＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f （x1）=g （x2），则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分） 17.已知集合，，{|14}A x x =≤<{|182}B x x x =-≥- 求.()()B C A C B A R R I Y ,18.设集合，不等式的解集为.{|12,}A x a x a a R =-<<∈2760x x -+<B （Ⅰ）当时，求集合；0a =A B 、 （Ⅱ）当，求实数的取值范围.A B ⊆a19.已知函数f （x ）=loga （1+x ）﹣loga （1﹣x ）（a ＞0且a ≠1）．（Ⅰ）若y=f （x ）的图象经过点 (，2)，求实数a 的值；21（Ⅱ）若f （x ）＞0，求x 的取值范围20.命题p ：∀x ∈R ，ax2+ax ﹣1＜0，命题q ：+1＜0．（1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“α∈[m ，m+1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．21.若二次函数满足，且.2() (,,)f x ax bx c a b c R =++∈(1)()41f x f x x +-=+(0)3f =（1)求的解析式；（2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.22.已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．x x g x f )()(=（1）求、的值；a b（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；0)(≥-kx x f ]2,21[∈x k （3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．()03|12|2|12|=--⋅+-k k f xx k。
2019-2020最新高三数学上学期开学考试试题文1
——教学资料参考参考范本——2019-2020最新高三数学上学期开学考试试题文1______年______月______日____________________部门数 学 试 卷（文）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合 ，则（ ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=021A x x x{}13B >=x xA ．B ．{}2B A ->=⋃x x {}2B A -≥=⋃x xC ．D ．{}002-B A ><<=⋃x x x 或{}10B A ≤<=⋃x x2．“x>1”是“”的（ ）0)2(log 21<+xA ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．函数的零点个数是 （ ）x e x f x 3)(+=A ．0B ．1C ．2D ．34．设则的大小关系是0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，a b c ，， A ．B ．C ．D ．a b c ＜＜a cb ＜＜b ac ＜＜b c a ＜＜5．函数y ＝(-＜x ＜的图象是（ ）xcos ln 2π)2π 6．已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当时, ,则的值为（ ）0x <()2xf x =4(log 9)fA ．-3 B. C. D. 313-137．函数的单调递减区间是（ ）2()ln(28)f x x x =--A ．B ．C ．D ．8．已知函数 ，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．9.已知f （x ）是R 上的偶函数，将f （x ）的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若( ) A ．1B ．0C ．—1D ．—1005.510．设函数，的零点分别为，则( )21x x 、A. B. 0＜＜1 C.1＜＜2 D. 121=x x 21x x 21x x 21x x 2≥11.知函数f(x)＝9x －m ·3x ＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．2－2<m<2＋2B ．m<2C ．m<2＋2D ．m ≥2＋2212.若函数满足：在定义域D 内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）．A ． ①③B ． ②④C ． ①②D ． ③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13已知函数的图象过点，则_______x ax x f 2)(3-=)4,1(-=a14.已知函数对任意的恒成立，则 ___________.xx x f 3)(3+=0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m ∈x15．已知函数__________16．设函数满足 当时，则________ .))((R x x f ∈xx f x f sin )()(+=+ππ<≤x 00)(=x f =)623(πf 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
高三数学上学期开学考试试题 文(无答案)(新版) 新人教版
2019高三文科暑假开学考试数学卷一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}1,2,3,4,5=U ，{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()U A B =I ð（ ） （A ）{}2,3 （B {}1,4,5 （C ）{}4,5 （D ）{}1,52.已知i 是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.命题“2,230x R x x ∀∈-+≤”的否定为( ) A. 2,230x R x x ∀∈-+≥ B.2,230x R x x ∃∉-+> C. 2,230x R x x ∀∉-+≤ D.2,230x R x x ∃∈-+> 4.已知函数()()3log 472a f x x =-+ (0a >且1a ≠)过定点P ,则点P 坐标( )A. ()1,2 B. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()2,2D. ()3,2 5.若0.5222,log 3,log 2a b c π===，则有（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>6.函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像的对称轴方程可能是( ) A. 6x π=- B. 12x π=- C. 12x π= D. 6x π=7.已知)(x f 是R 上的偶函数，且函数(1)f x -是奇函数，若(),12-=f 则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++=( )A ．0 B.1 C.－1 D.－1004.58.设函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则其零点所在区间为( )A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,49.“ln ln x y >”是“x y >”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( ) A. B. C. D.11、当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]-- 12．已知偶函数)(x f (0)x ≠的导函数为)(x f '，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-+∞UD ．(1,0)(0,1)-U二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）13．设向量()()cos ,1,1,3cos a b θθ==r r ,且//a b r r ,则cos2θ=__________.14．已知()()()()1233,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________. 15.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =__________16．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f （x ）=2f （）﹣1，则f （x ）= ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 .（本小题满分12分）已知命题:p 对[]1,2x ∀∈，不等式220x ax +->恒成立；命题:q 函数()()213log 23f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上是减函数。
高三数学上学期开学考试试题文含解析
卜人入州八九几市潮王学校鲁山县第一高级2021届高三数学上学期开学考试试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合，，那么A. B. C. D.2.复数z满足，那么A.2iB.2C.iD.13.平面内一条直线l及平面，那么“〞是“〞的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小一样的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为5.6.A. B. C. D.7.一组样本数据点，，，，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，假设数据，，，，的平均数为1，那么等于A.10B.12C.13D.148.等比数列中，假设，那么mn不可能为A.5B.6C.8D.99.二元一次不等式组表示的平面区域为Dp：点在区域Dq：点在区域DA. B. C. D.10.中，，，，BC的中点为M，那么等于A. B.11 C.12 D.1511.圆C：与双曲线的渐近线相切，那么该双曲线的离心率是A. B. C. D.12.正实数a，b满足，，那么A. B. C. D.13.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适宜表示计算机中的数，所以如今使用的计算机设计为二进制．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规那么，它们可以互相转化，如．14.我国数学史上，清代汪莱的参两算经是较早系统阐述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：，，，，那么八进制下等于A. B. C. D.15.假设函数为自然对数的底数有两个极值点，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕16.，那么等于______．17.定义在R上的偶函数满足，，那么等于______．18.一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，那么该圆锥的侧面积为______．19.数列的前n项和为，，假设对于任意m，，恒成立，那么实数M的最小值为______．三、解答题〔本大题一一共7小题〕20.锐角的内角A，B，C的所对边分别为a，b，c，其中，．21.Ⅰ假设，求角A；22.Ⅱ求面积的最大值．23.24.25.26.27.28.29.30.如图，直三棱柱中，，，E是BC的中点，F是上一点，且．31.Ⅰ证明：平面；32.Ⅱ求三棱锥的体积．33.34.35.36.37.某“双一流〞大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选根据，分为专业一等奖学金奖金额3000元、专业二等奖学金奖金额1500元及专业三等奖学金奖金额600元，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图是统计了该校2021年500名学生周课外平均学习时间是频率分布直方图，图是这500名学生在2021年周课外平均学习时间是段获得专业奖学金的频率柱状图．38.39.Ⅰ求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；40.Ⅱ假设周课外平均学习时间是超过35小时称为“努力型〞学生，否那么称为“非努力型〞学生，列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型〞学生有关？41.Ⅲ假设以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2021年获得的专业奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．42.在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足43.Ⅰ求动点P的轨迹E的方程；44.Ⅱ过点F的直线与E交于A，B两点，记直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值．45.46.47.48.49.50.51.52.函数e为自然对数的底数，．53.Ⅰ假设直线是函数图象的一条切线，求a的值；54.Ⅱ对于任意，恒成立，求a的取值范围．55.56.57.58.60.61.62.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系为极径，为极角．63.Ⅰ求曲线C的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；64.Ⅱ假设射线OA：与曲线交于点A，射线与曲线交于点B，求的值．65.66.67.68.69.70.71.72.函数，．73.Ⅰ当时，求不等式的解集；74.Ⅱ假设关于x的不等式的解集包含，求a的取值集合．75.76.77.78.79.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合或者，，那么，所以．应选：B．化简集合M、N，根据补集和交集的定义计算即可．此题考察了集合的化简与运算问题，是根底题．2.【答案】D【解析】解：依题意，因为复数z满足，所以，所以，应选：D．根据条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．此题考察了复数的代数形式的运算，复数的模，属于根底题．3.【答案】B【解析】解：由面面垂直的定义知，当〞时，“〞成立，当时，不一定成立，即“〞是“〞的充分不必要条件，应选：B．根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的断定定理和性质是解决此题的关键．4.【答案】A【解析】解：设小圆半径为r，那么大圆半径为3r，那么所有小圆的面积和为，大圆面积为．所求概率．应选：A．由图形设小圆半径为r，那么大圆半径为3r，再由测度比是面积比得答案．此题考察几何概型概率的求法，是根底的计算题．5.【答案】B【解析】解：设样本数据点，，，，的样本中心点为，那么，代入线性回归方程中，得，那么．应选：B．设这组样本数据中心点为，代入线性回归方程中求得，再求的值．此题考察了线性回归方程的应用问题，是根底题．6.【答案】B【解析】解：依题意，数列为等比数列，，所以，当，时，，故A正确；当，时，，故C正确；当时，，故D正确；应选：B．数列为等比数列，，所以，分情况讨论即可得到mn的值．此题考察了等比数列的性质，属于根底题．7.【答案】CpqC．把两点坐标分别代入不等式组判断p与q8.【答案】B【解析】解：由题意，，．应选：B．，然后运用数量积公式直接求解．此题考察平面向量的数量积运算，考察运算求解才能，属于根底题．9.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为，圆C：化为HY方程是：，那么圆心到直线的间隔为；即，解得，即双曲线的离心率是．应选：C．由双曲线的HY方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的间隔，列方程求出离心率的值．此题考察了圆与双曲线的HY方程和应用问题，是根底题．10.【答案】B【解析】解：在同一坐标系中分别作出函数，及的图象如图：由图可知，．应选：B．由题意画出函数，及的图象，数形结合得答案．此题考察对数值的大小比较，考察数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】A【解析】解：，，，故，即八进制下等于．应选：A．由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到十进制数，再利用“除k取余法〞是将十进制数除以8，然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．此题考察的知识点是算法的概念，由二进制转化为八进制的方法，进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数该数位的权重，十进制与其它进制之间的转化，纯熟掌握“除k取余法〞的方法步骤是解答此题的关键．12.【答案】A【解析】解：，由函数有两个极值点，可得有两根，即有两个交点．令，，令，那么，在区间，，区间，，所以在区间单减，在区间递增，，的大致图象如下：所以与有两个交点的取值范围，即函数有两个极值点a的取值范围为．应选：A．函数有两个极值点就是导函数等于零有两根，转化为两个函数有两个交点问题．别离出，求另一个函数的大致图象有两个交点时a的取值范围．考察利用导数研究函数的极值问题，表达了转化的思想方法，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，．故答案为：．由利用二倍角的余弦函数公式即可求值得解．此题主要考察了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于根底题．14.【答案】【解析】解：是R上的偶函数，且，，；，的周期为4，又，那么，．故答案为：．根据和为偶函数即可得出，进而得出，即得出的周期为4，而根据即可求出，这样即可求出．考察偶函数、周期函数的定义，以及函数求值的方法．15.【答案】【解析】解：如下列图，由题意知圆锥的底面半径为，高为；那么圆锥的母线长为，所以该圆锥的侧面积为故答案为：由题意知圆锥的底面半径和高，求出母线长，再计算圆锥的侧面积．此题考察了圆锥的构造特征与侧面积计算问题，是根底题．16.【答案】【解析】解：，可得时，，解得，时，，又，相减可得，即，可得，那么，当n为奇数时，递减，当n为偶数时，递增，可得的最大值为，最小值为，对于任意m，，恒成立，可得，即，那么M的最小值为．故答案为：．由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得的通项公式和求和公式，讨论n为奇数或者偶数，可得的最值，那么M不小于的最值之差的绝对值，进而得到所求值．此题考察数列的递推式的运用，考察等比数列的定义和通项公式的运用，以及不等式恒成立问题转化为求最值的方法，考察运算才能，属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ，可得，，，，可得，，可得，又，，．Ⅱ在中，由，可得，，当且仅当，即三角形为等边三角形时，等号成立，面积的最大值为．【解析】Ⅰ由可求，结合范围，可求C的值，利用正弦定理可求，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求A的值；Ⅱ利用余弦定理，根本不等式可求ab的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．此题主要考察了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，余弦定理，根本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于中档题．18.【答案】Ⅰ证明：连接AE，AF，在中，由题意可知为等腰三角形，且，由面积相等得，求得．又由三棱柱为直三棱柱，平面ABC，那么，，在直角三角形中，，，，那么．又，为直角，即E.，，，平面，那么，而，故AF平面；Ⅱ解：过E作，连接，交AC于D，过F作，交于点G，平面ABC，，又，，平面，故FG平面C.，，．【解析】Ⅰ连接AE，AF，在中，由题意可知为等腰三角形，且，求得在直角三角形中，求解由，得，由线面垂直的断定可得平面，那么，进一步得到平面；Ⅱ过E作，连接，交AC于D，过F作，交于点G，由，，得平面，故FG平面C.然后利用等积法求三棱锥的体积．此题考察直线与平面垂直的断定，考察空间想象才能与思维才能，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ获得三等奖学金的概率为：．故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人．Ⅱ每周课外学习时间是不超过35小时的“非努力型“学生有：人，其中获得一、二等奖学金学生有，每周课外学习时间是超过35小时称为“努力型“学生有人，其中获得一、二等奖学金学生有人，列联表如下列图：，故有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型〞学生有关．Ⅲ的所有可能取值为：3000，1500，600，0，，，X的分布列为：元【解析】Ⅰ先计算出获得三等奖学金的概率，再乘以500可得．Ⅱ先完成列联表，再根据公式计算，根据临界值表可得，Ⅲ先计算一名同学获得一、二、三等奖的概率，再写出分布列，求出期望．此题考察了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.【答案】解：Ⅰ设，那么，，由知，，化简得：，即动点P的轨迹E方程为；Ⅱ设过点的直线为：，，由得，，，，，．将代入得，，故为定值．【解析】Ⅰ设出P点坐标，根据列出关于x，y的方程，化简即可；Ⅱ设出直线方程为，联立直线和抛物线方程，得到关于y的方程，设，根据韦达定理，得到和的关系式，将用和表示，化简即可得到结论．此题考察了曲线的轨迹方程的求法，考察了直线斜率和为定值的问题，考察分析和解决问题的才能和计算才能，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ设切点的坐标为所以，那么．由得．设，所以，那么，解得，所以．Ⅱ由得到，所以，那么，，所以时，，单调递减增．当时，，单调递减减．当时，，单调递减增．，，下面比较和的大小，由于，即，故，即，所以．【解析】Ⅰ利用函数的导数求出切线的方程，进一步求出a的值．Ⅱ利用函数的导数和恒成立问题的应用利用函数的单调性的应用求出函数的极值，进一步求出参数a 的取值范围．此题考察的知识要点：函数的导数的应用利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和极值，参数的范围确实定，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于中档题型．22.【答案】解：Ⅰ曲线C的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为．经过伸缩变换得到曲线，得到，转换为极坐标方程为．Ⅱ线OA：与曲线交于点A，射线与曲线交于点B，那么，即，同理，所以．【解析】Ⅰ直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化求出结果．Ⅱ利用三角函数关系式的变换求出结果．此题考察的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．23.【答案】解：当时，．，或者，或者，不等式的解集为或者；不等式的解集包含，在上恒成立．，，，即在上恒成立，，，的取值范围为．【解析】将代入中，然后将写为分段函数的形式，再根据，解不等式求出解集；根据不等式的解集包含，可得，即在上恒成立，那么，求出在上的最小值后解关于a的不等式可得a 的范围．此题考察了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考察了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2023-2024学年高三上学期开学考试 数学试题(解析版)
2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。
高三数学上学期开学考试检测试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校爱民区HY 高级2021届高三数学上学期开学考试检测试题文〔含解析〕一、选择题：一共12小题，每一小题5分，一共60分.{}220A x x x =--<，{}3xB y y ==，那么AB =〔〕A.()0,∞+B.()0,2 C.()1,0-D.()1,2-【答案】B 【解析】分析：根据一元二次不等式求出集合A ，在根据指数函数的值域求出集合B ，再利用两个集合的交集的定义求出A B .详解：集合{}220{|12}A x x x x x =--<=-<<，集合{}{}30x B y y y y ===，所以{|02}A B x x ⋂=<<，应选B.点睛：此题主要考察了一元二次不等式的求解和指数函数的图象与性质，以及集合交集的运算，着重考察了学生推理与运算才能.()2,1a x =-，()1,4b x =+，那么“3x =〞是“a ∥b〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，a ∥b ，那么2114x x -=+，解得3x =±，所以“3x =〞是“a ∥b 〞的充分不必要条件，应选A. 考点：向量的运算.M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2ECAE =，那么向量EM ＝〔〕A.1123AC AB + B.1126AC AB + C.1162AC AB +D.1362AC AB + 【答案】C 【解析】212111()323262EM EC CM AC CB AC AB AC AC AB ∴=+=+=+-=+,选C.:p x R ∃∈使sin x :,2q k παβπ≠+且()4k k Z παβπ+=+∈，都有(tan 1)(tan 1)2αβ++=.给出以下结论：其中正确的选项是〔〕A.①②③B.③④C.②④D.②③【答案】D 【解析】 【分析】,p q .【详解】512>x R ∴∀∈，sin x ≠p当()4k k Z παβπ+=+∈时，()tan tan14παβ+==()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ+∴+==-，即：tan tan tan tan 1αβαβ++=p q ∴∧为假；p q ∧⌝为假；p q ⌝∨为真；p q ⌝∨⌝为真 ∴②③正确此题正确选项：D【点睛】此题考察含逻辑连接词的. 5.以下函数中，最小值为2的是〔〕 A.1y x x=+B.33x x y -=+C.1lg (01)lg y x x x=+<< D.1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 【答案】B 【解析】 试题分析：因,故〔当且仅当取等号〕，所以应选B.考点：根本不等式的运用及条件．22cos 24sin 24a =-，212sin 25b =-,22tan 231tan 23c =-,那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.b a c >>B.c a b >>C.a b c >>D.c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可知cos 481a =<，cos501b =<，由cos y x =单调性可知a b >；利用二倍角的正切公式可知tan 46c =，根据tan y x =单调性可知tan 451c >=，从而得到结果.【详解】22cos 24sin 24cos 481a=-=<；212sin 25cos501b =-=<此题正确选项：B【点睛】此题考察三角函数值的大小比较，关键是可以利用二倍角的余弦公式和正切公式将数字进展化简，再结合余弦函数和正切函数单调性得到结论.,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为6，那么k 的值是〔〕A.-1B.-7C.1D.7【答案】C 【解析】 【分析】画出3010x y x y -+≥⎧⎨++≥⎩确定的可行域，由图象可知当2k <-时，可行域不存在；当2k =-时，与题意不符；当2k>-时，通过可行域可知当2y x z =-+过A 时，z 获得最大值；将A 点坐标代入可构造出关于k 的方程，解方程求得结果.【详解】由3010x y x y -+≥⎧⎨++≥⎩可得可行域如以下列图阴影局部所示：那么()2,1P -假设2k <-，那么可行域不存在，不符合题意假设2k =-，那么只有一个可行解()2,1P -，此时2413x y +=-+=-不合题意当2k>-时，可行域如以下列图阴影局部所示：可知当2y x m =-+过A 点时，2z x y =+获得最大值又(),3A k k +236k k ∴++=，解得：1k =此题正确选项：C【点睛】此题考察线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是可以排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造方程求得结果.x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-获得最大值，那么cos θ=〔〕A.B.【答案】B 【解析】 【分析】 由辅助角公式可确定()max 5f x =，从而得到sin 2cos 5θθ-=；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos 5sin f x x x x ϕ=-=+，其中tan 2ϕ=-()max 5f x ∴=，即sin 2cos 5θθ-=又22sin cos 1θθ+=25cos 5θ∴=-【点睛】此题考察根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是可以确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.2()(1)cos 1xf x x e=-+图象的大致形状是 A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再求()1f ，2f π⎛⎫⎪⎝⎭利用排除法可得解.【详解】由题意得，()211cos cos 1e 1e x x xe f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以()()1cos 1e xx e f x x ----=⋅-+()1cos 1ex x e x f x -=⋅=-+，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ； 令1x =，那么()12111cos1cos101e 1e e f -⎛⎫⎛⎫=-=< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。
高三数学上学期开学考试试题 文(无答案)
山东省济南第一中学2015届高三数学上学期开学考试试题 文（无答案）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，共14小题，第Ⅱ卷为第3页，共2小题。
请将第Ⅱ卷答案答在答题纸相应位置，考试结束后将答题纸上交。
满分100分，考试时间60分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共70分）一、选择题（每小题5分，共70分）1. 已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}．则(∁R A )∩B ＝( )．A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}2. 函数f (x )＝1－1x在[3,4)上 ( )．A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在3. 设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )．4. 设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )．A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 5. 命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q6. 若集合M ＝{x |log 2(x －1)＜1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪14＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1，则M ∩N ＝ ( )．A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜3}D ．{x |0＜x ＜2}7. 已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 ( )．A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 28. 下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2x9. 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( )． A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a10. 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为 ( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3411. 曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是 ( )．A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)12. 已知命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋1＜0成立”为真命题，则实数a 满足( )A ．[－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)13. 下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是 ( )．A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln 2＋x 2－xD ．y ＝e x＋e －x14. 函数y ＝x e x的最小值是( )．A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在第Ⅱ卷（非选择题，共30分）二、解答题（每小题15分，共30分）15. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．16. 已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．。
高三数学上学期开学考试试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期开学考试试题文〔含解析〕一、填空题{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，那么U C A =______.【答案】{}1,2-【解析】 【分析】根据补集定义直接求解可得结果. 【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =-此题正确结果：{}1,2-【点睛】此题考察集合运算中的补集运算，属于根底题.(2,),(1,2)a b m ==-，且a b ⊥，那么实数m 的值是______.【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥，即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值。
【详解】解：a b ⊥，220a b m ∴⋅=-=，1m ∴=，故答案为：1。
【点睛】考察向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，是简单题。
x R ∈，那么“21x -<〞是“220x x +->〞的______________条件．〔从“充分不必要〞、“必要不充分〞、“既不充分也不必要〞、“充要〞中选择〕． 【答案】充分不必要 【解析】由21x -<，得1＜x ＜3；由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或者x ＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【详解】由|x ﹣2|＜1得﹣1＜x ﹣2＜1，得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或者x ＜﹣2， 〔1，3〕⊊〔﹣∞，﹣2〕∪〔1，+∞〕，故“|x﹣2|＜1〞是“x 2+x ﹣2＞0〞的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决此题的关键，属于根底题.()lg(2)f x x =-+__________.【答案】[)2,2-【解析】 【分析】由偶次根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【详解】由2020x x ->⎧⎨+≥⎩，得22x -≤<．∴函数()lg(2)f x x =-[)2,2-．故答案为[)2,2-．【点睛】此题主要考察了详细函数的定义域问题，属于根底题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数局部大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Zππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.53()1,,,f x ax bx cx a b c R =-++∈，假设()21f -=-，那么()2f =______.【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()2f x f x -+=，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，53()1f x ax bx cx =-++，那么5353()()()()1()1f x a x b x c x ax bx cx -=---+-+=--++ 那么有()()2f x f x -+=，假设()21f -=-，那么()23f =，故答案为：3.【点睛】此题考察函数奇偶性的性质以及应用，关键是分析()()f x f x -+的值，属于根底题．6.{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．假设324a a -=，416a =，那么3S 的值是____．【答案】14 【解析】 【分析】 由324a a -=及416a =列方程组，即可求得1,a q ，再利用等比数列前n 项和公式计算即可得解。